Lausnir

Jöfn dreifing

Normaldreifing

einn

núll

einn

0.625

Líkurnar eru jafnar flatarmálinu frá x = 3/2 til x = 4 ofan við x-ásinn og upp að f ( x ) = 1/3.

0.3333

núll

0.6

sex

4.8

X = aldur (í árum) bíla á bílastæði starfsmanna

0.5 til 9.5

f ( x ) = 1/9 þar sem x er á milli 0.5 og 9.5, að báðum meðtöldum.

1. Athugið lausn nemanda.
2. 3.5/7

1. Athugið lausn nemanda
2. k= 7.25
3. 7.25

Nei, útkomur eru ekki jafnlíklegar. Í þessari dreifingu þurfa fleiri stuttan tíma og færri langan tíma, þannig að það er líklegra að einhver þurfi minni tíma.

fimm

f(x) = 0.2e^(-0.2x)

0.5350

6.02

f(x) = 0.75e^(-0.75x)

0.4756

Meðaltalið er stærra. Meðaltalið er 1/m = 1/0.75 ≈ 1.33, sem er stærra en 0.9242.

samfellt

1. Athugið lausn nemanda
2. P(x< 5,730) = 0.5001

1. Athugið lausn nemanda
2. k= 2947.73

Aldur er mæling, óháð því hvaða nákvæmni er notuð.

1. X~U(1, 9)
2. Athugið lausn nemanda
3. f ( x ) = 1/8 þar sem 1 ≤ x ≤ 9
4. fimm
5. 2.3
6. 15/32
7. 333/800
8. 2/3
9. 8.2

1. X táknar þann tíma sem farþegi þarf að bíða eftir að lest komi á rauðu línunni.
2. X~U(0, 8)
3. f(x) = 1/8 þar sem 0 ≤ x ≤ 8
4. fjórir
5. 2.31
6. 1/8
7. 1/8
8. 3.2

d

b

1. Þéttifallið fyrir X er 1/(25 - 16) = 1/9. P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1/9 ) = 6/9 = 2/3. Mynd 5.54
2. P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1/9 ) = 3/9 = 1/3. Mynd 5.55
3. Flatarmálið verður að vera 0.25 og 0.25 = (breidd) ( 1/9 ), þannig að breidd = (0.25)(9) = 2.25. Þannig er gildið 25 – 2.25 = 22.75.
4. Þetta er spurning um skilyrtar líkur. P(x > 21| x > 18). Þú getur gert þetta á tvo vegu: Teiknaðu línuritið þar sem a er núna 18 og b er enn 25. Hæðin er 1/( 25 − 18 ) = 1/7 Þannig að P ( x > 21| x > 18) = (25 – 21) ( 1/7 ) = 4/7. Notaðu formúluna: P ( x > 21| x > 18) = P ( x > 21 og x > 18 )/P ( x > 18 ) = P ( x > 21 )/P ( x > 18 ) = ( 25 − 21 )/( 25 − 18 ) = 4/7.

1. P(X> 650) =700 − 650/700 − 300 = 50/400 = 1/8= 0.125.
2. P(400 <X< 650) =650 − 400/700 − 300 = 250/400= 0.625
3. 0.10 = width/700 − 300, þannig að width = 400(0.10) = 40. Þar sem 700 – 40 = 660, keyra ökumennirnir að minnsta kosti 660 mílur á þeim 10 prósent daga sem þeir keyra lengst.

1. X = nýtingartími tiltekinnar bílarafhlöðu, mældur í mánuðum.
2. Xer samfellt.
3. X~Exp(0.025)
4. 40 mánuðir
5. 360 mánuðir
6. 0.4066
7. 14.27

1. X = tíminn (í árum) eftir að hafa náð 60 ára aldri sem það tekur einstakling að fara á eftirlaun
2. Xer samfellt.
3. X~Exp( 1/5 )
4. fimm
5. fimm
6. Athugið lausn nemanda.
7. 0.1353
8. áður
9. 18.3

a

c

Látum T vera líftíma ljósaperu.

Hrörnunarstikinn er m = 1/8 og T ~ Exp(1/8). Dreififallið er P(T < t) = 1 - e^(-t/8)

1. Þess vegna er P(T < 1) = 1 - e^(-1/8) ≈ 0.1175.
2. Við viljum finna P(6 < t < 10). Til að gera það reiknum við P(T < 10) - P(T < 6) = (1 - e^(-10/8)) - (1 - e^(-6/8)) ≈ 0.7135 - 0.5276 = 0.1859. Mynd 5.56
3. Við viljum finna 0.70 = P(T > t) = 1 - (1 - e^(-t/8)) = e^(-t/8). Leysum fyrir t: e^(-t/8) = 0.70, þannig að -t/8 = ln(0.70) og t = -8 ln(0.70) ≈ 2.85 ár. Einnig má nota t = ln(0.70)/(-1/8) ≈ 2.85 ár. Mynd 5.57
4. Við viljum finna 0.02 = P(T < t) = 1 - e^(-t/8). Ef leyst er fyrir t fæst e^(-t/8) = 0.98, þannig að -t/8 = ln(0.98) og t = -8 ln(0.98) ≈ 0.1616 ár, eða um það bil tveir mánuðir. Ábyrgðin ætti að ná yfir ljósaperur sem endast skemur en í 2 mánuði. Einnig má nota t = ln(0.98)/(-1/8) = 0.1616.
5. Við þurfum að finna P(T < 8 | T > 7). Samkvæmt reglunni um fylliatburði er P(T < 8 | T > 7) = 1 - P(T > 8 | T > 7). Samkvæmt minnisleysisreglunni er P(X > r + t | X > r) = P(X > t). Því er P(T > 8 | T > 7) = P(T > 1) = 1 - (1 - e^(-1/8)) = e^(-1/8) ≈ 0.8825. Þess vegna er P(T < 8 | T > 7) = 1 - 0.8825 = 0.1175.

Látum X vera fjölda leikja án uppgjafa (no-hitters) á tímabili. Þar sem tíminn á milli slíkra leikja fylgir veldisdreifingu, fylgir fjöldi þeirra á tímabili Poisson dreifingu með meðaltalið λ = 3. Þess vegna er P(X = 0) = (3^0 e^(-3))/0! = e^(-3) ≈ 0.0498

1. Umbeðnar líkur eru P(T > 1) = 1 - P(T < 1) = 1 - (1 - e^(-3)) = e^(-3) ≈ 0.0498.
2. Látum T vera tímann á milli leikja án uppgjafa. Við finnum P ( T > 2| T > 1), og samkvæmt minnisleysisreglunni er þetta einfaldlega P ( T > 1), sem við fundum að væri 0.0498 í a-lið.
3. Látum X vera fjölda leikja án uppgjafa á tímabili. Gerum ráð fyrir að X fylgi Poisson dreifingu með meðaltalið λ = 3. Þá er P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0.3528.

1. 100/9= 11.11
2. P(X > 10) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - Poissoncdf(11.11, 10) ≈ 0.5532.
3. Fjöldi fólks með blóðflokk B sem kemur fylgir nokkurn veginn Poisson dreifingu, þannig að biðtíminn X milli þess sem fólk með blóðflokk B kemur fylgir nokkurn veginn veldisdreifingu með meðaltal μ = 9 og m = 1/9. Dreififall X er P(X < x) = 1 - e^(-x/9). Þess vegna er P(X > 20) = 1 - P(X ≤ 20) = 1 - (1 - e^(-20/9)) ≈ 0.1084.

Látum T vera tímann (í mínútum) milli heimsókna. Þar sem sjúklingar mæta á hraðanum einn sjúklingur á sjö mínútna fresti er μ = 7 og hrörnunarstikinn er m = 1/7 . Dreififallið er P(T < t) = 1 - e^(-t/7)

1. P(T < 2) = 1 - e^(-2/7) ≈ 0.2485.
2. P(T > 15) = 1 - P(T < 15) = e^(-15/7) ≈ 0.1173.
3. P(T > 15 | T > 10) = P(T > 5) = e^(-5/7) ≈ 0.4895.
4. Látum X = fjölda sjúklinga sem mæta á hálftíma tímabili. Þá fylgir X Poisson dreifingu með meðaltalið 30/7 , X ~ Poisson ( 30/7 ) . Finnið P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0.0311.