Æfingar
3.1 Hugtök
Í tilteknum háskólaáfanga eru bæði karlkyns og kvenkyns nemendur. Sumir nemendur eru með sítt hár og aðrir með stutt hár. Skrifið táknin fyrir líkindi atburðanna í liðum A til J í þessari spurningu. Athugið að ekki er hægt að finna töluleg svör hér. Ekki voru veittar nægar upplýsingar til að finna nein líkindagildi ennþá; einbeitið ykkur að því að skilja táknin.
- Látum F vera þann atburð að nemandi sé kvenkyns.
- Látum M vera þann atburð að nemandi sé karlkyns.
- Látum S vera þann atburð að nemandi sé með stutt hár.
- Látum L vera þann atburð að nemandi sé með sítt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé ekki með sítt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé karlkyns eða með stutt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé kvenkyns og með sítt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé karlkyns, að gefnu því að nemandinn sé með sítt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé með sítt hár, að gefnu því að nemandinn sé karlkyns.
- Af öllum kvenkyns nemendum, líkurnar á því að nemandi sé með stutt hár.
- Af öllum nemendum með sítt hár, líkurnar á því að nemandi sé kvenkyns.
- Líkurnar á því að nemandi sé kvenkyns eða með sítt hár.
- Líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi sé karlkyns nemandi með stutt hár.
- Líkurnar á því að nemandi sé kvenkyns.
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Kassi er fylltur með ýmsum veislugjöfum. Hann inniheldur 12 hatta, 15 flautur, 10 fingragildrur og fimm poka af konfettíi. Látum H vera atburðinn að fá hatt. Látum N vera atburðinn að fá flautu. Látum F vera atburðinn að fá fingragildru. Látum C vera atburðinn að fá poka af konfettíi.
Finnið P ( H ).
Finnið P ( N ).
Finnið P ( F ).
Finnið P ( C ).
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sex dæmum. Krukka með 150 hlaupbaunum inniheldur 22 rauðar hlaupbaunir, 38 gular, 20 grænar, 28 fjólubláar, 26 bláar og afgangurinn er appelsínugulur. Látum B vera atburðinn að fá bláa hlaupbaun. Látum G vera atburðinn að fá græna hlaupbaun. Látum O vera atburðinn að fá appelsínugula hlaupbaun. Látum P vera atburðinn að fá fjólubláa hlaupbaun. Látum R vera atburðinn að fá rauða hlaupbaun. Látum Y vera atburðinn að fá gula hlaupbaun.
Finnið P ( B ).
Finnið P ( G ).
Finnið P ( P ).
Finnið P ( R ).
Finnið P ( Y ).
Finnið P ( O ).
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu sex dæmum. Það eru 23 lönd í Norður-Ameríku, 12 lönd í Suður-Ameríku, 47 lönd í Evrópu, 44 lönd í Asíu, 54 lönd í Afríku og 14 lönd í Eyjaálfu (Kyrrahafssvæðinu). Látum A vera atburðinn að land sé í Asíu. Látum E vera atburðinn að land sé í Evrópu. Látum F vera atburðinn að land sé í Afríku. Látum N vera atburðinn að land sé í Norður-Ameríku. Látum O vera atburðinn að land sé í Eyjaálfu. Látum S vera atburðinn að land sé í Suður-Ameríku.
Finnið P ( A ).
Finnið P ( E ).
Finnið P ( F ).
Finnið P ( N ).
Finnið P ( O ).
Finnið P ( S ).
Hverjar eru líkurnar á því að draga rautt spil úr venjulegum spilastokki með 52 spilum?
Hverjar eru líkurnar á því að draga lauf úr venjulegum spilastokki með 52 spilum?
Hverjar eru líkurnar á því að kasta sléttri tölu með óhlutdrægum, sexhliða teningi sem er tölusettur frá eitt til sex?
Hverjar eru líkurnar á því að kasta frumtölu með óhlutdrægum, sexhliða teningi sem er tölusettur frá eitt til sex?
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Þú sérð leik á staðbundinni hátíð. Þú átt að kasta pílu í litahjól. Hver hluti litahjólsins er jafn að flatarmáli.
Látum B vera atburðinn að lenda á bláum. Látum R vera atburðinn að lenda á rauðum. Látum G vera atburðinn að lenda á grænum. Látum Y vera atburðinn að lenda á gulum.
Ef þú lendir á Y færðu stærstu verðlaunin. Finnið P ( Y ).
Ef þú lendir á rauðum færðu engin verðlaun. Hvað er P ( R )?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 10 dæmum. Í hafnaboltaliði eru innvallarleikmenn og útvallarleikmenn. Sumir leikmenn eru frábærir slagarar og sumir leikmenn eru ekki frábærir slagarar. Látum I vera atburðinn að leikmaður sé innvallarleikmaður. Látum O vera atburðinn að leikmaður sé útvallarleikmaður. Látum H vera atburðinn að leikmaður sé frábær slagari. Látum N vera atburðinn að leikmaður sé ekki frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé ekki útvallarleikmaður.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé útvallarleikmaður eða frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé innvallarleikmaður og ekki frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé frábær slagari, að gefnu því að leikmaðurinn sé innvallarleikmaður.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé innvallarleikmaður, að gefnu því að leikmaðurinn sé frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að af öllum útvallarleikmönnum sé leikmaður ekki frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að af öllum frábærum slögurum sé leikmaður útvallarleikmaður.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé innvallarleikmaður eða ekki frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé útvallarleikmaður og frábær slagari.
Skrifið táknin fyrir líkurnar á því að leikmaður sé innvallarleikmaður.
Hvert er orðið yfir mengi allra mögulegra útkoma?
Hvað eru skilyrt líkindi?
Hilla inniheldur 12 bækur. Átta eru skáldsögur og afgangurinn er fræðibækur. Hver bók er ólík og með einstakan titil. Skáldsögurnar eru tölusettar frá einum til átta. Fræðibækurnar eru tölusettar frá einum til fjórum. Veljið eina bók af handahófi. Látum F vera atburðinn að bókin sé skáldsaga og N vera atburðinn að bókin sé fræðibók. Hvert er útkomurúmið?
Hver er summa líkinda atburðar og fylliatburðar hans?
Lausn
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur dæmum. Þú kastar óhlutdrægum, sexhliða teningi. Látum E vera atburðinn að hann lendi á sléttri tölu. Látum M vera atburðinn að hann lendi á margfeldi af þremur.
Hvað þýðir P ( E | M ) í orðum?
Hvað þýðir P ( E eða M ) í orðum?
3.2 Óháðir og ósamrýmanlegir atburðir
E og F eru ósamrýmanlegir atburðir. P ( E ) = 0,4; P ( F ) = 0,5. Finnið P ( E ∣ F ).
J og K eru óháðir atburðir. P ( J | K ) = 0,3. Finnið P ( J ).
U og V eru ósamrýmanlegir atburðir. P ( U ) = 0,26; P ( V ) = 0,37. Finnið eftirfarandi:
- P ( U og V ) =
- P ( U | V ) =
- P ( U eða V ) =
Q og R eru óháðir atburðir. P ( Q ) = 0,4 og P ( Q og R ) = 0,1. Finnið P ( R ).
3.3 Tvær grunnreglur líkindafræðinnar
Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 10 dæmum. Fjörutíu og átta prósent allra kjósenda í tilteknu fylki kjósa frekar lífstíðarfangelsi án möguleika á reynslulausn fram yfir dauðarefsingu fyrir einstakling sem dæmdur er fyrir morð af fyrstu gráðu. Meðal skráðra kjósenda af rómönskum uppruna í þessu fylki kjósa 55 prósent frekar lífstíðarfangelsi án möguleika á reynslulausn fram yfir dauðarefsingu fyrir einstakling sem dæmdur er fyrir morð af fyrstu gráðu. Af öllum borgurum í þessu fylki eru 37,6 prósent af rómönskum uppruna.
Í þessu dæmi, látum
- C = citizens vera borgara í tilteknu fylki (skráða kjósendur) sem kjósa frekar lífstíðarfangelsi án möguleika á reynslulausn fram yfir dauðarefsingu fyrir einstakling sem dæmdur er fyrir morð af fyrstu gráðu.
- L = skráðir kjósendur í fylkinu sem eru af rómönskum uppruna.
Gerum ráð fyrir að einn borgari sé valinn af handahófi.
Finnið P ( C ).
Finnið P ( L ).
Finnið P ( C | L ).
Hvað er C | L í orðum?
Finnið P ( L og C ).
Með orðum, hvað er L OG C ?
Eru L og C óháðir atburðir? Sýndu hvers vegna eða hvers vegna ekki.
Finndu P ( L eða C ).
Með orðum, hvað er L EÐA C ?
Eru L og C ósamrýmanlegir atburðir? Sýndu hvers vegna eða hvers vegna ekki.
3.4 Krosstöflur
Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fjórum dæmum. Tafla 3.16 sýnir slembiúrtak tónlistarmanna og hvernig þeir lærðu að spila á hljóðfæri sín.
| Kyn | Sjálflærðir | Lærðu í skóla | Einkakennsla | Samtals |
|---|---|---|---|---|
| Kona | 12 | 38 | 22 | 72 |
| Karl | 19 | 24 | 15 | 58 |
| Samtals | 31 | 62 | 37 | 130 |
Finndu P (tónlistarmaður er kona).
Finndu P (tónlistarmaður er karl og fékk einkakennslu).
Finndu P (tónlistarmaður er kona eða sjálflærður).
Eru atburðirnir að vera kvenkyns tónlistarmaður og að læra tónlist í skóla ósamrýmanlegir atburðir?
3.5 Líkindatré og Vennmyndir
Líkurnar á því að karlmaður fái einhvers konar krabbamein á lífsleiðinni eru 0,4567. Líkurnar á því að karlmaður fái að minnsta kosti eina falska jákvæða niðurstöðu úr prófi, sem þýðir að prófið sýnir krabbamein þegar maðurinn er ekki með það, eru 0,51. Látum C vera atburðinn að karlmaður fái krabbamein á lífsleiðinni og P vera atburðinn að karlmaður fái að minnsta kosti eitt falskt jákvætt próf. Búið til líkindatré fyrir stöðuna.