5.1 Þéttiföll samfelldra líkindadreifinga
Við byrjum á því að skilgreina þéttifall samfelldrar líkindadreifingar. Við notum fallatáknunina f(x). Almenn algebra gæti hafa verið þín fyrstu formlegu kynni af föllum. Í líkindafræði eru föllin sem við rannsökum sérstök. Við skilgreinum fallið f(x) þannig að flatarmálið á milli þess og x-ássins sé jafnt líkindum. Þar sem hámarkslíkur eru 1 er hámarksflatarmálið einnig 1. Fyrir samfelldar líkindadreifingar gildir LÍKINDI = FLATARMÁL.
Dæmi 5.1
Skoðum fallið f(x) = 1/20 fyrir 0 ≤ x ≤ 20. x er rauntala. Línurit f(x) = 1/20 er lárétt lína. Þar sem 0 ≤ x ≤ 20 er f(x) hins vegar takmarkað við hlutann á milli x = 0 og x = 20, að báðum meðtöldum.
f(x) = 1/20 fyrir 0 ≤ x ≤ 20.
Línurit f(x) = 1/20 er lárétt línustrik þegar 0 ≤ x ≤ 20.
Flatarmálið á milli f(x) = 1/20, þar sem 0 ≤ x ≤ 20, og x-ássins er flatarmál rétthyrnings með grunnlínu 20 og hæð 1/20.
Gerum ráð fyrir að við viljum finna flatarmálið á milli f(x) = 1/20 og x-ássins þar sem 0 < x < 2.
Flatarmál = (2 − 0)(1/20) = 0,1
(2 − 0) = 2 = grunnlína rétthyrnings
Flatarmálið samsvarar líkindum. Líkurnar á því að x sé á milli núll og tveggja eru 0,1, sem hægt er að rita stærðfræðilega sem P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0,1.
Gerum ráð fyrir að við viljum finna flatarmálið á milli f(x) = 1/20 og x-ássins þar sem 4 < x < 15.
Flatarmál = (15 − 4)(1/20) = 0,55
(15 − 4) = 11 = grunnlína rétthyrnings
Flatarmálið samsvarar líkindunum P(4 < x < 15) = 0,55.
Gerum ráð fyrir að við viljum finna P(x = 15). Á línuriti x-y er x = 15 lóðrétt lína. Lóðrétt lína hefur enga breidd (eða núll breidd). Þess vegna er P(x = 15) = (grunnlína)(hæð) = (0)(1/20) = 0
P(X ≤ x), sem einnig er hægt að rita sem P(X < x) fyrir samfelldar dreifingar, kallast dreififall (CDF). Takið eftir tákninu fyrir minna en eða jafnt og. Við getum einnig notað dreififallið til að reikna P(X > x). Dreififallið gefur flatarmálið til vinstri og P(X > x) gefur flatarmálið til hægri. Við reiknum P(X > x) fyrir samfelldar dreifingar á eftirfarandi hátt: P(X > x) = 1 − P(X < x).
Merktu línuritið með f(x) og x. Kvarðaðu x- og y-ásana með hámarksgildum x og y. f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20.
Til að reikna líkurnar á því að x sé á milli tveggja gilda skaltu skoða eftirfarandi línurit. Skyggðu svæðið á milli x = 2,3 og x = 12,7. Reiknaðu síðan skyggða flatarmál rétthyrningsins.
P(2,3 < x < 12,7) = (grunnlína)(hæð) = (12,7 − 2,3)(1/20) = 0,52