Upprifjun kafla

5.1 Samfelld líkindaföll

Þéttifall er notað til að lýsa líkum fyrir samfelldar slembibreytur. Flatarmálið undir þéttiferlinum milli tveggja punkta samsvarar líkunum á því að breytan falli milli þessara tveggja gilda. Með öðrum orðum er flatarmálið undir þéttiferlinum milli punktanna a og b jafnt P(a < x < b). Dreififallið gefur líkindin sem flatarmál. Ef X er samfelld slembibreyta er þéttifallið f(x) notað til að teikna graf líkindadreifingarinnar. Heildarflatarmálið undir grafi f(x) er einn. Flatarmálið undir grafi f(x) milli gildanna a og b gefur líkindin P(a < x < b).

Dreififall X er skilgreint sem P(X ≤ x). Það er fall af x sem gefur líkurnar á því að slembibreytan sé minni en eða jöfn x.

5.2 Jöfn dreifing

Ef X hefur jafna dreifingu þar sem a < x < b eða a ≤ x ≤ b, tekur X gildi milli a og b, mögulega með a og b. Öll gildi x eru jafnlíkleg. Við ritum X ~ U(a, b). Meðaltal X er μ = (a + b)/2. Staðalfrávik X er σ = sqrt((b - a)^2/12). Þéttifall X er f(x) = 1/(b - a) fyrir a ≤ x ≤ b. Dreififall X er P(X ≤ x) = (x - a)/(b - a). X er samfelld.

Finna má líkindin P(c < X < d) með því að reikna flatarmálið undir f(x) milli c og d. Þar sem samsvarandi svæði er rétthyrningur má finna flatarmálið með því að margfalda breiddina og hæðina.

5.3 Veldisdreifing (valfrjálst)

Ef X hefur veldisdreifingu með meðaltali μ, þá er hrörnunarstikinn m = 1/μ og við ritum X ~ Exp(m), þar sem x ≥ 0 og m > 0. Þéttifall X er f(x) = m e^(-mx), eða jafngilt f(x) = (1/μ)e^(-x/μ). Dreififall X er P(X ≤ x) = 1 - e^(-mx).

Veldisdreifingin hefur minnisleysiseiginleikann, sem segir að framtíðarlíkur séu óháðar öllum fyrri upplýsingum. Stærðfræðilega er það P(X > x + k | X > x) = P(X > k).

Ef T táknar biðtíma milli atburða og T ~ Exp(λ), þá fylgir fjöldi atburða X á tímaeiningu Poisson dreifingu með meðaltali λ. Líkindafall X er P(X = k) = (λ^k e^(-λ))/k!. Þetta má reikna á TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél með skipuninni poissonpdf(λ, k). Dreififallið P(X ≤ k) má reikna á TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivél með skipuninni poissoncdf(λ, k).