Lausnir

12.1 Línulegar jöfnur

• Svarbreyta: gjaldsupphæð.
• Skýribreyta: tími.

Jöfnurnar y = 6x + 8, 4y = 8 og y + 7 = 3x eru allar línulegar jöfnur.

Fjöldi flensutilfella er háður árinu. Þess vegna er ár skýribreytan og fjöldi flensutilfella svarbreytan.

Skurðpunkturinn við y-ás er 50 (a = 50). Við upphaf hreinsunarinnar rukkar fyrirtækið eitt fast gjald, 50 dali, þegar x = 0. Hallatalan er 100 (b = 100). Fyrir hverja lotu rukkar fyrirtækið 100 dali fyrir hverja klukkustund sem hreinsað er.

12.000 pund af jarðvegi.

Hallatalan er −1,5 (b = −1,5). Það merkir að hlutabréfið lækkar í verði um 1,50 dali á klukkustund. Skurðpunkturinn við y-ás er 15 dalir (a = 15). Það merkir að hlutabréfaverðið fyrir viðskiptadaginn var 15 dalir.

12.2 Aðhvarfsjafnan

ŷ = 2,23 + 1,99x.

Hallatalan er 1,99 (b = 1,99). Hún merkir að fyrir hvern auglýsingasamning sem atvinnuíþróttamaður fær fær hann að meðaltali 1,99 milljónum dala meira í árstekjur.

Það merkir að engin fylgni er milli gagnasafnanna.

Já. Gagnapunktarnir eru nógu margir og r-gildið er nógu sterkt til að sýna sterka neikvæða fylgni milli gagnasafnanna.

12.3 Prófun á marktækni fylgnistuðulsins (valfrjálst)

Hₐ: ρ ≠ 0.

12.4 Spá (valfrjálst)

250.120 dalir.

1.326 ekrur.

1.125 klukkustundir, það er þegar x = 1.125.

Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

• Þegar x = 1985 er ŷ = 25,52.
• Þegar x = 1990 er ŷ = 34,275.
• Þegar x = 1970 er ŷ = −725. Þetta er ekki skynsamlegt vegna þess að x-gildin náðu aðeins frá 1981 til 2002. Aðhvarfsjafnan á ekki við, því spá fyrir árið 1970 er útgildisspá. Neikvæður fjöldi greindra flensutilfella er líka merkingarlaus í þessu samhengi.

Fylgnin er r = 0,4526. Ef r er borið saman við 95 prósent markgildi úr töflu yfir markgildi fylgnistuðuls úrtaks, þá er r > 0,423 og r telst marktækt. Þá mætti ætla að línan gæti nýst til spágerðar, en punktaritið bendir til annars.

Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

ŷ = 3.448.225 + 1.750x.

Greindum flensutilfellum fjölgaði til ársins 1993. Frá 1993 til 2002 fækkaði greindum flensutilfellum á hverju ári. Það er ekki viðeigandi að láta línulega aðhvarfslínu falla að þessum gögnum.

Þar sem ekki er línulegt samband milli árs og fjölda greindra flensutilfella er ekki viðeigandi að reikna línulegan fylgnistuðul. Þegar línulegt samband er til staðar og viðeigandi er að reikna fylgni má samt ekki segja að önnur breytan valdi hinni.

Við vitum ekki hvort gögnin fyrir tímabilið fyrir 1981 voru safnað á einu ári. Þess vegna höfum við ekki nákvæmt x-gildi fyrir þessa tölu.

Aðhvarfsjafna: ŷ (fjöldi flensutilfella) = −3.448.225 + 1.749,777(ár).

• a = −3.448.225
• b = 1.750
• fylgni = 0,4526
• n = 22

12.5 Fráviksgildi

Nei, hann hefur ekki rétt fyrir sér. Fráviksgildi er aðeins áhrifapunktur ef það hefur veruleg áhrif á hallatölu aðhvarfslínu minnstu ferninga og fylgnistuðulinn r. Ef það hefur lítil áhrif á hallatöluna eða r-gildið að sleppa punktinum úr útreikningi aðhvarfslínunnar, telst fráviksgildið ekki áhrifapunktur. Af öðrum ástæðum getur þó samt verið ákveðið að sleppa gagnapunktinum úr gagnasafninu.

Já. Fráviksgildi virðist vera við (6, 58).

Mögulega fráviksgildið flatti út hallatölu bestu línu vegna þess að það lá fyrir neðan gagnasafnið. Það gerði bestu línuna ónákvæmari sem spálíkan fyrir gögnin.

s = 1,75.

12.1 Heimadæmi

• Skýribreyta: aldur; svarbreyta: dauðsföll.
• Skýribreyta: fjöldi fjölskyldumeðlima; svarbreyta: matvörureikningur.
• Skýribreyta: aldur umsækjanda; svarbreyta: tryggingaiðgjald.
• Skýribreyta: raforkunotkun; svarbreyta: rafmagnsreikningur.
• Skýribreyta: meiri menntun (ár); svarbreyta: glæpatíðni.

Það merkir að 72 prósent af breytileikanum í svarbreytunni y má skýra með breytileikanum í skýribreytunni x.

Muna þarf að athuga einnig röð y-gildanna innan hvers hóps. Í öðrum hópnum eru y-gildin ekki í vaxandi röð og því þarf að raða þeim upp á nýtt; miðgildi y fyrir þann hóp er því 70.

Röðuðu pörin eru (294,5; 61), (364; 70) og (605,5; 88,5).

Hallatalan má reikna með formúlunni m = (y₃ − y₁)/(x₃ − x₁). Þegar miðgildisgildin úr fyrsta og þriðja hópi eru sett inn fæst m = (88,5 − 61)/(605,5 − 294,5), sem einfaldast í m ≈ 0,09.

Skurðpunktinn við y-ás má finna með formúlunni b = (Σy − mΣx)/3. Summa miðgildis-x-gildanna er 1.264 og summa miðgildis-y-gildanna er 219,5. Þegar þessar summur og hallatalan eru settar inn fæst b = (219,5 − 0,09(1.264))/3, sem einfaldast í b ≈ 35,25.

Besta línan er rituð sem y = mx + b. Því má skrifa jöfnuna sem y = 0,09x + 35,25.

b. Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

c. ŷ = 35,5818045 − 0,19182491x.

d. r = −0,57874. Fyrir fjórar frígráður og α = 0,05 gefur LinRegTTest p-gildið 0,2288, þannig að við höfnum ekki núlltilgátunni; ekki er marktækt línulegt samband milli dauðsfalla og aldurs. Með töflu yfir markgildi fylgnistuðuls, með fjórum frígráðum, er markgildið 0,811. Fylgnistuðullinn r = −0,57874 er ekki minni en −0,811, þannig að við höfnum ekki núlltilgátunni.

f. Ekki er línulegt samband milli breytanna tveggja, eins og sést á p-gildi sem er stærra en 0,05.

a. Við viljum kanna hvort betri afslættir birtist fyrr í bókinni, þannig að við veljum síðu sem x og afslátt sem y.

b. Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

c. ŷ = 17,21757 − 0,01412x.

d. r = −0,2752. Fyrir sjö frígráður og α = 0,05 gefur LinRegTTest p-gildið 0,4736, þannig að við höfnum ekki núlltilgátunni; ekki er marktækt línulegt samband milli síðu og afsláttar. Með töflu yfir markgildi fylgnistuðuls, með sjö frígráðum, er markgildið 0,666. Fylgnistuðullinn r = −0,2752 er ekki minni en −0,666, þannig að við höfnum ekki núlltilgátunni.

f. Ekki er marktæk línuleg fylgni, þannig að ekkert samband virðist vera milli síðu og afsláttarupphæðar.

Þegar síðunúmer hækkar um eina síðu lækkar afslátturinn um 0,01412 dali.

a. Ár er skýribreytan eða x-breytan; fjöldi stafa er svarbreytan eða y-breytan.

b. Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

c. Nei.

d. ŷ = 47,03 − 0,0216x.

e. r = −0,4280. r-gildið sýnir að ekki er marktæk fylgni milli ársins sem ríkið gekk inn í sambandið og fjölda stafa í heitinu.

g. Nei. Sambandið virðist ekki vera línulegt; fylgnin er ekki marktæk.

LinRegTTest gefur fyrir upphaflegu aðhvarfslínu minnstu ferninga jöfnuna y = 26,14 + 0,7539x og r = 0,6657.

Fyrir nýju aðhvarfslínu minnstu ferninga, eftir að fráviksgildinu (56, 95) hefur verið sleppt, er úttakið ŷ = 6,36 + 1,0045x og r = 0,9757.

Hallatala nýju línunnar er talsvert frábrugðin hallatölu upphaflegu aðhvarfslínu minnstu ferninga, en stærri breytingin sést á r-gildunum: nýja línan hefur r-gildi sem hefur hækkað og er næstum jafnt einum.

Því má segja að fráviksgildið (56, 95) sé einnig áhrifapunktur.

a. og b. Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

c. Hallatala aðhvarfslínunnar er −0,3031 og skurðpunkturinn við y-ás er 31,93. Í samhengi merkir skurðpunkturinn við y-ás að þegar engir skrúðfálkar snúa aftur verði næstum 32 prósent nýir skrúðfálkar, sem er ekki skynsamlegt, því ef engir fuglar snúa aftur þyrfti hlutfall nýrra fugla að vera 100%. Þetta er dæmi um hvers vegna við notum ekki útgildisspár. Hallatalan segir að fyrir hvert prósentustigs aukningu í fuglum sem snúa aftur lækki hlutfall nýrra fugla í varpinu um 30,3 prósentustig.

d. Ef við skoðum r² sést að aðeins 57,52 prósent af breytileikanum í hlutfalli nýrra fugla er skýrt með líkaninu, og fylgnistuðullinn r = −0,7584 sýnir aðeins nokkuð sterka fylgni milli hlutfalls fugla sem snúa aftur og hlutfalls nýrra fugla.

e. Raðaða parið (66, 6) gefur stærstu leifina, 6,0. Það merkir að þegar mælda hlutfallið sem sneri aftur er 66 prósent er mælda hlutfallið nýrra fugla, 6 prósent, næstum 6 prósentustigum lægra en spáð nýtt gildi, 11,98 prósent. Ef þessu gagnapari er sleppt fæst aðeins leiðrétt hallatala −0,2789 og leiðréttur skurðpunktur 30,9816. Þótt þessi gögn gefi stærstu leifina er punkturinn því hvorki fráviksgildi né áhrifapunktur.

f. Ef 70 prósent fuglanna snúa aftur mætti búast við y = −0,2789(70) + 30,9816 = 0,114, eða 11,4 prósentum nýrra fugla í varpinu.

• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.
• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.

Hallatalan er −1,4946 og skurðpunkturinn við y-ás er 193,88. Í samhengi merkir hallatalan að fyrir hverja viðbótarmínútu í sundtíma lækkar hjartslátturinn um 1,5 slög á mínútu. Ef nemandinn er alls ekki að synda gefur skurðpunkturinn við y-ás til kynna hjartslátt upp á 193,88 slög á mínútu. Þótt hallatalan hafi merkingu, það er að því lengri tíma sem tekur að synda 2.000 jarda, því minni áreynslu sýnir hjartað, er skurðpunkturinn við y-ás ekki skynsamlegur. Ef íþróttamaðurinn er ekki að synda heldur hvílist ætti hjartslátturinn að vera mun lægri.

Þar sem aðeins 1,5 prósent af breytileika hjartsláttar skýrast af þessari aðhvarfsjöfnu verðum við að álykta að þetta samband sé ekki skýrt með línulegu sambandi.

Punkturinn (34,72; 124) gefur stærstu leifina: −11,82. Það merkir að mældi hjartslátturinn er næstum 12 slögum lægri en spáð gildi, 136 slög á mínútu. Þegar þessum punkti er sleppt verður hallatalan −2,953 og skurðpunkturinn við y-ás breytist í 247,1616. Þótt línulega sambandið sé enn mjög veikt má líta á gagnaparið sem áhrifapunkt að því leyti að skurðpunkturinn við y-ás verður merkingarbærari.

Ef þjónustuakademíurnar tvær eru fjarlægðar, þar sem skólagjöldin eru 0,00 dalir, fæst ný aðhvarfsjafna y = −0,0009x + 160, fylgnistuðullinn 0,71397 og skýringarhlutfallið 0,50976. Því má segja að nokkuð sterkt línulegt samband sé milli skólagjalda og launa ef þjónustuakademíurnar eru fjarlægðar úr gagnasafninu.

Tekið saman: Heimadæmi

c. Nei. Skurðpunkturinn við y-ás væri við árið 0, sem er ekki til í þessu samhengi.

• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.
• Já.
• Nei, skurðpunkturinn við y-ás væri við árið 0, sem er ekki til í þessu samhengi.
• ŷ = −266,8863 + 0,1656x.
• r = 0,9448; já, fylgnin er marktæk.
• 62,8233 og 62,3265.
• Já.
• Nei, punkturinn (1987; 62,7).
• 72,5937; nei.
• Hallatala = 0,1656. Þegar árið hækkar um eitt ár hefur hlutfall launafólks á tímakaupi tilhneigingu til að hækka um 0,1656 prósentustig.

• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.
• Línulegt samband er fyrir stærðirnar 16 til 64 únsur, en sú línulega þróun heldur ekki áfram að 200 únsu stærðinni.
• ŷ = 20,2368 − 0,0819x.
• r = −0,8086.
• 40 únsur: 16,96 sent á únsu.
• 90 únsur: 12,87 sent á únsu.
• Sambandið er ekki línulegt; aðhvarfslína minnstu ferninga er ekki viðeigandi.
• Engin fráviksgildi eru til staðar.
• Nei. Það væri útgildisspá. Stærðin 300 únsur er utan sviðs x-gilda.
• Hallatala = −0,08194. Fyrir hverja viðbótarúnsu í stærð lækkar kostnaður á únsu um 0,082 sent.
• Stærð er x, skýribreytan, og verð er y, svarbreytan.
• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.
• Sambandið virðist ekki vera línulegt.
• ŷ = −745,252 + 54,75569x.
• r = 0,8944 og já, fylgnin er marktæk.
• 32 tommur: 1.006,93 dalir; 50 tommur: 1.992,53 dalir.
• Nei, sambandið virðist ekki vera línulegt. Hins vegar er r marktækt.
• Nei, 60 tommu sjónvarpið.
• Fyrir hverja viðbótartommu hækkar verðið um 54,76 dali.
• Röð inngöngu er skýribreytan og flatarmál er svarbreytan.
• Lausnir nemenda geta verið mismunandi.
• Línulegt samband virðist vera til staðar, með einu fráviksgildi.
• ŷ (flatarmál) = 24.177,06 + 1.010,478x.
• r = 0,50047. r er ekki marktækt, þannig að ekkert marktækt samband er milli breytanna.
• Alabama: 46.407,576 fermílur; Colorado: 62.575,224 fermílur.
• Matið fyrir Alabama er nær raunverulegu gildi en matið fyrir Colorado.
• Ef fráviksgildið er fjarlægt er línulegt samband.
• Eitt fráviksgildi er til staðar: Hawaii.
• Röð 51: 75.711,4 fermílur; nei.

• ŷ = −87.065,3 + 7.828,532x.
• Alabama: 85.162,404; fyrra matið var nær raunverulegu gildi. Alaska er fráviksgildi.
• Já, að Hawaii undanskildu.