99 Tilgátuprófun með einu úrtaki

Heimadæmi

9.1 Núlltilgátur og gagntilgátur

Sumar eftirfarandi fullyrðinga vísa til núlltilgátu og sumar til gagntilgátu.

Settu fram núlltilgátuna, H₀, og gagntilgátuna, Hₐ, með viðeigandi stika, μ eða p.

Meðalfjöldi ára sem Bandaríkjamenn vinna áður en þeir fara á eftirlaun er 34.
Í mesta lagi 60 prósent Bandaríkjamanna kjósa í forsetakosningum.
Meðalbyrjunarlaun útskriftarnema frá San Jose State University eru að minnsta kosti $100.000 á ári.
Tuttugu og níu prósent framhaldsskólanema stunda leikfimi daglega.
Minna en 5 prósent fullorðinna taka strætó til vinnu í Los Angeles.
Meðalfjöldi bíla sem manneskja á yfir ævina er ekki meiri en 10.
Um það bil helmingur Bandaríkjamanna kýs að búa fjarri borgum ef þeir hafa val.
Evrópubúar hafa að meðaltali sex vikna launað frí á ári.
Líkurnar á að fá brjóstakrabbamein eru undir 11 prósentum hjá konum.
Meðalskólagjöld einkaháskóla eru meira en $20.000 á ári.

Í nýlegri könnun meðal 273 ungmenna sem valin voru af handahófi og bjuggu í Massachusetts var spurt um samfélagsmiðla. Sextíu og þrjú sögðust nota reglulega tiltekið forrit til að deila myndum. Rannsakendur vilja ákvarða hvort góð gögn bendi til þess að meira en 30 prósent ungmenna noti þetta forrit. Gagntilgátan er ein af eftirfarandi:

p < 0,30
p ≤ 0,30
p ≥ 0,30
p > 0,30

Kennari í tölfræði telur að færri en 20 prósent nemenda við Evergreen Valley College (EVC) hafi mætt á miðnætursýningu opnunarkvölds nýjustu Harry Potter-kvikmyndarinnar. Hún kannar 84 nemendur sína og kemst að því að 11 mættu á miðnætursýninguna. Viðeigandi gagntilgáta er ein af eftirfarandi:

p = 0,20
p > 0,20
p < 0,20
p ≤ 0,20

Áður hafði stofnun greint frá því að unglingar eyddu að meðaltali 4,5 klukkustundum á viku í símanum. Stofnunin telur að meðaltalið sé nú hærra. Fimmtán unglingar voru valdir af handahófi og spurðir hversu margar klukkustundir á viku þeir verja í símanum. Úrtaksmeðaltalið var 4,75 klukkustundir og staðalfrávik úrtaks var 2,0. Framkvæmdu tilgátupróf. Núlltilgátan og gagntilgátan eru einar af eftirfarandi:

H₀: x̄ = 4,5, Hₐ: x̄ > 4,5
H₀: μ ≥ 4,5, Hₐ: μ < 4,5
H₀: μ = 4,75, Hₐ: μ > 4,75
H₀: μ = 4,5, Hₐ: μ > 4,5

9.2 Niðurstöður og villur af gerð I og gerð II

Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum fyrir eftirfarandi fullyrðingar.

Meðalfjöldi ára sem Bandaríkjamenn vinna áður en þeir fara á eftirlaun er 34.
Í mesta lagi 60 prósent Bandaríkjamanna kjósa í forsetakosningum.
Meðalbyrjunarlaun útskriftarnema frá San Jose State University eru að minnsta kosti $100.000 á ári.
29 prósent framhaldsskólanema stunda leikfimi daglega.
Minna en 5 prósent fullorðinna taka strætó til vinnu í Los Angeles.
Meðalfjöldi bíla sem manneskja á yfir ævina er ekki meiri en 10.
Um það bil helmingur Bandaríkjamanna kýs að búa fjarri borgum ef þeir hafa val.
Evrópubúar hafa að meðaltali sex vikna launað frí á ári.
Líkurnar á að fá brjóstakrabbamein eru undir 11 prósentum hjá konum.
Meðalskólagjöld einkaháskóla eru meira en $20.000 á ári.

Fyrir fullyrðingar A-J í æfingu 9.66 skaltu svara eftirfarandi í heilum setningum.

Lýstu afleiðingu þess að gera villu af gerð I.
Lýstu afleiðingu þess að gera villu af gerð II.

Þegar nýtt lyf er búið til verður lyfjafyrirtækið að láta prófa það áður en það fær nauðsynlegt leyfi frá U.S. Food and Drug Administration (FDA) til að markaðssetja lyfið. Segjum að núlltilgátan sé að lyfið sé óöruggt. Hver er villa af gerð II?

Að álykta að lyfið sé öruggt þegar það er í raun óöruggt.
Að álykta ekki að lyfið sé öruggt þegar það er í raun öruggt.
Að álykta að lyfið sé öruggt þegar það er í raun öruggt.
Að álykta ekki að lyfið sé óöruggt þegar það er í raun óöruggt.

Kennari í tölfræði telur að færri en 20 prósent nemenda við Evergreen Valley College (EVC) hafi mætt á miðnætursýningu opnunarkvölds nýjustu Harry Potter-kvikmyndarinnar. Hún kannar 84 nemendur sína og kemst að því að 11 þeirra mættu á miðnætursýninguna. Villa af gerð I er að álykta að hlutfall EVC-nemenda sem mættu sé ________.

að minnsta kosti 20 prósent, þegar það er í raun minna en 20 prósent.
20 prósent, þegar það er í raun 20 prósent.
minna en 20 prósent, þegar það er í raun að minnsta kosti 20 prósent.
minna en 20 prósent, þegar það er í raun minna en 20 prósent.

Talið er að nemendur í Intermediate Algebra við Lake Tahoe Community College (LTCC) sofi að meðaltali minna en sjö klukkustundir á nóttu. Könnun meðal 22 slíkra nemenda gaf meðaltalið 7,24 klukkustundir og staðalfrávikið 1,93 klukkustundir. Við 5 prósenta marktektarstig, sofa LTCC-nemendur í Intermediate Algebra að meðaltali minna en sjö klukkustundir á nóttu?

Villa af gerð II er að hafna ekki þeirri fullyrðingu að meðalfjöldi svefnstunda LTCC-nemenda á nóttu sé að minnsta kosti sjö þegar meðalfjöldi stunda er í raun ________.

meiri en sjö klukkustundir.
í mesta lagi sjö klukkustundir.
að minnsta kosti sjö klukkustundir.
minni en sjö klukkustundir.

að álykta að núverandi meðalfjöldi klukkustunda á viku sé meiri en 4,5 þegar hann er í raun meiri.
að álykta að núverandi meðalfjöldi klukkustunda á viku sé meiri en 4,5 þegar hann er í raun sá sami.
að álykta að núverandi meðalfjöldi klukkustunda á viku sé 4,5 þegar hann er í raun meiri.
að álykta að núverandi meðalfjöldi klukkustunda á viku sé ekki hærri en 4,5 þegar hann er í raun ekki hærri.

Svefnpoki er prófaður og á að þola hitastig niður í −15 °F. Þú telur að pokinn þoli ekki svo lágt hitastig. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Fyrir æfingu 9.12, hvað merkja α og β í orðum?

Lýstu í orðum stærðinni 1 − β fyrir æfingu 9.12.

Hópur lækna er að ákveða hvort framkvæma eigi aðgerð. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé: skurðaðgerðin mun ganga vel. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Hópur lækna er að ákveða hvort framkvæma eigi aðgerð. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé: skurðaðgerðin mun ganga vel. Hvor villan hefur alvarlegri afleiðingar?

Styrkur prófs er 0,981. Hverjar eru líkurnar á villu af gerð II?

Hópur kafara er að kanna gamalt sokkið skip. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sokkna skipið innihaldi ekki grafinn fjársjóð. Lýstu villu af gerð I og villu af gerð II í heilum setningum.

Örverufræðingur prófar vatnssýni fyrir E. coli. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sýnið innihaldi ekki E. coli. Líkurnar á því að sýnið innihaldi ekki E. coli en örverufræðingurinn telji að það innihaldi E. coli eru 0,012. Líkurnar á því að sýnið innihaldi E. coli en örverufræðingurinn telji að það innihaldi ekki E. coli eru 0,002. Hver er styrkur þessa prófs?

Örverufræðingur prófar vatnssýni fyrir E. coli. Segjum að núlltilgátan, H₀, sé að sýnið innihaldi E. coli. Hvor villan hefur alvarlegri afleiðingar?

9.3 Dreifing sem þarf fyrir tilgátuprófun

N(7,24, 1,93/√22)
N(7,24, 1,93)
t₂₂
t₂₁

9.4 Sjaldgæfir atburðir, úrtakið og ákvörðun og niðurstaða

National Institute of Mental Health birti grein þar sem fram kom að á hvaða eins árs tímabili sem er þjást um það bil 9,5 prósent fullorðinna Bandaríkjamanna af þunglyndi eða þunglyndissjúkdómi. Segjum að í könnun meðal 100 einstaklinga í tilteknum bæ hafi sjö þeirra þjáðst af þunglyndi eða þunglyndissjúkdómi. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort raunverulegt hlutfall fólks í bænum sem þjáist af þunglyndi eða þunglyndissjúkdómi sé lægra en hlutfallið í almennu þýði fullorðinna Bandaríkjamanna.

Er þetta próf á einu meðaltali eða hlutfalli?
Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu. H₀: ____________________ Hₐ: ____________________
Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
Hvaða tákn táknar slembibreytuna í þessu prófi?
Skilgreindu slembibreytuna í orðum fyrir þetta próf.
Reiknaðu eftirfarandi: x = ________________ n = ________________ p′ = _____________
Reiknaðu σ_x = __________. Sýndu uppsetningu formúlunnar.
Settu fram dreifinguna sem á að nota fyrir tilgátuprófið.
Finndu p-gildið.
Við fyrirfram ákveðið α = 0,05, gefðu svar fyrir hvert af eftirfarandi: ákvörðun, ástæða ákvörðunar og niðurstaða í heilli setningu.

9.5 Viðbótarupplýsingar og heildstæð dæmi um tilgátupróf

Fyrir hvert orðadæmi skaltu nota lausnablað til að framkvæma tilgátuprófið. Lausnablaðið er í viðauka E, Lausnablöð. Þér er frjálst að afrita lausnablöðin. Í netútgáfu bókarinnar er mælt með því að þú afritir .doc- eða .pdf-skrárnar.

Athugasemd: Ef þú notar t-dreifingu Students í einhverju eftirfarandi heimadæma máttu gera ráð fyrir að undirliggjandi þýði sé normaldreift. Almennt þarf þó fyrst að sanna þá forsendu.

Tiltekið dekkjamerki heldur því fram að lúxusdekk þess endist að meðaltali að minnsta kosti 50.000 mílur áður en skipta þurfi um það. Úr fyrri rannsóknum á þessu dekki er vitað að staðalfrávikið er 8.000. Könnun er gerð meðal eigenda þessarar dekkjagerðar. Af 28 dekkjum í könnuninni var meðalendingin 46.500 mílur og staðalfrávikið 9.800 mílur. Með α = 0,05, eru gögnin mjög ósamrýmanleg fullyrðingunni?

Árið 2009 tilkynnti Barack Obama forseti nýja stefnu fyrir eldsneytisnýtingu og útblástur fólksbíla og léttra vörubíla í Bandaríkjunum. Þar kom fram að samanlögð meðaleldsneytisnýting bíla- og léttvörubílaflota bílaframleiðanda þyrfti að vera 35,5 mílur á gallon eða betri fyrir árið 2016. Úr fyrri rannsóknum á eldsneytisnýtingu er vitað að staðalfrávik dæmigerðs flota er 7,6 mpg. Bílaframleiðandi velur slembiúrtak 55 bíla og léttra vörubíla og kemst að því að úrtaksmeðaleldsneytisnýtingin er 34,6 mpg og staðalfrávikið 10,3 mpg. Getur framleiðandinn haldið því fram að floti hans uppfylli eldsneytisnýtingarstaðal stefnu ársins 2016 við 5 prósenta marktektarstig?

Kostnaður dagblaðs er breytilegur milli borga. Breytileikinn í verði helst þó stöðugur með staðalfrávikið 20 sent. Rannsókn var gerð til að prófa fullyrðingu um að meðalkostnaður dagblaðs sé $1,00. Tólf verðmælingar gefa meðalkostnaðinn 95 sent og staðalfrávikið 18 sent. Styðja gögnin fullyrðinguna við 1 prósents marktektarstig?

Grein í San Jose Mercury News sagði að nemendur í California State University-kerfinu væru að meðaltali 4,5 ár að ljúka grunnnámi. Segjum að þú teljir að meðaltíminn sé lengri. Þú framkvæmir könnun meðal 49 nemenda og færð úrtaksmeðaltalið 5,1 og staðalfrávik úrtaks 1,2. Styðja gögnin fullyrðingu þína við 1 prósents marktektarstig?

Talið er að meðalfjöldi veikindadaga sem starfsmaður tekur á ári sé um 10. Starfsfólk starfsmannadeildar trúir þessari tölu ekki. Það velur af handahófi átta starfsmenn. Fjöldi veikindadaga sem þeir tóku á síðasta ári var: 12; 4; 15; 3; 11; 8; 6; 8. Látum x vera fjölda veikindadaga sem þeir tóku á síðasta ári. Ætti starfsmannadeildin að trúa því að meðalfjöldinn sé 10?

Árið 1955 greindi Life Magazine frá því að 25 ára móðir þriggja barna ynni að meðaltali 80 klukkustundir á viku. Nýlega hafa margir hópar rannsakað hvort kvennahreyfingin hafi í raun leitt til aukningar á meðalvinnuviku kvenna, þegar atvinnuvinna og heimavinna eru lagðar saman. Segjum að rannsókn hafi verið gerð til að kanna hvort meðalvinnuvikan hafi aukist. Áttatíu og ein kona var könnuð með eftirfarandi niðurstöðum: úrtaksmeðaltalið var 83 og staðalfrávik úrtaks var 10. Virðist meðalvinnuvika kvenna hafa aukist við 5 prósenta marktektarstig?

Tölfræðikennarinn þinn heldur því fram að 60 prósent nemenda sem taka Elementary Statistics hjá henni fari í gegnum lífið upplýstari. Af einhverri ástæðu sem hún getur ekki alveg útskýrt trúa flestir henni ekki. Þú ákveður að kanna þetta sjálf eða sjálfur. Þú velur af handahófi 64 fyrrverandi nemendur hennar í Elementary Statistics og kemst að því að 34 telja sig upplýstari vegna námskeiðsins. Hvað heldur þú nú?

Í auglýsingu frá Nissan Motor Corporation stóð: „Meðalgreindarvísitala karlsins er 107. Meðalgreindarvísitala urriða er 4. Af hverju getur maðurinn þá ekki veitt urriða?“ Segjum að þú teljir að meðalgreindarvísitala urriða sé meiri en fjórir. Þú veiðir 12 urriða. Fiskasálfræðingur ákvarðar greindarvísitölurnar sem hér segir: 5, 4, 7, 3, 6, 4, 5, 3, 6, 3, 8, 5. Framkvæmdu tilgátupróf á þeirri skoðun þinni.

Vísaðu í æfingu 9.81. Framkvæmdu tilgátupróf til að sjá hvort ákvörðun þín og niðurstaða myndu breytast ef skoðun þín væri að meðalgreindarvísitala urriða væri ekki fjórir.

Samkvæmt grein í Newsweek er náttúrulegt hlutfall stúlkna og drengja 100:105. Í Kína er fæðingarhlutfallið 100:114, eða 46,7 prósent stúlkur. Segjum að þú trúir ekki birtum tölum um hlutfall stúlkna sem fæðast í Kína. Þú framkvæmir rannsókn. Í rannsókninni telur þú fjölda stúlkna og drengja í 150 nýlegum fæðingum sem valdar eru af handahófi. Af 150 börnum eru 60 stúlkur og 90 drengir. Miðað við rannsókn þína, trúir þú því að hlutfall stúlkna sem fæðast í Kína sé 46,7?

Hópur rannsakenda rannsakar algengan smitsjúkdóm. Dagblað komst að því að 13 prósent Bandaríkjamanna höfðu greinst með sjúkdóminn á síðasta ári. Rannsakendurnir efast um að hlutfallið sé raunverulega svo hátt. Þeir framkvæma eigin könnun. Af 76 Bandaríkjamönnum í könnuninni höfðu aðeins tveir greinst með sjúkdóminn. Myndir þú vera sammála könnun dagblaðsins? Gefðu þrjár ástæður í heilum setningum fyrir því hvers vegna kannanir geta gefið ólíkar niðurstöður.

Talið er að meðalvinnuvika verkfræðinga í sprotafyrirtæki sé um 60 klukkustundir. Nýráðinn verkfræðingur vonar að hún sé styttri. Hún spyr 10 verkfræðivini í sprotafyrirtækjum um lengd meðalvinnuviku þeirra. Miðað við niðurstöðurnar hér á eftir, ætti hún að reikna með að meðalvinnuvikan sé styttri en 60 klukkustundir?

Gögn, lengd meðalvinnuviku: 70, 45, 55, 60, 65, 55, 55, 60, 50, 55.

Notaðu gögn um hringtíma fyrir hring 4, sjá viðauka C: Gagnasöfn, til að prófa fullyrðinguna um að Terri ljúki hring 4 að meðaltali á minna en 129 sekúndum. Notaðu öll 20 hlaupin sem gefin eru.

Notaðu gögn um frumútboð hlutabréfa, sjá viðauka C: Gagnasöfn, til að prófa fullyrðinguna um að meðalútboðsgengi hafi verið $18 á hlut. Notaðu ekki öll gögnin. Notaðu slembitölugjafann þinn til að velja af handahófi 15 verð.

Athugasemd: Eftirfarandi spurningar voru samdar af fyrrverandi nemendum. Þetta eru frábær verkefni.

„Asísk fjölskyldusamkoma,“ eftir Chau Nguyen.

Á tveggja ára fresti kemur hún aftur. Við komum öll saman frá ólíkum bæjum. Að mínu mati er þetta ekki dæmigerð fjölskyldusamkoma. Ekki fjörutíu, fimmtíu eða sextíu, heldur hvað með sjötíu félaga! Börnin leika sér, öskra og hrópa; eina mínútuna eru þau glöð, þá næstu fara þau í fýlu. Unglingarnir horfa, stara og bera sig saman, allt frá útliti til klæðnaðar. Karlarnir spjalla um viðskipti sín, að þeir græði meira en aldrei minna. Peningar eru alltaf umræðuefnið og alltaf er talað um ný verkefni. Konurnar þreytast á öllu spjallinu og fara í eldhúsið til að leggja fram mottur. Sumir sitja og sumir standa, borða og tala með diska í höndunum. Þá koma leikirnir og söngvarnir og allt í einu ná allir saman! Með öllum þessum hlátri er dapurt að segja að þetta endar alltaf á sama hátt. Þau faðmast, kyssast og segja bless, og þá byrja þau öll að gráta! Ég segi að 60 prósent felli tár, en mamma taldi 35 manns í ár. Hún sagði að strákar og karlar muni alltaf hafa stolt sitt, svo við sjáum þá aldrei gráta. Ég sjálf tel hana ekki hafa rétt fyrir sér; getið þið prófað þetta verkefni og séð hvort þið mótmælið?

„Að blása sápukúlur,“ eftir Sondru Prull.

Að læra tölfræði gerði mig spennta og stressaða, svo ég þurfti heilbrigða vörn: léttan og einfaldan leik til að láta stærðfræðikvíðann svífa burt. Að blása sápukúlur lyftir mér hátt og sendir vandamálin upp til himins. PÚFF! Þær hverfa með öllu stressinu; sápukúlumeðferð er best. Á merkimiðanum stóð að í hvert sinn sem ég blési yrði meðalfjöldi sápukúla að minnsta kosti 22. Ég blés og blés og fann þetta: í 64 blástrum voru þær allar kringlóttar! En fjöldi sápukúla í 64 blástrum var mjög breytilegur; 20 á blástur varð meðaltalið og þær viku um 6, ekki 16. Að telja sápukúlur slakaði sannarlega á mér, en nú fæ ég ykkur verkefnið: var 22 sanngjörn ágiskun? Finnið svarið og standist prófið!

„Dalmatíuvandræði,“ eftir Kathy Sparling.

Gráðugur hundaræktandi að nafni Spreckles ræktaði hvolpa með ótal flekkjum. Dalmatíuhundarnir sem hann sóttist eftir höfðu blett við blett; því fleiri blettir, taldi hann, því meiri peningur. Keppinautar hans voru ekki sammála því að blettir hækkuðu verðið. Þeir sögðu: „Blettir eru vissulega fallegir, en þeir hafa ekki áhrif á verðið; maður ætti að rækta fyrir betri ættbók.“ Ræktendurnir ákváðu að sanna fyrir Spreckles að þessi aðferð væri röng. Að rækta aðeins fyrir bletti myndi valda tjóni, héldu þeir, og þeir vildu hrekja kenningu hans. Þeir lögðu til keppni við Spreckles þar sem hundaverð væri borið saman við bletti. Þeir skoðuðu skrár um hundrað og einn hvolp, Dalmatíuhunda sem fengu hæsta verðið. Þeir báðu herra Spreckles að nefna meðalfjölda bletta sem hann teldi færa mikið fé. Spreckles sagði: „Ja, svei mér þá, ég stefni á hundrað og einn.“ Áhugamaður um tölfræði sem vildi hjálpa sagði að 21 væri nægilegt staðalfrávik fyrir úrtakið. Þeir skoðuðu hundrað og einn Dalmatíuhund sem seldist vel, töldu hvern blett, merki og depil og lögðu allt saman. Í stað hundrað og eins bletts voru þeir að meðaltali með níutíu og sex depla. Geta þeir stöðvað þráhyggju Spreckles fyrir blettum út frá öllum hundagögnunum?

„Makkarónur og ostur, takk!!“ eftir Neddu Misherghi og Rachelle Hall.

Sem fátækur og svangur námsmaður hef ég ekki mikla peninga til að eyða, jafnvel ekki í brýnustu nauðsynjar. Uppáhalds- og aðalfæðan mín er því makkarónur og ostur. Rétturinn bragðast vel, kostar lítið og hefur lítið næringargildi. Einn daginn, þegar ég settist niður til að finna merkingu lífsins, fékk ég mikla löngun í þennan mikilvæga mat lífs míns. Ég fór því niður götuna í Greatway til að kaupa kassa af makkarónum og osti, en hann var SVO dýr! $2,02! Getið þið trúað því? Það fékk mig til að hugsa. Heimurinn breytist hratt. Ég hafði haldið að meðalverð kassa, í venjulegri stærð en ekki risastórri fjölskyldupakkningu, væri í mesta lagi $1, en nú var ég ekki lengur viss. Ég var þó staðráðin í að komast að því. Ég fór í 53 næstu matvöruverslanir og kannaði verð á makkarónum og osti. Hér eru gögnin sem ég skrifaði í minnisbókina mína.

Verð á kassa af makkarónum og osti:

5 verslanir @ $2,02
15 verslanir @ $0,25
3 verslanir @ $1,29
6 verslanir @ $0,35
4 verslanir @ $2,27
7 verslanir @ $1,50
5 verslanir @ $1,89
8 verslanir @ $0,75

Ég sá að verðið var breytilegt en þurfti að setjast niður og finna út hvort ég hefði rétt fyrir mér. Ef það kemur í ljós að þessi girnilegi réttur kostar í mesta lagi $1, þá held ég stóra ostaveislu í næsta tölfræðitíma, með nægum makkarónum og osti bara fyrir mig. Þegar allt kemur til alls er ekki hægt að ætlast til þess að fátækur og svangur námsmaður fæði allan bekkinn!

„William Shakespeare: Harmleikur Hamlets Danaprins,“ eftir Jacqueline Ghodsi.

Persónur í þeirri röð sem þær birtast: Hamlet, Danaprins og tölfræðinemi; Polonius, kennari Hamlets; Horatio, vinur Hamlets og samnemandi. Svið: Stóra bókasafnið í kastalanum, þar sem Hamlet sinnir námi sínu.

I. þáttur. Dagurinn er bjartur en andlit Hamlets er dimmt. Hann gengur um stóra herbergið. Kennari hans, Polonius, ávítar Hamlet vegna nýlegrar reynslu hans. Horatio situr við stóra borðið hægra megin á sviðinu. Polonius segir: „Herra minn, hvernig getur þú viðurkennt að hafa séð draug! Það er aðeins hugarburður.“ Hamlet svarar: „Ég er ósammála; ég veit með vissu að sjötíu og fimm af hverjum hundrað okkar, dæmd eins og við erum til svipa og háðs tímans, hafa séð anda, hvort sem fyrirætlanir hans eru illar eða góðar.“

Polonius segir: „Ef þú heldur fast við þessa ömurlegu sýn, leyfðu mér þá að nýta tíma þinn; vertu trúr vinnu þinni og talaðu til mín með rökum núlltilgátu og gagntilgátu.“ Hann snýr sér að Horatio. „Sagði Hamlet ekki sjálfur: Hvílíkt meistaraverk er maðurinn, hve göfugur í skynseminni og óendanlegur í hæfileikum? Látum þá þessa vitleysu ekki halda áfram. Farðu, Horatio, gerðu könnun meðal sextíu og þriggja og komstu að hinu sanna hlutfalli. Fyrir mitt leyti mun ég aldrei falla fyrir þessari ímyndun, heldur telja manninn gjörsneyddan allri skynsemi ef tillaga þín um að minnsta kosti sjötíu og fimm af hverjum hundrað reynist sönn.“ Horatio spyr Hamlet: „Hvað eigum við að gera, herra minn?“ Hamlet svarar: „Farðu að verki þínu, Horatio.“ Horatio spyr: „Í hvaða tilgangi, herra minn?“ Hamlet svarar að Horatio verði að kenna sér það og biður hann, í nafni vináttu þeirra, að segja sér hreint út hvort hann hafi rétt fyrir sér eða ekki. Horatio fer út ásamt Poloniusi og Hamlet er eftir einn að hugsa.

II. þáttur. Daginn eftir bíður Hamlet kvíðinn eftir vini sínum Horatio. Polonius kemur inn og leggur nokkrar bækur á borðið rétt áður en Horatio kemur. Polonius spyr: „Jæja, Horatio, hvað leiddu athuganir þínar í ljós?“ Horatio svarar: „Í slembikönnuninni sem þú sendir mig sjálfur til að gera fann ég að fjörutíu og einn trúa einlæglega að andar hinna dauðu gangi meðal okkar. Fyrir Guði mínum hefði ég ekki getað trúað þessu án skynsamlegrar og sannrar staðfestingar eigin augna.“ Polonius segir: „Gefðu hugsunum þínum ekki tungu, Horatio.“ Hann snýr sér að Hamlet. „En gættu að þessu, herra minn. Komdu Horatio, förum saman, því þetta er ekki okkar próf.“ Horatio og Polonius fara saman. Hamlet segir: „Að hafna eða hafna ekki, það er spurningin: hvort sé göfugra í huganum að þola slöngur og örvar ofsafenginnar tölfræði eða taka vopn gegn hafi gagna og með andstöðu binda enda á þau.“ Hamlet sinnir verkefni sínu með uppgjöf. Tjaldið fellur.

„Ónefnt,“ eftir Stephen Chen.

Ég hef oft velt fyrir mér hvernig hugbúnaður er gefinn út og seldur almenningi. Það er kaldhæðnislegt að ég vinn hjá fyrirtæki sem selur vörur með þekkt vandamál. Því miður er erfitt að framkalla flest vandamálin og því erfitt að laga þau. Ég nota venjulega prófunarforrit X, sem prófar vöruna, til að reyna að framkalla tiltekið vandamál. Þegar prófunarforritið er keyrt til að láta villu koma fram eru líkurnar á að mynda villu 1 prósent. Með þessa vitneskju skrifaði ég nýtt prófunarforrit Y sem myndar sömu villu og prófunarforrit X, en oftar. Til að komast að því hvort forritið mitt sé betra en upprunalega forritið, svo ég geti sannfært stjórnendur um að ég hafi rétt fyrir mér, keyrði ég forritið mitt og kannaði hversu oft ég gæti myndað sömu villu. Þegar ég keyrði forritið 50 sinnum myndaði ég villuna tvisvar. Þótt þetta virðist kannski ekki miklu betra held ég að ég geti sannfært stjórnendur um að nota mitt prófunarforrit í stað upprunalega forritsins. Hef ég rétt fyrir mér?

„Japönsk stúlknanöfn,“ eftir Kumi Furuichi.

Áður var mjög dæmigert að japönsk stúlknanöfn enduðu á „ko“. Þróunin gæti hafa byrjað um kynslóð ömmu minnar og náð hámarki um kynslóð móður minnar. „Ko“ merkir „barn“ í kínverskum táknum. Foreldrar gáfu dætrum sínum nöfn með „ko“ tengt öðrum kínverskum táknum sem höfðu merkingu sem þeir vildu að dæturnar yrðu, til dæmis Sachiko, hamingjusamt barn, Yoshiko, gott barn, Yasuko, heilbrigt barn, og svo framvegis. Ég tók þó nýlega eftir því að aðeins tvær af níu japönskum vinkonum mínum í þessum skóla hafa nöfn sem enda á „ko“. Foreldrar virðast í auknum mæli hafa orðið skapandi, nútímalegir og stundum vestrænni í nafngiftum barna sinna. Mér finnst líklegt að 70 prósent eða meira af kynslóð móður minnar hafi haft nöfn sem enduðu á „ko“, en hlutfallið hafi lækkað meðal jafnaldra minna. Ég skrifaði niður öll nöfn japanskra vina minna, fyrrverandi bekkjarfélaga, samstarfsfólks og kunningja sem ég mundi. Sum nöfn koma fyrir oftar en einu sinni. Prófaðu hvort hlutfallið hafi lækkað hjá þessari kynslóð.

Ai, Akemi, Akiko, Ayumi, Chiaki, Chie, Eiko, Eri, Eriko, Fumiko, Harumi, Hitomi, Hiroko, Hiroko, Hidemi, Hisako, Hinako, Izumi, Izumi, Junko, Junko, Kana, Kanako, Kanayo, Kayo, Kayoko, Kazumi, Keiko, Keiko, Kei, Kumi, Kumiko, Kyoko, Kyoko, Madoka, Maho, Mai, Maiko, Maki, Miki, Miki, Mikiko, Mina, Minako, Miyako, Momoko, Nana, Naoko, Naoko, Naoko, Noriko, Rieko, Rika, Rika, Rumiko, Rei, Reiko, Reiko, Sachiko, Sachiko, Sachiyo, Saki, Sayaka, Sayoko, Sayuri, Seiko, Shiho, Shizuka, Sumiko, Takako, Takako, Tomoe, Tomoe, Tomoko, Touko, Yasuko, Yasuko, Yasuyo, Yoko, Yoko, Yoko, Yoshiko, Yoshiko, Yoshiko, Yuka, Yuki, Yuki, Yukiko, Yuko, Yuko.

„Ósk Phillips,“ eftir Suzanne Osorio.

Frændi minn elskar að leika sér; að elta stelpurnar gerir daginn hans skemmtilegan. Hann spurði móður sína hvort það væri í lagi að láta gata á sér eyrað. Hún sagði: „Nei, alls ekki!“ Að stinga gat í eyrað þitt er ekki það sem ég vil fyrir þig, elskan. Hann rökstuddi mál sitt vel og sagði að jafnvel hinn karlmannlegi vinur hans Mel hefði látið gera þetta. Þetta væri bara gaman. „Gerðu það, mamma, hvað er að því?“ Phillip kvartaði aftur við móður sína og sagði að helmingur vina hans, þar á meðal bræður þeirra, væru með göt í eyrum og óttuðust ekkert; hann vildi vera eins og hinir. Hún sagði: „Ég held að hlutfallið sé miklu lægra. Við verðum að gera tilgátupróf. Ef þú hefur rétt fyrir þér mun ég ekki berjast á móti, en ef ekki þá stendur mitt mál.“ Við hringdum í fimmtíu stráka til að sjá hvor spáin stæðist. Nítján af fimmtíu sögðu að eyrnagöt væru flott og að þeir keyptu stundum eyrnalokka. Hinir þrjátíu og einn sögðust aldrei myndu gera þetta. Nú er kvæðinu lokið. Munu vonir hans minnka eða fær frændi minn að skemmta sér?

„Hrafninn,“ eftir Mark Salangsang.

Einu sinni á dimmum morgni var ég veikur og þreyttur í tölfræðitíma, að velta fyrir mér heimavinnu gærkvöldsins sem nú var með svör á töflunni. Þetta gerði ég og ekkert meira. Á meðan ég dottaði næstum sofandi heyrðist skyndilega bank, eins og einhver bankaði varlega, bankaði í höfuðið á mér þar sem ég hraut. Kennarinn mælti: „Sofðu ekki meir.“ „Í hverjum tíma sofnar þú,“ sagði kennarinn djúpri röddu. „Því hef ég byrjað að halda talningu á hverjum tíma sem þú blundar og hrýtur. Hlutfallið er fjörutíu og fjögur.“ „Kæri kennari, ég verð að játa að svefn er það sem ég geri best. En hlutfallið, held ég, hlýtur að vera lægra, lægra en fjörutíu og fjögur.“ Þetta sagði ég og ekkert meira. „Við sjáum til,“ sagði hann og gekk burt. Í fimmtíu kennslustundum frá þeim degi taldi hann fram í maí þá tíma sem ég blundaði og hraut. Talan sem hann fann var tuttugu og fjórir. Við marktektarstigið 0,05, segðu mér hvort ég sé enn á lífi eða hvort einkunn mín steypist niður fyrir gólfið. Ég bið þig hér með.

Toastmasters International vísar í skýrslu Gallup Poll um að 40 prósent Bandaríkjamanna óttist að tala opinberlega. Nemandi telur að minna en 40 prósent nemenda í skólanum hennar óttist ræðuhöld. Hún velur af handahófi 361 skólasystkini og kemst að því að 135 segjast óttast ræðuhöld. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort hlutfallið í skólanum hennar sé minna en 40.

Sextíu og átta prósent netnámskeiða sem kennd voru í samfélagsháskólum á landsvísu voru kennd af kennurum í fullu starfi. Til að prófa hvort 68 prósent lýsi einnig hlutfalli Kaliforníu fyrir kennara í fullu starfi sem kenna netnámskeið var Long Beach City College (LBCC) í Kaliforníu valinn af handahófi til samanburðar. Sama ár voru 34 af 44 netnámskeiðum sem LBCC bauð kennd af kennurum í fullu starfi. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort 68 prósent lýsi Kaliforníu. Athugasemd: Til að fá nákvæmari niðurstöður skaltu nota fleiri samfélagsháskóla í Kaliforníu og gögn síðasta árs.

Samkvæmt grein í staðbundinni könnun fann borg að 14 prósent íbúa hennar ganga sér til hreyfingar. Segjum að könnun sé framkvæmd til að ákvarða hlutfallið á þessu ári. Níu af 70 borgarbúum sem valdir voru af handahófi svöruðu að þeir gengju sér til hreyfingar. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort hlutfallið sé enn 14 prósent eða hvort það hafi lækkað.

Meðalaldur nemenda við De Anza College á fyrri önn var 26,6 ár. Kennari telur að meðalaldur netnema sé hærri en 26,6. Hún velur af handahófi 56 netnema og finnur úrtaksmeðaltalið 29,4 með staðalfrávik 2,1. Framkvæmdu tilgátupróf.

Skráðir hjúkrunarfræðingar höfðu að meðaltali $69.110 í árslaun. Sama ár var gerð könnun meðal 41 skráðs hjúkrunarfræðings í Kaliforníu til að ákvarða hvort árslaunin væru hærri en $69.110 hjá hjúkrunarfræðingum í Kaliforníu. Úrtaksmeðaltalið var $71.121 og staðalfrávik úrtaks var $7.489. Framkvæmdu tilgátupróf.

La Leche League International greinir frá því að meðalaldur barna við lok brjóstagjafar sé fjögur til fimm ár á heimsvísu. Í Bandaríkjunum venja flestar mæður börn sín af brjósti miklu fyrr. Segjum að gerð sé slembikönnun meðal 21 bandarískrar móður sem nýlega vandu börn sín af brjósti. Meðalaldurinn við lok brjóstagjafar var níu mánuðir, eða 3/4 úr ári, og staðalfrávikið fjórir mánuðir. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort meðalaldur við lok brjóstagjafar í Bandaríkjunum sé minni en fjögur ár.

Harley Davidson-mótorhjól eru söluhæstu mótorhjólin í Bandaríkjunum, með 14 prósent allra mótorhjóla sem seld voru árið 2012. Athyglisvert er að slembiúrtak 1.945 stolinna mótorhjóla var valið og aðeins 8 prósent þeirra reyndust vera Harley. Eru góð gögn fyrir því að hlutfall Harley-mótorhjóla meðal stolinna mótorhjóla sé marktækt lægra en hlutdeild þeirra meðal allra mótorhjóla? Eftir að prófið er framkvæmt, hvaða ákvörðun og niðurstöðu myndir þú setja fram?

Hafna H₀: Það eru næg gögn til að álykta að hlutfall stolinna Harley-mótorhjóla sé marktækt lægra en hlutdeild þeirra meðal allra mótorhjóla.
Hafna ekki H₀: Það eru ekki næg gögn til að álykta að hlutfall stolinna Harley-mótorhjóla sé marktækt lægra en hlutdeild þeirra meðal allra mótorhjóla.
Hafna ekki H₀: Það eru næg gögn til að álykta að hlutfall stolinna Harley-mótorhjóla sé marktækt hærra en hlutdeild þeirra meðal allra mótorhjóla.
Hafna H₀: Það eru næg gögn til að álykta að hlutfall stolinna Harley-mótorhjóla sé marktækt hærra en hlutdeild þeirra meðal allra mótorhjóla.

Kennari í tölfræði telur að færri en 20 prósent nemenda við Evergreen Valley College (EVC) hafi mætt á miðnætursýningu opnunarkvölds nýjustu Harry Potter-kvikmyndarinnar. Hún kannar 84 nemendur sína og kemst að því að 11 þeirra mættu á miðnætursýninguna. Við 1 prósents marktektarstig, hver er viðeigandi niðurstaða?

Það eru ekki næg gögn til að álykta að hlutfall EVC-nemenda sem mættu á miðnætursýningu Harry Potter sé minna en 20 prósent.
Það eru næg gögn til að álykta að hlutfall EVC-nemenda sem mættu á miðnætursýningu Harry Potter sé meira en 20 prósent.
Það eru næg gögn til að álykta að hlutfall EVC-nemenda sem mættu á miðnætursýningu Harry Potter sé minna en 20 prósent.
Það eru ekki næg gögn til að álykta að hlutfall EVC-nemenda sem mættu á miðnætursýningu Harry Potter sé að minnsta kosti 20 prósent.

Áður hafði stofnun greint frá því að unglingar eyddu að meðaltali 4,5 klukkustundum á viku í símanum. Stofnunin telur að meðaltalið sé nú hærra. Fimmtán unglingar voru valdir af handahófi og spurðir hversu margar klukkustundir á viku þeir verja í símanum. Úrtaksmeðaltalið var 4,75 klukkustundir og staðalfrávik úrtaks var 2,0. Framkvæmdu tilgátupróf. Við marktektarstigið α = 0,05, hver er rétt niðurstaða?

Það eru næg gögn til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda sé meiri en 4,75.
Það eru næg gögn til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda sé meiri en 4,5.
Það eru ekki næg gögn til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda sé meiri en 4,5.
Það eru ekki næg gögn til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda sé meiri en 4,75.

Tilgátuprófun: Svaraðu hverri spurningu í eftirfarandi 10 æfingum.

Settu fram núlltilgátu og gagntilgátu.
Settu fram p-gildið.
Settu fram alfa.
Hver er ákvörðun þín?
Skrifaðu niðurstöðu.
Svaraðu öllum öðrum spurningum sem lagðar eru fram í dæminu.

Rannsóknarhópur rannsakar tiltekinn smitsjúkdóm. Árið 2011 höfðu að minnsta kosti 18 prósent íbúa hjúkrunarheimila sjúkdóminn. Bekkur í inngangi að tölfræði í Daviess County, Kentucky, framkvæmdi tilgátupróf á hjúkrunarheimilinu, sem hafði um 1.200 íbúa, til að ákvarða hvort staðbundin tíðni sjúkdómsins væri lægri. Hundrað og fimmtíu íbúar voru valdir af handahófi og spurðir. Af þeim 150 íbúum sem voru spurðir voru 82 með sjúkdóminn. Notaðu marktektarstigið 0,05 og viðeigandi tölfræðileg gögn til að framkvæma tilgátupróf og setja fram niðurstöður.

Nýleg könnun í New York Times Almanac gaf til kynna að 48,8 prósent fjölskyldna ættu hlutabréf. Verðbréfamiðlari vildi ákvarða hvort könnunin gæti verið gild. Hann kannaði slembiúrtak 250 fjölskyldna og komst að því að 142 áttu einhvers konar hlutabréf. Við marktektarstigið 0,05, má líta á könnunina sem nákvæma?

Samkvæmt American Automobile Association má rekja um það bil 54 prósent allra banaslysa í umferðinni til mistaka ökumanna. Þrjátíu banaslys sem valin eru af handahófi eru skoðuð og í ljós kemur að 14 voru af völdum mistaka ökumanna. Með α = 0,05, er hlutfall AAA nákvæmt?

U.S. Department of Energy greindi frá því að 51,7 prósent heimila væru hituð með jarðgasi. Slembiúrtak 221 heimilis í Kentucky sýndi að 115 voru hituð með jarðgasi. Styðja gögnin fullyrðinguna fyrir Kentucky við α = 0,05? Gilda niðurstöðurnar um allt landið? Hvers vegna?

Fyrir Bandaríkjamenn sem nota þjónustu bókasafna heldur American Library Association því fram að í mesta lagi 67 prósent gesta fái bækur að láni. Bókasafnsstjóri í Owensboro, Kentucky, telur þetta ekki rétt og bað því tölfræðibekk í staðbundnum háskóla að framkvæma könnun. Bekkurinn valdi af handahófi 100 gesti og komst að því að 82 fengu bækur að láni. Sýndi bekkurinn fram á að hlutfallið væri hærra í Owensboro, Kentucky? Notaðu α = 0,01 marktektarstig. Hvert gæti hlutfall gesta sem fá bækur að láni frá bókasafninu í Owensboro verið?

Weather Underground greindi frá því að meðalúrkoma að sumri í norðausturhluta Bandaríkjanna væri að minnsta kosti 11,52 tommur. Tíu borgir í norðausturhlutanum eru valdar af handahófi og meðalúrkoman reiknast 7,42 tommur með staðalfrávik 1,3 tommur. Við α = 0,05, má álykta að meðalúrkoman hafi verið undir birtu meðaltali? Hvað ef α = 0,01? Gerðu ráð fyrir að sumarúrkoma fylgi normaldreifingu.

Könnun í New York Times Almanac sýnir að meðalferðatími til vinnu, aðra leið, er 25,4 mínútur í 15 stærstu borgum Bandaríkjanna. Viðskiptaráð Austin í Texas telur að ferðatími í Austin sé styttri og vill kynna þá staðreynd. Meðaltal 25 ferðalanga sem valdir eru af handahófi er 22,1 mínúta með staðalfrávik 5,3 mínútur. Við α = 0,10, er ferðatími í Austin í Texas marktækt styttri en meðalferðatíminn í 15 stærstu borgum Bandaríkjanna?

Skýrsla Gallup Poll fann að kona heimsækir lækni sinn að meðaltali í mesta lagi 5,8 sinnum á ári. Slembiúrtak 20 kvenna gefur eftirfarandi fjölda heimsókna á ári: 3; 2; 1; 3; 7; 2; 9; 4; 6; 6; 8; 0; 5; 6; 4; 2; 1; 3; 4; 1. Við α = 0,05, má álykta að úrtaksmeðaltalið sé hærra en 5,8 heimsóknir á ári?

Samkvæmt New York Times Almanac er meðalfjölskyldustærð í Bandaríkjunum 3,18. Úrtak úr stærðfræðibekk í háskóla gaf eftirfarandi fjölskyldustærðir: 5; 4; 5; 4; 4; 3; 6; 4; 3; 3; 5; 5; 6; 3; 3; 2; 7; 4; 5; 2; 2; 2; 3; 2. Við α = 0,05, er meðalfjölskyldustærð bekkjarins meiri en landsmeðaltalið? Gildir niðurstaða Almanac enn? Hvers vegna?

Nemendafélag á háskólasvæði heldur því fram að nýnemar læri að meðaltali að minnsta kosti 2,5 klukkustundir á dag. Bekkur í inngangi að tölfræði var efins. Bekkurinn tók slembiúrtak 30 nýnema og fann meðalnámstíma 137 mínútur með staðalfrávik 45 mínútur. Við α = 0,01, er fullyrðing nemendafélagsins rétt?