Viðauki B: Æfingapróf 1–4 og lokapróf

Æfingapróf 1

1.1: Skilgreiningar á tölfræði, líkum og lykilhugtökum

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Matvöruverslun hefur áhuga á hversu miklum peningum viðskiptavinir þeirra eyða að meðaltali í grænmetis- og ávaxtadeildinni í hverri heimsókn. Með því að nota sölugögn verslunarinnar draga þeir úrtak sem telur 1.000 heimsóknir og reikna meðaleyðslu hvers viðskiptavinar í deildinni.

1. Greinið þýði, úrtak, stika, lýsistærð, breytu og gögn í þessu dæmi.

   1. þýði
   2. úrtak
   3. stiki
   4. lýsistærð
   5. breyta
   6. gögn

2. Hvers kyns gögn eru upphæðin sem eytt er í grænmeti og ávexti í hverri heimsókn?

   1. Eigindleg
   2. Megindleg-samfelld
   3. Megindleg-strjál

3. Rannsóknin leiðir í ljós að meðaltal upphæðar sem viðskiptavinirnir í úrtakinu eyða í grænmeti og ávexti í hverri heimsókn er $12.84. Þetta er dæmi um

   1. Þýði
   2. Úrtak
   3. Stika
   4. Lýsistærð
   5. Breytu

1.2: Gögn, úrtaka og breytileiki í gögnum og úrtöku

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Líkamsræktarstöð hefur áhuga á að vita hversu oft dæmigerður meðlimur nýtir sér stöðina á viku. Þau ákveða að biðja tíunda hvern viðskiptavin á tilteknum degi að svara stuttri könnun, þar á meðal um hversu oft þeir hafa heimsótt stöðina í liðinni viku.

1. Hvers kyns úrtakshönnun er þetta?

   1. Klasaúrtak
   2. Lagskipt slembiúrtak
   3. Einfalt slembiúrtak
   4. Kerfisbundið úrtak

2. Fjöldi heimsókna á viku eru hvers kyns gögn?

   1. Eigindleg
   2. Megindleg-samfelld
   3. Megindleg-strjál

3. Lýsið aðstæðum þar sem þið mynduð reikna stika frekar en lýsistærð.

4. Alríkisstjórn Bandaríkjanna gerir könnun meðal nemenda á lokaári í framhaldsskóla varðandi áætlanir þeirra um framtíðarmenntun og atvinnu. Ein spurningin er hvort þeir stefni á að fara í fjögurra ára háskóla á næsta ári. Fimmtíu prósent svara þessari spurningu játandi. Þessi 50 prósent eru

   1. Stika
   2. Lýsistærð
   3. Breytu
   4. Gögn

5. Ímyndið ykkur að alríkisstjórn Bandaríkjanna hefði tækifæri til að leggja könnun fyrir alla nemendur á lokaári í framhaldsskólum í Bandaríkjunum varðandi áætlanir þeirra um framtíðarmenntun og atvinnu, og kæmist að því að 50 prósent stefndu á að fara í fjögurra ára háskóla á næsta ári. Þessi 50 prósent eru dæmi um

   1. Stika
   2. Lýsistærð
   3. Breytu
   4. Gögn

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Í könnun á slembiúrtaki 100 hjúkrunarfræðinga á stóru sjúkrahúsi var spurt hversu mörg ár þeir hefðu starfað í faginu. Svörin eru tekin saman í eftirfarandi (ókláruðu) töflu.

1. Fyllið í eyðurnar í töflunni og námundið svör ykkar að tveimur aukastöfum fyrir dálkana hlutfallstíðni og uppsöfnuð hlutfallstíðni.

   Fjöldi ára	Tíðni	Hlutfallstíðni	Uppsöfnuð hlutfallstíðni
   < 5	25
   5–10	30
   > 10	autt

2. Hvaða hlutfall hjúkrunarfræðinga hefur fimm eða fleiri ára reynslu?

3. Hvaða hlutfall hjúkrunarfræðinga hefur 10 eða færri ára reynslu?

4. Lýsið hvernig þið mynduð draga slembiúrtak 30 nemenda úr 200 nemenda fyrirlestrarhópi.

5. Lýsið hvernig þið mynduð draga lagskipt slembiúrtak nemenda úr háskóla, þar sem lögin eru námsár nemenda (fyrsta, annað, þriðja eða fjórða ár).

6. Stjórnandi vill draga úrtak án endurvals, sem telur 30 starfsmenn, úr 150 manna vinnuafli. Lýsið hvernig líkur á að verða valinn munu breytast á meðan úrtakan fer fram.

7. Framkvæmdastjóri deildarverslunar ákveður að mæla starfsánægju með því að velja fjórar deildir af handahófi og taka viðtöl við alla starfsmenn í þessum fjórum deildum. Hvers kyns könnunarsnið er þetta?

   1. Klasaúrtak
   2. Lagskipt slembiúrtak
   3. Einfalt slembiúrtak
   4. Kerfisbundið úrtak

8. Vinsæll bandarískur íþróttaþáttur í sjónvarpi gerir könnun meðal áhorfenda til að sjá hvaða lið þeir trúa að muni vinna NFL-meistaratitilinn (National Football League) í ár. Áhorfendur greiða atkvæði með því að hringja í númer sem birtist á sjónvarpsskjánum og segja símaverði hvaða lið þeir halda að muni vinna. Teljið þið að þeir sem taka þátt í þessari könnun séu dæmigerðir fyrir alla fótboltaaðdáendur í Bandaríkjunum?

9. Tveir vísindamenn sem rannsaka bólusetningarhlutfall draga hvor í sínu lagi úrtök 50 barna á aldrinum þriggja til 18 mánaða úr stóru þéttbýli og athuga hvort þau séu með allar bólusetningar. Annar vísindamaðurinn kemst að því að 84 prósent barnanna í hennar úrtaki eru með allar bólusetningar, en hinn kemst að því að 86 prósent í hans úrtaki eru með allar bólusetningar. Að því gefnu að bæði hafi fylgt viðeigandi aðferðum við úrtöku og reiknað rétt, hver er líkleg skýring á þessu misræmi?

10. Framhaldsskóli lengdi skóladaginn úr 6.5 í 7.5 klukkustundir. Nemendur sem vildu sækja þennan framhaldsskóla þurftu að skrifa undir samning um að þeir myndu leggja sig fram í náminu og hlýða skólareglum; ef þeir vildu það ekki, gátu þeir sótt annan framhaldsskóla í umdæminu. Eftir eitt ár hafði árangur nemenda á fylkisprófum hækkað um 10 prósentustig miðað við árið áður. Sannar þetta að lengri skóladagur bæti árangur nemenda?

11. Þið lesið grein í dagblaði þar sem greint er frá því að neysla á möndlum leiði til aukinnar lífsánægju. Rannsóknin var gerð af Samtökum möndluræktenda og byggði á slembaðri könnun þar sem fólk var spurt um neyslu sína á ýmsum matvælum, þar á meðal möndlum, og einnig um ánægju þess með mismunandi þætti lífsins. Er eitthvað við þessa könnun sem fær ykkur til að efast um niðurstöðu hennar?

12. Hvers vegna er svarleysi vandamál í könnunum?

1.3: Tíðni, tíðnitöflur og mælistig

21. Reiknaðu meðaltal eftirfarandi talna og gefðu svarið með einum fleiri aukastaf en er í upprunalegum gögnum: 14, 5, 18, 23, 6

1.4: Tilraunasnið og siðfræði

1. Sálfræðingur hefur áhuga á því hvort stærð borðbúnaðar (skálar, diskar, o.s.frv.) hafi áhrif á hversu mikið háskólanemar borða. Hann skiptir 100 háskólanemum af handahófi í tvo hópa. Fyrri hópurinn fær máltíð framreidda á venjulegum borðbúnaði, en sá seinni fær sömu máltíð framreidda á borðbúnaði sem er 20 prósent minni en venjulega. Hann skráir hversu mikils matar er neytt af hvorum hópi. Tilgreindu eftirfarandi þætti þessarar rannsóknar.

   1. þýði
   2. úrtak
   3. tilraunaeiningar
   4. skýribreyta
   5. inngrip
   6. svarbreyta

2. Rannsakandi greinir niðurstöður Scholastic Aptitude Test (SAT) yfir fimm ára tímabil og kemst að því að karlkyns nemendur fá að meðaltali hærri einkunn í stærðfræðihlutanum og kvenkyns nemendur fá að meðaltali hærri einkunn í málfræðihlutanum. Hún ályktar að þessi sýnilegi munur á frammistöðu á prófinu stafi af erfðafræðilegum þáttum. Útskýrðu hvernig duldar breytur gætu boðið upp á aðra skýringu á þeim mun sem sést á prófskorum.

3. Útskýrðu hvers vegna ekki væri hægt að nota slembiskiptingu til að rannsaka heilsufarsáhrif hreyfingar.

4. Prófessor framkvæmir símakönnun á þýði borgar með því að draga úrtak númera úr símaskránni og láta aðstoðarmenn sína hringja einu sinni í hvert valið númer til að leggja könnunina fyrir. Hverjar eru nokkrar orsakir fyrir bjaga í þessari könnun?

5. Prófessor býður nemendum aukastig sem taka þátt í rannsóknum hennar. Hvaða siðferðilega vandamál fylgir þessari aðferð við öflun þátttakenda?

2.1: Stofn- og laufrit, línurit og stöplarit

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Einkunnir úr miðmisserisprófi í efnafræði, gefnar á kvarðanum 0 til 100, voru 62, 64, 65, 65, 68, 70, 72, 72, 74, 75, 75, 75, 76, 78, 78, 81, 83, 83, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 98, 98, 100, 100, 740

1. Sérðu einhverja útlaga í þessum gögnum? Ef svo er, hvernig myndir þú bregðast við stöðunni?

2. Búðu til stofn- og laufrit fyrir þessi gögn, þar sem eingöngu eru notuð gildi á bilinu núll–100.

3. Lýstu dreifingu prófeinkunnanna.

2.2: Stuðlarit, tíðnimarghyrningar og tímaraðarit

30. Í bekk með 35 nemendum fengu sjö nemendur einkunn á bilinu 70–79. Hver er hlutfallstíðni einkunna á þessu bili?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Þú framkvæmir könnun meðal 30 nemenda til að sjá hversu marga áfanga þeir eru að taka á þessari önn. Niðurstöður þínar eru 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5

1. Þú ákveður að teikna stuðlarit af þessum gögnum. Hver verður spönn fyrsta stuðulsins og hver verður miðpunkturinn?

2. Hver verða bilvíddin og miðpunktar hinna stuðlanna?

3. Hvaða stuðull í þessu stuðlariti verður hæstur og hver verður hæð hans?

4. Þú færð gögn frá bandarísku manntalsskrifstofunni um miðgildi heimilistekna fyrir borgina þína og ákveður að setja þau fram myndrænt. Hvort er betri kostur fyrir þessi gögn, stöplarit eða stuðlarit?

5. Þú safnar gögnum um lit bíla sem nemendur í tölfræðiáfanganum þínum keyra og vilt setja þessar upplýsingar fram myndrænt. Hvort er betri kostur fyrir þessi gögn, stöplarit eða stuðlarit?

2.3: Mælikvarðar á staðsetningu gagna

1. Dóttir þín kemur heim með prófeinkunnir sem sýna að hún lenti í 80. hundraðsröð í stærðfræði og 76. hundraðsröð í lestri fyrir hennar bekk. Túlkaðu þessar einkunnir.

2. Þú þarft að bíða í 90 mínútur á bráðamóttöku sjúkrahúss áður en þú kemst að hjá lækni. Þú kemst að því að biðtími þinn var í 82. hundraðsröð allra biðtíma. Útskýrðu hvað þetta þýðir og hvort þér finnist það gott eða slæmt.

2.4: Kassarit

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 8; 9

1. Hvert er miðgildi þessara gagna?

2. Hvert er fyrsta fjórðungamark þessara gagna?

3. Hvert er þriðja fjórðungamark þessara gagna?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Þetta kassarit sýnir einkunnir á lokaprófi í eðlisfræðiáfanga.

1. Hvert er miðgildi þessara gagna og hvernig veistu það?

2. Hver eru fyrsta og þriðja fjórðungamark þessara gagna og hvernig veistu það?

3. Hver er fjórðungaspönn þessara gagna?

4. Hver er spönn þessara gagna?

2.5: Mælikvarðar á miðju gagna

45. Í maraþoni var miðgildi lokatíma 3:35:04 (þrjár klukkustundir, 35 mínútur og fjórar sekúndur). Þú kláraðir á 3:34:10. Túlkaðu merkingu miðgildis tímans og ræddu þinn tíma í samhengi við það.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Verðmæti húsa í húsaröð, í þúsundum dollara, eru 45; 47; 47.5; 51; 53.5; 125.

1. Reiknaðu meðaltal þessara gagna.

2. Reiknaðu miðgildi þessara gagna.

3. Hvort finnst þér endurspegla meðalverðmæti húsanna í þessari húsaröð betur?

2.6: Skekkja ásamt meðaltali, miðgildi og tíðasta gildi

1. Hvað af eftirfarandi er hærra í vinstriskekktri dreifingu?

   1. Meðaltalið
   2. Miðgildið
   3. Tíðasta gildið

2. Hvað af eftirfarandi er hærra í hægriskekktri dreifingu?

   1. Meðaltalið
   2. Miðgildið
   3. Tíðasta gildið

3. Hvert verður sambandið á milli meðaltals, miðgildis og tíðasta gildis í samhverfri dreifingu?

2.7: Mælikvarðar á breytileika gagna

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. 10; 11; 15; 15; 17; 22

1. Reiknið meðaltal og staðalfrávik fyrir þessi gögn; notið úrtaksformúluna fyrir staðalfrávikið.

2. Hvaða tala er tveimur staðalfrávikum ofan við meðaltal þessara gagna?

3. Setjið töluna 13.7 fram með tilliti til meðaltals og staðalfráviks þessara gagna.

4. Í líffræðiáfanga var einkunnagjöf á lokaprófi normaldreifð, með meðaltalið 85 og staðalfrávikið fimm. Susan fékk 95 í einkunn á lokaprófinu. Setjið prófárangur hennar fram sem Z-gildi og túlkið merkinguna.

3.1: Hugtök

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Þú ert með krukku fulla af glerkúlum: 50 eru rauðar, 25 eru bláar og 15 eru gular. Gerum ráð fyrir að þú dragir eina glerkúlu af handahófi í hverri tilraun og setjir hana aftur ofan í fyrir næstu tilraun. Látum P(R) = líkurnar á að draga rauða glerkúlu. Látum P(B) = líkurnar á að draga bláa glerkúlu. Látum P(Y) = líkurnar á að draga gula glerkúlu.

1. Finnið P(B).

2. Hvert er líklegra, að draga rauða glerkúlu eða gula glerkúlu? Rökstyðjið svarið tölulega.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Eftirfarandi eru líkur sem lýsa hópi háskólanema. Látum P(M) = líkurnar á að nemandinn sé karlkyns Látum P(F) = líkurnar á að nemandinn sé kvenkyns Látum P(E) = líkurnar á að nemandinn sé í kennslufræði Látum P(S) = líkurnar á að nemandinn sé í raungreinum

1. Skrifið táknin fyrir líkurnar á að nemandi, valinn af handahófi, sé bæði kvenkyns og í raungreinum.

2. Skrifið táknin fyrir líkurnar á að nemandinn sé í kennslufræði, að gefnu að nemandinn sé karlkyns.

3.2: Óháðir og ósamrýmanlegir atburðir

1. Atburðir A og B eru óháðir. Ef P(A) = 0.3 og P(B) = 0.5, finnið P(A OG B).

2. C og D eru ósamrýmanlegir atburðir. Ef P(C) = 0.18 og P(D) = 0.03, finnið P(C EÐA D).

3.3: Tvær grunnreglur um líkur

62. Í útskriftarárgangi í framhaldsskóla með 300 nemendum stefna 200 nemendur á háskóla, 40 ætla að vinna í fullu starfi og 80 taka sér välár. Eru þessir atburðir ósamrýmanlegir?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Bogmaður hittir í miðju skotmarksins (napann) í 70 prósent tilvika. Hins vegar skýtur hún í hrinum, og ef hún hittir í miðjuna í einu skoti eru líkurnar á að hún hitti í skotinu sem á eftir fylgir 0.85. Skrifað með rithætti líkindafræðinnar P(A) = P(B) = P(að hitta í miðjuna í einu skoti) = 0.70 P(B | A) = P(að hitta í miðjuna í öðru skoti, að því gefnu að hún hafi hitt í því fyrsta) = 0.85

1. Reiknið líkurnar á að hún hitti í miðju skotmarksins í tveimur skotum í röð.

2. Eru P(A) og P(B) óháð í þessu dæmi?

3.4: Krosstöflur

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Eftirfarandi krosstafla sýnir fjölda nemenda sem segjast læra í að minnsta kosti 15 klukkustundir á viku og hversu margir komust á ágætisskrá á síðustu önn.

1. Fyllið út í töfluna.

2. Finnið P(ágætisskrá|lærir a.m.k. 15 klukkustundir á viku).

3. Hverjar eru líkurnar á að nemandi læri minna en 15 klukkustundir á viku?

4. Eru atburðirnir „lærir a.m.k. 15 klukkustundir á viku“ og „kemst á ágætisskrá“ óháðir? Rökstyðjið svarið tölulega.

3.5: Trjá- og Venn-myndir

1. Í framhaldsskóla spila sumir nemendur í tennisliðinu og sumir í fótboltaliðinu, en enginn spilar bæði tennis og fótbolta. Teiknið Venn-mynd sem sýnir þetta.

2. Í framhaldsskóla spila sumir nemendur tennis, sumir spila fótbolta og sumir spila bæði. Teiknið Venn-mynd sem sýnir þetta.

Æfingapróf 1 lausnir

1.1: Skilgreiningar á tölfræði, líkum og lykilhugtökum

1.

1. þýði: allar verslunarferðir allra viðskiptavina verslunarinnar
2. úrtak: þær 1,000 heimsóknir sem dregnar voru fyrir rannsóknina
3. stiki: meðalútgjöld til grænmetis og ávaxta í hverri heimsókn hjá öllum viðskiptavinum verslunarinnar
4. lýsistærð: meðalútgjöld til grænmetis og ávaxta í hverri heimsókn hjá úrtakinu sem taldi 1,000
5. breyta: útgjöldin til grænmetis og ávaxta í hverri heimsókn
6. gögn: upphæðirnar í dollurum sem eyddu var í grænmeti og ávexti; til dæmis $15.40, $11.53, o.s.frv.

1. C

2. D

1.2: Gögn, úrtaka og breytileiki í gögnum og úrtöku

1. D

2. C

3. Svör geta verið breytileg. Dæmi um svar: Hvaða lausn sem er þar sem þú notar gögn úr öllu þýðinu er ásættanleg. Til dæmis gæti prófessor reiknað út meðaleinkunn úr prófi fyrir bekkinn sinn: Vegna þess að einkunnir allra nemenda í bekknum voru notaðar við útreikninginn er meðaltalið stiki.

4. B

5. A

9.

1. 0.75

2. 0.55

3. Svör geta verið breytileg. Dæmi um svar: Einn möguleikinn er að fá bekkjarlistann og úthluta hverjum nemanda númeri frá 1 til 200. Síðan má nota slembitölugjafa eða slembitöflu til að mynda 30 tölur á milli 1 og 200 og velja þá nemendur sem passa við slembitölurnar. Einnig væri ásættanlegt að skrifa nafn hvers nemanda á spjald, stokka þau í kassa og draga 30 nöfn af handahófi.

4. Einn möguleikinn væri að afla lista yfir nemendur sem skráðir eru í skólann, þar með talið námsár hvers nemanda. Síðan væri dregið hlutfallslegt slembiúrtak úr hverjum árgangi. Til dæmis, ef 30 prósent nemenda í skólanum eru á fyrsta ári, þá væru 30 prósent af þínu úrtaki dregin úr hópi nýnema.

5. Fyrir fyrsta aðilann sem er valinn eru líkurnar á að hvaða einstaklingur sem er verði valinn einn af 150. Fyrir annan aðilann eru þær einn af 149, fyrir þann þriðja einn af 148 og svo framvegis. Fyrir þrítugasta aðilann sem er valinn eru líkurnar á vali einn af 121.

6. A

7. Nei. Það eru að minnsta kosti tveir möguleikar á bjaga. Í fyrsta lagi eru áhorfendur þessa tiltekna þáttar kannski ekki dæmigerðir fyrir aðdáendur bandarísks ruðnings í heild sinni. Í öðru lagi verður úrtakið sjálfvalið, vegna þess að fólk þarf að hringja til að taka þátt, og þetta fólk er líklega ekki dæmigert fyrir þýði bandarískra ruðningsaðdáenda í heild sinni.

8. Þessar niðurstöður (84 prósent í einu úrtaki, 86 prósent í hinu) eru líklega tilkomnar vegna úrtaksbreytileika. Hvor rannsakandi dró ólíkt úrtak barna og maður myndi ekki búast við því að þeir fengju nákvæmlega sömu niðurstöðu, þótt búast mætti við að niðurstöðurnar væru svipaðar, eins og þær eru í þessu tilviki.

9. Nei. Framförin gæti einnig verið tilkomin vegna sjálfsvals: Aðeins áhugasamir nemendur voru tilbúnir að skrifa undir samninginn, og þeir hefðu staðið sig vel jafnvel í skóla með 6,5 klukkustunda skóladaga. Vegna þess að báðar breytingarnar voru innleiddar á sama tíma er ekki hægt að aðskilja áhrif þeirra.

10. Að minnsta kosti tvær hliðar þessarar könnunar eru vandræðalegar. Sú fyrsta er að hún var framkvæmd af hópi sem myndi hagnast á niðurstöðunni – möndlusala er líkleg til að aukast ef fólk trúir því að möndluát geri það hamingjusamara. Hin er sú að þessi könnun leiddi í ljós að möndluát og lífsánægja hafa fylgni, en hún staðfestir ekki að möndluát valdi ánægju. Það er til dæmis jafn mögulegt að fólk með hærri tekjur sé líklegra til að borða möndlur og sé einnig ánægðara með líf sitt.

11. Þú vilt að úrtak fólks sem tekur þátt í könnun sé dæmigert fyrir þýðið sem það er dregið úr. Fólk sem neitar að taka þátt í könnun hefur oft aðrar skoðanir en þeir sem taka þátt, og því gæti jafnvel slembiúrtak skilað bjöguðum niðurstöðum ef stórt hlutfall þeirra sem eru valdir neitar að taka þátt í könnuninni.

1.3: Tíðni, tíðnitöflur og mælistig

21. 13.2

1.4: Tilraunasnið og siðfræði

22.

1. þýði: allir háskólanemar
2. úrtak: þeir 100 háskólanemar sem voru í rannsókninni
3. tilraunaeiningar: hver og einn háskólanemi sem tók þátt
4. skýribreyta: stærð borðbúnaðarins
5. inngrip: borðbúnaður sem er 20 prósentum minni en venjulega
6. svarbreyta: magnið af mat sem var borðað

1. Það eru margar duldar breytur sem gætu haft áhrif á þann mun sem sést á prófskorum. Ef til vill hafa strákarnir, að meðaltali, tekið fleiri stærðfræðiáfanga en stelpurnar, og stelpurnar hafa tekið fleiri enskuáfanga en strákarnir. Ef til vill hafa fjölskyldur og kennarar strákanna hvatt þá til að undirbúa sig fyrir starfsframa í stærðfræði og raungreinum og þeir því lagt meiri vinnu í stærðfræðinám, á meðan stelpurnar hafa verið hvattar til að undirbúa sig fyrir greinar eins og samskiptafræði og sálfræði sem beina meiri sjónum að málnotkun. Rannsóknarsnið þyrfti að stjórna fyrir þessum og öðrum hugsanlegum duldum breytum (hverju sem gæti skýrt þann mun sem sést á prófskorum, öðru en erfðafræðilegu skýringunni) til þess að hægt sé að draga vísindalega rökstudda ályktun um erfðafræðilegan mun.

2. Til að nota slembiskipun þyrftir þú að geta úthlutað fólki annað hvort í þann hóp sem hreyfir sig eða þann sem hreyfir sig ekki. Þar sem hreyfing hefur mörg jákvæð áhrif, væri þetta ekki siðleg tilraun. Við munum rannsaka fólk sem ákvað að hreyfa sig og bera það saman við fólk sem ákvað að hreyfa sig ekki, og reyna að stjórna fyrir öðrum þáttum þar sem þessir tveir hópar gætu verið ólíkir (duldar breytur).

3. Uppsprettur bjaga fela meðal annars í sér þá staðreynd að ekki allir eiga síma, að farsímanúmer eru oft ekki skráð í opinberum símaskrám og að einstaklingur gæti ekki verið heima þegar hringt er; allir þessir þættir gera það líklegt að svarendur könnunarinnar verði ekki dæmigerðir fyrir þýðið í heild sinni.

4. Ekki ætti að þvinga rannsóknarþátttakendur til þátttöku og hægt væri að túlka það sem þvingun að bjóða upp á aukaeiningar í skiptum fyrir þátttöku. Að auki mun þessi aðferð skila sjálfboðaliðaúrtaki, sem ekki er hægt að gera ráð fyrir að sé dæmigert fyrir þýðið í heild sinni.

2.1: Stofn- og laufrit, línurit og stöplarit

27. Gildið 740 er útlagi, vegna þess að prófin voru gefin á skalanum núll til 100, og 740 er langt utan við þá spönn. Þetta gæti verið innsláttarvilla í gögnum, þar sem raunverulega skorið er 74, þannig að prófessorinn ætti að skoða þetta próf aftur til að sjá hvert raunverulega skorið var.

28.

29. Flest skor á þessu prófi voru á bilinu 70–89, nokkrir skoruðu á bilinu 60–69 og fáeinir á bilinu 90–100.

2.2: Stuðlarit, tíðnimarghyrningar og tímaraðarit

1. R F = 7/35 = 0.2

2. Bilið verður 0.5–1.5 og miðpunkturinn verður 1.

3. Bil 1.5–2.5, miðpunktur 2; bil 2.5–3.5, miðpunktur 3; bil 3.5–4.5, miðpunktur 4; bil 4.5–5.5, miðpunktur 5.

4. Súlan frá 3.5 til 4.5, með miðpunktinn 4, verður hæst; hæð hennar verður níu, vegna þess að það eru níu nemendur sem taka fjóra áfanga.

5. Stuðlaritið er betri kostur, vegna þess að tekjur eru samfelld breyta.

6. Súlurit er betri kostur, vegna þess að þessi gögn eru flokkabreyta fremur en samfelld.

2.3: Mælikvarðar á staðsetningu gagna

1. Dóttir þín skoraði betur en 80 prósent nemenda í hennar árgangi í stærðfræði og betur en 76 prósent nemenda í lestri. Bæði skorin eru mjög góð og setja hana í efsta fjórðung, en stærðfræðiskor hennar er aðeins betra í hlutfalli við jafnaldra sína en lestrarskor hennar.

2. Þú varst með óvenjulega langan biðtíma, sem er slæmt: 82 prósent sjúklinga voru með styttri biðtíma en þú og aðeins 18 prósent höfðu lengri biðtíma.

2.4: Kassarit

1. 5

2. 3

3. 7

4. Miðgildið er 86, eins og sýnt er með lóðréttu línunni í kassanum.

5. Fyrsti fjórðungur er 80 og þriðji fjórðungur er 92, eins og sýnt er með vinstri og hægri mörkum kassans.

6. IQR = 92 – 80 = 12

7. Spönn = 100 – 75 = 25

2.5: Mælikvarðar á miðju gagna

1. Helmingur hlauparanna sem kláruðu maraþonið hljóp á tíma sem var hraðari en 3:35:04 og helmingur hljóp á tíma sem var hægari en 3:35:04. Þinn tími er hraðari en miðgildi tímans, þannig að þú stóðst þig betur en meira en helmingur hlauparanna í þessari keppni.

2. 61.5, eða $61,500

3. 49.25, eða $49,250

4. Miðgildið, vegna þess að meðaltalið brenglast af háu gildi eins húss.

2.6: Skekkja ásamt meðaltali, miðgildi og tíðasta gildi

1. C

2. A

3. Þau verða öll nokkuð nálægt hvert öðru.

2.7: Mælikvarðar á breytileika gagna

1. Meðaltal: 15 Staðalfrávik: 4.3 μ = 10 + 11 + 15 + 15 + 17 + 22/6 = 15 s = ∑ ( x − x̄) 2/n − 1 = 94/5 = 4.3

2. 15 + (2)(4.3) = 23.6

3. 13.7 er einu staðalfráviki undir meðaltali þessara gagna, vegna þess að 15 – 4.3 = 10.7

4. z = 95 − 85/5 = 2.0 Z-gildi Susan var 2.0, sem þýðir að hún skoraði tveimur staðalfrávikum ofan við meðaltal bekkjarins á lokaprófinu.

3.1: Hugtök

1. P(B) = 25/90 = 0.28

2. Líklegra er að draga rauða glerkúlu. P(R) = 50/80 = 0.62 P(Y) = 15/80 = 0.19

3. P(F OG S)

4. P(E | M)

3.2: Óháðir og ósamrýmanlegir atburðir

1. P(A OG B) = (0.3)(0.5) = 0.15

2. P(C EÐA D) = 0.18 + 0.03 = 0.21

3.3: Tvær grunnreglur um líkur

1. Nei, þeir geta ekki verið ósamrýmanlegir, vegna þess að summan er meiri en 300. Þess vegna hljóta sumir nemendur að passa í tvo eða fleiri flokka (t.d. bæði að fara í háskóla og vinna fulla vinnu).

2. P(A og B) = ( P(B | A))( P(A)) = (0.85)(0.70) = 0.595

3. Nei. Ef þeir væru óháðir, væri P(B) það sama og P(B | A). Við vitum að svo er ekki, vegna þess að P(B) = 0.70 og P(B | A) = 0.85.

3.4: Krosstöflur

65.

1. P(heiðurslisti|læra að minnsta kosti 15 klukkustundir á viku) = 482/1,000 = 0.482

2. P(læra minna en 15 klukkustundir á viku) = 125 + 193/1,000 = 0.318

3. Látum P(S) = læra að minnsta kosti 15 klukkustundir á viku. Látum P(H) = komast á heiðurslista. Úr töflunni er P(S) = 0.682, P(H) = 0.607, og P(S OG H) = 0.482. Ef P(S) og P(H) væru óháð, þá myndi P(S OG H) vera jafnt og ( P(S))( P(H)). Hins vegar er ( P(S))( P(H)) = (0.682)(0.607) = 0.414, á meðan P(S OG H) = 0.482. Þess vegna eru P(S) og P(H) ekki óháð.

3.5: Trjá- og Venn-myndir

69.

70.

Æfingapróf 2

4.1: Líkindadreifingarfall (PDF) fyrir strjála slembibreytu

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm dæmum. Þú framkvæmir könnun meðal slembiúrtaks nemenda við tiltekinn háskóla. Gögnin sem safnað er innihalda aðalfag þeirra, fjölda áfanga sem þeir tóku á síðustu önn og upphæðina sem þeir eyddu í bækur sem keyptar voru fyrir áfanga á síðustu önn.

1. Ef X = aðalfag nemanda, hvert er þá útkomurúm X?

2. Ef Y = fjöldi áfanga tekin á síðustu önn, hvert er þá útkomurúm Y?

3. Ef Z = upphæðin sem eytt var í bækur á síðustu önn, hvert er þá útkomurúm Z?

4. Hvers vegna eru X, Y og Z í fyrra dæminu slembibreytur?

5. Eftir að hafa safnað gögnum, kemstu að því að í einu tilviki er z = –7. Er þetta mögulegt gildi fyrir Z?

6. Hverjir eru tveir helstu eiginleikar strjálla líkindadreifinga?

Notið þessa strjálu líkindadreifingu sem sett er fram í þessari töflu til að svara eftirfarandi sex spurningum. Háskólabókasafnið skráir fjölda bóka sem hver lánþegi fær lánaðar yfir einn dag, með eftirfarandi niðurstöðu:

1. Skilgreindu slembibreytuna X fyrir þetta dæmi.

2. Hvað er P(x > 2)?

3. Hverjar eru líkurnar á að lánþegi fái lánaða að minnsta kosti eina bók?

4. Hverjar eru líkurnar á að lánþegi fái lánaðar í mesta lagi þrjár bækur?

5. Ef taflan skráði P(x) sem 0.15, hvernig myndir þú vita að það væru mistök?

6. Hver er meðalfjöldi bóka sem lánþegi fær lánaðar?

4.2: Meðaltal eða væntigildi og staðalfrávik

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Þrjú störf eru laus hjá fyrirtæki: eitt í bókhaldsdeild, eitt í mannauðsdeild og eitt í söludeild. Bókhaldsstarfið fær 30 umsækjendur, en mannauðs- og söludeildin fá 60 umsækjendur.

1. Ef X = fjöldi umsókna um starf, notið þessar upplýsingar til að fylla út töflu B7.

   x	P(x)	x P(x)

2. Hvert er meðaltal fjölda umsækjenda?

3. Hvert er líkindadreifingarfallið (PDF) fyrir X?

4. Bættu við fjórða dálki í töfluna fyrir (x − μ)² P(x).

5. Hvað er staðalfrávik X?

4.3: Tvíkostadreifing

1. Í tvíkostatilraun, ef p = 0.65, hverju er þá q jafnt?

2. Hver eru nauðsynleg einkenni tvíkostatilraunar?

3. Jón framkvæmir tilraun til að sjá hversu oft hann þarf að kasta peningi áður en hann fær fjögur skjaldarmerki í röð. Telst þetta vera tvíkostatilraun?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Í tilteknu samfélagi hafa 65 prósent heimila að minnsta kosti einn einstakling sem hefur útskrifast úr háskóla. Þú velur slembiúrtak 100 heimila í þessu samfélagi. Látum X = fjöldi heimila sem innihalda að minnsta kosti einn háskólaútskrifaðan einstakling.

1. Lýstu líkindadreifingu X.

2. Hvað er meðaltal X?

3. Hvað er staðalfrávik X?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Jón er stjarnan í hafnaboltaliði skólans síns. Slagmeðaltal hans er 0.400, sem þýðir að í hvert sinn sem hann fer 10 sinnum að slá (við slag), nær hann höggi fjórum sinnum af þeim. Þú ákveður að fylgjast með slaggengi hans í næstu 20 skiptum hans við slag.

1. Skilgreindu slembibreytuna X í þessari tilraun.

2. Miðað við að líkur Jóns á að ná höggi séu óháðar og eins í öllum 20 skiptunum við slag, lýstu dreifingu X.

3. Miðað við þessar upplýsingar, hversu mörgum höggum spáir þú að Jón muni ná?

4. Hvað er staðalfrávik X?

4.4: Rúmfræðileg dreifing

1. Hver eru þrjú helstu einkenni rúmfræðilegrar tilraunar?

2. Þú ákveður að framkvæma rúmfræðilega tilraun með því að kasta peningi þar til upp kemur skjaldarmerki. Þetta tekur fimm tilraunir. Sýndu útkomurnar úr þessari tilraun með því að nota H fyrir skjaldarmerki og T fyrir bakhlið.

3. Þú ert að framkvæma rúmfræðilega tilraun með því að draga spil úr venjulegum 52 spila stokki, með endurvali, þar til þú dregur hjartadrottningu. Hvert er útkomurúm X fyrir þessa tilraun?

4. Þú ert að framkvæma rúmfræðilega tilraun með því að draga spil úr venjulegum 52 spila stokki, án endurvals, þar til þú dregur rautt spil. Hvert er útkomurúm X fyrir þessa tilraun?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Í tilteknum háskóla eru 27 prósent nemenda í verkfræði. Þú ákveður að velja nemendur af handahófi þar til þú velur einn sem er í verkfræði. Látum X = fjölda nemenda sem þú velur þar til þú finnur einn sem er í verkfræði.

1. Hver er líkindadreifing X?

2. Hvert er meðaltal X?

3. Hvert er staðalfrávik X?

4.5: Happdrættisdreifing

1. Þú dregur 10 nemenda slembiúrtak til að taka þátt í könnun, úr 30 manna hópi sem samanstendur af 16 strákum og 14 stelpum. Þú hefur áhuga á líkunum á að sjö af þeim nemendum sem valdir eru verði strákar. Flokkast þetta sem happdrættistilraun? Teldu upp skilyrðin og hvort þau séu uppfyllt eða ekki.

2. Þú dregur fimm spil, án endurvals, úr venjulegum 52 spila stokki og hefur áhuga á líkunum á því að tvö af spilunum séu spaðar. Hver er þýðið sem þú hefur áhuga á, stærð þess og úrtaksstærðin fyrir þetta dæmi?

4.6: Poisson dreifing

37. Hver eru helstu einkenni Poisson dreifingarinnar?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Fjöldi ökumanna sem kemur að tollhliði á einni klukkustund er hægt að líkana með Poisson dreifingu.

1. Ef X = fjöldi ökumanna, og meðalfjöldi ökumanna á klukkustund er fjórir, hvernig myndir þú setja þessa dreifingu fram?

2. Hvert er útkomurúm X?

3. Hvert er meðaltal og staðalfrávik X?

5.1: Samfelld líkindaföll

1. Þú framkvæmir könnun meðal nemenda til að sjá hversu margar bækur þeir keyptu á síðustu önn, heildarupphæðina sem þeir borguðu fyrir þær bækur, fjöldann sem þeir seldu eftir að önninni lauk, og upphæðina sem þeir fengu fyrir bækurnar sem þeir seldu. Hvaða breytur í þessari könnun eru strjálar og hverjar eru samfelldar?

2. Með samfelldum slembibreytum reiknum við aldrei líkurnar á að X hafi tiltekið gildi, heldur tölum við alltaf um líkurnar á að X hafi gildi innan tiltekins bils. Hvers vegna er það?

3. Fyrir samfellda slembibreytu, hvers vegna eru P(x < c) og P(x ≤ c) jafngildar fullyrðingar?

4. Fyrir samfellt líkindafall gildir P(x < 5) = 0.35. Hvað er P(x > 5) og hvernig veistu það?

5. Lýstu því hvernig þú myndir teikna samfelldu líkindadreifinguna sem lýst er með fallinu f ( x) = 1/10 fyrir 0 ≤ x ≤ 10. Hvers konar dreifing er þetta?

6. Fyrir samfelldu líkindadreifinguna sem lýst er með fallinu f ( x) = 1/10 fyrir 0 ≤ x ≤ 10, hvert er P(0 < x < 4)?

5.2: Jafnadreifingin

47. Fyrir samfelldu líkindadreifinguna sem lýst er með fallinu f ( x) = 1/10 fyrir 0 ≤ x ≤ 10, hvert er P(2 < x < 5)?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Fjöldi mínútna sem sjúklingur bíður á heilsugæslustöð eftir að sjá lækni er táknaður með jafnadreifingu milli núll og 30 mínútna, að báðum tölum meðtöldum.

1. Ef X er jafnt fjölda mínútna sem manneskja bíður, hver er dreifing X?

2. Skrifaðu þéttifall líkinda fyrir þessa dreifingu.

3. Hvert er meðaltal og staðalfrávik biðtíma?

4. Hverjar eru líkurnar á að sjúklingur bíði í minna en 10 mínútur?

5.3: Veldisdreifingin

1. Dreifingu breytunnar X, sem táknar meðaltíma þar til bílrafgeymir bilar, er hægt að skrifa sem X ~ Exp ( m). Lýstu þessari dreifingu í orðum.

2. Ef gildið á m fyrir veldisdreifingu er 10, hvert er meðaltal og staðalfrávik dreifingarinnar?

3. Skrifaðu þéttifall líkinda fyrir breytu sem er dreift sem X ~ Exp (0.2).

6.1: Staðlaða normaldreifingin

1. Þýddu þessa fullyrðingu um dreifingu slembibreytu X yfir í orð: X ~ (100, 15).

2. Ef breytan X hefur staðlaða normaldreifingu, settu það fram með táknum.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar fyrir næstu sex æfingar. Samkvæmt Alþjóðaheilbrigðismálastofnuninni fylgir dreifing hæðar í sentimetrum hjá stúlkum sem eru fimm ára og núll mánaða dreifingunni X ~ N (109, 4.5).

1. Hvert er Z-gildi fyrir hæðina 112 tommur?

2. Hvert er Z-gildi fyrir hæðina 100 sentimetrar?

3. Finndu Z-gildi fyrir hæðina 105 sentimetrar og útskýrðu hvað það þýðir í samhengi við þýðið.

4. Hvaða hæð samsvarar Z-gildi 1.5 í þessu þýði?

5. Með því að nota reynsluregluna búumst við við því að um 68 prósent gilda í normaldreifingu liggi innan við eitt staðalfrávik yfir eða undir meðaltali. Hvað þýðir þetta, hvað varðar tiltekið bil gilda, fyrir þessa dreifingu?

6. Með því að nota reynsluregluna, hversu mörg prósent hæða í þessari dreifingu reiknarðu með að séu á milli 95.5 cm og 122.5 cm?

6.2: Að nota normaldreifingu

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Dreifingaraðili happdrættismiða fullyrðir að 20 prósent miðanna séu vinningsmiðar. Þú dregur 500 miða úrtak til að prófa þessa fullyrðingu.

1. Geturðu notað normalnálgun á tvíkostadreifingu fyrir útreikningana þína? Hvers vegna eða hvers vegna ekki.

2. Hvert er væntanlegt meðaltal og staðalfrávik fyrir úrtakið þitt, miðað við að fullyrðing dreifingaraðilans sé sönn?

3. Hverjar eru líkurnar á að úrtakið þitt fái meðaltal sem er hærra en 100?

4. Ef Z-gildið fyrir niðurstöðu úrtaksins er –2, útskýrðu hvað það þýðir með því að nota reynsluregluna.

7.1: Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir meðaltöl úrtaka

1. Hvað segir höfuðsetning tölfræðinnar til um dreifingu á meðaltölum úrtaka?

2. Dreifing niðurstaðna úr peningakasti með óhlutdrægri mynt er jöfn: Framhlið og bakhlið eru jafn líkleg í hverju kasti, og ef kastað er mjög oft má búast við álíka mörgum skjaldarmerkjum og fiskum. Samt sem áður, ef þú framkvæmir rannsókn með því að kasta 30 peningum og skráir fjölda framhliða, og endurtekur þetta 100 sinnum, mun dreifing á meðaltali fjölda framhliða verða um það bil normaldreifing. Hvernig er þetta mögulegt?

3. Meðaltal normaldreifðs þýðis er 50 og staðalfrávikið er fjórir. Ef þú tekur 100 úrtök af stærðinni 40 úr þessu þýði, lýstu því hverju þú myndir búast við að sjá varðandi úrtakadreifingu á meðaltali úrtaks.

4. X er slembibreyta með meðaltalið 25 og staðalfrávikið tveir. Skrifaðu upp dreifinguna fyrir meðaltal úrtaks af stærð 100 sem tekið er úr þessu þýði.

5. Vinur þinn er að gera tilraun og tekur úrtök af stærð 50 úr þýði með meðaltalið 117 og staðalfrávikið 16. Þessi úrtaksstærð er nægilega stór til að leyfa notkun á höfuðsetningu tölfræðinnar, svo hann segir að staðalfrávik úrtakadreifingar á meðaltölum úrtaka muni einnig vera 16. Útskýrðu hvers vegna þetta er rangt og reiknaðu rétt gildi.

6. Þú ert að lesa rannsóknargrein sem minnist á staðalskekkju meðaltalsins. Hvað þýðir þetta og hvernig er hún reiknuð?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sex æfingum. Þú tekur endurtekið úrtök af stærð n = 100 úr þýði með meðaltalið 75 og staðalfrávikið 4.5.

1. Hver er vænt dreifing á meðaltölum úrtakanna?

2. Einn af vinum þínum reynir að sannfæra þig um að staðalskekkja meðaltalsins ætti að vera 4.5. Útskýrðu hvaða villu vinur þinn gerði.

3. Hvert er Z-gildið fyrir meðaltal úrtaks sem er 76?

4. Hvert er Z-gildið fyrir meðaltal úrtaks sem er 74.7?

5. Hvaða meðaltal úrtaks samsvarar Z-gildi sem er 1.5?

6. Ef þú minnkar úrtaksstærðina í 50, verður staðalskekkja meðaltalsins minni eða stærri? Hvert yrði gildi hennar?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur spurningum. Við notum reynsluregluna til að greina gögn fyrir úrtök af stærð 60 sem tekin eru úr þýði með meðaltalið 70 og staðalfrávikið 9.

1. Hvaða spönn gilda myndir þú búast við að innihaldi 68 prósent af meðaltölum úrtakanna?

2. Ef þú ykist úrtaksstærðina í 100, hvaða spönn myndir þú búast við að innihaldi 68 prósent af meðaltölum úrtakanna, ef reynslureglan er notuð?

7.2: Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir summur

1. Hvernig á höfuðsetning tölfræðinnar við um summur slembibreyta?

2. Útskýrðu hvernig reglurnar um beitingu höfuðsetningar líkindafræðinnar á meðaltöl úrtaka og á summur slembibreytu eru svipaðar.

3. Ef þú tekur endurtekið úrtök af stærð 50 úr þýði með meðaltalið 80 og staðalfrávikið fjórir, og reiknar summu hvers úrtaks, hver er vænt dreifing þessara summa?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Þú tekur eitt úrtak af stærð 40 úr þýði með meðaltalið 125 og staðalfrávikið sjö.

1. Reiknaðu summuna. Hverjar eru líkurnar á því að summan fyrir úrtakið þitt verði minni en 5,000?

2. Ef þú tækir úrtök af þessari stærð endurtekið, og reiknaðir summuna í hvert sinn, hvaða spönn gilda myndir þú búast við að innihaldi 95 prósent af summum úrtakanna?

3. Hvaða gildi er einu staðalfráviki undir meðaltalinu?

4. Hvaða gildi samsvarar Z-gildi sem er 2.2?

7.3: Notkun á höfuðsetningu tölfræðinnar

1. Hvað segir lögmálið um stórar tölur um sambandið milli meðaltals úrtaks og meðaltals þýðis?

2. Með því að beita lögmálinu um stórar tölur, hvort meðaltal úrtaks myndir þú búast við að væri nær meðaltali þýðis: úrtak af stærð 10 eða úrtak af stærð 100?

Notaðu þessar upplýsingar fyrir næstu þrjár spurningar. Framleiðandi býr til skrúfur með meðaltalsþvermál 0.15 cm (sentímetrar) og spönn frá 0.10 cm til 0.20 cm; innan þeirrar spannar er dreifingin jöfn.

1. Ef X = þvermál einnar skrúfu, hver er dreifingin á X?

2. Gerum ráð fyrir að þú takir endurtekið úrtök af stærð 100 og reiknir meðaltal þeirra. Ef við beitum höfuðsetningu tölfræðinnar, hver er dreifing þessara meðaltala úrtaka?

3. Gerum ráð fyrir að þú takir endurtekið úrtök af stærð 60 og reiknir summu þeirra. Ef við beitum höfuðsetningu tölfræðinnar, hver er dreifing þessara summa úrtaka?

Æfingapróf 2 Lausnir

Líkindadreifingarfall (PDF) fyrir strjála slembibreytu

1. Formengi X = {Enska, Stærðfræði,...}, þ.e.a.s., listi yfir allar aðalgreinar sem boðið er upp á við háskólann, auk óákveðinna.

2. Formengi Y = {0, 1, 2,...}; þ.e.a.s., heiltölurnar frá núlli að efri mörkum á fjölda áfanga sem háskólinn leyfir.

3. Formengi Z = hvaða upphæð af peningum sem er, frá núlli og upp úr.

4. Vegna þess að þær geta tekið hvaða gildi sem er innan útkomurúms síns og gildi þeirra fyrir hvaða tiltekna tilvik er ekki vitað fyrr en könnuninni er lokið.

5. Nei, vegna þess að útkomurúm Z inniheldur aðeins jákvæðar tölur (þú getur ekki eytt neikvæðri upphæð af peningum). Hugsanlega er gildið –7 innsláttarvilla gagna, eða sérstakur kóði til að gefa til kynna að nemandinn hafi ekki svarað spurningunni.

6. Líkurnar verða að leggjast saman í 1.0 og líkur á hverjum atburði verða að vera á bilinu 0 til 1, að báðum meðtöldum.

7. Látum X = fjölda bóka sem lántaki tekur að láni.

8. P(x > 2) = 0.10 + 0.05 = 0.15

9. P(x ≥ 0) = 1 – 0.20 = 0.80

10. P(x ≤ 3) = 1 – 0.05 = 0.95

11. Líkurnar myndu leggjast saman í 1.10, en heildarlíkur í dreifingu verða alltaf að vera jafnar 1.0.

12. x̄ = 0(0.20) + 1(0.45) + 2(0.20) + 3(0.10) + 4(0.05) = 1.35

Meðaltal eða væntigildi og staðalfrávik

13.

1. x̄ = 9.90 + 13.20 + 19.80 = 42.90

2. P(x = 30) = 0.33 P(x = 40) = 0.33 P(x = 60) = 0.33

16.

17. σ x = 54.91 + 2.78 + 96.49 = 12.42

Tvíkostadreifing

18. q = 1 – 0.65 = 0.35

19.

1. Það er fastur fjöldi tilrauna.
2. Það eru aðeins tvær mögulegar útkomur og þær leggjast saman í einn.
3. Tilraunirnar eru óháðar og framkvæmdar við nákvæmlega sömu skilyrði.

1. Nei, vegna þess að fjöldi tilrauna er ekki fastur

2. X ~ B (100, 0.65)

3. μ = np = 100(0.65) = 65

4. σ x = n p q = 100 ( 0.65) ( 0.35) = 4.77

5. X = Joe fær högg í einni slagtilraun (við eitt tækifæri þar sem hann fer að slá)

6. X ~ B (20, 0.4)

7. μ = np = 20(0.4) = 8

8. σ x = n p q = 20 ( 0.40) ( 0.60) = 2.19

4.4: Rúmfræðileg dreifing

28.

1. Röð af Bernoulli-tilraunum er framkvæmd þar til ein tekst og þá stöðvast tilraunin.
2. Að minnsta kosti ein tilraun er framkvæmd, en það er engin efri mörk fyrir fjölda tilrauna.
3. Líkur á árangri eða mistökum eru þær sömu fyrir hverja tilraun.

1. T T T T H

2. Skilgreiningarmengi X = {1, 2, 3, 4, 5,... n}. Þar sem þú ert að draga með endurvali eru engin efri mörk á þeim fjölda drátta sem gætu verið nauðsynlegir.

3. Skilgreiningarmengi X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8., 9, 10, 11, 12,... 27}. Vegna þess að framkvæmd er úrtaka án endurvals og 26 af 52 spilum eru rauð, þarftu að draga rautt spil innan fyrstu 17 dráttanna.

4. X ~ G (0.24)

5. μ = 1/p = 1/0.27 = 3.70

6. σ = 1 − p/p 2 = 1 − 0.27/0.27 2 = 3.16

4.5: Happdrættisdreifing

1. Já, vegna þess að þú velur úrtak úr þýði sem samanstendur af tveimur hópum (strákum og stelpum), ert með hóp sem þú hefur áhuga á (stráka) og framkvæmir úrtöku án endurvals (þar af leiðandi breytast líkurnar með hverju vali og þú ert ekki að framkvæma Bernoulli-tilraunir).

2. Hópurinn sem áhugi er á eru spilin sem eru spaðar, stærð þessa hóps er 13 og stærð úrtaks er fimm.

4.6: Poisson dreifing

1. Poisson dreifing líkanar fjölda atburða sem eiga sér stað á föstu tímabili eða svæði, þegar atburðirnir eru óháðir og meðaltíðni atburðanna er þekkt.

2. X ~ P(4)

3. Skilgreiningarmengi X = {0, 1, 2, 3,...}; þ.e. hvaða heiltala sem er frá 0 og upp úr.

4. μ = 4 σ = 4 = 2

5.1: Samfelld líkindaföll

1. Strjálu breyturnar eru fjöldi keyptra bóka og fjöldi seldra bóka eftir lok annarinnar. Samfelldu breyturnar eru upphæðin sem eytt var í bækurnar og upphæðin sem fékkst þegar þær voru seldar.

2. Vegna þess að fyrir samfellda slembibreytu er P(x = c) = 0, þar sem c er hvaða staka gildi sem er. Þess í stað reiknum við P(c < x < d); þ.e. líkurnar á því að gildi x sé á milli gildanna c og d.

3. Vegna þess að P(x = c) = 0 fyrir hvaða samfelldu slembibreytu sem er.

4. P(x > 5) = 1 – 0.35 = 0.65, vegna þess að heildarlíkur samfellds líkindafalls eru alltaf 1.

5. Þetta er jöfn líkindadreifing. Þú myndir teikna hana sem rétthyrning með lóðréttu hliðunum í 0 og 20, og láréttu hliðunum í 1/10 og 0.

6. P(0 < x < 4) = ( 4 − 0) ( 1/10) = 0.4

5.2: Jafnadreifingin

1. P(2 < x < 5) = ( 5 − 2) ( 1/10) = 0.3

2. X ~ U (0, 15)

3. f ( x) = 1/b − a fyrir ( a ≤ x ≤ b) svo f ( x) = 1/30 fyrir ( 0 ≤ x ≤ 30)

4. μ = a + b/2 = 0 + 30/5 = 15.0 σ = ( b − a) 2/12 = ( 30 − 0) 2/12 = 8.66

5. P(x < 10) = ( 10) ( 1/30) = 0.33

5.3: Veldisdreifingin

1. X fylgir veldisdreifingu með hrörnunarstika m, meðaltal og staðalfrávik 1/m. Í þessari dreifingu verður tiltölulega mikill fjöldi lítilla gilda og gildi verða sjaldgæfari eftir því sem þau stækka.

2. μ = σ = 1/m = 1/10 = 0.1

3. f ( x) = 0.2 e –0.2 x þar sem x ≥ 0.

6.1: Staðlaða normaldreifingin

1. Slembibreytan X hefur normaldreifingu með meðaltal 100 og staðalfrávik 15.

2. X ~ N (0,1)

3. z = x − μ/σ þannig að z = 112 − 109/4.5 = 0.67

4. z = x − μ/σ þannig að z = 100 − 109/4.5 = − 2.00

5. z = 105 − 109/4.5 = −0.89 Þessi stúlka er lægri en meðaltalið fyrir aldur hennar, um 0.89 staðalfrávik.

6. 109 + (1.5)(4.5) = 115.75 cm

7. Við búumst við að um 68 prósent af hæð stúlkna sem eru fimm ára og núll mánaða séu á milli 104.5 cm og 113.5 cm.

8. Við búumst við að 99.7 prósent hæðanna í þessari dreifingu séu á milli 95.5 cm og 122.5 cm, því sú spönn táknar gildin þremur staðalfrávikum ofan og neðan við meðaltalið.

6.2: Að nota normaldreifingu

1. Já, vegna þess að bæði np og nq eru stærri en fimm. np = (500)(0.20) = 100 og nq = 500(0.80) = 400

2. μ = n p = ( 500) ( 0.20) = 100 σ = n p q = 500 ( 0.20) ( 0.80) = 8.94

3. Fimmtíu prósent, vegna þess að í normaldreifingu liggur helmingur gildanna ofan við meðaltalið.

4. Niðurstöður úrtaks okkar voru tveimur staðalfrávikum neðan við meðaltalið, sem bendir til þess að ólíklegt sé að 20 prósent happdrættismiðanna séu vinningsmiðar, eins og dreifingaraðilinn fullyrti, og að hið sanna hlutfall vinningsmiða sé lægra. Ef við beitum reynslureglunni (e. reynslureglan), og sú fullyrðing væri sönn, myndum við aðeins búast við að sjá niðurstöðu svona langt neðan við meðaltalið í um 2.5 prósent tilvika.

7.1: Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir meðaltöl úrtaka

1. Höfuðsetning tölfræðinnar segir að ef úrtök af nægilegri stærð eru dregin úr þýði, mun dreifing meðaltala úrtakanna vera normaldreifing, jafnvel þótt dreifing þýðisins sé ekki normaldreifing.

2. Úrtaksstærðin 30 er nægilega stór í þessu dæmi til að hægt sé að beita höfuðsetningu tölfræðinnar. Þessi setning segir að, fyrir úrtök af nægilegri stærð sem dregin eru úr þýði, mun úrtakadreifing á meðaltali úrtaksins nálgast normaldreifingu, óháð dreifingu þýðisins sem úrtökin voru dregin úr.

3. Maður myndi ekki búast við að hvert úrtak hafi meðaltalið 50, vegna úrtaksbreytileika. Hins vegar myndir þú búast við því að úrtakadreifing á meðaltölum úrtakanna safnist saman í kringum 50, með um það bil normaldreifingu, þannig að gildi nálægt 50 séu algengari en gildi sem eru lengra frá 50.

4. X̄ ∼ N ( 25, 0.2) af því að X̄ ∼ N ( μ x, σ x/n)

5. Hægt er að reikna staðalfrávik úrtakadreifingar fyrir meðaltöl úrtaka með því að nota formúluna ( σ x/n), sem er í þessu tilfelli ( 16/50). Rétt gildi fyrir staðalfrávik úrtakadreifingar fyrir meðaltöl úrtakanna er þess vegna 2.26.

6. Staðalskekkja meðaltalsins er annað nafn á staðalfráviki úrtakadreifingar fyrir meðaltal úrtaks. Miðað við úrtök af stærðinni n sem dregin eru úr þýði með staðalfrávikið σ x, er staðalskekkja meðaltalsins ( σ x/n).

7. X ~ N (75, 0.45)

8. Vinur þinn gleymdi að deila staðalfrávikinu með kvaðratrótinni af n.

9. z = x̄ − μ x/σ x = 76 − 75/4.5 = 2.2

10. z = x̄ − μ x/σ x = 74.7 − 75/4.5 = −0.67

11. 75 + (1.5)(0.45) = 75.675

12. Staðalskekkja meðaltalsins verður stærri, vegna þess að þú munt deila með minni tölu. Staðalskekkja meðaltalsins fyrir úrtök af stærð n = 50 er ( σ x/n) = 4.5/50 = 0.64

13. Þú myndir búast við að þessi spönn innihaldi gildi upp að einu staðalfráviki ofan eða neðan við meðaltal á meðaltölum úrtakanna. Í þessu tilfelli: 70 + 9/60 = 71.16 og 70 − 9/60 = 68.84 svo þú myndir búast við að 68 prósent af meðaltölum úrtakanna séu á milli 68.84 og 71.16.

14. 70 + 9/100 = 70.9 og 70 − 9/100 = 69.1 svo þú myndir búast við að 68 prósent af meðaltölum úrtakanna séu á milli 69.1 og 70.9. Taktu eftir að þetta er þrengra bil vegna aukinnar úrtaksstærðar.

7.2: Höfuðsetning tölfræðinnar fyrir summur

1. Fyrir slembibreytu X mun slembibreytan ΣX hafa tilhneigingu til að verða normaldreifð eftir því sem stærð n á úrtökunum sem notuð eru til að reikna summuna eykst.

2. Báðar reglurnar segja að dreifing stærðar (meðaltalsins eða summunnar) sem reiknuð er úr úrtökum dregnum úr þýði muni hafa tilhneigingu til að fylgja normaldreifingu þegar úrtaksstærðin eykst, óháð dreifingu þýðisins sem úrtökin eru dregin úr.

3. Σ X ∼ N ( n μ x, ( n) ( σ x)) svo Σ X ∼ N ( 4,000, 28.3)

4. Líkurnar eru 0.50, vegna þess að 5,000 er meðaltal úrtakadreifingar summanna af stærðinni 40 úr þessu þýði. Summur slembibreyta sem reiknaðar eru úr úrtaki af nægilegri stærð eru normaldreifðar, og í normaldreifingu liggur helmingur gildanna undir meðaltalinu.

5. Með því að nota reynsluregluna myndir þú búast við að 95 prósent gildanna væru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Formúlan fyrir staðalfrávikið fyrir summu úrtaks er ( n) ( σ x) = ( 40) ( 7) = 44.3, svo þú myndir búast við að 95 prósent gildanna séu á milli 5,000 + (2)(44.3) og 5,000 – (2)(44.3), eða á milli 4,911.4 og 588.6.

6. μ − ( n) ( σ x) = 5,000 − ( 40) ( 7) = 4,955.7

7. 5,000 + ( 2.2) ( 40) ( 7) = 5097.4

7.3: Notkun á höfuðsetningu tölfræðinnar

1. Lögmálið um mikinn fjölda segir að þegar úrtaksstærð eykst, hafi meðaltal úrtaksins tilhneigingu til að færast nær og nær meðaltali þýðisins.

2. Þú myndir búast við að meðaltalið úr úrtaki af stærð 100 væri nær meðaltali þýðisins, vegna þess að lögmálið um mikinn fjölda segir að þegar úrtaksstærð eykst, hafi meðaltal úrtaksins tilhneigingu til að nálgast meðaltal þýðisins.

3. X ~ N (0.10, 0.20)

4. X̄ ∼ N ( μ x, σ x/n) og staðalfrávik jafnrar dreifingar er b − a/12. Í þessu dæmi er staðalfrávik dreifingarinnar b − a/12 = 0.10/12 = 0.03 svo X̄ ∼ N ( 0.15, 0.003)

5. Σ X ∼ N ( ( n) ( μ x), ( n) ( σ x)) svo Σ X ∼ N ( 9.0, 0.23)

Æfingapróf 3

8.1: Öryggisbil, meðaltal eins þýðis, staðalfrávik þýðis þekkt, normaldreifing

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sjö dæmum. Þú tekur úrtak af stærð 30 úr normaldreifðu þýði með staðalfrávikið fjórir.

1. Hver er staðalskekkja á meðaltali úrtaksins í þessari atburðarás, sléttuð að tveimur aukastöfum?

2. Hver er dreifing á meðaltali úrtaksins?

3. Ef þú vilt smíða tvíhliða 95 prósent öryggisbil, hversu miklar líkur verða í hvorum hala dreifingarinnar?

4. Hvert er viðeigandi Z-gildi og skekkjumörk ( EBM) fyrir 95 prósent öryggisbil fyrir þessi gögn?

5. Ef sléttað er að tveimur aukastöfum, hvert er 95 prósent öryggisbilið ef meðaltal úrtaksins er 41?

6. Hvert er 90 prósent öryggisbilið ef meðaltal úrtaksins er 41? Rúnaðu að tveimur aukastöfum

7. Gerum ráð fyrir að úrtaksstærðin í þessari rannsókn hefði verið 50, í stað 30. Hvert væri 95 prósent öryggisbilið ef meðaltal úrtaksins er 41? Rúnaðu svarið þitt að tveimur aukastöfum.

8. Fyrir hvaða gagnasafn og úrtöku sem er, hvort myndir þú búast við að væri breiðara: 95 prósent öryggisbil eða 99 prósent öryggisbil?

8.2: Öryggisbil, meðaltal eins þýðis, staðalfrávik óþekkt, Student-t dreifing

1. Þegar borin eru saman rit af staðlaðri normaldreifingu (z-dreifingu) og t-dreifingu með 15 frígráður ( df), hvernig eru þau ólík?

2. Þegar borin eru saman rit af staðlaðri normaldreifingu (z-dreifingu) og t-dreifingu með 15 frígráður ( df), hvernig eru þau lík?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm dæmum. Líkamshiti er þekktur fyrir að vera normaldreifður hjá heilbrigðum fullorðnum einstaklingum. Þar sem þú þekkir ekki staðalfrávik þýðisins, notar þú t-dreifinguna til að rannsaka líkamshita. Þú safnar gögnum úr slembiúrtaki 20 heilbrigðra fullorðinna og kemst að því að hitastig í úrtakinu hefur meðaltalið 98.4 og staðalfrávik úrtaksins er 0.3 (bæði í Fahrenheit-gráðum).

1. Hverjar eru frígráðurnar ( df) í þessari rannsókn?

2. Fyrir tvíhliða 95 prósent öryggisbil, hvert er viðeigandi t-gildi til að nota í formúlunni?

3. Hvert er 95 prósent öryggisbilið?

4. Hvert er 99 prósent öryggisbilið? Rúnaðu að tveimur aukastöfum.

5. Gerum ráð fyrir að úrtaksstærð þín hefði verið 30 í stað 20. Hvert væri þá 95 prósent öryggisbilið? Námundaðu að tveimur aukastöfum.

8.3: Öryggisbil fyrir hlutfall í þýði

Notaðu þessar upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Þú framkvæmir skoðanakönnun meðal 500 af handahófi valinna borgarbúa og spyrð hvort þeir eigi bifreið. Af svarendum segjast 280 eiga bifreið og 220 segjast ekki eiga slíka.

1. Finndu úrtakshlutfall og staðalfrávik úrtaks fyrir þessi gögn.

2. Hvert er 95 prósent tvíhliða öryggisbilið? Námundaðu að fjórum aukastöfum.

3. Reiknaðu 90 prósent öryggisbilið. Námundaðu að fjórum aukastöfum.

4. Reiknaðu 99 prósent öryggisbilið. Námundaðu að fjórum aukastöfum.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Þú ætlar að framkvæma skoðanakönnun meðal samfélagsþegna 65 ára og eldri til að komast að því hversu margir eiga farsíma. Þú vilt búa til mat þar sem 95 prósent öryggisbilið verður innan við fjögur prósentustig (plús eða mínus) frá réttu hlutfalli í þýði. Notaðu áætlað hlutfall í þýði sem er 0.5.

1. Hvaða úrtaksstærð þarftu?

2. Gerum ráð fyrir að þú vissir úr fyrri rannsóknum að hlutfall í þýði væri 0.6. Hvaða úrtaksstærð myndir þú þurfa?

3. Gerum ráð fyrir að þú viljir 95 prósent öryggisbil sem er innan þriggja prósentustiga frá þýðinu. Gerðu ráð fyrir að hlutfall í þýði sé 0.5. Hvaða úrtaksstærð þarftu?

9.1: Núlltilgáta og gagntilgáta

1. Í fylkinu þínu eru 58 prósent skráðra kjósenda í samfélagi skráðir sem repúblikanar. Þú vilt framkvæma rannsókn til að sjá hvort þetta gildi einnig í þínu samfélagi. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu til að prófa þetta.

2. Þú telur að að minnsta kosti 58 prósent skráðra kjósenda í samfélagi séu skráðir sem repúblikanar. Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu til að prófa þetta.

3. Meðalverðmæti heimila í borg er $268,000. Þú telur að meðalverðmæti heimila í ákveðnu hverfi sé lægra en meðaltal borgarinnar. Skrifaðu núlltilgátu og gagntilgátu til að prófa þetta.

4. Settu fram viðeigandi gagntilgátu við þessa núlltilgátu: H₀: μ = 107

5. Settu fram viðeigandi gagntilgátu við þessa núlltilgátu: H₀: p < 0.25

9.2: Útkomur og villur af gerð I og gerð II

1. Ef þú hafnar H₀ þegar H₀ er rétt, hvaða tegund af villu er þetta?

2. Ef þú hafnar ekki H₀ þegar H₀ er ósönn, hvaða tegund af villu er þetta?

3. Hvert er sambandið milli villu af gerð II og styrks prófs?

4. Verið er að þróa nýja blóðprufu til að skima sjúklinga fyrir krabbameini. Jákvæðum niðurstöðum er fylgt eftir með nákvæmara (og dýrara) prófi. Gert er ráð fyrir að sjúklingurinn sé ekki með krabbamein. Lýstu núlltilgátunni og villum af gerð I og gerð II fyrir þessar aðstæður, og útskýrðu hvor tegund villunnar er alvarlegri.

5. Útskýrðu í orðum hvað það þýðir að skimunarpróf fyrir TB hefur α-stig sem er 0.10. Núlltilgátan er sú að sjúklingurinn sé ekki með TB.

6. Útskýrðu í orðum hvað það þýðir að skimunarpróf fyrir TB hefur β-stig sem er 0.20. Núlltilgátan er sú að sjúklingurinn sé ekki með TB.

7. Útskýrðu í orðum hvað það þýðir að skimunarpróf fyrir TB hafi styrk upp á 0.80.

9.3: Dreifing sem þarf fyrir tilgátuprófun

1. Ef þú framkvæmir tilgátupróf fyrir meðaltal eins þýðis, og þú þekkir ekki dreifni þýðis, hvaða próf munt þú nota ef úrtaksstærðin er 10 og þýðið er normaldreift?

2. Ef þú framkvæmir tilgátupróf fyrir meðaltal eins þýðis, og þú þekkir dreifni þýðis, hvaða próf munt þú nota?

3. Ef þú framkvæmir tilgátupróf fyrir hlutfall eins þýðis, með np og nq stærra en eða jafnt og fimm, hvaða próf munt þú nota, og með hvaða stikum?

4. Birtar upplýsingar gefa til kynna að háskólanemar verji, að meðaltali, minna en 20 klukkustundum í nám á viku. Þú tekur úrtak 25 nema úr þínum háskóla og kemst að því að meðaltal úrtaks er 18.5 klukkustundir, með staðalfrávik upp á 1.5 klukkustundir. Hvaða dreifingu munt þú nota til að prófa hvort námsvenjur í þínum háskóla séu þær sömu og landsmeðaltalið, og hvers vegna?

5. Birt rannsókn segir að 95 prósent bandarískra barna séu bólusett gegn sjúkdómi, með staðalfrávik upp á 1.5 prósent. Þú tekur úrtak 100 barna úr þínu samfélagi og skoðar bólusetningarskrár þeirra til að sjá hvort bólusetningarhlutfallið í þínu samfélagi sé það sama og landsmeðaltalið. Hvaða dreifingu munt þú nota fyrir þetta próf, og hvers vegna?

9.4: Sjaldgæfir atburðir, úrtakið, ákvörðun og niðurstaða

1. Þú ert að framkvæma rannsókn með α-stigi sem er 0.05. Ef þú færð niðurstöðu með p-gildi sem er 0.07, hver verður ákvörðun þín?

2. Þú ert að framkvæma rannsókn með α = 0.01. Ef þú færð niðurstöðu með p-gildi sem er 0.006, hver verður ákvörðun þín?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm dæmum. Samkvæmt Alþjóðaheilbrigðismálastofnuninni er meðalhæð eins árs barns 29”. Þú telur að börn með ákveðinn sjúkdóm séu minni en meðaltalið, svo þú tekur úrtak 20 barna með þennan sjúkdóm og finnur meðalhæð 27.5” og staðalfrávik úrtaks upp á 1.5”.

1. Hverjar eru núlltilgáta og gagntilgáta fyrir þessa rannsókn?

2. Hvaða dreifingu munt þú nota til að prófa tilgátu þína, og hvers vegna?

3. Hver er prófstærðin og p-gildið?

4. Á grundvelli niðurstaðna úr úrtaki þínu, hver er ákvörðun þín?

5. Gerum ráð fyrir að meðaltalið fyrir úrtak þitt hefði verið 25. Endurtaktu útreikningana og lýstu því hver ákvörðun þín yrði.

9.5: Viðbótarupplýsingar og sýnidæmi um fullkomin tilgátupróf

1. Þú framkvæmir rannsókn og notar α = 0.05. Hvert er marktektarstig þessarar rannsóknar?

2. Þú framkvæmir rannsókn, byggða á úrtaki dregnu úr normaldreifðu þýði með þekkta dreifni, með eftirfarandi tilgátum: H₀: μ = 35.5 Hₐ: μ ≠ 35.5 Munt þú framkvæma einhliða eða tvíhliða próf?

3. Þú framkvæmir rannsókn, byggða á úrtaki dregnu úr normaldreifðu þýði með þekkta dreifni, með eftirfarandi tilgátum: H₀: μ ≥ 35.5 Hₐ: μ < 35.5 Munt þú framkvæma einhliða eða tvíhliða próf?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Á landsvísu eiga 80 prósent fullorðinna bifreið. Þú hefur áhuga á að vita hvort sama hlutfall í þínu samfélagi eigi bíla. Þú tekur úrtak 100 einstaklinga og kemst að því að 75 prósent eiga bíla.

1. Hverjar eru núlltilgáta og gagntilgáta fyrir þessa rannsókn?

2. Hvaða próf munt þú nota, og hvers vegna?

10.1: Samanburður á tveimur óháðum þýðismeðaltölum með óþekktum staðalfrávikum þýðis

1. Þú framkvæmir skoðanakönnun um stjórnmálaviðhorf og tekur viðtöl við báða aðila í 50 hjónaböndum. Eru hóparnir í þessari rannsókn óháðir eða paraðir?

2. Þú ert að prófa nýtt lyf til að meðhöndla svefnleysi. Þú skiptir 80 sjálfboðaliðum af handahófi annað hvort í tilraunahóp (nýtt lyf) eða samanburðarhóp (staðlaða inngrip). Eru hóparnir í þessari rannsókn óháðir eða paraðir?

3. Þú ert að rannsaka skilvirkni nýrrar stærðfræðikennslubókar fyrir framhaldsskólanema. Þú leggur fyrir forpróf fyrir hóp nemenda í byrjun annar, og eftirpróf í lok árs eftir kennslu með þessari kennslubók, og berð saman niðurstöðurnar. Eru hóparnir í þessari rannsókn óháðir eða paraðir?

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Þú ert að framkvæma rannsókn á muninum á tíma sem það tekur að klára grunnnám við tvo háskóla. Við Háskóla A eru nemendur að meðaltali 4.8 ár að klára grunnnám, en við Háskóla B eru þeir að meðaltali 4.2 ár. Sameinað staðalfrávik fyrir þessi gögn er 1.6 ár.

1. Reiknaðu d Cohens og túlkaðu það.

2. Gerum ráð fyrir að meðaltíminn til að fá háskólagráðu í grunnnámi við Háskóla A hafi verið 5.2 ár. Reiknaðu áhrifastærðina og túlkaðu hana.

3. Þú framkvæmir t-próf fyrir óháð úrtök með úrtaksstærðina 10 í hvorum af tveimur hópum. Ef þú ert að framkvæma tvíhliða tilgátupróf með α = 0.01, hvaða p-gildi munu valda því að þú hafnir núlltilgátunni?

4. Þú framkvæmir t-próf fyrir óháð úrtök með úrtaksstærðina 15 í hvorum hópi, með eftirfarandi tilgátum: H₀: μ ≥ 110 Hₐ: μ < 110 Ef α = 0.05, hvaða t-gildi munu valda því að þú hafnir núlltilgátunni?

10.2: Samanburður á tveimur óháðum þýðismeðaltölum með þekktum staðalfrávikum þýðis

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sex æfingum. Háskólanemar í raungreinum kvarta oft yfir því að þeir þurfi að eyða meira í kennslubækur á hverri önn en nemar í hugvísindum. Til að prófa þetta tekur þú einföld slembiúrtök af 50 raungreinanemum og 50 hugvísindanemum úr háskólanum þínum, og skráir hversu miklu hver eyddi í kennslubækur á síðustu önn. Líttu á raungreinanemana sem hóp eitt og hugvísindanemana sem hóp tvö.

1. Hver er slembibreytan fyrir þessa rannsókn?

2. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir þessa rannsókn?

3. Ef 50 raungreinanemarnir eyddu að meðaltali $530 með staðalfrávik úrtaks upp á $20, og 50 hugvísindanemarnir eyddu að meðaltali $380 með staðalfrávik úrtaks upp á $15, myndir þú ekki hafna eða hafna núlltilgátunni? Notaðu alfa-stig upp á 0.05. Hver er ályktun þín?

4. Hver væri ákvörðun þín ef þú notaðir α = 0.01?

10.3: Samanburður á tveimur óháðum þýðishlutföllum

Notaðu upplýsingarnar til að svara næstu sex æfingum. Þú vilt vita hvort hlutfall heimila með kapalsjónvarp sé mismunandi milli Samfélags A og Samfélags B. Til að prófa þetta tekur þú slembiúrtak af 100 heimilum fyrir hvort um sig og skráir hvort þau séu með kapalsjónvarp.

1. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir þessa rannsókn?

2. Ef 65 heimili í Samfélagi A eru með kapalsjónvarp, og 78 heimili í Samfélagi B, hvert er sameinaða hlutfallið?

3. Við α = 0.03, munt þú hafna núlltilgátunni? Hver er ályktun þín? Sextíu og fimm heimili í Samfélagi A eru með kapalsjónvarp, og 78 heimili í Samfélagi B. Eitt hundrað heimili í hvoru samfélagi voru könnuð.

4. Ef þú notar alfa-gildið 0.01, myndir þú hafna núlltilgátunni? Hver er ályktun þín? Sextíu og fimm heimili í Samfélagi A eru með kapalsjónvarp, og 78 heimili í Samfélagi B. Eitt hundrað heimili í hvoru samfélagi voru könnuð.

10.4: Pöruð eða tengd úrtök

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Þú hefur áhuga á hvort tiltekið æfingakerfi hjálpi fólki að hlaupa mílu hraðar. Þú framkvæmir rannsókn þar sem þú vigtar þátttakendur í upphafi rannsóknarinnar, og aftur í lokin, eftir að þeir hafa tekið þátt í æfingakerfinu í sex mánuði. Þú berð saman niðurstöðurnar með því að nota parað t-próf (parað t-próf), þar sem gögnin eru {tími til að hlaupa mílu í lokin, tími í upphafi}. Þú trúir því að, að meðaltali, muni þátttakendur geta hlaupið mílu hraðar eftir sex mánuði í æfingakerfinu.

1. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir þessa rannsókn?

2. Reiknaðu prófstærðina, að því gefnu að x̄ d = –5, s d = 6, og n = 30 (pör).

3. Hverjar eru frígráðurnar fyrir þessa lýsistærð?

4. Miðað við α = 0.05, hver er ákvörðun þín varðandi skilvirkni þessa kerfis í að bæta hlaupahraða? Hver er ályktunin?

5. Hvað myndi það þýða ef t-lýsistærðin hefði verið 4.56, og hver hefði ákvörðun þín verið í því tilviki?

11.1: Staðreyndir um kí-kvaðrat dreifinguna

72. Hvert er meðaltal og staðalfrávik fyrir kí-kvaðrat dreifingu með 20 frígráður?

11.2: Mátgæðapróf

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Á landsvísu innritast um 66 prósent útskriftarnema úr framhaldsskóla í æðri menntun. Þú framkvæmir kí-kvaðrat mátgæðapróf til að sjá hvort sama hlutfall eigi við um nýjasta 200 manna útskriftarárgang framhaldsskólans þíns. Núlltilgátan þín er að dreifingin á landsvísu eigi einnig við um þinn framhaldsskóla.

1. Hver er væntur fjöldi nemenda úr útskriftarárgangi framhaldsskólans þíns sem innritast og innritast ekki í æðri menntun?

2. Fylltu út afganginn af þessari töflu.

   	Mælt ( O)	Vænt ( E)	O – E	(O − E)²	(O − E)²/z
   Innritaðir	145
   Ekki innritaðir	55

3. Hverjar eru frígráðurnar fyrir þetta kí-kvaðrat próf?

4. Hver er kí-kvaðrat prófstærðin og p-gildið? Hvað ályktar þú miðað við fimm prósenta marktektarstig?

5. Fyrir kí-kvaðrat dreifingu með 92 frígráður, er ferillinn _____________.

6. Fyrir kí-kvaðrat dreifingu með fimm frígráður, er ferillinn ______________.

11.3: Próf á óhæði

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Þú ert að íhuga að framkvæma kí-kvaðrat próf á óhæði fyrir gögnin í þessari töflu, sem sýnir gögn um eignarhald á farsímum hjá nýnemum og útskriftarnemum í framhaldsskóla. Núlltilgátan þín er að eignarhald á farsíma sé óháð skólaári.

1. Reiknaðu væntigildin fyrir reitina.

   	Farsími = Já	Farsími = Nei
   Nýnemi	100	150
   Útskriftarnemi	200	50

2. Reiknaðu (O − E)²/z fyrir hvern reit, þar sem O = mælt og E = vænt.

3. Hver er kí-kvaðrat prófstærðin og frígráður fyrir þessa rannsókn?

4. Hver er ákvörðun þín varðandi núlltilgátuna miðað við marktektarstig α = 0.5?

11.4: Próf á einsleitni

83. Þú framkvæmir kí-kvaðrat próf á einsleitni fyrir gögn í fimm sinnum tveir töflu. Hverjar eru frígráðurnar fyrir þetta próf?

11.5: Samantekt á samanburði á kí-kvaðrat prófum: Mátgæðapróf, próf á óhæði og próf á einsleitni

1. Skoðanakönnun árið 2013 í Kaliforníufylki spurði fólk út í skatt. Niðurstöðurnar eru sýndar í eftirfarandi töflu og flokkaðar eftir þjóðernishópi og tegund svars. Eru svörin úr könnuninni óháð þjóðernishópi þátttakendanna? Framkvæmdu tilgátupróf miðað við fimm prósenta marktektarstig.

   Þjóðernishópur/Tegund svars	Fylgjandi	Andvíg(ur)	Engin skoðun	Samtals í röð
   Hvítir/Ekki rómansk-amerískir	234	433	43	710
   Rómansk-amerískir	147	106	19	272
   Afrísk-amerískir	24	41	6	71
   Asísk-amerískir	54	48	16	118
   Samtals í dálki	459	628	84	1171

2. Í prófi á einsleitni, hvað verður að gilda um væntigildi hvers reits?

3. Á almennu formi, hver er núlltilgáta og gagntilgáta fyrir kí-kvaðrat próf á óhæði?

4. Á almennu formi, hver er núlltilgáta og gagntilgáta fyrir kí-kvaðrat próf á einsleitni?

11.6: Próf fyrir eina dreifni

88. Rannsóknarstofupróf segist hafa dreifni sem er ekki meiri en fimm. Þú telur að dreifnin sé meiri. Hver er núlltilgáta og gagntilgáta til að prófa þetta?

Lausnir á æfingaprófi 3

8.1: Öryggisbil, meðaltal eins þýðis, staðalfrávik þýðis þekkt, normaldreifing

1. σ/n = 4/30 = 0.73

2. normaldreifing

3. 0.025 eða 2.5 prósent; 95 prósenta öryggisbil inniheldur 95 prósent af líkunum og undanskilur 5 prósent, og 5 prósentin sem undanskilin eru skiptast jafnt á milli efri og neðri hala dreifingarinnar.

4. Z-gildi = 1.96; EBM = z α/2 ( σ/n) = ( 1.96) ( 0.73) = 1.4308

5. 41 ± 1.43 = (39.57, 42.43); með því að nota reiknivélaraðgerðina ZInterval er svarið (40.74, 41.26). Svörin eru ólík vegna námundunar.

6. Z-gildið fyrir 90 prósenta öryggisbil er 1.645, þannig að EBM = 1.645(0.73) = 1.20085. 90 prósenta öryggisbilið er 41 ± 1.20 = (39.80, 42.20). Svar reiknivélaraðgerðarinnar ZInterval er (40.78, 41.23). Svörin eru ólík vegna námundunar.

7. Staðalskekkja mælingar er σ/n = 4/50 = 0.57 EBM = z α/2 ( σ/n) = ( 1.96) ( 0.57) = 1.12 95 prósenta öryggisbilið er 41 ± 1.12 = (39.88, 42.12). Svar reiknivélaraðgerðarinnar ZInterval er (40.84, 41.16). Svörin eru ólík vegna námundunar.

8. 99 prósenta öryggisbilið, vegna þess að það inniheldur alla nema eitt prósent af dreifingunni. 95 prósenta öryggisbilið verður þrengra, vegna þess að það undanskilur fimm prósent af dreifingunni.

8.2: Öryggisbil, meðaltal eins þýðis, staðalfrávik óþekkt, Student-t dreifing

1. t-dreifingin mun hafa meiri líkur í hölum sínum (þykkari halar) og minni líkur nálægt meðaltali dreifingarinnar (lægri í miðjunni).

2. Báðar dreifingarnar eru samhverfar og miðjaðar við núll.

3. df = n – 1 = 20 – 1 = 19

4. Þú getur fengið t-gildið úr líkindatöflu eða reiknivél. Í þessu tilviki, fyrir t-dreifingu með 19 frígráður og 95 prósenta tvíhliða öryggisbil, er gildið 2.093; þ.e., t_{α/2} = 2.093. Reiknivélaraðgerðin er invT(0.975, 19).

5. EBM = t_{α/2} ( s/n) = ( 2.093) ( 0.3/20) = 0.140 98.4 ± 0.14 = (98.26, 98.54). Svar reiknivélaraðgerðarinnar TInterval er (98.26, 98.54).

6. t_{α/2} = 2.861. Reiknivélaraðgerðin er invT(0.995, 19). EBM = t_{α/2} ( s/n) = ( 2.861) ( 0.3/20) = 0.192 98.4 ± 0.19 = (98.21, 98.59). Svar reiknivélaraðgerðarinnar TInterval er (98.21, 98.59).

7. df = n – 1 = 30 – 1 = 29. t_{α/2} = 2.045 EBM = z t ( s/n) = ( 2.045) ( 0.3/30) = 0.112 98.4 ± 0.11 = (98.29, 98.51). Svar reiknivélaraðgerðarinnar TInterval er (98.29, 98.51).

8.3: Öryggisbil fyrir hlutfall í þýði

1. p ′ = 280/500 = 0.56 q ′ = 1 − p ′ = 1 − 0.56 = 0.44 s = p q/n = 0.56 ( 0.44)/500 = 0.0222

2. Vegna þess að þú ert að nota normalnálgun á tvíkostadreifingu er z α/2 = 1.96. Reiknaðu skekkjumörk fyrir þýði (EBP): E B P = z a/2 p q/n = 1.96 ( 0.222) = 0.0435 Reiknaðu 95 prósenta öryggisbil: 0.56 ± 0.0435 = (0.5165, 0.6035). Svar reiknivélaraðgerðarinnar 1-PropZint er (0.5165, 0.6035).

3. z α/2 = 1.64 E B P = z a/2 p q/n = 1.64 ( 0.0222) = 0.0364 0.56 ± 0.03 = (0.5236, 0.5964). Svar reiknivélaraðgerðarinnar 1-PropZint er (0.5235, 0.5965).

4. z α/2 = 2.58 E B P = z a/2 p q/n = 2.58 ( 0.0222) = 0.0573 0.56 ± 0.05 = (0.5127, 0.6173). Svar reiknivélaraðgerðarinnar 1-PropZint er (0.5028, 0.6172).

5. EBP = 0.04 (vegna þess að 4 prósent = 0.04) z α/2 = 1.96 fyrir 95 prósenta öryggisbil. n = z 2 p q/E B P 2 = 1.96 2 ( 0.5) ( 0.5)/0.04 2 = 0.9604/0.0016 = 600.25 Þú þarft 601 viðfangsefni (námundað upp úr 600.25).

6. n = n 2 p q/E B P 2 = 1.96 2 ( 0.6) ( 0.4)/0.04 2 = 0.9220/0.0016 = 576.24 Þú þarft 577 viðfangsefni (námundað upp úr 576.24).

7. n = n 2 p q/E B P 2 = 1.96 2 ( 0.5) ( 0.5)/0.03 2 = 0.9604/0.0009 = 1067.11 Þú þarft 1,068 viðfangsefni (námundað upp úr 1,067.11).

9.1: Núlltilgáta og gagntilgáta

1. H₀: p = 0.58 Hₐ: p ≠ 0.58

2. H₀: p ≥ 0.58 Hₐ: p < 0.58

3. H₀: μ ≥ $268,000 Hₐ: μ < $268,000

4. Hₐ: μ ≠ 107

5. Hₐ: p ≥ 0.25

9.2: Útkomur og villur af gerð I og gerð II

1. mistök af gerð I

2. Mistök af gerð II

3. Styrkur = 1 – β = 1 – P(mistök af gerð II).

4. Núlltilgátan er sú að sjúklingurinn sé ekki með krabbamein. Mistök af gerð I væru að greina krabbamein þegar það er ekki til staðar. Mistök af gerð II væru að greina ekki krabbamein þegar það er til staðar. Mistök af gerð II eru alvarlegri, því ef ekki tekst að greina krabbamein gæti það komið í veg fyrir að sjúklingur fái viðeigandi inngrip.

5. Skimunarprófið hefur 10 prósent líkur á mistökum af gerð I, sem þýðir að í 10 prósent tilvika mun það greina berkla þegar þeir eru ekki til staðar.

6. Skimunarprófið hefur 20 prósent líkur á mistökum af gerð II, sem þýðir að í 20 prósent tilvika mun það ekki greina berkla þegar þeir eru í raun til staðar.

7. Í áttatíu prósent tilvika mun skimunarprófið greina berkla þegar þeir eru í raun til staðar.

9.3: Dreifing sem þarf fyrir tilgátuprófun

1. t-próf Students.

2. Normaldreifing eða z-próf.

3. Normaldreifingin með μ = p og σ = p q/n

4. t 24. Þú notar t-dreifinguna vegna þess að þú þekkir ekki staðalfrávik þýðis og frígráðurnar eru 24 því df = n – 1.

5. X̄ ~ N ( 0.95, 0.051/100) Vegna þess að þú þekkir staðalfrávik þýðis og ert með stórt úrtak geturðu notað normaldreifingu.

9.4: Sjaldgæfir atburðir, úrtakið, ákvörðun og niðurstaða

1. Hafnaðu ekki núlltilgátunni, því α ≤ p.

2. Hafnaðu núlltilgátunni, því α ≥ p.

3. H₀: μ ≥ 29.0” Hₐ: μ < 29.0”

4. t 19. Vegna þess að þú þekkir ekki staðalfrávik þýðis skaltu nota t-dreifinguna. Frígráðurnar eru 19, því df = n – 1.

5. Prófstærðin er –4.4721 og p-gildið er 0.00013 með því að nota reiknivélaraðgerðina TTEST.

6. Með α = 0.05, hafnaðu núlltilgátunni.

7. Með α = 0.05 er p-gildið næstum núll með því að nota reiknivélaraðgerðina TTEST, svo hafnaðu núlltilgátunni.

9.5: Viðbótarupplýsingar og sýnidæmi um fullkomin tilgátupróf

1. Marktektarstigið er fimm prósent.

2. tvíhliða

3. einhliða

4. H₀: p = 0.8 Hₐ: p ≠ 0.8

5. Þú munt nota normalpróf fyrir eitt þýðishlutfall vegna þess að np og nq eru bæði stærri en fimm.

10.1: Samanburður á tveimur óháðum þýðismeðaltölum með óþekktum staðalfrávikum þýðis

1. Þau eru pöruð, vegna þess að þú tókst viðtöl við hjón.

2. Þau eru óháð, vegna þess að þátttakendum var úthlutað af handahófi í hópana.

3. Þau eru pöruð, vegna þess að þú safnaðir gögnum tvisvar frá hverjum einstaklingi.

4. d = x̄₁ − x̄₂/s_pooled = 4.8 − 4.2/1.6 = 0.375 Þetta er lítil áhrifastærð, vegna þess að 0.375 liggur á milli lítillar (0.2) og miðlungs (0.5) áhrifastærðar Cohens.

5. d = x̄₁ − x̄₂/s_pooled = 5.2 − 4.2/1.6 = 0.625 Áhrifastærðin er 0.625. Samkvæmt viðmiði Cohens er þetta miðlungs áhrifastærð, vegna þess að hún liggur á milli miðlungs (0.5) og stórrar (0.8) áhrifastærðar.

6. p-gildi < 0.01.

7. Þú munt aðeins hafna núlltilgátunni ef þú færð gildi sem er marktækt undir tilgátumeðaltalinu 110.

10.2: Samanburður á tveimur óháðum þýðismeðaltölum með þekktum staðalfrávikum þýðis

1. X̄ 1 − X̄ 2; þ.e., meðalmunurinn á upphæð sem hóparnir tveir eyddu í námsbækur.

2. H₀: X̄ 1 − X̄ 2 ≤ 0 Hₐ: X̄ 1 − X̄ 2 > 0 Þetta mætti einnig skrifa sem H₀: X̄ 1 ≤ X̄ 2 Hₐ: X̄ 1 > X̄ 2

3. Með því að nota reiknivélaraðgerðina 2-SampTTest, hafnaðu núlltilgátunni. Á fimm prósent marktektarstigi eru nægar vísbendingar til að álykta að raungreinanemar eyði meiru í námsbækur en hugvísindanemar.

4. Með því að nota reiknivélaraðgerðina 2-SampTTest, hafnaðu núlltilgátunni. Á eins prósents marktektarstigi eru nægar vísbendingar til að álykta að raungreinanemar eyði meiru í námsbækur en hugvísindanemar.

10.3: Samanburður á tveimur óháðum þýðishlutföllum

1. H₀: p A = p B Hₐ: p A ≠ p B

2. p c = x A + x A/n A + n A = 65 + 78/100 + 100 = 0.715

3. Með því að nota reiknivélaraðgerðina 2-PropZTest er p-gildi = 0.0417. Hafnaðu núlltilgátunni. Á þriggja prósenta marktektarstigi eru nægar vísbendingar til að álykta að það sé munur á hlutfalli heimila í samfélögunum tveimur sem hafa kapalsjónvarp.

4. Með því að nota reiknivélaraðgerðina 2-PropZTest er p-gildi = 0.0417. Hafnaðu ekki núlltilgátunni. Á eins prósents marktektarstigi eru ekki nægar vísbendingar til að álykta að það sé munur á hlutfalli heimila í samfélögunum tveimur sem hafa kapalsjónvarp.

10.4: Pöruð eða tengd úrtök

1. H₀: x̄ d ≥ 0 Hₐ: x̄ d < 0

2. t = –4.5644.

3. df = 30 – 1 = 29.

4. Með því að nota reiknivélaraðgerðina TTEST er p-gildi = 0.00004, svo hafnaðu núlltilgátunni. Á fimm prósent marktektarstigi eru nægar vísbendingar til að álykta að þátttakendurnir hafi lést, að meðaltali.

5. Jákvæð t-prófstærð þýddi að þátttakendur hefðu að meðaltali bætt á sig þyngd yfir sex mánaða tímabilið.

11.1: Staðreyndir um kí-kvaðrat dreifinguna

72. μ = df = 20 σ = 2 ( d f) = 40 = 6.32

11.2: Mátgæðapróf

73. Innritaðir = 200(0.66) = 132. Ekki innritaðir = 200(0.34) = 68.

74.

1. df = n – 1 = 2 – 1 = 1.

2. Með því að nota reiknivélaraðgerðina Chi-Square GOF Test (í STAT TESTS) er prófstærðin 3.7656 og p-gildið er 0.0523. Hafnaðu ekki núlltilgátunni. Á fimm prósent marktektarstigi eru ekki nægar vísbendingar til að álykta að dreifing innritaðra og óinnritaðra úr nýjasta útskriftarárgangi framhaldsskólans passi ekki við dreifingu á landsvísu.

3. nálgast normaldreifingu

4. hægriskekkt

11.3: Próf á óhæði

79.

1. ( 100 − 150) 2/150 = 16.67 ( 150 − 100) 2/100 = 25 ( 200 − 100) 2/150 = 16.67 ( 50 − 100) 2/100 = 25

2. Kí-kvaðrat = 16.67 + 25 + 16.67 + 25 = 83.34. df = ( r – 1)( c – 1) = 1.

3. p-gildi = P(Kí-kvaðrat, 83.34) = 0. Hafnið núlltilgátunni. Einnig er hægt að nota reiknivélaraðgerðina STAT TESTS Chi-Square Test.

11.4: Próf á einsleitni

83. Taflan hefur fimm raðir og tvo dálka. df = ( r – 1)( c – 1) = (4)(1) = 4.

11.5: Samantekt á samanburði á kí-kvaðrat prófum: Mátgæðapróf, próf á óhæði og próf á einsleitni

1. Með því að nota reiknivélaraðgerðina (STAT TESTS) Chi-Square Test er p-gildi = 0. Hafnið núlltilgátunni. Við fimm prósenta marktektarstig eru næg sönnunargögn til að álykta að svörin í skoðanakönnuninni séu óháð þjóðernishópi þátttakenda.

2. Væntigildi hvers hólfs verður að vera að minnsta kosti fimm.

3. H₀: Breyturnar eru óháðar. Hₐ: Breyturnar eru ekki óháðar.

4. H₀: Þýðin hafa sömu dreifingu. Hₐ: Þýðin hafa ekki sömu dreifingu.

11.6: Próf fyrir eina dreifni

88. H₀: σ 2 ≤ 5 Hₐ: σ 2 > 5

Æfingapróf 4

12.1 Línulegar jöfnur

1. Hver/hverjar af eftirfarandi jöfnum er/eru línulegar?

   1. y = –3 x
   2. y = 0.2 + 0.74 x
   3. y = –9.4 – 2 x
   4. A og B
   5. A, B og C

2. Til að ljúka málningarvinnu þarf fjögurra klukkustunda undirbúningstíma, plús eina klukkustund fyrir hverja 1,000 ferfet. Hvernig myndir þú setja þessar upplýsingar fram sem línulega jöfnu?

3. Kennari í tölfræði fær $2,000 greitt fyrir hvern bekk, plús $100 fyrir hvern nemanda í bekknum. Hvernig myndir þú setja þessar upplýsingar fram sem línulega jöfnu?

4. Einkakennsluskóli krefst þess að nemendur greiði einskiptis skráningargjald að upphæð $500, plús skólagjöld sem eru $3,000 á ári. Settu þessar upplýsingar fram í jöfnu.

12.2: Hallatala og skurðpunktur við y-ás í línulegri jöfnu

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Fyrir vinnukostnað við viðgerðir rukkar bifvélavirki fast gjald upp á $75 á bíl, plús tímagjald upp á $55.

1. Hverjar eru óháðu og háðu breyturnar í þessum aðstæðum?

2. Skrifaðu jöfnuna og tilgreindu hallatölu og skurðpunkt við y-ás.

3. Hver er vinnukostnaðurinn fyrir verk sem tekur 3.5 klukkustundir að klára?

4. Eitt verk tekur 2.4 klukkustundir að klára, en annað tekur 6.3 klukkustundir. Hver er munurinn á vinnukostnaði fyrir þessi tvö verk?

12.3: Punktarit

1. Lýstu mynstrinu í þessu punktariti og ákveddu hvort X og Y breyturnar gætu hentað vel fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

2. Lýstu mynstrinu í þessu punktariti og ákveddu hvort X og Y breyturnar gætu hentað vel fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

3. Lýstu mynstrinu í þessu punktariti og ákveddu hvort X og Y breyturnar gætu hentað vel fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

4. Lýstu mynstrinu í þessu punktariti og ákveddu hvort X og Y breyturnar gætu hentað vel fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

12.4: Aðhvarfsjöfnan

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum æfingum. Hæð (í tommum) og þyngd (í pundum) í úrtaki nýnema (karlkyns) í háskóla hafa línulegt samband með eftirfarandi lýsistærðum: x̄ = 68.4 y ¯ =141.6 s x = 4.0 s y = 9.6 r = 0.73 Látum Y = þyngd og X = hæð og skrifaðu aðhvarfsjöfnuna á forminu y ^ = a + b x

1. Hvert er gildi hallatölunnar?

2. Hvert er gildi skurðpunkts við y-ás?

3. Skrifaðu aðhvarfsjöfnuna sem spáir fyrir um þyngd út frá hæð í þessu gagnasafni og reiknaðu spáða þyngd fyrir einhvern sem er 68 tommur á hæð.

12.5: Fylgnistuðull og skýringarhlutfall

1. Fylgnin milli líkamsþyngdar og eldsneytisnýtingar (mælt í mílum á gallon) fyrir úrtak 2,012 bíla er –0.56. Reiknaðu skýringarhlutfallið fyrir þessi gögn og útskýrðu hvað það þýðir.

2. Fylgnin milli meðaleinkunnar úr framhaldsskóla og meðaleinkunnar á fyrsta ári í háskóla fyrir úrtak 200 háskólanema er 0.32. Hversu mikill breytileiki í meðaleinkunn á fyrsta ári í háskóla er ekki skýrður með meðaleinkunn úr framhaldsskóla?

3. Námundað að tveimur aukastöfum, hvaða fylgni milli tveggja breyta er nauðsynleg til að hafa skýringarhlutfall sem er að minnsta kosti 0.50?

12.6: Prófun á marktekt fylgnistuðuls

1. Skrifaðu núlltilgátu og gagntilgátu fyrir rannsókn til að ákvarða hvort tvær breytur hafi marktæka fylgni.

2. Í úrtaki 30 tilvika hafa tvær breytur fylgnina 0.33. Framkvæmdu t-próf til að sjá hvort þessi niðurstaða sé marktæk miðað við marktektarstigið α = 0.05. Notaðu formúluna t = r n − 2/1 − r 2

3. Í úrtaki 25 tilvika hafa tvær breytur fylgnina 0.45. Framkvæmdu t-próf til að sjá hvort þessi niðurstaða sé marktæk miðað við marktektarstigið α = 0.05. Notaðu formúluna t = r n − 2/1 − r 2

12.7: Spá

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Rannsókn sem tengir grömm af kalíumi ( Y) við grömm af trefjum ( X) í hverjum skammti í auðguðum hveitivörum (brauð, snúðar o.s.frv.) leiddi af sér jöfnuna y ^ = 25 + 16 x

1. Fyrir vöru með fimm grömm af trefjum í skammti, hver eru vænt grömm af kalíumi í skammti?

2. Ef bornar eru saman tvær vörur, önnur með þrjú grömm af trefjum í skammti en hin með sex grömm af trefjum í skammti, hver er væntanlegur munur í grömmum af kalíumi í skammti?

12.8: Útlagar

1. Í samhengi við aðhvarfsgreiningu, hver er skilgreiningin á útlaganum, og hver er þumalfingursreglan til að meta hvort tiltekið gildi í gagnasafni sé útlagi?

2. Í samhengi við aðhvarfsgreiningu, hver er skilgreiningin á áhrifapunkti, og hvernig er áhrifapunktur frábrugðinn útlaganum?

3. Aðhvarfslína minnstu kvaðrata fyrir gagnasafn er y ^ = 5 + 0.3 x og staðalfrávik leifanna er 0.4. Telst tilvik með gildunum x = 2, y = 6.2 vera útlagi?

4. Aðhvarfslína minnstu kvaðrata fyrir gagnasafn er y ^ = 2.3 − 0.1 x og staðalfrávik leifanna er 0.13. Telst tilvik með gildunum x = 4.1, y = 2.34 vera útlagi?

13.1: Einþátta fervikagreining

1. Hverjar eru fimm grunnforsendurnar sem þarf að uppfylla ef þú vilt framkvæma einþátta fervikagreiningu?

2. Þú ert að framkvæma einþátta fervikagreiningu til að bera saman virkni fjögurra lyfja við að lækka blóðþrýsting hjá sjúklingum með háþrýsting. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir þessa rannsókn?

3. Hver er helsti munurinn á t-prófi fyrir óháð úrtök og einþátta fervikagreiningu?

4. Þú ert að bera saman árangur af þremur aðferðum við að kenna framhaldsskólanemendum rúmfræði. Einkunnir á lokaprófi X 1, X 2, X 3, fyrir úrtökin sem kennd eru með ólíkum aðferðum hafa eftirfarandi dreifingar: X 1 ~ N (85, 3.6) X 1 ~ N (82, 4.8) X 1 ~ N (79, 2.9) Hvert úrtak telur 100 nemendur og einkunnir á lokaprófi hafa spönn frá núll–100. Að því gefnu að úrtökin séu óháð og slembivalin, hefur forsendum fyrir einþátta fervikagreiningu verið mætt? Útskýrðu hvers vegna eða hvers vegna ekki fyrir hverja forsendu.

5. Þú framkvæmir rannsókn þar sem borin er saman virkni fjögurra tegunda áburðar til að auka uppskeru á hveitiökrum. Þegar úrtaksniðurstöðurnar eru skoðaðar kemur í ljós að tvö úrtakanna fylgja um það bil normaldreifingu og tvö fylgja um það bil jafnri dreifingu. Er þetta brot á forsendum fyrir framkvæmd einþátta fervikagreiningar?

13.2: F-dreifing

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sjö æfingum. Þú ert að framkvæma rannsókn á þremur tegundum fóðurbætis fyrir nautgripi til að prófa virkni þeirra við að auka þyngd kálfa þar sem fóðurbætirinn er hluti af fóðrinu. Þú ert með fjóra hópa með 30 kálfum (einn er viðmiðunarhópur sem fær venjulegt fóður en engan fóðurbæti). Þú munt framkvæma einþátta fervikagreiningu eftir eitt ár til að sjá hvort munur sé á meðaltali þyngdar fyrir hópana fjóra.

1. Hvað er SS innan í þessari tilraun og hvað þýðir það?

2. Hvað er SS milli í þessari tilraun og hvað þýðir það?

3. Hvað eru k og i fyrir þessa tilraun?

4. Ef SS innan = 374.5 og SS heild = 621.4 fyrir þessi gögn, hvað er þá SS milli?

5. Hvað eru MS between og MS within fyrir þessa tilraun?

6. Hver er F-prófstærðin fyrir þessi gögn?

7. Ef það hefðu verið 35 kálfar í hverjum hópi í stað 30, en kvaðratsummurnar hefðu haldist óbreyttar, yrði F-prófstærðin stærri eða minni?

13.3: Staðreyndir um F-dreifingu

1. Hvaða af eftirfarandi tölum geta verið F-prófstærðir?

   1. 2.47
   2. 5.95
   3. –3.61
   4. 7.28
   5. 0.97

2. Stuðlarit F 1 og F 2 hér að neðan sýna dreifingu tilvika úr úrtökum úr tveimur þýðum, annað er með dreifinguna F 3,15 og hitt með dreifinguna F 5,500. Hvaða úrtak kom úr hvaða þýði?

3. F-prófstærðin úr tilraun með k = 3 og n = 50 er 3.67. Við α = 0.05, munt þú hafna núlltilgátunni?

4. F-prófstærðin úr tilraun með k = 4 og n = 100 er 4.72. Við α = 0.01, munt þú hafna núlltilgátunni?

13.4: Próf á tveimur dreifnum

1. Hvaða forsendur þurfa að vera uppfylltar til að framkvæma F-próf á tveimur dreifnum?

2. Þú telur að það sé meiri dreifni í einkunnum sem gefnar eru af stærðfræðideild háskólans þíns en í enskudeildinni. Þú safnar öllum einkunnum í grunnnámskeiðum í deildunum tveimur fyrir eina önn, reiknar út dreifni hvors um sig og framkvæmir F-próf á tveimur dreifnum. Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan fyrir þessa rannsókn?

Æfingapróf 4 Lausnir

12.1 Línulegar jöfnur

1. e. A, B og C. Allar þrjár eru línulegar jöfnur á forminu y = mx + b.

2. Látum y = heildarfjölda þeirra klukkustunda sem þarf og x ferfetafjöldann, mældan í 1.000 einingum. Jafnan er y = x + 4

3. Látum y = heildargreiðslu og x fjölda nemenda í bekk. Jafnan er y = 100( x) + 2,000

4. Látum y = heildarkostnað við skólasókn og x fjölda ára í námi. Jafnan er y = 3,000( x) + 500

12.2: Hallatala og skurðpunktur við y-ás í línulegri jöfnu

1. Óháða breytan er vinnustundirnar við bílinn. Háða breytan er heildarvinnukostnaður við að gera við bílinn.

2. Látum y = heildargjald og x fjölda klukkustunda sem þarf. Jafnan er y = 55 x + 75 Hallatalan er 55 og skurðpunkturinn við y-ás er 75.

3. y = 55(3.5) + 75 = 267.50

4. Vegna þess að skurðpunkturinn við y-ás er innifalinn í báðum jöfnum, á meðan þú hefur aðeins áhuga á kostnaðarmuninum, þarftu ekki að hafa skurðpunktinn við y-ás með í lausninni. Munurinn á fjölda nauðsynlegra klukkustunda er 6.3 – 2.4 = 3.9. Margfaldaðu þennan mun með tímakaupinu: 55(3.9) = 214.5. Kostnaðarmunurinn milli verkanna tveggja er $214.50.

12.3: Punktarit

1. X- og Y-breyturnar hafa sterkt línulegt samband. Þessar breytur væru góðir kostir fyrir greiningu með línulegri aðhvarfsgreiningu.

2. X- og Y-breyturnar hafa sterkt neikvætt línulegt samband. Þessar breytur væru góðir kostir fyrir greiningu með línulegri aðhvarfsgreiningu.

3. Það er ekkert skýrt línulegt samband á milli X- og Y-breytanna, svo þær eru ekki góðir kostir fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

4. X- og Y-breyturnar hafa sterkt jákvætt samband, en það er sveigjulínulegt fremur en línulegt. Þessar breytur eru ekki góðir kostir fyrir línulega aðhvarfsgreiningu.

12.4: Aðhvarfsjöfnan

1. r ( s y/s x) = 0.73 ( 9.6/4.0) = 1.752 ≈ 1.75

2. a = y ¯ − b x̄ = 141.6 − 1.752 ( 68.4) = 21.7632 ≈ 21.76

3. y ^ = 21.76 + 1.75 ( 68) = 140.76

12.5: Fylgnistuðull og skýringarhlutfall

1. Skýringarhlutfallið er kvaðrat fylgninnar, eða r 2. Fyrir þessi gögn, r 2 = (–0.56)2 = 0.3136 ≈ 0.31 eða 31 prósent. Þetta þýðir að hægt er að skýra 31 prósent af breytileika í eldsneytisnýtingu með eiginþyngd bílsins.

2. Skýringarhlutfallið = 0.32 2 = 0.1024. Þetta er sá hluti breytileikans í einkunnameðaltali á fyrsta ári í háskóla sem hægt er að skýra með einkunnameðaltali úr framhaldsskóla. Hlutinn sem ekki er hægt að skýra er 1 – 0.1024 = 0.8976 ≈ 0.90. Svo, um það bil 90 prósent af dreifni í einkunnameðaltali á fyrsta ári í háskóla í þessum gögnum er ekki skýrð með einkunnameðaltali úr framhaldsskóla.

3. r = r 2 0.5 = 0.707106781 ≈ 0.71 Þú þarft fylgni sem er 0.71 eða hærri til að fá skýringarhlutfall sem er að minnsta kosti 0.5.

12.6: Prófun á marktekt fylgnistuðuls

1. H₀: ρ = 0 Hₐ: ρ ≠ 0

2. t = r n − 2/1 − r 2 = 0.33 30 − 2/1 − 0.33 2 = 1.85 Höfnunargildið fyrir α = 0.05 í tvíhliða prófi sem notar t 29 dreifinguna er 2.045. Gildið þitt er minna en þetta, svo þú hafnar ekki núlltilgátunni og ályktar að rannsóknin hafi ekki leitt í ljós neinar sannanir fyrir því að breyturnar hafi marktæka fylgni. Með því að nota reiknivélaraðgerðina tcdf er p-gildið 2tcdf(1.85, 10^99, 29) = 0.0373. Hafnaðu ekki núlltilgátunni og ályktaðu að rannsóknin hafi ekki fært sönnur á að breyturnar hafi marktæka fylgni.

3. t = r n − 2/1 − r 2 = 0.45 25 − 2/1 − 0.45 2 = 2.417 Höfnunargildið fyrir α = 0.05 í tvíhliða prófi sem notar t 24 dreifinguna er 2.064. Gildið þitt er hærra en þetta, svo þú hafnar núlltilgátunni og ályktar að rannsóknin hafi leitt í ljós sannanir fyrir því að breyturnar hafi marktæka fylgni. Með því að nota reiknivélaraðgerðina tcdf er p-gildið 2tcdf(2.417, 10^99, 24) = 0.0118. Hafnaðu núlltilgátunni og ályktaðu að rannsóknin hafi leitt í ljós sannanir fyrir því að breyturnar hafi marktæka fylgni.

12.7: Spá

1. y ^ = 25 + 16 ( 5) = 105

2. Þar sem skurðpunktur við y-ás er í báðum spáðum gildum, getur þú horft fram hjá honum við útreikning á spáðum mismun. Mismunurinn í grömmum af trefjum í skammti er 6 – 3 = 3, og spáður mismunur í grömmum af kalíum í skammti er (16)(3) = 48.

12.8: Útlagar

1. Frávillingur er mælt gildi sem er langt frá aðhvarfslínu minnstu kvaðrata. Þumalfingursregla er sú að punktur sem er meira en tvö staðalfrávik leifa frá spáðu gildi sínu á aðhvarfslínu minnstu kvaðrata er frávillingur.

2. Áhrifapunktur er mælt gildi í gagnasafni sem er langt frá öðrum punktum í gagnasafninu í lárétta stefnu. Ólíkt frávillingi ákvarðast áhrifapunktur af sambandi hans við önnur gildi í gagnasafninu, ekki af sambandi hans við aðhvarfslínuna.

3. Spáð gildi fyrir y er y ^ = 5 + 0.3 x = 5.6. Gildið 6.2 er minna en tvö staðalfrávik frá spáða gildinu, svo það flokkast ekki sem frávillingur. Leif fyrir (2, 6.2): 6.2 – 5.6 = 0.6 (0.6 < 2(0.4))

4. Spáð gildi fyrir y er y ^ = 2.3 – 0.1(4.1) = 1.89. Gildið 2.32 er meira en tvö staðalfrávik frá spáða gildinu, svo það flokkast sem frávillingur. Leif fyrir (4.1, 2.34): 2.32 – 1.89 = 0.43 (0.43 > 2(0.13))

13.1: Einþátta fervikagreining

28.

1. Hvert úrtak er tekið úr normaldreifðu þýði.
2. Öll úrtök eru óháð og slembivalin.
3. Þýðin sem úrtökin eru tekin úr hafa jöfn staðalfrávik.
4. Þátturinn er flokkabreyta.
5. Svarbreytan er talnabreyta.

1. H₀: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 Hₐ: Að minnsta kosti tvö af hópmeðaltölunum μ 1, μ 2, μ 3, μ 4 eru ekki jöfn.

2. t-próf fyrir óháð úrtök getur aðeins borið saman meðaltöl úr tveimur hópum, á meðan einnar þáttar fervikagreining getur borið saman meðaltöl úr fleiri en tveimur hópum.

3. Hvert úrtak virðist hafa verið tekið úr normaldreifðum þýðum, þátturinn er flokkabreyta (aðferð), útkoman er talnabreyta (prófeinkunn), og þér var sagt að úrtökin væru óháð og slembivalin, þannig að þessum kröfum er mætt. Hins vegar hefur hvert úrtak ólíkt staðalfrávik, og þetta bendir til þess að þýðin sem þau voru tekin úr hafi einnig ólík staðalfrávik, sem er brot á forsendu fyrir einnar þáttar fervikagreiningu. Frekari tölfræðileg prófun mun vera nauðsynleg til að prófa forsenduna um jafna dreifni áður en haldið er áfram með greininguna.

4. Ein af forsendum einnar þáttar fervikagreiningar er að úrtökin séu tekin úr normaldreifðum þýðum. Þar sem tvö af úrtökunum þínum eru með um það bil jafndreifingu, dregur það í efa hvort þessari forsendu sé fullnægt. Frekari tölfræðileg prófun verður nauðsynleg til að ákvarða hvort þú getir haldið áfram með greininguna.

13.2: F-dreifing

1. SS innan er kvaðratsumma innan hópa, sem táknar þann breytileika í útkomu sem ekki er hægt að rekja til mismunandi fóðurbætis heldur til einstaklings- eða tilviljanakenndra þátta meðal kálfanna í hverjum hópi.

2. SS milli er kvaðratsumma milli hópa, sem táknar þann breytileika í útkomu sem hægt er að rekja til mismunandi fóðurbætis.

3. k = fjöldi hópa = 4 n 1 = fjöldi tilvika í hópi 1 = 30 n = heildarfjöldi tilvika = 4(30) = 120

4. SS heild = SS innan + SS milli, svo SS milli = SS heild – SS innan 621.4 – 374.5 = 246.9

5. Meðalkvaðröt í fervikagreiningu eru fundin með því að deila hverri kvaðratsummu með viðeigandi fjölda frígráða ( df). Fyrir SS heild er df = n – 1 = 120 – 1 = 119. Fyrir SS milli er df = k – 1 = 4 – 1 = 3. Fyrir SS innan er df = 120 – 4 = 116. MS milli = 246.9/3 = 82.3 MS innan = 374.5/116 = 3.23

6. F = M S m i l l i/M S i n n a n = 82.3/3.23 = 25.48

7. Það yrði stærra, því þú værir að deila með minni tölu. Gildið á MS milli myndi ekki breytast með breytingu á úrtaksstærð, en gildið á MS innan yrði minna, því þú værir að deila með stærri tölu ( df innan yrði 136, ekki 116). Að deila fasta með minni tölu gefur stærri niðurstöðu.

13.3: Staðreyndir um F-dreifingu

1. Allt nema valmöguleiki c, –3.61. F-prófstærðir eru alltaf stærri en eða jafnar og 0.

2. Þegar frígráðum fjölgar í F-dreifingu nálgast dreifingin það meira að verða normaldreifing. Stuðlarit F 2 er nær normaldreifingu en stuðlarit F 1, þannig að úrtakið sem sýnt er í stuðlariti F 1 var tekið úr F 3,15 þýðinu, og úrtakið sem sýnt er í stuðlariti F 2 var tekið úr F 5,500 þýðinu.

3. Með því að nota reiknivélaraðgerðina Fcdf er p-gildi = Fcdf(3.67, 1E, 3, 50) = 0.0182. Hafnið núlltilgátunni.

4. Með því að nota reiknivélaraðgerðina Fcdf er p-gildi = Fcdf(4.72, 1E, 4, 100) = 0.0016 Hafnið núlltilgátunni.

13.4: Próf á tveimur dreifnum

1. Úrtökin verða að vera tekin úr þýðum sem eru normaldreifð, og verða að vera tekin úr óháðum þýðum.

2. Látum σ M 2 = dreifni í stærðfræðieinkunnum, og σ E 2 = dreifni í enskueinkunnum. H₀: σ M 2 ≤ σ E 2 Hₐ: σ M 2 > σ E 2

Æfingalokapróf 1

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Tilraun felst í að kasta tveimur 12-hliða teningum (tölurnar 1–12 eru prentaðar á hliðar hvors tenings).

• Látum atburð A = báðir teningar sýna slétta tölu.
• Látum atburð B = báðir teningar sýna tölu stærri en átta

1. Atburðir A og B eru

   1. Sundurlausir
   2. Óháðir
   3. Sundurlausir og óháðir
   4. Hvorki sundurlausir né óháðir

2. Finndu P(A | B).

   1. 2/4
   2. 16/144
   3. 4/16
   4. 2/144

3. Hvað af eftirfarandi er SATT þegar við framkvæmum tilgátupróf á pöruðum úrtökum?

   1. Úrtaksstærðir eru næstum aldrei litlar.
   2. Tvær mælingar eru teknar af sama pari einstaklinga eða hluta.
   3. Tvö úrtaksmeðaltöl eru borin saman hvort við annað.
   4. Svarmöguleikar b og c eru báðir sannir.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Hundrað og átján nemendur voru spurðir hvernig litur væri á svefnherbergjum þeirra: ljósir litir, dökkir litir eða skærir litir. Niðurstöðurnar voru settar í töflu eftir kyni.

1. Finnið þær líkur að af handahófi valinn nemandi sé karlkyns eða sé með svefnherbergi málað í ljósum litum.

   1. 10/118
   2. 68/118
   3. 48/118
   4. 10/48

2. Finnið þær líkur að af handahófi valinn nemandi sé karlkyns að því gefnu að svefnherbergi nemandans sé málað í dökkum litum.

   1. 30/118
   2. 30/48
   3. 22/118
   4. 30/52

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Við höfum áhuga á fjölda skipta sem minna þarf ungling á að sinna heimilisstörfum sínum í hverri viku. Könnun meðal 40 mæðra var framkvæmd. Tafla B16 sýnir niðurstöður könnunarinnar.

1. Finnið þær líkur að unglingur sé minntur á tvisvar sinnum.

   1. 8
   2. 8/40
   3. 6/40
   4. 2

2. Finnið væntanlegan fjölda skipta sem unglingur er minntur á að sinna heimilisstörfum sínum.

   1. 15
   2. 2.78
   3. 1.0
   4. 3.13

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Á hvaða degi sem er, er um það bil 37.5 prósentum af bílunum sem lagt er í De Anza bílastæðahúsinu lagt skakkt. Við könnum af handahófi 22 bíla. Við höfum áhuga á fjölda bíla sem lagt er skakkt.

1. Fyrir hverja 22 bíla, hversu mörgum myndir þú búast við að sé lagt skakkt, að meðaltali?

   1. 8.25
   2. 11
   3. 18
   4. 7.5

2. Hverjar eru þær líkur að að minnsta kosti 10 af 22 bílum sé lagt skakkt?

   1. 0.1263
   2. 0.1607
   3. 0.2870
   4. 0.8393

3. Með því að nota úrtak 15 Stanford-Binet greindarvísitalna viljum við framkvæma tilgátupróf. Fullyrðing okkar er að meðaltal greindarvísitölu á Stanford-Binet greindarprófinu sé meira en 100. Það er vitað að staðalfrávik allra Stanford-Binet greindarvísitalna er 15 stig. Hver af eftirfarandi er rétta dreifingin til að nota fyrir tilgátuprófið?

   1. Tvíkostadreifing
   2. t-dreifing Students
   3. Normaldreifing
   4. Jöfn dreifing

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. De Anza framhaldsskólinn heldur utan um tölfræði um árangurshlutfall nemenda sem skrá sig í stærðfræðiáfanga. Í úrtaki 1,795 nemenda sem skráðir voru í Math 1A (stærðfræðigreining á 1. ársfjórðungi) náðu 1,428 áfanganum. Í úrtaki 856 nemenda sem skráðir voru í Math 1B (stærðfræðigreining á 2. ársfjórðungi) náðu 662. Eru árangurshlutföll í Math 1A og Math 1B almennt tölfræðilega þau sömu? Látum A = lágvísi fyrir Math 1A og B = lágvísi fyrir Math 1B.

1. Ef þú myndir framkvæma viðeigandi tilgátupróf væri gagntilgátan

   1. Hₐ: p A = p B
   2. Hₐ: p A > p B
   3. H o: p A = p B
   4. Hₐ: p A ≠ p B

2. Mistök af gerð I felast í því að

   1. álykta að árangurshlutfallið fyrir Math 1A sé það sama og árangurshlutfallið fyrir Math 1B þegar, í raun, árangurshlutföllin eru mismunandi.
   2. álykta að árangurshlutfallið fyrir Math 1A sé frábrugðið árangurshlutfallinu fyrir Math 1B þegar, í raun, árangurshlutföllin eru þau sömu.
   3. álykta að árangurshlutfallið fyrir Math 1A sé hærra en árangurshlutfallið fyrir Math 1B þegar, í raun, árangurshlutfallið fyrir Math 1A er lægra en árangurshlutfallið fyrir Math 1B.
   4. álykta að árangurshlutfallið fyrir Math 1A sé það sama og árangurshlutfallið fyrir Math 1B þegar þau, í raun, eru þau sömu.

3. Rétt ákvörðun er að

   1. hafna H₀.
   2. hafna ekki H₀.
   3. Ekki eru veittar nægar upplýsingar til að framkvæma tilgátuprófið.

Kia, Alejandra og Iris eru hlauparar í frjálsíþróttaliðum í þremur mismunandi skólum. Hlaupatímar þeirra, í mínútum, og tölfræði frjálsíþróttaliðanna í viðkomandi skólum, fyrir eins mílu hlaup, eru gefin upp í töflunni hér að neðan:

14. Hvaða nemandi er BESTUR þegar borið er saman við aðra hlaupara í hennar skóla?

1. Kia
2. Alejandra
3. Iris
4. Ómögulegt að ákvarða

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Eftirfarandi verð á skíðapeysum fyrir fullorðna eru úr vetrarvörulista Gorsuch Ltd.: $212, $292, $278, $199, $280, $236.

Gerum ráð fyrir að þýði verðs á peysum sé um það bil normaldreift. Núlltilgátan er sú að meðaltalsverð á skíðapeysum fyrir fullorðna frá Gorsuch Ltd. sé að minnsta kosti $275.

1. Hver af eftirfarandi er rétta dreifingin til að nota fyrir tilgátuprófið?

   1. Normaldreifing
   2. Tvíkostadreifing
   3. t-dreifing Students
   4. Veldisdreifing

2. Tilgátuprófið

   1. er tvíhliða.
   2. er vinstrihliða.
   3. er hægrihliða.
   4. hefur enga hala.

3. Sara, nemandi í tölfræði, vildi ákvarða meðalfjölda bóka sem háskólakennarar eru með á skrifstofu sinni. Hún valdi af handahófi tvær byggingar á háskólasvæðinu og spurði hvern kennara í völdu byggingunum hversu margar bækur væru á skrifstofu hans eða hennar. Sara tók úrtak 25 kennara. Úrtaksaðferðin sem var valin er

   1. einfalt slembiúrtak.
   2. kerfisbundið úrtak.
   3. klasaúrtak.
   4. lagskipt úrtak.

4. Hvaða lýsistærð fyrir miðju gagna myndi fataverslun nota þegar hún pantar vörur fyrir dæmigerðan miðlungs viðskiptavin?

   1. Meðaltal
   2. Miðgildi
   3. Tíðasta gildi
   4. IQR

5. Í tilgátuprófi er p-gildið

   1. líkurnar á því að niðurstaða gagna fáist eingöngu fyrir tilviljun þegar núlltilgátan er sönn.
   2. kallað fyrirfram ákveðið alfa.
   3. borið saman við betu til að ákveða hvort hafna eigi eða hafna ekki núlltilgátunni.
   4. Svarsmöguleikar A og B eru báðir sannir.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Samfélagsháskóli býður upp á kennslu sex daga vikunnar: mánudaga til laugardaga. Maria gerði rannsókn á nemendum í sínum áföngum til að ákvarða hversu marga daga vikunnar nemendurnir sem eru í hennar áföngum mæta á háskólasvæðið í kennslu. Í hverjum af fimm áföngum hennar valdi hún 10 nemendur af handahófi og spurði þá hversu marga daga þeir mættu á háskólasvæðið í kennslu. Allir áfangar hennar eru jafn stórir. Niðurstöður könnunar hennar eru teknar saman í töflu B18.

1. Hvaða aðra úrtaksaðferð notaði Maria, samhliða hentugleikaúrtöku?

   1. Einfalt slembiúrtak
   2. Kerfisbundið úrtak
   3. Klasaúrtak
   4. Lagskipt slembiúrtak

2. Hversu margir nemendur mæta á háskólasvæðið í kennslu fjóra daga vikunnar?

   1. 49
   2. 25
   3. 30
   4. 13

3. Hver er 60. hundraðshlutinn fyrir þessi gögn?

   1. 2
   2. 3
   3. 4
   4. 5

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Eftirfarandi gögn eru niðurstöður slembikönnunar á 110 varaliðum sem voru kallaðir til virkrar þjónustu til að auka öryggi á flugvöllum í Kaliforníu.

1. Smíðið 95 prósent öryggisbil fyrir satt þýðismeðaltal fyrir þá sem eru á framfæri hjá varaliðum sem voru kallaðir til virkrar þjónustu til að auka öryggi á flugvöllum í Kaliforníu.

   1. (1.85, 2.32)
   2. (1.80, 2.36)
   3. (1.97, 2.46)
   4. (1.92, 2.50)

2. 95 prósent öryggisbilið hér að ofan þýðir:

   1. Fimm prósent af öryggisbilum sem eru smíðuð á þennan hátt munu ekki innihalda satt þýðismeðaltal fyrir þá sem eru á framfæri.
   2. Við erum 95 prósent viss um að sannur meðalfjöldi þýðis fyrir þá sem eru á framfæri falli innan bilsins.
   3. Báðir svarsmöguleikarnir hér að ofan eru réttir.
   4. Ekkert af ofangreindu.

3. X ~ U (4, 10). Finnið 30. hundraðshlutann.

   1. 0.3000
   2. 3
   3. 5.8
   4. 6.1

4. Ef X ~ Ex p(0.8), þá er P(x < μ) = —

   1. 0.3679
   2. 0.4727
   3. 0.6321
   4. ekki hægt að ákvarða

5. Líftími tölvurásarborðs er normaldreifður með meðaltalið 2,500 klukkustundir og staðalfrávikið 60 klukkustundir. Hverjar eru líkurnar á því að slembivaldið rásarborð endist í mesta lagi í 2,560 klukkustundir?

   1. 0.8413
   2. 0.1587
   3. 0.3461
   4. 0.6539

6. Könnun meðal 123 varaliða sem kallaðir voru til virkrar þjónustu í kjölfar árásanna 11. september 2001 var gerð til að ákvarða hlutfall þeirra sem voru giftir. Áttatíu og sex sögðust vera giftir. Smíðið 98 prósent öryggisbil fyrir hið sanna hlutfall í þýði varaliða, sem kallaðir voru til virkrar þjónustu, sem eru giftir.

   1. (0.6030, 0.7954)
   2. (0.6181, 0.7802)
   3. (0.5927, 0.8057)
   4. (0.6312, 0.7672)

7. Sigurtímar í 26 mílna maraþoni hlaupnir af heimsklassa hlaupurum eru að meðaltali 145 mínútur með staðalfrávikið 14 mínútur. Safnað er úrtaki af síðustu 10 sigurtímum í maraþoni. Látum x = meðaltal sigurtíma í 10 maraþonum. Dreifingin fyrir x er

   1. N ( 145, 14/10)
   2. N ( 145, 14)
   3. t 9
   4. t 10

8. Gerum ráð fyrir að Phi Beta Kappa heiðri efsta 1 prósent nemenda á lokaári í háskólum. Gerum ráð fyrir að meðaleinkunnir (GPA) við tiltekinn háskóla séu normaldreifðar með meðaltalið 2.5 og staðalfrávikið 0.5. Hver væri lágmarksmeðaleinkunn (GPA) sem þyrfti til að verða meðlimur í Phi Beta Kappa við þann háskóla?

   1. 3.99
   2. 1.34
   3. 3.00
   4. 3.66

Fjöldi fólks sem býr á bandarískum bóndabæjum hefur dregist stöðugt saman á 20. öld. Hér eru gögn um íbúafjölda á bóndabæjum (í milljónum manna) frá 1935 til 1980.

1. Jafna línulegrar aðhvarfsgreiningar er y ^ = 1166.93 – 0.5868 x. Hver var væntanlegur íbúafjöldi á bújörðum í milljónum manna árið 1980?

   1. 7.2
   2. 5.1
   3. 6
   4. 8

2. Í línulegri aðhvarfsgreiningu, hver er besta mögulega kvaðratsumma leifa (SSE)?

   1. 13.46
   2. 18.22
   3. 24.05
   4. 16.33

3. Í aðhvarfsgreiningu, ef fylgnistuðullinn er nálægt einum, hvað er hægt að segja um línu bestu mátunar?

   1. Hún er lárétt lína. Þess vegna getum við ekki notað hana.
   2. Það er sterkt línulegt mynstur. Þess vegna er hún líklegast gott líkan til að nota.
   3. Fylgnistuðullinn er nálægt mörkunum. Þess vegna er erfitt að taka ákvörðun.
   4. Við höfum ekki jöfnuna. Þess vegna getum við ekki sagt neitt um hana.

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Rannsókn á starfsáætlunum ungra kvenna og karla sendi spurningalista til allra 722 nemendanna á lokaári í viðskiptafræðideild Háskólans í Illinois. Ein spurningin snerist um hvaða aðalfag innan viðskiptafræðinnar nemandinn hefði valið. Hér eru gögnin frá þeim nemendum sem svöruðu.

1. Dreifingin fyrir prófið er

   1. Chi 2 8.
   2. Chi 2 3.
   3. t 721.
   4. N ( 0, 1).

2. Væntur fjöldi kvenna sem velja fjármál er

   1. 37.
   2. 61.
   3. 60.
   4. 70.

3. p-gildið er 0.0127 og marktektarstigið er 0.05. Ályktun prófsins er:

   1. ekki eru nægar vísbendingar til að álykta að val á aðalfagi og kyn nemandans séu ekki óháð hvort öðru.
   2. nægar vísbendingar eru til að álykta að val á aðalfagi og kyn nemandans séu ekki óháð hvort öðru.
   3. nægar vísbendingar eru til að álykta að nemendum finnist hagfræði mjög erfið.
   4. ekki eru nægar vísbendingar til að álykta að fleiri konur velji stjórnun en karlar.

4. Stofnun greindi frá því að vinnuafl á landsvísu samanstæði af 10 prósent sérfræðingum, 10 prósent skrifstofufólki, 30 prósent faglærðum, 15 prósent þjónustufólki og 35 prósent hálffaglærðum verkamönnum. Slembiúrtak 100 íbúa í San Jose sýndi 15 sérfræðinga, 15 skrifstofumenn, 40 faglærða, 10 í þjónustu og 20 hálffaglærða verkamenn. Við α = 0.10, virðist vinnuaflið í San Jose vera í samræmi við skýrslu stofnunarinnar um landið allt? Hvers konar próf er þetta?

   1. Chi 2 mátgæðapróf
   2. Chi 2 próf á óhæði
   3. Hlutföll óháðra hópa
   4. Ómögulegt að ákvarða

Æfingalokapróf 1 lausnir

Lausnir

1. B óháð

2. C 4/16

3. B Tvær mælingar eru teknar úr sama pari einstaklinga eða hluta.

4. B 68/118

5. D 30/52

6. B 8/40

7. B 2.78

8. A 8.25

9. C 0.2870

10. C Normaldreifing

11. D Hₐ: p A ≠ p B

12. B álykta að hlutfall þeirra sem ná Math 1A sé frábrugðið hlutfalli þeirra sem ná Math 1B þegar hlutföllin eru í raun þau sömu.

13. B hafna ekki H₀

14. C Iris

15. C Student's t

16. B er vinstrihala.

17. C klasaúrtak

18. B miðgildi

19. A líkurnar á því að niðurstaða úr gögnunum gerist algjörlega af tilviljun þegar núlltilgátan er sönn.

20. D lagskipt

21. B 25

22. C 4

23. A (1.85, 2.32)

24. C Bæði ofangreind eru rétt.

25. C 5.8

26. C 0.6321

27. A 0.8413

28. A (0.6030, 0.7954)

29. A N 145 14/10

30. D 3.66

31. B 5.1

32. A 13.46

33. B Það er sterkt línulegt mynstur. Því er líklegast að þetta sé gott líkan til notkunar.

34. B Kí 2 3.

35. D 70

36. B Það eru nægar vísbendingar til að álykta að val á aðalfagi og kyn nemandans séu ekki óháð hvort öðru.

37. A Kí-kvaðrat mátgæðapróf

Æfingalokapróf 2

1. Rannsókn var gerð til að ákvarða hlutfall unglinga sem eiga bíl. Hlutfall í þýði þeirra unglinga sem eiga bíl er

1. lýsistærð.
2. stiki.
3. þýði.
4. breyta.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum.

1. Kassaritið fyrir gögnin er

2. Ef sex væru bætt við hvert gildi gagnanna í töflunni, þá væri 15. hundraðshlutaröðin í nýja listanum af gildum

   1. sex
   2. eitt
   3. sjö
   4. átta

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Gerum ráð fyrir að líkur á þurrkum á hvaða óháða ári sem er séu 20 prósent. Af þeim árum sem þurrkar eiga sér stað eru líkur á vatnsskömmtun 10 prósent. Hins vegar eru líkur á vatnsskömmtun 5 prósent á hvaða ári sem er.

1. Hverjar eru líkur á því að bæði þurrkar og vatnsskömmtun eigi sér stað?

   1. 0.05
   2. 0.01
   3. 0.02
   4. 0.30

2. Hvert af eftirfarandi er rétt?

   1. Þurrkar og vatnsskömmtun eru óháðir atburðir.
   2. Þurrkar og vatnsskömmtun eru ósamrýmanlegir atburðir.
   3. Ekkert af ofangreindu.

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Gerum ráð fyrir að könnun hafi skilað eftirfarandi gögnum:

1. Gerum ráð fyrir að einn einstaklingur sé valinn af handahófi. Líkurnar á að uppáhaldsbaka viðkomandi sé eplabaka eða að viðkomandi sé karlkyns eru —

   1. 40/60
   2. 60/140
   3. 120/140
   4. 100/140

2. Gerum ráð fyrir að H₀ sé að uppáhaldsbaka og kyn séu óháð. p-gildið er —

   1. ≈ 0
   2. 1
   3. 0.05
   4. Ekki hægt að ákvarða

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Gerum ráð fyrir að líkur á því að fullorðinn horfi á fréttir að minnsta kosti einu sinni í viku séu 0.60. Við spyrjum 14 manns af handahófi. Við höfum áhuga á fjölda fólks sem horfir á fréttir að minnsta kosti einu sinni í viku.

1. Hver af eftirfarandi fullyrðingum er ÓSÖNN?

   1. X ~ B (14 0.60)
   2. Gildin fyrir x eru {1, 2, 3,... 14}.
   3. μ = 8.4
   4. P(X = 5) = 0.0408

2. Finndu líkur á því að að minnsta kosti sex fullorðnir horfi á fréttir að minnsta kosti einu sinni í viku.

   1. 6/14
   2. 0.8499
   3. 0.9417
   4. 0.6429

3. Eftirfarandi stuðlarit er líklegast niðurstaða af úrtöku úr hvaða dreifingu?

   1. Kí-kvaðrat með df = 6
   2. Veldisdreifing
   3. Jöfn dreifing
   4. Tvíkostadreifing

4. Vitað er að aldur dag- og kvöldnemenda á háskólasvæðinu fylgir normaldreifingu. Úrtak sex dag- og kvöldnemenda á háskólasvæðinu gaf upp aldur þeirra (í árum) sem {18, 35, 27, 45, 20, 20}. Hver eru skekkjumörk fyrir 90 prósent öryggisbil fyrir raunverulegan meðalaldur?

   1. 11.2
   2. 22.3
   3. 17.5
   4. 8.7

5. Ef slembibreyta sem fylgir normaldreifingu hefur µ = 0 og σ = 1, þá liggja 97.5 prósent af gildum þýðisins fyrir ofan

   1. –1.96
   2. 1.96
   3. 1
   4. –1

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Vitað er að upphæðin sem viðskiptavinur eyðir í einni ferð í stórmarkaðinn fylgir veldisdreifingu. Gerum ráð fyrir að meðalupphæð sem viðskiptavinur eyðir í einni ferð í stórmarkaðinn sé $72.

1. Hverjar eru líkur á því að einn viðskiptavinur eyði minna en $72 í einni ferð í stórmarkaðinn?

   1. 0.6321
   2. 0.5000
   3. 0.3714
   4. 1

2. Hversu miklum peningum myndirðu búast við að næstu fimm viðskiptavinir eyði samtals í einni ferð í stórmarkaðinn (í dollurum)?

   1. 72
   2. 72 2/5
   3. 5184
   4. 360

3. Ef þú vilt finna líkur á því að meðalupphæð sem 50 viðskiptavinir eyða í einni ferð í stórmarkaðinn sé minni en $60, er dreifingin sem á að nota

   1. N (72, 72)
   2. N ( 72, 72/50)
   3. Exp (72)
   4. E x p ( 1/72)

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Tíminn sem það tekur nemanda í fjórða bekk að fara út með ruslið fylgir jafnri dreifingu á bilinu frá einni til 10 mínútur.

1. Hverjar eru líkur á því að það taki nemanda í fjórða bekk, sem er valinn af handahófi, meira en sjö mínútur að fara út með ruslið?

   1. 3/9
   2. 7/9
   3. 3/10
   4. 7/10

2. Hvaða línurit sýnir best líkur á því að það taki nemanda í fjórða bekk, sem er valinn af handahófi, meira en sex mínútur að fara út með ruslið, að því gefnu að hann eða hún hafi þegar verið meira en þrjár mínútur?

3. Hversu mörgum mínútum megum við búast við að það taki nemanda í fjórða bekk að fara út með ruslið?

   1. 4.5
   2. 5.5
   3. 5
   4. 10

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Í byrjun ársfjórðungsins fylgir biðtími nemanda í röð í mötuneyti háskólasvæðisins normaldreifingu með meðaltal fimm mínútur og staðalfrávik 1.5 mínútur.

1. Hvert er 90. hundraðsmark biðtíma í mínútum?

   1. 1.28
   2. 90
   3. 7.47
   4. 6.92

2. Miðgildi biðtíma í mínútum fyrir einn nemanda er

   1. 5
   2. 50
   3. 2.5
   4. 1.5

3. Finndu líkur á því að meðalbiðtími tíu nemenda sé í mesta lagi 5.5 mínútur.

   1. 0.6301
   2. 0.8541
   3. 0.3694
   4. 0.1459

4. Tekið er úrtak 80 hugbúnaðarverkfræðinga í Kísildalnum, og í ljós kemur að 20 prósent þeirra þéna um það bil $50,000 á ári. Punktmat fyrir raunverulegt hlutfall verkfræðinga í Kísildalnum sem þéna $50,000 á ári er

   1. 16
   2. 0.2
   3. 1
   4. 0.95

5. Ef P(Z < z α) = 0.1587 þar sem Z ~ N (0, 1), þá er α jafnt og

   1. –1
   2. 0.1587
   3. 0.8413
   4. 1

6. Prófessor prófaði 35 nemendur til að ákvarða færni þeirra við upphaf námskeiðs. Í lok annar, eftir að námskeiðinu lauk, var sama próf lagt fyrir sömu 35 nemendur til að rannsaka framfarir þeirra. Þetta væri próf fyrir

   1. óháða hópa
   2. tvö hlutföll
   3. pöruð mæligildi, háða hópa
   4. útilokandi hópa

Stærðfræðipróf var lagt fyrir öll börn í þriðja bekk í ABC skólanum. Tvö slembiúrtök einkunna voru tekin.

1. Hver af eftirfarandi lýsir réttilega niðurstöðum úr tilgátuprófi á fullyrðingunni, „Það er munur á meðaleinkunnum stúlkna og drengja í þriðja bekk við 5 prósent marktektarstig“?

   1. Ekki hafna H₀. Það eru ófullnægjandi sannanir til að álykta að það sé munur á meðaleinkunnunum.
   2. Hafnaðu ekki H₀. Það eru nægar sannanir til að álykta að munur sé á meðaltölum einkunna.
   3. Hafnaðu H₀. Ekki eru nægar sannanir til að álykta að enginn munur sé á meðaltölum einkunna.
   4. Hafnaðu H₀. Það eru nægar sannanir til að álykta að munur sé á meðaltölum einkunna.

2. Í könnun meðal 80 karla höfðu 45 stundað skipulagðar íþróttir í uppvextinum. Af þeim 70 konum sem tóku þátt höfðu 25 stundað skipulagðar íþróttir í uppvextinum. Við höfum áhuga á að vita hvort hlutfall karla sé hærra en hlutfall kvenna. Rétt ályktun er sú að

   1. Ekki eru nægar upplýsingar til að álykta að hlutfall karla sé það sama og hlutfall kvenna.
   2. Ekki eru nægar upplýsingar til að álykta að hlutfall karla sé ekki það sama og hlutfall kvenna.
   3. Það eru nægar sannanir til að álykta að hlutfall karla sé hærra en hlutfall kvenna.
   4. Það eru ekki nægar upplýsingar til að draga ályktun.

3. Af fyrri reynslu hefur kennari í tölfræði komist að því að meðaleinkunn á miðannarprófi er 81, með staðalfrávik upp á 5.2. Á þessari önn var 49 nemenda bekkur með staðalfrávikið 5 á miðannarprófinu. Gefa gögnin til kynna að við ættum að hafna fullyrðingu kennarans um að staðalfrávikið sé 5.2? Notið α = 0.05.

   1. Já
   2. Nei
   3. Ekki eru nægar upplýsingar gefnar til að leysa dæmið

4. Þrjár hleðsluvélar eru bornar saman. Tíu úrtök voru tekin fyrir hverja vél. Vél I var að meðaltali 31 mínútu að hlaða pakka, með staðalfrávikið tvær mínútur. Vél II var að meðaltali 28 mínútur að hlaða pakka, með staðalfrávikið 1.5 mínútur. Vél III var að meðaltali 29 mínútur að hlaða pakka, með staðalfrávikið eina mínútu. Finndu p-gildið við að prófa hvort meðalhleðslutími sé sá sami.

   1. p-gildið er nálægt núlli
   2. p-gildið er nálægt einum
   3. Ekki eru nægar upplýsingar gefnar til að leysa dæmið

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur dæmum. Fyrirtæki er með skrifstofur í mismunandi landshlutum. Það hefur safnað eftirfarandi upplýsingum varðandi fjölda baðherbergja og fjölda starfsmanna á sjö starfsstöðvum:

1. Er fylgnin á milli fjölda starfsmanna og fjölda baðherbergja marktæk?

   1. Já
   2. Nei
   3. Ekki nægar upplýsingar til að svara spurningunni

2. Jafna línulegrar aðhvarfsgreiningar er

   1. ŷ = 0.0094 − 79.96 x
   2. ŷ = 79.96 + 0.0094 x
   3. ŷ = 79.96 − 0.0094 x
   4. ŷ = −0.0094 + 79.96 x

3. Ef starfsstöð er með 1,150 starfsmenn, um það bil hversu mörg baðherbergi ætti hún að hafa?

   1. 69
   2. 91
   3. 91,954
   4. Við ættum ekki að vera að meta hér.

4. Gerum ráð fyrir að úrtak af stærð 10 hafi verið tekið, með x̄ = 4.4 og s = 1.4. H₀: σ 2 = 1.6 á móti Hₐ: σ 2 ≠ 1.6. Hvaða línurit lýsir best niðurstöðum prófsins?

Sextíu og fjórir bakpokaferðalangar voru spurðir um fjölda daga frá síðustu bakpokaferð þeirra. Fjöldi daga er gefinn í töflu B26.

1. Framkvæmdu viðeigandi próf til að ákvarða hvort dreifingin sé jöfn.

   1. p-gildið er > 0.10. Ekki eru nægar upplýsingar til að álykta að dreifingin sé ekki jöfn.
   2. p-gildið er < 0.01. Það eru nægar upplýsingar til að álykta að dreifingin sé ekki jöfn.
   3. p-gildið er á milli 0.01 og 0.10, en án alfu ( α) eru ekki nægar upplýsingar.
   4. Það er ekkert slíkt próf sem hægt er að framkvæma.

2. Hver af eftirfarandi fullyrðingum er sönn þegar einþátta fervikagreining er notuð?

   1. Þýðin sem úrtökin eru valin úr hafa mismunandi dreifingar.
   2. Úrtaksstærðirnar eru stórar.
   3. Prófið er til að ákvarða hvort mismunandi hópar hafi sömu meðaltöl.
   4. Það er fylgni á milli þátta tilraunarinnar.

Lausnir fyrir æfingalokapróf 2

Lausnir

1. B stiki.

2. A

3. C sjö

4. C 0.02

5. C ekkert af ofangreindu

6. D 100/140

7. A ≈ 0

8. B Gildin fyrir x eru: {1, 2, 3,... 14}

9. C 0.9417.

10. D tvíkostadreifing

11. D 8.7

12. A –1.96

13. A 0.6321

14. D 360

15. B N ( 72, 72/50)

16. A 3/9

17. D

18. B 5.5

19. D 6.92

20. A 5

21. B 0.8541

22. B 0.2

23. A –1.

24. C pöruð úrtök, háðir hópar.

25. D Hafna H₀. Það eru næg sönnunargögn til að álykta að það sé munur á meðaltölum.

26. C það eru næg sönnunargögn til að álykta að hlutfallið fyrir karla sé hærra en hlutfallið fyrir konur.

27. B nei

28. B p-gildið er nálægt 1.

29. B Nei

30. C y ^ = 79.96 x – 0.0094

31. D Við ættum ekki að meta hér.

32. A

33. A p-gildið er > 0.10. Það eru ófullnægjandi upplýsingar til að álykta að dreifingin sé ekki jöfn.

34. C Prófið er til að ákvarða hvort ólíku hóparnir séu með sömu meðaltöl.