Æfingar

9.1 Núlltilgátur og gagntilgátur

Þú ert að prófa hvort meðalhraði kapalinternettengingarinnar þinnar sé meiri en þrjú megabit á sekúndu. Hver er slembibreytan? Lýstu henni í orðum.

Þú ert að prófa hvort meðalhraði kapalinternettengingarinnar þinnar sé meiri en þrjú megabit á sekúndu. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu.

Bandarísk fjölskylda á að meðaltali tvö börn. Hver er slembibreytan? Lýstu henni í orðum.

Meðalbyrjunarlaun starfsmanns hjá fyrirtæki eru $58.000. Þú telur að þau séu hærri hjá upplýsingatæknisérfræðingum í fyrirtækinu. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu.

Félagsfræðingur heldur því fram að líkurnar á því að handahófsvalin manneskja á Times Square í New York sé gestur á svæðinu séu 0,83. Þú vilt prófa hvort hlutfallið sé í raun lægra. Hver er slembibreytan? Lýstu henni í orðum.

Félagsfræðingur heldur því fram að líkurnar á því að handahófsvalin manneskja á Times Square í New York sé gestur á svæðinu séu 0,83. Þú vilt prófa hvort fullyrðingin sé rétt. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu.

Í fiskistofni eru um það bil 42 prósent kvenkyns. Próf er framkvæmt til að kanna hvort hlutfallið sé í raun lægra. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu.

Segjum að nýleg grein hafi sagt að meðaltími sem nemendur verja í heimanám í hverri viku sé 2,5 klukkustundir. Rannsókn var síðan gerð til að kanna hvort meðaltíminn hafi aukist á nýrri öld. Tekið var slembiúrtak 26 nemenda. Meðaltíminn sem nemendur vörðu í heimanám var 3 klukkustundir og staðalfrávikið var 1,8 klukkustundir. Gerum ráð fyrir að staðalfrávik þýðis sé þekkt og sé 1,5. Ef þú framkvæmdir tilgátupróf til að kanna hvort meðalheimanámstíminn hafi aukist, hverjar væru núlltilgátan og gagntilgátan? Dreifing þýðisins er normaldreifð.

• H₀: ________
• Hₐ: ________

Slembikönnun meðal 75 langhlaupara í maraþoni, sem hafa hlaupið lengi, sýndi að meðaltíminn sem þeir höfðu stundað hlaup var 17,4 ár og staðalfrávikið 6,3 ár. Ef þú framkvæmdir tilgátupróf til að kanna hvort þýðismeðaltími þessara hlaupara gæti líklega verið 15 ár, hverjar væru núlltilgátan og gagntilgátan?

• H₀: __________
• Hₐ: __________

Rannsakendur birtu grein þar sem fram kom að á hvaða eins árs tímabili sem er þjáist um það bil 9,5 prósent fullorðinna Bandaríkjamanna af tiltekinni tegund sjúkdóms. Segjum að í könnun meðal 100 einstaklinga í tilteknum bæ hafi sjö þeirra þjáðst af þessum sjúkdómi. Ef þú framkvæmdir tilgátupróf til að kanna hvort raunverulegt hlutfall fólks í bænum sem þjáist af sjúkdómnum sé lægra en hlutfallið í almennu þýði fullorðinna Bandaríkjamanna, hverjar væru núlltilgátan og gagntilgátan?

• H₀: ________
• Hₐ: ________

9.2 Niðurstöður og villur af gerð I og gerð II

Meðalverð meðalstórra bíla á tilteknu svæði er $32.000. Próf er framkvæmt til að kanna hvort fullyrðingin sé sönn. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Svefnpoki er prófaður og á að þola hitastig niður í −15 °F. Þú telur að pokinn þoli ekki svo lágt hitastig. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Fyrir æfingu 9.12, hvað merkja α og β í orðum?

Lýstu í orðum stærðinni 1 − β fyrir æfingu 9.12.

Hópur lækna er að ákveða hvort framkvæma eigi aðgerð. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé: skurðaðgerðin mun ganga vel. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Hópur lækna er að ákveða hvort framkvæma eigi aðgerð. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé: skurðaðgerðin mun ganga vel. Hvor villan hefur alvarlegri afleiðingar?

Styrkur prófs er 0,981. Hverjar eru líkurnar á villu af gerð II?

Hópur kafara er að kanna gamalt sokkið skip. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sokkna skipið innihaldi ekki grafinn fjársjóð. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Örverufræðingur prófar vatnssýni fyrir E. coli. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sýnið innihaldi ekki E. coli. Líkurnar á því að sýnið innihaldi ekki E. coli en örverufræðingurinn telji að það innihaldi E. coli eru 0,012. Líkurnar á því að sýnið innihaldi E. coli en örverufræðingurinn telji að það innihaldi ekki E. coli eru 0,002. Hver er styrkur þessa prófs?

Örverufræðingur prófar vatnssýni fyrir E. coli. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sýnið innihaldi E. coli. Hvor villan hefur alvarlegri afleiðingar?

9.3 Dreifing sem þarf fyrir tilgátuprófun

Hvaða tvær dreifingar má nota við tilgátuprófun í þessum kafla?

Hvaða dreifingu notar þú þegar staðalfrávikið er ekki þekkt? Gerðu ráð fyrir að úrtaksstærðin sé stór.

Hvaða dreifingu notar þú þegar staðalfrávikið er ekki þekkt og þú ert að prófa eitt þýðismeðaltal? Gerðu ráð fyrir að úrtaksstærðin sé stór.

Þýðismeðaltal er 13. Úrtaksmeðaltalið er 12,8 og staðalfrávik úrtaksins er tvö. Úrtaksstærðin er 20. Hvaða dreifingu ættir þú að nota til að framkvæma tilgátupróf? Gerðu ráð fyrir að undirliggjandi þýði sé normaldreift.

Þýði hefur meðaltal 25 og staðalfrávik fimm. Úrtaksmeðaltalið er 24 og úrtaksstærðin er 108. Hvaða dreifingu ættir þú að nota til að framkvæma tilgátupróf?

Talið er að 42 prósent þátttakenda í bragðprófi myndu kjósa vörumerki A. Í tilteknu prófi með 100 einstaklingum kusu 39 prósent vörumerki A. Hvaða dreifingu ættir þú að nota til að framkvæma tilgátupróf?

Þú framkvæmir tilgátupróf fyrir eitt þýðismeðaltal með t-dreifingu Students. Hvað verður þú að gera ráð fyrir um dreifingu gagnanna?

Þú framkvæmir tilgátupróf fyrir eitt þýðismeðaltal með t-dreifingu Students. Gögnin koma ekki úr einföldu slembiúrtaki. Getur þú framkvæmt tilgátuprófið nákvæmlega?

Þú framkvæmir tilgátupróf fyrir eitt þýðishlutfall. Hvað þarf að vera satt um stærðirnar np og nq?

Þú framkvæmir tilgátupróf fyrir eitt þýðishlutfall. Þú kemst að því að np er minna en fimm. Hvað þarftu að gera til að geta framkvæmt gilt tilgátupróf?

Þú framkvæmir tilgátupróf fyrir eitt þýðishlutfall. Úr hvaða dreifingu koma gögnin?

9.4 Sjaldgæfir atburðir, úrtakið og ákvörðun og niðurstaða

Hvenær hafnar þú núlltilgátunni?

Líkurnar á að vinna aðalverðlaunin í tilteknum skemmtigarðsleik eru 0,005. Er það mjög líklegt eða mjög ólíklegt að vinna?

Líkurnar á að vinna aðalverðlaunin í tilteknum skemmtigarðsleik eru 0,005. Michele vinnur aðalverðlaunin. Telst þetta sjaldgæfur eða algengur atburður? Hvers vegna?

Talið er að meðalhæð framhaldsskólanemenda sem spila körfubolta í skólaliðinu sé 73 tommur með staðalfrávik 1,8 tommur. Slembiúrtak 40 leikmanna er valið. Úrtaksmeðaltalið var 71 tomma og staðalfrávik úrtaksins var 1,5 tommur. Styðja gögnin fullyrðinguna um að meðalhæðin sé minni en 73 tommur? p-gildið er næstum núll. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu og túlkaðu p-gildið.

Meðalaldur framhaldsnema við háskóla er í mesta lagi 31 ár með staðalfrávik tvö ár. Slembiúrtak 15 framhaldsnema er tekið. Úrtaksmeðaltalið er 32 ár og staðalfrávik úrtaksins er þrjú ár. Eru gögnin marktæk við 1 prósents marktektarstig? p-gildið er 0,0264. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu og túlkaðu p-gildið.

Sýnir skyggða svæðið lágt eða hátt p-gildi miðað við 1 prósents marktektarstig?

Hvað áttu að gera þegar α > p-gildi?

Hvað áttu að gera ef α = p-gildi?

Ef þú hafnar ekki núlltilgátunni, þá hlýtur hún að vera sönn. Er sú fullyrðing rétt? Útskýrðu hvers vegna eða hvers vegna ekki í heilum setningum.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sjö æfingum: Segjum að nýleg grein hafi sagt að meðaltími sem nemendur verja í heimanám í hverri viku sé 2,5 klukkustundir. Rannsókn var síðan gerð til að kanna hvort meðaltíminn hafi aukist á nýrri öld. Tekið var slembiúrtak 26 nemenda. Meðaltíminn sem þeir vörðu í heimanám í hverri viku var þrjár klukkustundir og staðalfrávikið var 1,8 klukkustundir. Gerum ráð fyrir að staðalfrávik þýðis sé þekkt og sé 1,5. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort meðalheimanámstíminn í hverri viku hafi aukist. Gerðu ráð fyrir að dreifing heimanámstíma sé u.þ.b. normaldreifð.

Er þetta próf á meðaltali eða hlutfalli?

Hvaða tákn táknar slembibreytuna í þessu prófi?

Skilgreindu slembibreytuna í orðum fyrir þetta próf.

Er σ þekkt og ef svo er, hvert er gildið?

Reiknaðu eftirfarandi:

• x̄ _______
• σ _______
• s_x _______
• n _______

Þar sem bæði σ og s_x eru gefin, hvort á að nota? Útskýrðu í einni til tveimur heilum setningum hvers vegna.

Settu fram dreifinguna sem á að nota fyrir tilgátuprófið.

Slembikönnun meðal 75 langhlaupara í maraþoni sýndi að meðaltíminn sem þeir hafa stundað hlaup er 17,4 ár og staðalfrávikið 6,3 ár. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort þýðismeðaltíminn sé líklega 15 ár.

• Er þetta próf á einu meðaltali eða hlutfalli?
• Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu. H₀: ____________________ Hₐ: ____________________
• Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
• Hvaða tákn táknar slembibreytuna í þessu prófi?
• Skilgreindu slembibreytuna í orðum fyrir þetta próf.
• Er staðalfrávik þýðis þekkt og ef svo er, hvert er gildið?
• Reiknaðu eftirfarandi: x̄ = _____________ s = ____________ n = ____________
• Hvaða próf á að nota?
• Settu fram dreifinguna sem á að nota fyrir tilgátuprófið.
• Finndu p-gildið.
• Við fyrirfram ákveðið α = 0,05, gefðu svar fyrir hvert af eftirfarandi: ákvörðun, ástæða ákvörðunar og niðurstaða í heilli setningu.

9.5 Viðbótarupplýsingar og heildstæð dæmi um tilgátupróf

Gerðu ráð fyrir H₀: μ = 9 og Hₐ: μ < 9. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?

Gerðu ráð fyrir H₀: μ ≤ 6 og Hₐ: μ > 6. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?

Gerðu ráð fyrir H₀: p = 0,25 og Hₐ: p ≠ 0,25. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?

Teiknaðu almennt graf fyrir vinsturhliða próf.

Teiknaðu graf fyrir tvíhliða próf.

Vatnsflaska er merkt þannig að hún innihaldi 16 vökvaúnsur af vatni. Þú telur að hún innihaldi minna en það. Hvaða tegund prófs myndir þú nota?

Vinur þinn heldur því fram að meðalskor hans í golfi sé 63. Þú vilt sýna að það sé hærra en það. Hvaða tegund prófs myndir þú nota?

Baðvog segist geta mælt hvaða þyngd sem er rétt innan eins punds. Þú telur að hún geti ekki verið svona nákvæm. Hvaða tegund prófs myndir þú nota?

Þú kastar mynt og skráir hvort hún sýnir skjaldarmerki eða hina hliðina. Þú veist að líkurnar á skjaldarmerki eru 50 prósent, en þú telur að þær séu lægri fyrir þessa tilteknu mynt. Hvaða tegund prófs myndir þú nota?

Ef gagntilgátan inniheldur ekki-jafnt tákn (≠), hvaða tegund prófs áttu þá að nota?

Gerðu ráð fyrir að núlltilgátan segi að meðaltalið sé að minnsta kosti 18. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?

Gerðu ráð fyrir að núlltilgátan segi að meðaltalið sé í mesta lagi 12. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?

Gerðu ráð fyrir að núlltilgátan segi að meðaltalið sé jafnt og 88. Gagntilgátan segir að meðaltalið sé ekki jafnt og 88. Er þetta vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða próf?