Veldisdreifing fjallar oft um þann tíma sem líður þar til tiltekinn atburður á sér stað. Til dæmis fylgir tíminn (frá og með núna) þar til jarðskjálfti verður veldisdreifingu. Önnur dæmi eru lengd langlína í viðskiptasímtölum, mæld í mínútum, og endingartími rafgeyma í bílum, mældur í mánuðum. Einnig er hægt að sýna fram á að verðmæti klinkins sem þú ert með í vasanum eða veskinu fylgir um það bil veldisdreifingu.
Gildi fyrir veldisslembibreytu koma fyrir á eftirfarandi hátt. Það eru færri stór gildi og fleiri lítil gildi. Til dæmis fylgir sú upphæð sem viðskiptavinir eyða í einni ferð í stórmarkaðinn veldisdreifingu. Það eru fleiri sem eyða litlum upphæðum og færri sem eyða stórum upphæðum.
Veldisdreifingar eru almennt notaðar við útreikninga á áreiðanleika vara, eða hversu lengi vara endist.
Dæmi 5.7
Látum X tákna tímann, í mínútum, sem póstafgreiðslumaður ver með viðskiptavini sínum. Vitað er að tíminn fylgir veldisdreifingu þar sem meðaltíminn er fjórar mínútur.
X er samfelld slembibreyta þar sem tími er mældur. Gefið er að μ = 4 mínútur. Til að gera útreikninga verður þú að þekkja m, hrörnunarstikann.
m = 1/μ. Þess vegna er m = 1/4 = 0,25.
Staðalfrávikið, σ, er það sama og meðaltalið. μ = σ
Ritháttur dreifingarinnar er X ~ Exp(m). Þess vegna er X ~ Exp(0,25).
Þéttifallið er f(x) = m e^{-mx}. Talan e = 2,71828182846... Þetta er tala sem er oft notuð í stærðfræði. Vísindareiknivélar eru með hnappinn e^x. Ef þú slærð inn einn fyrir x sýnir reiknivélin gildið e.
Ferillinn er
f(x) = 0,25e^{-0,25x}, þar sem x er að minnsta kosti núll og m = 0,25.
Til dæmis, f(5) = 0,25 e (−0,25)(5) = 0,072. Líkurnar á því að póstafgreiðslumaðurinn verji fimm mínútum með viðskiptavinunum eru 0,072.
Línuritið er eftirfarandi:
Mynd 5.22
Taktu eftir að línuritið er minnkandi ferill. Þegar x = 0,
f(x) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m. Hámarksgildið á y-ásnum er m.
Dæmi 5.8
a. Notaðu upplýsingarnar í dæmi 5.7 til að finna líkurnar á því að afgreiðslumaður verji fjórum til fimm mínútum með slembiúrtöknum viðskiptavini.
Lausn
a. Finndu P(4 < x < 5). Uppsafnaða dreififallið (CDF) gefur flatarmálið til vinstri.
Mynd 5.23
Líkurnar á því að póstafgreiðslumaður verji fjórum til fimm mínútum með slembiúrtöknum viðskiptavini eru P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0,7135 − 0,6321 = 0,0814.
b. Helmingur allra viðskiptavina er búinn innan hversu langs tíma? (Finndu 50. hundraðsmarkið.)
Lausn
b. Finndu 50. hundraðsmarkið.
Mynd 5.24
P(x < k) = 0,50, k = 2,8 mínútur (reiknivél eða tölva)
Helmingur allra viðskiptavina er búinn innan 2,8 mínútna.
Þú getur líka gert útreikninginn á eftirfarandi hátt:
Þess vegna er 0,50 = 1 − e −0,25 k og e −0,25 k = 1 − 0,50 = 0,5.
Taktu náttúrlegan logra: ln(e^{-0,25k}) = ln(0,50). Svo er -0,25k = ln(0,50).
Leystu fyrir k: k = ln (0,50)/- 0,25 = 2,8 mínútur. Reiknivélin einfaldar útreikninginn fyrir hundraðsmark k. Sjá eftirfarandi tvær athugasemdir.
c. Hvort er stærra, meðaltalið eða miðgildið?
Lausn
c. Frá hluta b er miðgildið, eða 50. hundraðsmarkið, 2,8 mínútur. Fræðilega meðaltalið er fjórar mínútur. Meðaltalið er stærra.
Dæmi 5.9
Að meðaltali endist ákveðinn tölvuíhlutur í 10 ár. Endingartími tölvuíhlutarins er veldisdreifður.
a. Hverjar eru líkurnar á því að tölvuíhlutur endist lengur en í sjö ár?
Lausn
a. Látum x tákna þann tíma, í árum, sem tölvuíhlutur endist.
Finndu P(x > 7). Teiknaðu línuritið.
Þar sem P(X < x) = 1 – e^{-mx} þá er P(X > x) = 1 – (1 – e^{-mx}) = e^{-mx} P(x > 7) = e^{(-0,1)(7)} = 0,4966. Líkurnar á því að tölvuíhlutur endist lengur en í sjö ár eru 0,4966.
Mynd 5.25
b. Að meðaltali, hversu lengi myndu fimm tölvuíhlutir endast ef þeir eru notaðir hver á eftir öðrum?
Lausn
b. Að meðaltali endist einn tölvuíhlutur í 10 ár. Þess vegna myndu fimm tölvuíhlutir, ef þeir eru notaðir hver á eftir öðrum, endast að meðaltali í (5)(10) = 50 ár.
c. Áttatíu prósent tölvuíhluta endast í mesta lagi hversu lengi?
Lausn
c. Finndu 80. hundraðsmarkið. Teiknaðu línuritið. Látum k vera 80. hundraðsmarkið.
Mynd 5.26
Leystu fyrir k:
Áttatíu prósent tölvuíhlutanna endast í mesta lagi í 16,1 ár.
d. Hverjar eru líkurnar á því að tölvuíhlutur endist á milli níu og 11 ára?
Lausn
d. Finndu P(9 < x < 11). Teiknaðu línuritið.
Mynd 5.27
P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^{(-0,1)(11)}) – (1 – e^{(-0,1)(9)}) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. Líkurnar á því að tölvuíhlutur endist á milli níu og 11 ára eru 0,0737.
Dæmi 5.10
Gerum ráð fyrir að lengd símtals, í mínútum, sé veldisdreifð slembibreyta með hrörnunarstika 1/12. Ef önnur manneskja kemur að almenningssíma rétt á undan þér, finndu líkurnar á því að þú þurfir að bíða lengur en í fimm mínútur. Látum X tákna lengd símtals í mínútum.
Hver eru m, μ og σ? Líkurnar á því að þú þurfir að bíða lengur en í fimm mínútur eru _______.
Lausn
m = 1/12
μ = 12
σ = 12
P(x > 5) = 0,6592
Dæmi 5.11
Biðtími milli atburða er oft líkanaður með veldisdreifingu. Til dæmis, gerum ráð fyrir að að meðaltali komi 30 viðskiptavinir á klukkustund í verslun og að tíminn milli koma fylgi veldisdreifingu.
Hversu margar mínútur líða að meðaltali á milli tveggja koma í röð?
Þegar verslunin opnar fyrst, hversu langan tíma tekur það að meðaltali fyrir þrjá viðskiptavini að koma?
Eftir að viðskiptavinur kemur, finndu líkurnar á því að það taki minna en eina mínútu fyrir næsta viðskiptavin að koma.
Eftir að viðskiptavinur kemur, finndu líkurnar á því að það taki meira en fimm mínútur fyrir næsta viðskiptavin að koma.
Sjötíu prósent viðskiptavina koma innan hversu margra mínútna frá fyrri viðskiptavini?
Er veldisdreifing raunhæf fyrir þessar aðstæður?
Lausn
Þar sem við búumst við að 30 viðskiptavinir komi á klukkustund (60 mínútur), búumst við að meðaltali við að einn viðskiptavinur komi á tveggja mínútna fresti.
Þar sem einn viðskiptavinur kemur á tveggja mínútna fresti að meðaltali, mun það taka sex mínútur að meðaltali fyrir þrjá viðskiptavini að koma.
Látum X tákna tímann milli koma, í mínútum. Úr lið a er μ = 2, þannig að m = 1/2 = 0,5. Þess vegna er X ~ Exp(0,5). Uppsafnaða dreififallið er P(X < x) = 1 - e^{(-0,5)x}. Þess vegna er P(X < 1) = 1 - e^{(-0,5)(1)} ≈ 0,3935. Með TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél: 1 - e^(−0,5) ≈ 0,3935.
Við viljum leysa 0,70 = P(X < x) fyrir x. Með því að setja inn í uppsafnaða dreififallið fæst 0,70 = 1 - e^{-0,5x}, þannig að e^{-0,5x} = 0,30. Með því að breyta þessu í logaritmaform fæst -0,5x = ln(0,30), eða x = ln(0,30)/(-0,5) ≈ 2,41 mínútur. Þannig koma 70 prósent viðskiptavina innan 2,41 mínútna frá fyrri viðskiptavini. Þetta er 70. hundraðsmarkið: k = ln(1 - 0,70)/(-0,5) ≈ 2,41 mínútur.
Þetta líkan gerir ráð fyrir að einn viðskiptavinur komi í einu, sem er ef til vill ekki raunhæft þar sem fólk gæti verslað í hópum, sem leiðir til þess að nokkrir viðskiptavinir koma á sama tíma. Það gerir einnig ráð fyrir að straumur viðskiptavina breytist ekki yfir daginn, sem á ekki við ef sumir tímar dagsins eru annasamari en aðrir.
Minnisleysi veldisdreifingarinnar
Í sýnidæmi 5.7 skaltu rifja upp að tíminn milli viðskiptavina er veldisdreifður með meðaltalið tvær mínútur (X ~ Exp(0,5)). Gerum ráð fyrir að fimm mínútur séu liðnar frá því að síðasti viðskiptavinur kom. Þar sem óvenju langur tími er nú liðinn virðist líklegra að viðskiptavinur komi á næstu mínútu. Með veldisdreifingunni er þessu ekki þannig farið — viðbótartíminn sem fer í að bíða eftir næsta viðskiptavini er óháður því hversu mikill tími er þegar liðinn frá síðasta viðskiptavini. Þetta er kallað minnisleysi. Nánar tiltekið segir minnisleysið eftirfarandi
Til dæmis, ef fimm mínútur eru liðnar frá því að síðasti viðskiptavinur kom, þá eru líkurnar á því að meira en ein mínúta líði áður en næsti viðskiptavinur kemur reiknaðar með því að nota r = 5 og t = 1 í jöfnunni hér á undan.
Þetta eru sömu líkur og á því að bíða í meira en eina mínútu eftir að viðskiptavinur komi eftir fyrri komu.
Veldisdreifingin er oft notuð til að líkana endingartíma raf- eða vélbúnaðar. Í sýnidæmi 5.9 hefur líftími ákveðins tölvuíhlutar veldisdreifingu með meðaltalið tíu ár (X ~ Exp(0,1)). Minnisleysið segir að vitneskja um það sem hefur gerst í fortíðinni hafi engin áhrif á framtíðarlíkur. Í þessu tilviki þýðir það að gamall íhlutur er ekki líklegri til að bila á neinum tilteknum tíma en glænýr íhlutur. Með öðrum orðum helst íhluturinn eins og nýr þar til hann bilar skyndilega. Til dæmis, ef íhluturinn hefur þegar enst í tíu ár, þá eru líkurnar á því að hann endist í sjö ár til viðbótar P(X > 17| X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.
Dæmi 5.12
Vísað er í sýnidæmi 5.7 þar sem tíminn sem póstafgreiðslumaður ver með viðskiptavini sínum hefur veldisdreifingu með meðaltalið fjórar mínútur. Gerum ráð fyrir að viðskiptavinur hafi varið fjórum mínútum með póstafgreiðslumanni. Hverjar eru líkurnar á því að hann eða hún muni verja að minnsta kosti þremur mínútum til viðbótar með póstafgreiðslumanninum?
Hrunstiki X er m = 1/4 = 0,25, þannig að X ~ Exp(0,25).
Uppsafnaða dreififallið er P(X < x) = 1 - e^{-0,25x}.
Við viljum finna P(X > 7| X > 4). Minnisleysið segir að P(X > 7| X > 4) = P(X > 3), þannig að við þurfum aðeins að finna líkurnar á því að viðskiptavinur verji meira en þremur mínútum með póstafgreiðslumanni.
Á lögreglustöð í stórborg berast símtöl að meðaltali fjögur á mínútu. Gerum ráð fyrir að tíminn sem líður frá einu símtali til þess næsta hafi veldisdreifingu. Taktu eftir að við höfum aðeins áhuga á tíðninni sem símtöl berast með, og við hunsum tímann sem fer í símtalið sjálft. Við verðum einnig að gera ráð fyrir að tímarnir milli símtala séu óháðir. Þetta þýðir að sérstaklega löng töf milli tveggja símtala þýðir ekki að biðtíminn eftir næsta símtali verði styttri. Við getum þá ályktað að heildarfjöldi símtala sem berast á tilteknu tímabili hafi Poisson-dreifingu.
Finndu meðaltíma milli tveggja símtala sem koma hvort á eftir öðru.
Finndu líkurnar á því að eftir að símtal berst muni næsta símtal eiga sér stað á minna en 10 sekúndum.
Finndu líkurnar á því að nákvæmlega fimm símtöl eigi sér stað á einni mínútu.
Finndu líkurnar á því að færri en fimm símtöl eigi sér stað á einni mínútu.
Finndu líkurnar á því að meira en 40 símtöl eigi sér stað á átta mínútna tímabili.
Lausn
Að meðaltali eiga sér stað fjögur símtöl á mínútu, þannig að 15 sekúndur, eða 15/60 = 0,25 mínútur, líða að meðaltali milli símtala sem koma hvort á eftir öðru.
Látum T tákna tímann sem líður milli símtala. Úr lið a er μ = 0,25, þannig að m = 1/0,25 = 4. Þar af leiðandi er T ~ Exp(4). Uppsafnaða dreififallið er P(T < t) = 1 - e^{-4t}. Líkurnar á því að næsta símtal eigi sér stað á minna en 10 sekúndum (10 sekúndur = 1/6 úr mínútu) eru P(T < 1/6) = 1 - e^{(-4)(1/6)} ≈ 0,4866.
Látum X tákna fjölda símtala á mínútu. Eins og áður hefur komið fram fylgir fjöldi símtala á mínútu Poisson-dreifingu með meðaltalið fjögur símtöl á mínútu. Þess vegna er X ~ Poisson(4), og því er P(X = 5) = 4^5e^{-4}/5! ≈ 0,1563. Með TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél: poissonpdf(4, 5) = 0,1563.
Hafa ber í huga að X verður að vera heiltala, þannig að P(X < 5) = P(X ≤ 4). Til að reikna þetta gætum við tekið P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4). Með því að nota tækni sjáum við að P(X ≤ 4) = 0,6288. Með TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél poisssoncdf(4, 4) = 0,6288
Látum Y tákna fjölda símtala sem eiga sér stað á átta mínútna tímabili. Þar sem að meðaltali eru fjögur símtöl á mínútu, eru að meðaltali (8)(4) = 32 símtöl á hverju átta mínútna tímabili. Þess vegna er Y ~ Poisson(32). Þar af leiðandi er P(Y > 40) = 1 - P(Y ≤ 40) = 1 - 0,9294 = 0,0706. Með TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél: 1 - poissoncdf(32, 40) = 0,0706.
