9.4 Sjaldgæfir atburðir, úrtakið og ákvörðun og niðurstaða
Að ákvarða gerð dreifingar, úrtaksstærð og hvort staðalfrávikið er þekkt eða óþekkt getur hjálpað til við að ákveða hvernig framkvæma eigi tilgátupróf. Þó þarf að hafa nokkra aðra þætti í huga þegar tilgátupróf er unnið.
Sjaldgæfir atburðir
Hugsunarferlið í tilgátuprófun má draga saman þannig: Þú vilt prófa hvort tiltekinn eiginleiki þýðisins sé sannur. Þú gerir ráð fyrir sönnu þýðismeðaltali fyrir talnagögn eða sönnu þýðishlutfalli fyrir flokkagögn. Þessi forsenda er núlltilgátan. Síðan safnar þú úrtaksgögnum sem eru dæmigerð fyrir þýðið. Úr úrtaksgögnunum reiknar þú úrtaksmeðaltal eða úrtakshlutfall. Ef gildið sem sést er mjög ólíklegt að komi fram, það er sjaldgæfur atburður, ef núlltilgátan er sönn, ferðu að spyrja hvers vegna það gerist. Eðlileg skýring er að núlltilgátan sé ósönn.
Til dæmis eru Didi og Ali í afmælisveislu hjá mjög auðugum vini. Þau flýta sér fremst í röðina til að draga verðlaun úr hárri körfu sem þau sjá ekki ofan í, því þau verða með bundið fyrir augun. Í körfunni eru 200 plastkúlur og Didi og Ali hefur verið sagt að aðeins ein þeirra innihaldi 100 dollara seðil. Didi er fyrst til að teygja sig ofan í körfuna og draga kúlu. Kúlan hennar inniheldur 100 dollara seðil. Líkurnar á þessu eru 1/200 = 0,005. Þar sem þetta er svo ólíklegt vonar Ali að það sem þeim var sagt sé rangt og að fleiri 100 dollara seðlar séu í körfunni. Sjaldgæfur atburður hefur átt sér stað, að Didi fái 100 dollara seðilinn, og því efast Ali um forsenduna um að aðeins einn slíkur seðill sé í körfunni.
Að nota úrtakið til að prófa núlltilgátuna
Eftir að gögn hafa verið söfnuð og prófstærð fengin, til dæmis úrtaksmeðaltal, úrtakshlutfall eða önnur prófstærð, má ákvarða líkurnar á að fá þessa prófstærð þegar núlltilgátan er sönn. Þessar líkur kallast p-gildi.
Þegar p-gildið er mjög lítið þýðir það að prófstærðin sem sást er mjög ólíkleg ef núlltilgátan er sönn. Þetta gefur marktækar vísbendingar um að núlltilgátan sé ósönn og að hafna eigi henni gagntilgátunni í vil. Í framkvæmd viljum við að p-gildið sé minna en 0,05 (5 prósent), eða stundum jafnvel minna en 0,01 (1 prósent), til að hafna núlltilgátunni.
Dæmi 9.9
Gerum ráð fyrir að bakari fullyrði að brauðin hans séu að meðaltali hærri en 15 cm. Nokkrir viðskiptavinir hans trúa honum ekki. Til að sannfæra viðskiptavinina um að hann hafi rétt fyrir sér ákveður bakarinn að framkvæma tilgátupróf. Hann bakar 10 brauð. Meðalhæð brauðanna í úrtakinu er 17 cm. Bakarinn veit af reynslu af hundruðum brauða að staðalfrávik hæðarinnar er 0,5 cm og að dreifing hæðanna er normaldreifð.
Núlltilgátan gæti verið H₀: μ ≤ 15. Gagntilgátan er Hₐ: μ > 15.
Orðin „er meira en“ samsvara tákninu „>“, þannig að „μ > 15“ fer í gagntilgátuna. Núlltilgátan verður að stangast á við gagntilgátuna.
Þar sem σ er þekkt (σ = 0,5 cm) og þýðið er normaldreift er dreifing úrtaksmeðaltalsins normaldreifð með meðaltal μ = 15 og staðalfrávik σ/√n = 0,5/√10 = 0,16.
Gerum ráð fyrir að núlltilgátan sé sönn, það er að meðalhæð brauðanna sé ekki meiri en 15 cm. Er þá meðalhæðin 17 cm, reiknuð úr úrtakinu, óvænt há? Tilgátuprófið spyr hversu ólíklegt úrtaksmeðaltalið væri ef núlltilgátan væri sönn. Grafið sýnir hversu langt út á normalferlinum úrtaksmeðaltalið liggur. p-gildið er líkurnar á að, ef tekin væru önnur úrtök, eitthvert annað úrtaksmeðaltal félli að minnsta kosti jafn langt út og 17 cm.
p-gildið er því líkurnar á að úrtaksmeðaltal sé 17 cm eða hærra þegar þýðismeðaltalið er í raun 15 cm. Við getum reiknað þessar líkur með normaldreifingu fyrir meðaltöl. Á mynd 9.2 er p-gildið flatarmálið undir normalferlinum hægra megin við 17. Með normaldreifingartöflu eða reiknivél má reikna að þessar líkur eru nánast núll.
p-gildi = P(x̄ > 17), sem er um það bil núll.
Vegna þess að p-gildið er næstum 0 ályktum við að það sé mjög ólíklegt að fá 17 cm eða hærra úrtaksmeðaltal úr 10 brauðum ef sanna meðalhæðin er 15 cm. Við höfnum núlltilgátunni og ályktum að nægileg gögn styðji þá fullyrðingu að sanna þýðismeðalhæð brauða bakarans sé meiri en 15 cm.
Ákvörðun og niðurstaða
Kerfisbundin leið til að ákveða hvort hafna eigi núlltilgátunni eða hafna henni ekki er að bera saman p-gildið og fyrirfram ákveðið α, einnig kallað marktektarstig prófsins. Fyrirfram ákveðið α er líkurnar á villu af gerð I, það er að hafna núlltilgátunni þegar núlltilgátan er sönn. Það getur verið gefið í upphafi verkefnisins, en þarf ekki að vera það.
Þegar tekin er ákvörðun um að hafna eða hafna ekki H₀ skal gera eftirfarandi:
- Ef p-gildi < α, hafnið H₀. Niðurstöður úrtaksgagnanna eru marktækar. Nægileg gögn eru til að álykta að H₀ sé röng trú og að gagntilgátan, Hₐ, kunni að vera rétt.
- Ef p-gildi ≥ α, hafnið ekki H₀. Niðurstöður úrtaksgagnanna eru ekki marktækar. Ekki eru nægileg gögn til að álykta að gagntilgátan, Hₐ, kunni að vera rétt.
- Þegar H₀ er ekki hafnað þýðir það ekki að þú eigir að trúa því að H₀ sé sönn. Það þýðir einfaldlega að úrtaksgögnin hafa ekki veitt nægileg gögn til að vekja alvarlegan vafa um sannleiksgildi H₀.
Niðurstaða: Eftir að ákvörðunin hefur verið tekin skal skrifa ígrundaða niðurstöðu um tilgáturnar í samhengi við verkefnið.
Dæmi 9.10
Þegar p-gildi er notað til að meta tilgátupróf getur verið gagnlegt að nota eftirfarandi minnisreglu:
Ef p-gildið er lágt þarf núlltilgátan að fara.
Ef p-gildið er hátt má núlltilgátan fljúga.
Minnisreglan tengir p-gildi sem er minna en ákveðið alfa við það að hafna núlltilgátunni og, á sama hátt, p-gildi sem er hærra en ákveðið alfa við það að hafna núlltilgátunni ekki.
Verkefni
Fyllið í eyðurnar.
Hafnið núlltilgátunni þegar ______________________________________.
Niðurstöður úrtaksgagnanna _____________________________________.
Hafnið ekki núlltilgátunni þegar __________________________________________.
Niðurstöður úrtaksgagnanna ____________________________________________.
Lausn
Hafnið núlltilgátunni þegar p-gildið er minna en ákveðna alfa-gildið. Niðurstöður úrtaksgagnanna styðja gagntilgátuna.
Hafnið ekki núlltilgátunni þegar p-gildið er stærra en eða jafnt og ákveðna alfa-gildið. Niðurstöður úrtaksgagnanna styðja ekki gagntilgátuna.