9.2 Útkomur og villur af gerð I og II
Þegar tilgátupróf er framkvæmt eru fjórar mögulegar útkomur, eftir því hvort núlltilgátan H₀ er í raun sönn eða ósönn og eftir ákvörðuninni um að hafna henni eða hafna henni ekki. Útkomurnar eru teknar saman í eftirfarandi töflu:
| Aðgerð | H₀ er í raun sönn | H₀ er í raun ósönn |
|---|---|---|
| Hafna ekki H₀ | Rétt útkoma | Villa af gerð II |
| Hafna H₀ | Villa af gerð I | Rétt útkoma |
Fjórar mögulegar útkomur í töflunni eru þessar:
- Ákvörðunin er að hafna ekki H₀ þegar H₀ er sönn (rétt ákvörðun).
- Ákvörðunin er að hafna H₀ þegar H₀ er í raun sönn (röng ákvörðun sem kallast villa af gerð I).
- Ákvörðunin er að hafna ekki H₀ þegar H₀ er í raun ósönn (röng ákvörðun sem kallast villa af gerð II).
- Ákvörðunin er að hafna H₀ þegar H₀ er ósönn (rétt ákvörðun; líkur hennar kallast styrkur prófsins).
Hvor villa um sig á sér tilteknar líkur. Grísku bókstafirnir α og β tákna þessar líkur.
α = líkur á villu af gerð I = P(villa af gerð I) = líkurnar á að hafna núlltilgátunni þegar núlltilgátan er sönn.
β = líkur á villu af gerð II = P(villa af gerð II) = líkurnar á að hafna ekki núlltilgátunni þegar núlltilgátan er ósönn.
α og β ættu að vera eins lítil og hægt er, því þau eru líkur á villum. Þau eru sjaldan núll.
Styrkur prófsins er 1 − β. Best væri að hafa mikinn styrk, eins nálægt einum og hægt er. Stærra úrtak getur aukið styrk prófsins.
Eftirfarandi eru dæmi um villur af gerð I og gerð II.
Dæmi 9.5
Gerum ráð fyrir að núlltilgátan, H₀, sé: Klettaklifurbúnaður Franks er öruggur.
Villa af gerð I: Frank fer ekki í klettaklifur vegna þess að hann telur búnaðinn ekki öruggan, þótt búnaðurinn sé í raun öruggur. Frank gerir þá villu að hafna núlltilgátunni þegar búnaðurinn er í raun öruggur.
Villa af gerð II: Frank fer að klifra, heldur að búnaðurinn sé öruggur, en það er rangt og hann kemst sársaukafullt að því að búnaðurinn er ekki eins öruggur og hann hefði átt að vera. Frank gerði ráð fyrir að núlltilgátan væri sönn þegar hún var það ekki.
α = líkurnar á að Frank telji að klettaklifurbúnaðurinn sé hugsanlega ekki öruggur þegar hann er í raun öruggur. β = líkurnar á að Frank telji að klettaklifurbúnaðurinn sé hugsanlega öruggur þegar hann er í raun ekki öruggur.
Athugið að í þessu tilviki hefur villa af gerð II alvarlegri afleiðingar. Ef Frank telur klettaklifurbúnaðinn öruggan mun hann nota hann.
Dæmi 9.6
Gerum ráð fyrir að núlltilgátan, H₀, sé: tómatplanta er lifandi þegar bekkur heimsækir skólagarðinn.
Villa af gerð I: Núlltilgátan fullyrðir að tómatplantan sé lifandi og það er satt, en nemendurnir gera þá villu að halda að plantan sé þegar dauð.
Villa af gerð II: Tómatplantan er þegar dauð (núlltilgátan er ósönn), en nemendurnir taka ekki eftir því og halda að plantan sé lifandi.
α = líkurnar á að bekkurinn haldi að tómatplantan sé dauð þegar hún er í raun lifandi = P(villa af gerð I). β = líkurnar á að bekkurinn haldi að tómatplantan sé lifandi þegar hún er í raun dauð = P(villa af gerð II).
Villa af gerð I hefur alvarlegri afleiðingar. Ef bekkurinn heldur að plantan sé dauð mun hann ekki vökva hana.
Dæmi 9.7
It’s a Boy Genetic Labs, erfðafræðifyrirtæki, heldur því fram að það geti aukið líkurnar á að meðganga endi með fæðingu drengs. Tölfræðingar vilja prófa fullyrðinguna. Gerum ráð fyrir að núlltilgátan, H₀, sé: It’s a Boy Genetic Labs hefur engin áhrif á kyn barns.
Villa af gerð I: Þessi villa verður þegar sannri núlltilgátu er hafnað. Í samhengi þessa dæmis myndum við segja að við teljum It’s a Boy Genetic Labs hafa áhrif á kyn barns, þegar það hefur í raun engin áhrif. Líkurnar á þessari villu eru táknaðar með gríska bókstafnum alfa, α.
Villa af gerð II: Þessi villa verður þegar við höfnum ekki ósannri núlltilgátu. Í þessu samhengi myndum við segja að It’s a Boy Genetic Labs hafi ekki áhrif á kyn barns, þegar það hefur í raun áhrif. Líkurnar á þessari villu eru táknaðar með gríska bókstafnum beta, β.
Villa af gerð I hefði alvarlegri afleiðingar, því pör gætu notað vöru It’s a Boy Genetic Labs í von um að auka líkurnar á að eignast dreng.
Dæmi 9.8
Tiltekið tilraunalyf segist lækna að minnsta kosti 75 prósent karla með ákveðinn sjúkdóm. Lýsið bæði villu af gerð I og villu af gerð II í samhengi. Hvor villan er alvarlegri?
Gerð I: Sjúklingur telur að lækningahlutfall lyfsins sé minna en 75 prósent þegar það er í raun að minnsta kosti 75 prósent.
Gerð II: Sjúklingur telur að tilraunalyfið hafi að minnsta kosti 75 prósent lækningahlutfall þegar lækningahlutfallið er í raun minna en 75 prósent.
Í þessu dæmi hefur villa af gerð II alvarlegri afleiðingar. Ef sjúklingur telur að lyfið virki að minnsta kosti 75 prósent tilvika mun það líklega hafa áhrif á val sjúklingsins (og læknisins) um hvort nota eigi lyfið sem meðferð.