Upprifjun kafla
12.1 Línulegar jöfnur
Grunnlegasta tegund sambands er línulegt samband. Slíkt samband má skilgreina algebrulega með jöfnum, tölulega með raunverulegum eða spáðum gagnagildum, eða myndrænt út frá teiknuðum ferli. Línur eru flokkaðar sem beinir ferlar. Algebrulega hefur línuleg jafna yfirleitt formið:
Hér eru m og b fastar, x er skýribreytan og y er svarbreytan. Í tölfræðilegu samhengi er línuleg jafna skrifuð á forminu:
Þetta form hjálpar til við að greina tölfræðilega samhengið frá algebrulega samhenginu. Fastinn b, sem margfaldar x-breytuna, kallast stuðull og er hallatala línunnar. Hallatalan lýsir breytingarhraða milli skýribreytu og svarbreytu, það er hvernig svarbreytan breytist þegar skýribreytan breytist. Fastinn a kallast skurðpunktur við y-ás. Myndrænt er hann y-hnit punktsins þar sem graf línunnar sker y-ásinn; þar er x = 0.
Hallatala línu segir að meðaltali hvernig svarbreytan y breytist fyrir hverja einnar einingar hækkun á skýribreytunni x. Skurðpunktur við y-ás lýsir svarbreytunni þegar skýribreytan er núll. Í inngangstölfræði er hallatala sýnd myndrænt með þremur gerðum lína.
12.2 Aðhvarfsjafnan
Aðhvarfslínu, eða bestu línu, má teikna á punktarit og nota til að spá fyrir um niðurstöður fyrir x- og y-breyturnar í tilteknu gagnasafni eða úrtaksgögnum. Nokkrar leiðir eru til að finna aðhvarfslínu, en yfirleitt er aðhvarfslína minnstu ferninga notuð. Leifar, einnig kallaðar skekkjur, mæla fjarlægðina milli raunverulegs y-gildis og metins y-gildis. Þegar summa kvaðraðra skekkja, SSE, er lágmörkuð fást punktarnir á bestu línu. Aðhvarfslínur má nota til að spá fyrir um gildi innan gefins gagnasafns en ætti ekki að nota til að spá fyrir um gildi utan gagnasafnsins.
Fylgnistuðullinn r mælir styrk línulegs sambands milli x og y. Breytan r verður að liggja á bilinu −1 til +1. Þegar r er jákvætt hafa x og y tilhneigingu til að hækka og lækka saman. Þegar r er neikvætt hækkar x þegar y lækkar, eða öfugt. Skýringarhlutfallið er kvaðrat fylgnistuðulsins:
Þegar r² er sett fram sem prósenta táknar það hlutfall breytileika í svarbreytunni y sem má skýra með breytileika í skýribreytunni x með aðhvarfslínunni.
12.3 Prófun á marktækni fylgnistuðulsins (valfrjálst)
Línuleg aðhvarfsgreining er aðferð til að laga beina línu að gögnum á forminu:
Skilyrði aðhvarfsgreiningar eru eftirfarandi:
- Línulegt: Í þýðinu er línulegt samband sem líkanar meðalgildi y fyrir mismunandi gildi x.
- Óháð: Gert er ráð fyrir að leifarnar séu óháðar.
- Normaldreift: y-gildin eru normaldreifð fyrir hvert gildi x.
- Jöfn dreifni: Staðalfrávik y-gildanna er hið sama fyrir hvert x-gildi.
- Slembið: Gögnin koma úr vel hönnuðu slembiúrtaki eða slembiraðaðri tilraun.
Hallatalan b og skurðpunkturinn a í línu minnstu ferninga meta hallatöluna β og skurðpunktinn α í hinni sönnu aðhvarfslínu þýðisins. Til að meta staðalfrávik y í þýðinu, σ, er notað staðalfrávik leifanna:
Breytan ρ, ró, er þýðisfylgnistuðullinn. Til að prófa núlltilgátuna H₀: ρ = tilgátugildi er notað t-próf fyrir línulega aðhvarfsgreiningu. Algengasta núlltilgátan er:
Hún gefur til kynna að ekkert línulegt samband sé milli x og y í þýðinu. Reiknivélaraðgerðin LinRegTTest í TI-83, 83+, 84 og 84+ getur framkvæmt þetta próf (STATS, TESTS, LinRegTTest).
12.4 Spá (valfrjálst)
Þegar búið er að staðfesta sterkan fylgnistuðul og reikna bestu línu má nota aðhvarfslínu minnstu ferninga til að spá fyrir um gögnin.
12.5 Fráviksgildi
Til að ákvarða hvort punktur sé fráviksgildi skaltu gera annað af eftirfarandi:
- Settu eftirfarandi jöfnur inn í TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél. Hér er s staðalfrávik leifanna. Ef einhver punktur er fyrir ofan y₂ eða fyrir neðan y₃ telst punkturinn fráviksgildi.
- Notaðu leifarnar og berðu algildi þeirra saman við 2s, þar sem s er staðalfrávik leifanna. Ef algildi einhverrar leifar er stærra en eða jafnt 2s er samsvarandi punktur fráviksgildi.
- Athugasemd: Reiknivélaraðgerðin LinRegTTest (STATS, TESTS, LinRegTTest) reiknar s.