9.5 Viðbótarupplýsingar og heildstæð dæmi um tilgátupróf

• Í verkefni um tilgátupróf getur komið fram orðalag eins og „marktektarstigið er 1 prósent“. Þetta 1 prósent er fyrirfram ákveðið α.
• Tölfræðingurinn sem setur upp tilgátuprófið velur gildi α áður en úrtaksgögnunum er safnað.
• Ef ekkert marktektarstig er gefið er algeng viðmiðun α = 0,05.
• Þegar p-gildið er reiknað og myndin teiknuð er p-gildið flatarmál í vinstri hala, hægri hala eða skipt jafnt milli beggja hala. Þess vegna köllum við tilgátuprófið vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða.
• Gagntilgátan, Hₐ, segir til um hvort prófið er vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða. Hún er lykillinn að réttu prófi.
• Hₐ inniheldur aldrei tákn sem felur í sér jafnaðarmerki.
• Hugsum um merkingu p-gildisins: gagnasérfræðingur ætti að hafa meiri vissu um að rétt ákvörðun hafi verið tekin um að hafna núlltilgátunni þegar p-gildið er minna, til dæmis 0,001 í stað 0,04, jafnvel þótt marktektarstigið sé 0,05. Á sama hátt ætti gagnasérfræðingur að hafa meiri vissu um réttmæti þeirrar ákvörðunar að hafna ekki núlltilgátunni þegar p-gildi er stórt, til dæmis 0,4 í stað 0,056, þar sem α = 0,05 er minna en bæði gildin. Þetta krefst mats í stað þess að beita reglum vélrænt.

Eftirfarandi dæmi sýna vinsturhliða, hægrihliða og tvíhliða próf.

Dæmi 9.11

H₀: μ = 5. Hₐ: μ < 5.

Þetta er próf fyrir eitt þýðismeðaltal. Hₐ segir að prófið sé vinsturhliða. Mynd p-gildisins er eftirfarandi:

Reynið sjálf 9.11

H₀: μ = 10. Hₐ: μ < 10. Gerið ráð fyrir að p-gildið sé 0,0935. Hvers konar próf er þetta? Teiknið mynd af p-gildinu.

Dæmi 9.12

H₀: p ≤ 0,2. Hₐ: p > 0,2.

Þetta er próf fyrir eitt þýðishlutfall. Hₐ segir að prófið sé hægrihliða. Mynd p-gildisins er eftirfarandi:

Reynið sjálf 9.12

H₀: μ ≤ 1. Hₐ: μ > 1. Gerið ráð fyrir að p-gildið sé 0,1243. Hvers konar próf er þetta? Teiknið mynd af p-gildinu.

Dæmi 9.13

H₀: p = 50. Hₐ: p ≠ 50.

Þetta er próf fyrir eitt þýðismeðaltal. Hₐ segir að prófið sé tvíhliða. Mynd p-gildisins er eftirfarandi:

Reynið sjálf 9.13

H₀: p = 0,5. Hₐ: p ≠ 0,5. Gerið ráð fyrir að p-gildið sé 0,2564. Hvers konar próf er þetta? Teiknið mynd af p-gildinu.

Heildstæð dæmi um tilgátupróf

Dæmi 9.14

Verkefni

Jeffrey náði átta ára gamall meðalhraðanum 16,43 sekúndum í 25 jarda skriðsundi, með staðalfrávik 0,8 sekúndur. Faðir hans, Frank, taldi að Jeffrey gæti synt 25 jarda skriðsundið hraðar með sundgleraugu. Frank keypti dýr ný sundgleraugu og tímamældi Jeffrey í 15 sundum. Meðaltími þessara 15 sunda var 16 sekúndur. Frank taldi að gleraugun hefðu hjálpað Jeffrey að synda hraðar en 16,43 sekúndur. Framkvæmið tilgátupróf með fyrirfram ákveðnu α = 0,05. Gerið ráð fyrir að sundtímarnir í 25 jarda skriðsundi séu normaldreifðir.

Lausn

Setjið upp tilgátuprófið. Þar sem verkefnið fjallar um meðaltal er þetta próf fyrir eitt þýðismeðaltal.

H₀: μ = 16,43. Hₐ: μ < 16,43. Til að Jeffrey syndi hraðar þarf tíminn að vera minni en 16,43 sekúndur. Tákninu „<“ fylgir vinsturhliða próf.

Ákvarðið dreifinguna. Slembibreytan X̄ er meðaltíminn í 25 jarda skriðsundi. Dreifingin fyrir prófið er normaldreifing vegna þess að þýðisstaðalfrávikið er þekkt: σ = 0,8. Hún hefur meðaltal μ = 16,43 og staðalskekkju 0,8/√15. Gildið μ = 16,43 kemur úr H₀ en ekki úr gögnunum; σ = 0,8 og n = 15.

Með töflu eða reiknivél má reikna p-gildið sem flatarmálið vinstra megin við 16 undir normalferlinum: p-gildi = P(x̄ < 16) = 0,0187, þar sem úrtaksmeðaltalið í verkefninu er 16.

p-gildi = 0,0187. p-gildið er flatarmálið vinstra megin við úrtaksmeðaltalið 16.

μ = 16,43 kemur úr H₀. Forsenda okkar er μ = 16,43.

Túlkun p-gildisins: Ef H₀ er sönn eru líkurnar 0,0187, eða 1,87 prósent, á að meðal tími Jeffreys í 25 jarda skriðsundi sé 16 sekúndur eða minni. Þar sem 1,87 prósent líkur eru litlar er meðaltími 16 sekúndur eða minni ólíklegur af tilviljun. Þetta er sjaldgæfur atburður.

Berið saman α og p-gildið: α = 0,05, p-gildi = 0,0187 og α > p-gildi. Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀.

Önnur leið er að finna z-prófstærðina sem samsvarar úrtaksmeðaltalinu x̄ = 16: z = (x̄ − μX)/(σX/√n) = (16 − 16,43)/(0,8/√15) = −2,081729. Markgildið z = −1,645 hefur 0,05 líkur vinstra megin við sig. Þar sem prófstærðin er vinstra megin við markgildið höfnum við núlltilgátunni.

Þessi ákvörðun þýðir að við höfnum μ = 16,43. Með öðrum orðum teljum við Jeffrey ekki synda 25 jarda skriðsundið á 16,43 sekúndum heldur hraðar með nýju sundgleraugunum.

Niðurstaða: Við 5 prósent marktektarstig ályktum við að Jeffrey syndi hraðar með nýju sundgleraugunum. Úrtaksgögnin sýna nægileg gögn fyrir því að meðal tími Jeffreys í 25 jarda skriðsundi sé minni en 16,43 sekúndur.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivélar

Ýtið á STAT og farið með ör yfir í TESTS. Veljið 1: z-Test, farið í Stats og ýtið á ENTER. Sláið inn 16,43 fyrir μ₀, 0,8 fyrir σ, 16 fyrir úrtaksmeðaltalið og 15 fyrir n. Veljið gagntilgátuna μ < μ₀. Reiknivélin gefur p = 0,0187 og z = −2,08. Fyrir mynd er valið Draw.

Reiknivélin finnur p-gildið með normalreikningi: P(x̄ < 16) = normalcdf(−10^99, 16, 16,43, 0,8/√15).

Villa af gerð I væri að álykta að Jeffrey syndi 25 jarda skriðsund að meðaltali á minna en 16,43 sekúndum þegar hann syndir það í raun að meðaltali á 16,43 sekúndum. Villa af gerð II væri að hafa ekki nægileg gögn til að álykta að Jeffrey syndi að meðaltali á minna en 16,43 sekúndum þegar hann gerir það í raun.

Söguleg athugasemd við dæmi 9.14

Hefðbundna leiðin til að bera saman α og p-gildið er að bera markgildi, z-gildi frá α, saman við prófstærðina, z-gildi úr gögnunum. Hér er prófstærðin −2,08. Samkvæmt höfuðsetningu tölfræðinnar er z = (x̄ − μX)/(σX/√n). Hér er x̄ = 16, μX = 16,43 úr núlltilgátunni, σX = 0,8 og n = 15. Markgildið fyrir α = 0,05 er −1,645. Þar sem −1,645 > −2,08, sem sýnir að α > p-gildi, höfnum við H₀. Í dag er algengt að bera beint saman α og p-gildið. Í þessu verkefni er p-gildið 0,0187 mun minna en α = 0,05, svo ákvörðunin um að hafna er vel studd.

Reynið sjálf 9.14

Meðal kastlengd Marcos, nýnema í framhaldsskóla og leikstjórnanda í amerískum fótbolta, er talin vera 40 jardar með staðalfrávik 2 jardar. Þjálfarinn segir Marco að breyta gripinu til að kasta lengra. Þjálfarinn skráir 20 köst og meðal vegalengdin er 45 jardar. Þjálfarinn telur að breytta gripið hafi hjálpað Marco að kasta lengra en 40 jarda. Framkvæmið tilgátupróf með fyrirfram ákveðnu α = 0,05 og gerið ráð fyrir að kastlengdirnar séu normaldreifðar. Ákvarðið prófgerðina, setjið upp tilgátuprófið, finnið p-gildið, skissið grafið og setjið fram niðurstöðu.

Á reiknivélinni er notað z-Test með μ₀ = 40, σ = 2, x̄ = 45 og n = 20. Veljið rétta gagntilgátu (<, ≠ eða >), reiknið p-gildi og prófstærð, og notið Draw ef teikna á skyggða mynd.

Dæmi 9.15

Verkefni

Þjálfari í háskólafótbolta skráir að meðalþyngd sem leikmenn hans geta bekkpressað sé 275 pund, með staðalfrávik 55 pund. Þrír leikmenn telja að meðalþyngdin sé meiri. Þeir spyrja 30 liðsfélaga um áætlað hámark í bekkpressu. Gildin eru frá 205 til 385 pund: 205(3), 215(3), 225(1), 241(2), 252(2), 265(2), 275(2), 313(2), 316(5), 338(2), 341(1), 345(2), 368(2), 385(1). Framkvæmið tilgátupróf með 2,5 prósent marktektarstigi til að kanna hvort meðaltalið sé meira en 275 pund.

Lausn

Þetta er próf fyrir eitt þýðismeðaltal. H₀: μ = 275. Hₐ: μ > 275. Þetta er hægrihliða próf.

Slembibreytan X̄ er meðalþyngdin, í pundum, sem fótboltaleikmennirnir lyfta. Dreifingin er normaldreifing vegna þess að σ er þekkt: X̄ ~ N(275, 55/√30). Úrtaksmeðaltalið er x̄ = 286,2 pund.

Prófstærðin er z = (286,2 − 275)/(55/√30) = 1,115362. p-gildið er hægrihalalíkur fyrir þetta z-gildi: p-gildi = P(x̄ > 286,2) = 0,1323.

Túlkun: Ef H₀ er sönn eru um 0,1331 líkur, eða 13,23 prósent, á að fótboltaleikmennirnir geti lyft að meðaltali 286,2 pundum eða meira. Þar sem þessar líkur eru nægilega stórar er slíkt meðaltal ekki sjaldgæfur atburður.

Berið saman α og p-gildið: α = 0,025 og p-gildi = 0,1323. Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 2,5 prósent marktektarstig sýna úrtaksgögnin ekki nægileg gögn til að álykta að sanna meðalþyngdin sem lyft er sé meiri en 275 pund.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivélar

Setjið gögn og tíðni í lista. Veljið STAT, TESTS og 1: z-Test. Veljið Data, sláið inn μ₀ = 275, σ = 55, lista gagnanna og tíðnilistann. Veljið μ > μ₀ og Calculate. Reiknivélin gefur p-gildi, z-gildi, úrtaksmeðaltal og úrtaksstaðalfrávik.

Dæmi 9.16

Verkefni

Nemendur í tölfræði telja að meðaleinkunn á fyrsta tölfræðiprófi sé 65. Tölfræðikennari telur að meðaleinkunnin sé hærri en 65. Hann tekur úrtak af 10 tölfræðinemendum og fær einkunnirnar 65, 65, 70, 67, 66, 63, 63, 68, 72 og 71. Hann framkvæmir tilgátupróf með 5 prósent marktektarstigi. Gert er ráð fyrir að gögnin komi úr normaldreifingu.

Lausn

α = 0,05. Þetta er próf fyrir eitt þýðismeðaltal: H₀: μ = 65 og Hₐ: μ > 65. Merkið „>“ sýnir að prófið er hægrihliða.

Þar sem ekkert þýðisstaðalfrávik er gefið og n = 10 þarf að nota t-dreifingu Students. Dreifingin fyrir prófið er t-dreifing með níu frígráðum.

Úrtaksmeðaltalið er x̄ = (65 + 65 + … + 71)/10 = 67. Prófstærðin er t = (x̄ − μ)/(s/√n) = (67 − 65)/(3,1972/√10) ≈ 1,98.

p-gildið er hægrihalalíkur fyrir 1,98 í t-dreifingu með níu frígráðum: p-gildi = P(x̄ > 67) = 0,0396.

Túlkun: Ef núlltilgátan er sönn eru 0,0396 líkur, eða 3,96 prósent, á að úrtaksmeðaltalið verði 67 eða meira.

Þar sem α = 0,05 og p-gildi = 0,0396 er α > p-gildi. Við höfnum H₀. Samkvæmt t-töflu er markgildið 1,833; þar sem t = 1,98 er hægra megin við markgildið höfnum við núlltilgátunni.

Niðurstaða: Við 5 prósent marktektarstig sýna úrtaksgögnin nægileg gögn fyrir því að meðaleinkunnin sé meiri en 65, eins og kennarinn telur.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivélar

Setjið gögnin í lista. Veljið STAT, TESTS og 2:T-Test. Veljið Data, sláið inn μ₀ = 65, listann og Freq: 1. Veljið μ > μ₀ og Calculate. Reiknivélin gefur p = 0,0396, t = 1,9781, úrtaksmeðaltal og úrtaksstaðalfrávik.

Reynið sjálf 9.16

Talið er að hlutabréfaverð tiltekins fyrirtækis hækki um 5 dollara á viku með staðalfrávik 1 dollara. Fjárfestir telur að verðhækkunin verði ekki svo hröð. Breytingar hlutabréfaverðs eru skráðar í 10 vikur: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1, 2 dollarar. Framkvæmið tilgátupróf með 5 prósent marktektarstigi. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu, finnið p-gildið, setjið fram niðurstöðu og greinið villur af gerð I og II.

Dæmi 9.17

Verkefni

Joon telur að 50 prósent kvenna í Bandaríkjunum sem giftast í fyrsta sinn séu yngri en brúðgumar þeirra. Hún framkvæmir tilgátupróf til að kanna hvort hlutfallið sé það sama og 50 prósent eða frábrugðið því. Hún tekur úrtak af 100 konum sem giftast í fyrsta sinn og 53 svara að þær séu yngri en brúðgumar þeirra. Hún notar 1 prósent marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir eitt þýðishlutfall. H₀: p = 0,50. Hₐ: p ≠ 0,50. Orðin „það sama eða frábrugðið“ sýna að prófið er tvíhliða.

Slembibreytan P′ er hlutfall kvenna sem giftast í fyrsta sinn og eru yngri en brúðgumar þeirra. Dreifingin fyrir prófið er normaldreifing fyrir metið hlutfall: P′ ~ N(p, √(pq/n)). Hér eru p = q = 0,5 og n = 100.

Úrtakshlutfallið er p′ = 53/100 = 0,53. Prófstærðin er z = (0,53 − 0,50)/√((0,50)(0,50)/100) = 0,6. Fyrir tvíhliða próf margföldum við hægrihalalíkurnar með tveimur: p-gildi = 2 × 0,2742531 = 0,5485062.

Túlkun: Ef núlltilgátan er sönn eru 0,5485 líkur, eða 54,85 prósent, á að metna hlutfallið p′ sé 0,53 eða meira eða 0,47 eða minna.

Þar sem α = 0,01 og p-gildi = 0,5485 er α < p-gildi. Við höfnum ekki H₀.

Niðurstaða: Við 1 prósent marktektarstig sýna úrtaksgögnin ekki nægileg gögn fyrir því að hlutfall kvenna sem giftast í fyrsta sinn og eru yngri en brúðgumar þeirra sé frábrugðið 50 prósentum.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivélar

Veljið STAT, TESTS og 5:1-PropZTest. Sláið inn p₀ = 0,5, x = 53 og n = 100. Veljið Prop ≠ p₀ og Calculate. Reiknivélin gefur p = 0,5485 og z = 0,6.

Villa af gerð I væri að álykta að hlutfallið sé frábrugðið 50 prósentum þegar það er í raun 50 prósent. Villa af gerð II væri að hafa ekki nægileg gögn til að álykta að hlutfallið sé frábrugðið 50 prósentum þegar það er það í raun.

Reynið sjálf 9.17

Kennari telur að 85 prósent nemenda í bekknum vilji fara í vettvangsferð í dýragarðinn á staðnum. Hún framkvæmir tilgátupróf til að kanna hvort hlutfallið sé það sama og 85 prósent eða frábrugðið því. Hún tekur úrtak af 50 nemendum og 39 svara að þau vilji fara í dýragarðinn. Notið 1 prósent marktektarstig. Ákvarðið prófgerðina, setjið upp tilgátuprófið, finnið p-gildið, skissið grafið og setjið fram niðurstöðu.

Dæmi 9.18

Verkefni

Gerum ráð fyrir að neytendasamtök gruni að hlutfall heimila sem hafa þrjá farsíma sé 30 prósent. Farsímafyrirtæki hefur ástæðu til að halda að hlutfallið sé ekki 30 prósent. Áður en fyrirtækið hefst handa við stóra auglýsingaherferð framkvæmir það tilgátupróf. Markaðsfólk fyrirtækisins kannar 150 heimili og niðurstaðan er að 43 heimili hafa þrjá farsíma.

• Reiknið p′, gildið sem hjálpar til við að ákvarða p-gildið.
• Hvað telst jákvæð útkoma í þessu verkefni?
• Hvert er marktektarstigið?
• Teiknið grafið, merkið lárétta ásinn og skyggið viðeigandi svæði. Reiknið p-gildið.
• Takið ákvörðun: _____________ (hafna / hafna ekki) H₀ vegna þess að ____________.

Lausn

H₀: p = 0,30. Hₐ: p ≠ 0,30. Slembibreytan er P′, hlutfall heimila með þrjá farsíma. Dreifingin fyrir tilgátuprófið er P′ ~ N(0,30, √((0,30)(0,70)/150)).

• p′ = x/n þar sem x er fjöldi jákvæðra útkoma og n er heildarfjöldi í úrtakinu. Hér er x = 43, n = 150 og p′ = 43/150 = 0,287.
• Jákvæð útkoma er að heimili hafi þrjá farsíma.
• Marktektarstigið er fyrirfram ákveðið α. Þar sem α er ekki gefið gerum við ráð fyrir α = 0,05.
• Prófstærðin er z = (0,287 − 0,30)/√((0,30)(0,70)/150) ≈ −0,36. Fyrir tvíhliða próf er p-gildi = 2 × 0,3607902 = 0,7215804.
• Þar sem α = 0,05 og α < p-gildi er ákvörðunin að hafna ekki H₀. Ekki eru nægileg gögn til að álykta að hlutfall heimila með þrjá farsíma sé ekki 30 prósent.

Reynið sjálf 9.18

Markaðsfólk telur að 92 prósent fullorðinna í Bandaríkjunum eigi farsíma. Farsímaframleiðandi telur að hlutfallið sé í raun lægra. Tvö hundruð bandarískir fullorðnir eru spurðir og 174 segjast eiga farsíma. Notið 5 prósent marktektarstig. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu, finnið p-gildið, setjið fram niðurstöðu og greinið villur af gerð I og II.

Næsta dæmi er ljóð eftir tölfræðinemann Nicole Hart. Lausnin fylgir ljóðinu. Tilgátuprófið er fyrir eitt þýðishlutfall og notar stikann p. Dreifingin fyrir prófið er normaldreifing. Metna hlutfallið p′ er hlutfall flóa sem nýja sjampóið drepur af heildarfjölda flóa á Fido. Gefið er fyrirfram ákveðið α = 0,01 og einnig 95 prósent öryggisbil.

Dæmi 9.19

Verkefni

Hundurinn minn er fullur af flóm, þær fara ekki auðveldlega burt. Ég hef prófað mörg sjampó, jafnvel eitt sem hét Bubble Hype, en það drap aðeins 25 prósent flónna og ég var ekki ánægð. Ég hafði reynt alls kyns sápu og var að missa vonina, þar til ég sá auglýsingu sem vakti athygli mína. Sjampó fyrir hunda, GOOD ENOUGH to Clean a Hog, lofaði að drepa fleiri flær. Ég baðaði Fido og taldi aftur: fyrir baðið voru 42 flær, en eftir baðið hafði nýja sjampóið drepið 17 flær. Nú þarf að ákveða, með marktektarstigið 0,01, hvort nota eigi nýja sjampóið eða sleppa því.

Lausn

H₀: p ≤ 0,25. Hₐ: p > 0,25. Slembibreytan P′ er hlutfall flóa sem nýja sjampóið drepur. Dreifingin er normaldreifing: N(0,25, √((0,25)(1 − 0,25)/42)).

Metna hlutfallið er p′ = 17/42 = 0,4048. Prófstærðin er z = (0,4048 − 0,25)/√((0,25)(0,75)/42) ≈ 2,316834. Þar sem prófið er hægrihliða er p-gildið hægrihalalíkur í staðlaðri normaldreifingu: P(Z > 2,316834) ≈ 0,0103.

Ef núlltilgátan er sönn, það er ef hlutfallið er 0,25, eru líkurnar 0,0103 á að metna úrtakshlutfallið sé 0,4048, eða 17/42, eða meira.

Berið saman α og p-gildið: α = 0,01 og α < p-gildi. Ákvörðunin er að hafna ekki H₀.

Niðurstaða: Við 1 prósent marktektarstig sýna úrtaksgögnin ekki nægileg gögn fyrir því að hlutfall flóa sem nýja sjampóið drepur sé meira en 25 prósent.

95 prósent öryggisbil fyrir sanna þýðishlutfallið er (0,26, 0,55). Við erum 95 prósent viss um að sanna þýðishlutfallið p fyrir flær sem drepast af nýja sjampóinu sé á milli 26 prósent og 55 prósent.

Athugasemd

Niðurstaða prófsins er ekki mjög afgerandi þar sem p-gildið er mjög nálægt α. Í raun væri líklegt að gera fleiri prófanir, til dæmis með því að baða hundinn aftur eftir að flærnar hafa fengið tækifæri til að koma aftur.

Dæmi 9.20

Verkefni

National Institute of Standards and Technology birtir nákvæm gögn um leiðnieiginleika efna. Eftirfarandi eru leiðnimælingar fyrir 11 tilviljunarkennd valin stykki af ákveðinni tegund glers: 1,11, 1,07, 1,11, 1,07, 1,12, 1,08, 0,98, 0,98, 1,02, 0,95, 0,95. Er sannfærandi vísbending um að meðal leiðni þessarar glertegundar sé meiri en einn? Notið marktektarstigið 0,05 og gerið ráð fyrir að þýðið sé normaldreift.

Lausn

• Spurning: Við þurfum að ákvarða hvort meðal leiðni valda glersins sé meiri en einn við marktektarstigið 0,05. Tilgáturnar eru H₀: μ ≤ 1 og Hₐ: μ > 1.
• Áætlun: Við prófum úrtaksmeðaltal án þekkts þýðisstaðalfráviks. Því þarf að nota t-dreifingu Students. Gerum ráð fyrir að undirliggjandi þýði sé normaldreift.
• Útreikningar: Úrtaksgögnin eru sett inn í TI-83 eins og sýnt er á myndunum.
• Niðurstaða: Þar sem p-gildið, p = 0,036, er minna en α höfnum við núlltilgátunni. Gögnin styðja fullyrðinguna um að meðal leiðni sé meiri en einn.

Dæmi 9.21

Verkefni

Í rannsókn á 420.019 farsímanotendum fengu 172 þátttakendur heilaæxli. Prófið þá fullyrðingu að farsímanotendur fái heilaæxli með hærri tíðni en þeir sem nota ekki farsíma. Tíðni heilaæxla hjá þeim sem nota ekki farsíma er 0,0340 prósent. Þar sem þetta er alvarlegt mál skal nota marktektarstigið 0,005. Útskýrið hvers vegna marktektarstigið ætti að vera svo lágt með hliðsjón af villu af gerð I.

Lausn

• Við þurfum að framkvæma tilgátupróf á fullyrtri krabbameinstíðni. Tilgáturnar eru H₀: p ≤ 0,00034 og Hₐ: p > 0,00034. Ef við gerum villu af gerð I samþykkjum við í raun ranga fullyrðingu. Þar sem fullyrðingin fjallar um umhverfisþætti sem geta valdið krabbameini viljum við lágmarka líkur á að greina ranglega orsök krabbameins.
• Við prófum eitt úrtakshlutfall með x = 172 og n = 420.019. Úrtakið er nægilega stórt vegna þess að np = 420.019(0,00034) = 142,8 og nq = 420.019(0,99966) = 419.876,2. Útkomurnar eru tvær og óháðar og líkur á jákvæðri útkomu eru fastar, p = 0,00034.
• Reiknivélarniðurstöðurnar eru sýndar á myndunum.
• Þar sem p-gildi = 0,0073 er stærra en α = 0,005 getum við ekki hafnað núlltilgátunni. Við ályktum því að ekki séu nægileg gögn til að styðja fullyrðinguna um hærri tíðni heilaæxla meðal farsímanotenda.