55 Continuous Random Variables

Inngangur

Myndin sýnir radísuplöntur af mismunandi hæð sem spretta upp úr moldinni. — **Mynd 5.1.** Hæðir þessara radísuplantna eru samfelldar slembibreytur. (mynd: Rev Stan)

Inngangur

Samfelldar slembibreytur hafa mörg notagildi. Slagmeðaltöl í hafnabolta, greindarvísitala, lengd langsímtala, upphæð peninga sem manneskja ber á sér, líftími tölvukubba og einkunnir á samræmdum prófum eru aðeins nokkur dæmi. Áreiðanleikafræði byggir á fjölbreyttum samfelldum slembibreytum.

Eiginleikar samfelldra líkindadreifinga

Línurit samfelldrar líkindadreifingar er ferill. Líkindi eru táknuð með flatarmálinu undir ferlinum.

Ferillinn kallast þéttifall (skammstafað pdf). Við notum táknið f(x) til að tákna ferilinn. f(x) er fallið sem samsvarar línuritinu; við notum þéttifallið f(x) til að teikna línurit líkindadreifingarinnar.

Flatarmálið undir ferlinum er gefið með öðru falli sem kallast dreififall (skammstafað cdf). Dreififallið er notað til að meta líkindi sem flatarmál.

Útkomurnar eru mældar, ekki taldar.
Heildarflatarmálið undir ferlinum og ofan við x-ásinn er jafnt og einn.
Líkindi eru fundin fyrir bil x-gilda frekar en fyrir einstök x-gildi.
P(c < x < d) eru líkindin á því að slembibreytan X sé á bilinu milli gildanna c og d. P(c < x < d) er flatarmálið undir ferlinum, ofan við x-ásinn, hægra megin við c og vinstra megin við d.
P(x = c) = 0 Líkindin á því að x taki eitthvert eitt tiltekið gildi eru núll. Flatarmálið undir ferlinum, ofan við x-ásinn og á milli x = c og x = c hefur enga breidd og þar af leiðandi ekkert flatarmál (flatarmál = 0). Þar sem líkindin eru jöfn flatarmálinu eru líkindin einnig núll.
P(c < x < d) er það sama og P(c ≤ x ≤ d) vegna þess að líkindi eru jöfn flatarmáli.

Við munum finna flatarmálið sem táknar líkindi með því að nota rúmfræði, formúlur, tækni eða líkindatöflur. Almennt er stærðfræðigreining nauðsynleg til að finna flatarmálið undir ferlinum fyrir mörg þéttiföll. Þegar við notum formúlur til að finna flatarmálið í þessari kennslubók erum við að nota formúlur sem fundnar voru með aðferðum heildunarreiknings. Hins vegar, þar sem flestir nemendur á þessu námskeiði hafa ekki lært stærðfræðigreiningu, munum við ekki nota stærðfræðigreiningu í þessari kennslubók.

Það eru til margar samfelldar líkindadreifingar. Þegar líkindi eru líkönuð með notkun samfelldrar líkindadreifingar er dreifingin sem notuð er valin til að líkana og passa við tilteknar aðstæður á sem bestan hátt.

Í þessum kafla og þeim næsta munum við rannsaka jafna dreifingu, veldisdreifingu og normaldreifingu. Eftirfarandi línurit sýna þessar dreifingar:

Línurit af jafnri dreifingu. Lárétti ásinn nær frá 0 til 10. Dreifingin er sýnd sem rétthyrningur frá x = 2 til x = 8,8 og svæðið frá x = 3 til x = 6 er skyggt. Skyggða flatarmálið táknar P(3 < x < 6). — **Mynd 5.2.** Línuritið sýnir jafna dreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 3 og x = 6 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli þriggja og sex.

Línurit af veldisdreifingu þar sem svæðið undir ferlinum frá x = 2 til x = 4 er skyggt og táknar P(2 < x < 4). — **Mynd 5.3.** Línuritið sýnir veldisdreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 2 og x = 4 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli tveggja og fjögurra.

Línurit af staðlaðri normaldreifingu þar sem svæðið undir ferlinum frá x = 1 til x = 2 er skyggt og táknar P(1 < x < 2). — **Mynd 5.4.** Línuritið sýnir staðlaða normaldreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 1 og x = 2 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli eins og tveggja.

Inngangur

Eiginleikar samfelldra líkindadreifinga

Línurit samfelldrar líkindadreifingar er ferill. Líkindi eru táknuð með flatarmálinu undir ferlinum.

Flatarmálið undir ferlinum er gefið með öðru falli sem kallast dreififall (skammstafað cdf). Dreififallið er notað til að meta líkindi sem flatarmál.

Útkomurnar eru mældar, ekki taldar.

Heildarflatarmálið undir ferlinum og ofan við x-ásinn er jafnt og einn.

Líkindi eru fundin fyrir bil x-gilda frekar en fyrir einstök x-gildi.

P(c < x < d) eru líkindin á því að slembibreytan X sé á bilinu milli gildanna c og d. P(c < x < d) er flatarmálið undir ferlinum, ofan við x-ásinn, hægra megin við c og vinstra megin við d.

P(x = c) = 0 Líkindin á því að x taki eitthvert eitt tiltekið gildi eru núll. Flatarmálið undir ferlinum, ofan við x-ásinn og á milli x = c og x = c hefur enga breidd og þar af leiðandi ekkert flatarmál (flatarmál = 0). Þar sem líkindin eru jöfn flatarmálinu eru líkindin einnig núll.

P(c < x < d) er það sama og P(c ≤ x ≤ d) vegna þess að líkindi eru jöfn flatarmáli.

Í þessum kafla og þeim næsta munum við rannsaka jafna dreifingu, veldisdreifingu og normaldreifingu. Eftirfarandi línurit sýna þessar dreifingar:

Mynd 5.2. Línuritið sýnir jafna dreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 3 og x = 6 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli þriggja og sex.

Mynd 5.3. Línuritið sýnir veldisdreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 2 og x = 4 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli tveggja og fjögurra.

Mynd 5.4. Línuritið sýnir staðlaða normaldreifingu þar sem flatarmálið á milli x = 1 og x = 2 er skyggt til að tákna líkindin á því að gildi slembibreytunnar X sé á bilinu milli eins og tveggja.