Heimadæmi

12.1 Línulegar jöfnur

Fyrir hverja af eftirfarandi aðstæðum skal tilgreina skýribreytuna og svarbreytuna.

1. Rannsókn er gerð til að kanna hvort eldri ökumenn komi oftar við sögu í banaslysum í umferðinni en aðrir ökumenn. Fjöldi dauðsfalla á hverja 100.000 ökumenn er borinn saman við aldur ökumanna.
2. Rannsókn er gerð til að kanna hvort vikulegur matvörureikningur breytist eftir fjölda fjölskyldumeðlima.
3. Vátryggingafélög byggja iðgjöld líftrygginga að hluta á aldri umsækjanda.
4. Rafmagnsreikningar breytast eftir raforkunotkun.
5. Rannsókn er gerð til að kanna hvort meiri menntun dragi úr glæpatíðni í þýði.

Ákvæðislaunakerfi eru mikið rædd hvatagreiðslukerfi. Í nýlegri rannsókn á árangri lánaráðgjafa var eftirfarandi ákvæðislaunakerfi skoðað:

Ef lánaráðgjafi nær 95 prósentum af markmiði sínu, skrifið línulega fallið sem á við samkvæmt töflunni yfir hvatagreiðslur. Útskýrið í samhengi skurðpunktinn við y-ás og hallatöluna.

12.2 Aðhvarfsjafnan

1. Hvað kallast ferlið sem við notum til að reikna línu sem fer í gegnum punktarit með línulegu mynstri?
2. Útskýrið hvað það merkir þegar fylgni hefur r²-gildið 0,72.
3. Getur skýringarhlutfall verið neikvætt? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Taflan hér að neðan sýnir sambandið milli SAT-stiga í stærðfræðihluta prófsins og meðaleinkunnar í framhaldsskóla (GPA).

Notið miðgildis-miðgildis aðferðina til að finna jöfnu bestu línu.

12.4 Spá (valfrjálst)

Nýlegar árlegar tölur um dauðsföll ökumanna á hverja 100.000 íbúa fyrir valda aldurshópa eru eftirfarandi:

1. Veljið miðpunkt hvers aldursbils sem x-gildi. Fyrir hópinn 75+ skal nota 80.
2. Notið aldur sem skýribreytu og fjölda dauðsfalla ökumanna á hverja 100.000 íbúa sem svarbreytu og gerið punktarit af gögnunum.
3. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
4. Finnið fylgnistuðulinn. Er hann marktækur?
5. Spáið fyrir um fjölda dauðsfalla fyrir 40 ára og 60 ára aldur.
6. Er línulegt samband milli aldurs ökumanns og tíðni banaslysa ökumanna miðað við gefin gögn?
7. Hver er hallatala aðhvarfslínu minnstu ferninga? Túlkið hallatöluna.

Tafla 12.21 sýnir lífslíkur einstaklings sem fæddist í Bandaríkjunum á tilteknum árum.

1. Ákveðið hvor breytan á að vera skýribreyta og hvor á að vera svarbreyta.
2. Teiknið punktarit af röðuðu pörunum.
3. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
4. Finnið fylgnistuðulinn. Er hann marktækur?
5. Finnið metnar lífslíkur einstaklings sem fæddist árið 1950 og einstaklings sem fæddist árið 1982.
6. Hvers vegna eru svörin við E-lið ekki þau sömu og gildin í töflu 12.21 fyrir þessi ár?
7. Notið punktana tvo úr E-lið til að teikna aðhvarfslínu minnstu ferninga á grafið úr B-lið.
8. Er línulegt samband milli fæðingarárs og lífslíkna miðað við gögnin?
9. Eru einhver fráviksgildi í gögnunum?
10. Notið aðhvarfslínu minnstu ferninga til að finna metnar lífslíkur einstaklings sem fæddist árið 1850. Gefur línan nákvæmt mat fyrir það ár? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.
11. Hver er hallatala aðhvarfslínu minnstu ferninga? Túlkið hallatöluna.

Hámarksafsláttarvirði Entertainment®-kortsins fyrir hlutann Fine Dining, 10. útgáfu, á ýmsum síðum er gefið í töflu 12.22.

1. Ákveðið hvor breytan á að vera skýribreyta og hvor á að vera svarbreyta.
2. Teiknið punktarit af röðuðu pörunum.
3. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
4. Finnið fylgnistuðulinn. Er hann marktækur?
5. Finnið metin hámarksgildi fyrir veitingastaðina á síðu 10 og síðu 70.
6. Virðist sem veitingastaðirnir sem gefa hámarksvirði séu settir fremst í Fine Dining-hlutanum? Hvernig komust þið að niðurstöðu ykkar?
7. Gerið ráð fyrir að það séu 200 síður af veitingastöðum. Hvert metið þið að hámarksvirði veitingastaðar á síðu 200 sé?
8. Er aðhvarfslína minnstu ferninga gild fyrir síðu 200? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
9. Hver er hallatala aðhvarfslínu minnstu ferninga? Túlkið hallatöluna.

Tafla 12.23 sýnir gullverðlaunatíma á öðru hverju sumarólympíumóti í 100 metra skriðsundi kvenna.

1. Ákveðið hvor breytan á að vera skýribreyta og hvor á að vera svarbreyta.
2. Teiknið punktarit af gögnunum.
3. Virðist við skoðun vera samband milli breytanna? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
4. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
5. Finnið fylgnistuðulinn. Er lækkun tímanna marktæk?
6. Finnið metinn gullverðlaunatíma fyrir 1932. Finnið metinn tíma fyrir 1984.
7. Hvers vegna eru svörin úr F-lið frábrugðin gildunum í töflunni?
8. Virðist lína vera besta leiðin til að lýsa gögnunum? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
9. Notið aðhvarfslínu minnstu ferninga til að meta gullverðlaunatímann á næstu sumarólympíuleikum. Teljið þið svarið sanngjarnt? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Við viljum kanna hvort fjöldi stafa í heiti ríkis sé háður árinu sem ríkið gekk inn í sambandið.

1. Ákveðið hvor breytan á að vera skýribreyta og hvor á að vera svarbreyta.
2. Teiknið punktarit af gögnunum.
3. Virðist við skoðun vera samband milli breytanna? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
4. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
5. Finnið fylgnistuðulinn. Hvað gefur hann til kynna um marktækni sambandsins?
6. Finnið metinn fjölda stafa, námundaðan að næstu heiltölu, sem heiti ríkis hefði ef það gengi inn í sambandið árið 1900. Finnið einnig metinn fjölda stafa fyrir ríki sem gengi inn árið 1940.
7. Virðist lína vera besta leiðin til að lýsa gögnunum? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
8. Notið aðhvarfslínu minnstu ferninga til að meta fjölda stafa í heiti nýs ríkis sem gengi inn í sambandið á þessu ári. Má nota línuna til slíkrar spár? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

12.5 Fráviksgildi

Út frá upplýsingunum í töflu 12.30, sem sýnir sambandið milli lokaprófseinkunna í stærðfræði og lokaprófseinkunna í sögu, skal ákveða hvort punkturinn (56, 95) sé áhrifapunktur. Útskýrið hvernig þið komust að niðurstöðunni. Sýnið alla útreikninga.

Í töflu 12.31 er hæð (frá gangstétt að þaki) þekktra háhýsa í Bandaríkjunum borin saman við fjölda hæða í byggingunni, talið frá götuhæð.

1. Notið fjölda hæða sem skýribreytu og hæð sem svarbreytu og gerið punktarit af gögnunum.
2. Virðist við skoðun vera samband milli breytanna?
3. Reiknið aðhvarfslínu minnstu ferninga. Setjið jöfnuna á formið ŷ = a + bx.
4. Finnið fylgnistuðulinn. Er hann marktækur?
5. Finnið metnar hæðir byggingar sem hefur 32 hæðir og byggingar sem hefur 94 hæðir.
6. Er línulegt samband milli fjölda hæða í háhýsum og hæðar bygginganna miðað við gögnin í töflu 12.31?
7. Eru einhver fráviksgildi í gögnunum? Ef svo er, hvaða punktar?
8. Hver er metin hæð byggingar á sex hæðum? Gefur aðhvarfslína minnstu ferninga nákvæmt mat á hæðinni? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.
9. Samkvæmt aðhvarfslínu minnstu ferninga er því spáð að ein viðbótarhæð bæti um það bil hversu mörgum fetum við byggingu?
10. Hver er hallatala aðhvarfslínu minnstu ferninga? Túlkið hallatöluna.

Fuglafræðingar, það er vísindamenn sem rannsaka fugla, merkja skrúðfálka í 13 mismunandi vörpum til að rannsaka stofninn. Þeir safna gögnum um hlutfall nýrra skrúðfálka í hverju varpi og hlutfall þeirra sem hafa snúið aftur úr fari.

Hlutfall sem snýr aftur: 74, 66, 81, 52, 73, 62, 52, 45, 62, 46, 60, 46, 38. Hlutfall nýrra: 5, 6, 8, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20.

1. Sláið gögnin inn í reiknivél og gerið punktarit.
2. Notið aðhvarfsfall reiknivélarinnar til að finna jöfnu aðhvarfslínu minnstu ferninga. Bætið henni við punktaritið úr A-lið.
3. Útskýrið hvað hallatala og skurðpunktur aðhvarfslínunnar við y-ás segja okkur.
4. Hversu vel fellur aðhvarfslínan að gögnunum? Útskýrið svarið.
5. Hvaða punktur hefur stærstu leifina? Útskýrið hvað leifin merkir í samhengi. Er þessi punktur fráviksgildi? Áhrifapunktur? Útskýrið.
6. Vistfræðingur vill spá fyrir um hversu margir fuglar muni bætast við annað varp skrúðfálka þar sem 70 prósent fullorðnu fuglanna frá fyrra ári hafa snúið aftur. Hver er spáin?

Eftirfarandi tafla sýnir gögn um meðalneyslu kaffis á mann og dánartíðni af völdum hjartasjúkdóma í slembiúrtaki 10 landa.

1. Sláið gögnin inn í reiknivél og gerið punktarit.
2. Notið aðhvarfsfall reiknivélarinnar til að finna jöfnu aðhvarfslínu minnstu ferninga. Bætið henni við punktaritið úr A-lið.
3. Útskýrið hvað hallatala og skurðpunktur aðhvarfslínunnar við y-ás segja okkur.
4. Hversu vel fellur aðhvarfslínan að gögnunum? Útskýrið svarið.
5. Hvaða punktur hefur stærstu leifina? Útskýrið hvað leifin merkir í samhengi. Er þessi punktur fráviksgildi? Áhrifapunktur? Útskýrið.
6. Gefa gögnin sannfærandi vísbendingar um að línulegt samband sé milli kaffineyslu og dánartíðni af völdum hjartasjúkdóma? Framkvæmið viðeigandi próf með marktektarstiginu 0,05 til að svara spurningunni.

Eftirfarandi tafla sýnir tíma eins nemandaíþróttamanns, í mínútum, til að synda 2.000 jarda og hjartslátt hans, slög á mínútu, eftir sundið í slembiúrtaki 10 daga.

1. Sláið gögnin inn í reiknivél og gerið punktarit.
2. Notið aðhvarfsfall reiknivélarinnar til að finna jöfnu aðhvarfslínu minnstu ferninga. Bætið henni við punktaritið úr A-lið.
3. Útskýrið hvað hallatala og skurðpunktur aðhvarfslínunnar við y-ás segja okkur.
4. Hversu vel fellur aðhvarfslínan að gögnunum? Útskýrið svarið.
5. Hvaða punktur hefur stærstu leifina? Útskýrið hvað leifin merkir í samhengi. Er þessi punktur fráviksgildi? Áhrifapunktur? Útskýrið.

Rannsakandi kannar hvort mannfjöldi hafi áhrif á tíðni manndrápa. Hann notar lýðfræðigögn frá Detroit í Michigan til að bera saman tíðni manndrápa og mannfjölda.

1. Notið reiknivél til að búa til punktarit af gögnunum. Hver er skýribreytan? Hvers vegna?
2. Notið aðhvarfsfall reiknivélarinnar til að finna jöfnu aðhvarfslínu minnstu ferninga. Bætið henni við punktaritið.
3. Ræðið hvað eftirfarandi merkir í samhengi: hallatala aðhvarfsjöfnunnar; skurðpunktur aðhvarfsjöfnunnar við y-ás; fylgnistuðullinn r; skýringarhlutfallið r².
4. Gefa gögnin sannfærandi vísbendingar um að línulegt samband sé milli mannfjölda og tíðni manndrápa? Framkvæmið viðeigandi próf með marktektarstiginu 0,05 til að svara spurningunni.

Notið gögnin í töflu 12.35 til að ákvarða jöfnu línulegrar aðhvarfslínu þegar fráviksgildin hafa verið fjarlægð. Er línuleg fylgni í gagnasafninu þegar fráviksgildin hafa verið fjarlægð? Rökstyðjið svarið.