3.3 Tvær grunnreglur líkindafræðinnar – Tölfræði (IS) | Námsgögn
33 Líkindafræði
3.3 Tvær grunnreglur líkindafræðinnar
3.3 Tvær grunnreglur líkindareiknings
Við útreikning líkinda þarf að hafa tvær reglur í huga þegar ákvarðað er hvort tveir atburðir séu óháðir eða háðir og hvort þeir séu ósamrýmanlegir eða ekki.
Margföldunarreglan
Ef A og B eru tveir atburðir skilgreindir í útkomurúmi, þá er P ( A og B ) = P ( B ) P ( A | B ).
Þessa jöfnu má umrita sem P ( A og B ) = P ( B ) P ( A | B ), sem er margföldunarreglan.
Ef A og B eru óháðir, þá er P ( A | B ) = P ( A ). Í þessu sérstaka tilviki verður P ( A og B ) = P ( A | B ) P ( B ) að P ( A og B ) = P ( A ) P ( B ).
Poki inniheldur fjórar grænar kúlur, þrjár rauðar kúlur og tvær gular kúlur. Mark dregur tvær kúlur úr pokanum án endurvals. Líkurnar á því að hann dragi gula kúlu og síðan græna kúlu eru
Takið eftir að P ( græn | gul ) = 4/8 . Eftir að gula kúlan hefur verið dregin eru fjórar grænar kúlur í pokanum og átta kúlur alls.
Samlagningarreglan
Ef A og B eru skilgreindir í útkomurúmi, þá er P ( A eða B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A og B ).
Dragið eitt spil úr venjulegum spilastokki. Látum H vera atburðinn að spilið sé hjarta og J vera atburðinn að spilið sé gosi. Þessir atburðir eru ekki ósamrýmanlegir því spil getur bæði verið hjarta og gosi.
Ef A og B eru ósamrýmanlegir, þá er P ( A og B ) = 0. Þá verður P ( A eða B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A og B ) að P ( A eða B ) = P ( A ) + P ( B ).
Dragið eitt spil úr venjulegum spilastokki. Látum H vera atburðinn að spilið sé hjarta og S vera atburðinn að spilið sé spaði. Þessir atburðir eru ósamrýmanlegir því spil getur ekki verið hjarta og spaði á sama tíma. Líkurnar á því að spilið sé hjarta eða spaði eru
Dæmi 3.14
Klaus er að reyna að velja hvert hann á að fara í frí. Tveir valkostir hans eru: A = Nýja-Sjáland og B = Alaska.
Klaus hefur aðeins efni á einu fríi. Líkurnar á því að hann velji A eru P ( A ) = 0,6 og líkurnar á því að hann velji B eru P ( B ) = 0,35.
P ( A og B ) = 0 vegna þess að Klaus hefur aðeins efni á að fara í eitt frí.
Þess vegna eru líkurnar á því að hann velji annaðhvort Nýja-Sjáland eða Alaska P ( A eða B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,6 + 0,35 = 0,95. Takið eftir að líkurnar á því að hann velji að fara hvergi í frí hljóta að vera 0,05.
Dæmi 3.15
Carlos spilar háskólafótbolta. Hann skorar mark í 65 prósent tilvika þegar hann skýtur. Carlos ætlar að reyna við tvö mörk í röð í næsta leik. A = atburðurinn að Carlos skori í fyrstu tilraun. P ( A ) = 0,65. B = atburðurinn að Carlos skori í annarri tilraun. P ( B ) = 0,65. Carlos á það til að skora í hrinum. Líkurnar á því að hann skori annað markið að því gefnu að hann hafi skorað fyrsta markið eru 0,90.
a. Hverjar eru líkurnar á því að hann skori bæði mörkin?
Lausn
a. Dæmið biður um að finna P ( A og B ) = P ( B og A ). Þar sem P ( B | A ) = 0,90: P ( B og A ) = P ( B | A ) P ( A ) = (0,90)(0,65) = 0,585.
Líkurnar á því að Carlos skori fyrsta og annað markið eru 0,585.
b. Hverjar eru líkurnar á því að Carlos skori annaðhvort fyrsta markið eða annað markið?
Lausn
b. Dæmið biður um að finna P ( A eða B ).
P ( A eða B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A og B ) = 0,65 + 0,65 − 0,585 = 0,715
Líkurnar á því að Carlos skori annaðhvort fyrsta eða annað markið eru 0,715.
c. Eru A og B óháðir?
Lausn
c. Nei, þeir eru það ekki, vegna þess að P ( B og A ) = 0,585.
P ( B ) P ( A ) = (0,65)(0,65) = 0,423
0,423 ≠ 0,585 = P ( B og A )
Þannig að P ( B og A ) er ekki jafnt og P ( B ) P ( A ).
d. Eru A og B ósamrýmanlegir?
Lausn
d. Nei, þeir eru það ekki vegna þess að P ( A og B ) = 0,585.
Til að vera ósamrýmanlegir verður P ( A og B ) að vera núll.
Dæmi 3.16
Sundlið í samfélaginu hefur 150 meðlimi. Sjötíu og fimm meðlimanna eru framhaldssundmenn. Fjörutíu og sjö meðlimanna eru miðstigssundmenn. Afgangurinn eru byrjendur. Fjörutíu af framhaldssundmönnunum æfa fjórum sinnum í viku. Þrjátíu af miðstigssundmönnunum æfa fjórum sinnum í viku. Tíu af byrjendunum æfa fjórum sinnum í viku. Gerum ráð fyrir að einn meðlimur sundliðsins sé valinn af handahófi.
a. Hverjar eru líkurnar á því að meðlimurinn sé byrjandi í sundi?
Lausn
a. Það eru 150 meðlimir; 75 af þeim eru framhaldssundmenn og 47 af þeim eru miðstigssundmenn. Því eru 150 − 75 − 47 = 28 byrjendur. Líkurnar á því að sundmaður valinn af handahófi sé byrjandi eru 28/150 .
b. Hverjar eru líkurnar á því að meðlimurinn æfi fjórum sinnum í viku?
Lausn
b. 40 + 30 + 10 yfir 150 = 80 yfir 150
c. Hverjar eru líkurnar á því að meðlimurinn sé framhaldssundmaður og æfi fjórum sinnum í viku?
Lausn
c. Það eru 40 framhaldssundmenn sem æfa fjórum sinnum í viku, þannig að líkurnar eru 40/150 .
d. Hverjar eru líkurnar á því að meðlimur sé framhaldssundmaður og miðstigssundmaður? Er það að vera framhaldssundmaður og miðstigssundmaður ósamrýmanlegt? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Lausn
d. P (framhaldssundmaður og miðstigssundmaður) = 0, þannig að þetta eru ósamrýmanlegir atburðir. Sundmaður getur ekki verið framhaldssundmaður og miðstigssundmaður á sama tíma.
e. Eru það að vera byrjandi í sundi og að æfa fjórum sinnum í viku óháðir atburðir? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Lausn
e. Nei, þetta eru ekki óháðir atburðir. P (byrjandi og æfir fjórum sinnum í viku) = 0,0667 P ( byrjandi ) P ( æfir fjórum sinnum í viku ) = 0,0996 0,0667 ≠ 0,0996
Dæmi 3.17
Felicity stundar nám við skóla í Modesto, Kaliforníu. Líkurnar á því að Felicity skrái sig í stærðfræðiáfanga eru 0,2 og líkurnar á því að hún skrái sig í ræðumennskuáfanga eru 0,65. Líkurnar á því að hún skrái sig í stærðfræðiáfanga AÐ ÞVÍ GEFNU að hún skrái sig í ræðumennskuáfanga eru 0,25.
Látum M = stærðfræðiáfangi, S = ræðumennskuáfangi og M | S = stærðfræði að gefinni ræðumennsku.
Hverjar eru líkurnar á því að Felicity skrái sig í stærðfræði og ræðumennsku? Finndu P ( M og S ) = P ( M | S ) P ( S ).
Hverjar eru líkurnar á því að Felicity skrái sig í stærðfræði- eða ræðumennskuáfanga? Finndu P ( M eða S ) = P ( M ) + P ( S ) − P ( M og S ).
Eru M og S óháðir? Er P ( M | S ) = P ( M )?
Eru M og S ósamrýmanlegir? Er P ( M og S ) = 0?
Lausn
a. P ( M og S ) = P ( M | S ) P ( S ) = 0,25(0,65) = 0,1625
b. P ( M eða S ) = P ( M ) + P ( S ) − P ( M og S ) = 0,2 + 0,65 − 0,1625 = 0,6875
c. Nei, P ( M | S ) = 0,25 og P ( M ) = 0,2.
d. Nei, P ( M og S ) = 0,1625.
Dæmi 3.18
Rannsakendur rannsaka ákveðna tegund sjúkdóms sem hefur oftar áhrif á konur en karla. Rannsóknir sýna að um það bil ein af hverjum sjö konum (um það bil 14,3 prósent) sem lifa til 90 ára aldurs munu fá sjúkdóminn. Gerum ráð fyrir að hjá þeim konum sem fá þennan sjúkdóm sé próf neikvætt í 2 prósent tilvika. Gerum einnig ráð fyrir að í þýði kvenna almennt sé prófið fyrir sjúkdómnum neikvætt í um það bil 85 prósent tilvika. Látum B vera atburðinn að konan fái sjúkdóminn og N vera atburðinn að prófið sé neikvætt. Gerum ráð fyrir að ein kona sé valin af handahófi.
a. Hverjar eru líkurnar á því að konan fái sjúkdóminn? Hverjar eru líkurnar á því að konan mælist neikvæð?
Lausn
a. P ( B ) = 0,143; P ( N ) = 0,85
b. Að því gefnu að konan fái sjúkdóminn, hverjar eru líkurnar á því að hún mælist neikvæð?
Lausn
b. Meðal kvenna sem fá sjúkdóminn er prófið neikvætt í 2 prósent tilvika, þannig að P ( N | B ) = 0,02
c. Hverjar eru líkurnar á því að konan sé með sjúkdóminn og mælist neikvæð?
Lausn
c. P ( B og N ) = P ( B ) P ( N | B ) = (0,143)(0,02) = 0,0029
d. Hverjar eru líkurnar á því að konan sé með sjúkdóminn eða mælist neikvæð?
Lausn
d. P ( B eða N ) = P ( B ) + P ( N ) − P ( B og N ) = 0,143 + 0,85 − 0,0029 = 0,9901
e. Eru það að vera með sjúkdóminn og að mælast neikvæð óháðir atburðir?
Lausn
e. Nei. P ( N ) = 0,85; P ( N | B ) = 0,02. Þannig að P ( N | B ) er ekki jafnt og P ( N ).
f. Eru það að vera með sjúkdóminn og að mælast neikvæð ósamrýmanlegir atburðir?
Lausn
f. Nei. P ( B og N ) = 0,0029. Til þess að B og N séu ósamrýmanlegir verður P ( B og N ) að vera núll.
Dæmi 3.19
Vísað er til upplýsinganna í sýnidæmi 3.18 . P = prófið er jákvætt.
Að því gefnu að kona fái sjúkdóminn, hverjar eru líkurnar á því að hún mælist jákvæð? Finndu P ( P | B ) = 1 − P ( N | B ).
Hverjar eru líkurnar á því að kona fái sjúkdóminn og mælist jákvæð? Finndu P ( B og P ) = P ( P | B ) P ( B ).
Hverjar eru líkurnar á því að kona fái ekki sjúkdóminn? Finndu P ( B′ ) = 1 − P ( B ).
Hverjar eru líkurnar á því að kona mælist jákvæð fyrir sjúkdómnum? Finndu P ( P ) = 1 − P ( N ).
Lausn
a. P ( P | B ) = 1 − P ( N | B ) = 1 − 0,02 = 0,98
b. P ( B og P ) = P ( P | B ) P ( B ) = 0,98(0,143) = 0,1401