3.5 Líkindatré og Vennmyndir

Í keri eru 11 kúlur. Þrjár kúlur eru rauðar ( R ) og átta kúlur eru bláar ( B ). Dragið tvær kúlur, eina í einu, með endurvali. Með endurvali þýðir að fyrstu kúlunni er skilað aftur í kerið áður en seinni kúlan er valin. Þess vegna er alltaf valið úr nákvæmlega sama hópnum í hvert skipti, þannig að hver dráttur er óháður. Líkindatréð sýnir allar mögulegar útkomur.

Fyrsta mengi greina táknar fyrsta drátt. Það eru 8 leiðir til að draga bláa kúlu og 3 leiðir til að draga rauða. Annað mengi greina táknar annan drátt. Óháð því hvað var valið í fyrsta drætti eru aftur átta leiðir til að draga bláa kúlu og 3 leiðir til að draga rauða. Lesið niður hverja grein til að sjá heildarfjölda mögulegra útkoma. Til dæmis eru 8 leiðir til að fá bláa kúlu í fyrsta drætti og átta leiðir til að fá slíka í öðrum drætti, þannig að það eru 8 × 8 = 64 mismunandi leiðir til að draga tvær bláar kúlur í röð. Hver útkoma er aðskilin. Reyndar getum við skráð hverja rauða kúlu sem R 1, R 2 og R 3 og hverja bláa kúlu sem B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 og B 8. Þá má skrifa útkomurnar níu fyrir RR á eftirfarandi hátt:

R 1 R 1, R 1 R 2, R 1 R 3, R 2 R 1, R 2 R 2, R 2 R 3, R 3 R 1, R 3 R 2, R 3 R 3.

Hinar útkomurnar eru svipaðar.

Það eru alls 11 kúlur í kerinu. Dragið tvær kúlur, eina í einu, með endurvali. Það eru 11(11) = 121 útkomur, sem er stærð útkomurúmsins.

a. Skráið þær 24 BR útkomur: B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, . . .

b. Reiknið P ( RR ).

c. Reiknið P ( RB eða BR ).

d. Notið líkindatréð til að reikna P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti).

e. Notið líkindatréð til að reikna P ( R í öðrum drætti að gefnu B í fyrsta drætti).

f. Notið líkindatréð til að reikna P ( BB ).

g. Notið líkindatréð til að reikna P ( B í öðrum drætti að gefnu R í fyrsta drætti).

Ker inniheldur þrjár rauðar kúlur og átta bláar kúlur. Dragið tvær kúlur, eina í einu, að þessu sinni án endurvals, úr kerinu. Án endurvals þýðir að þú setur fyrstu kúluna ekki aftur áður en þú velur aðra kúluna. Hér á eftir er líkindatré fyrir þessa stöðu. Greinarnar eru merktar með líkum í stað tíðni. Tölurnar á endum greinanna eru reiknaðar með því að margfalda tölurnar á tveimur samsvarandi greinum, til dæmis P ( RR ) = ( 3/11 ) ( 2/10 ) = 6/110.

ATHUGIÐ

Ef þú dregur rauða í fyrsta drætti af þremur mögulegum rauðum, eru tvær rauðar kúlur eftir til að draga í öðrum drætti. Þú setur fyrstu kúluna ekki aftur í kerið eftir að þú hefur dregið hana. Þú dregur án endurvals, þannig að í öðrum drætti eru 10 kúlur eftir í kerinu.

Reiknið eftirfarandi líkur með því að nota líkindatréð:

a. P ( RR ) = ________

b. Fylltu í eyðurnar.

P ( RB eða BR ) = ( 3/11 ) ( 8/10 ) + (________)(________) = 48/110

c. Þar sem þetta eru skilyrtar líkur takmörkum við útkomurúmið við þær útkomur þar sem blá kúla kemur í fyrsta drætti. Á öðru þrepi líkindatrésins sést að P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti ) = 3/10.

d. Fylltu í eyðurnar.

P ( R í fyrsta drætti og B í öðrum drætti ) = P ( RB ) = (________)(________) = 24/110

e. Finndu P ( BB ).

f. Finndu P ( B í öðrum drætti | R í fyrsta drætti ).

Ef við notum líkur getum við merkt tréð á eftirfarandi almenna hátt:

• P ( R | R ) merkir hér P ( R í öðrum drætti | R í fyrsta drætti )
• P ( B | R ) merkir hér P ( B í öðrum drætti | R í fyrsta drætti )
• P ( R | B ) merkir hér P ( R í öðrum drætti | B í fyrsta drætti )
• P ( B | B ) merkir hér P ( B í öðrum drætti | B í fyrsta drætti )

Got af kettlingum sem eru í boði til ættleiðingar hjá Dýraverndunarfélaginu samanstendur af fjórum bröndóttum kettlingum og fimm svörtum kettlingum. Fjölskylda kemur og velur af handahófi tvo kettlinga (án endurvals) til ættleiðingar.

1. Hvað sýnir líkurnar á því að báðir kettlingarnir séu bröndóttir? a. ( 1/2 ) ( 1/2 ) b. ( 4/9 ) ( 4/9 ) c. ( 4/9 ) ( 3/8 ) d. ( 4/9 ) ( 5/9 )
2. Hverjar eru líkurnar á því að einn kettlingur af hvorum lit sé valinn? a. ( 4/9 ) ( 5/9 ) b. ( 4/9 ) ( 5/8 ) c. ( 4/9 ) ( 5/9 ) + ( 5/9 ) ( 4/9 ) d. ( 4/9 ) ( 5/8 ) + ( 5/9 ) ( 4/8 )
3. Hverjar eru líkurnar á því að bröndóttur kettlingur sé valinn sem annar kettlingur þegar svartur kettlingur var valinn fyrst?
4. Hverjar eru líkurnar á því að velja tvo kettlinga í sama lit?

Gerum ráð fyrir að tilraun hafi útkomurnar 1, 2, 3, ..., 12 og að allar útkomur séu jafn líklegar. Látum A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og B = {6, 7, 8, 9}. Þá er A og B = {6} og A eða B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Vennmyndin er eftirfarandi:

Kastaðu tveimur óhlutdrægum myntum. Látum A vera atburðinn að fá bakhlið á fyrri myntinni. Látum B vera atburðinn að fá bakhlið á seinni myntinni. Þá er A = {TT, TH} og B = {TT, HT}. Þess vegna er A og B = {TT} og A eða B = {TH, TT, HT}.

Útkomurúmið þegar tveimur óhlutdrægum myntum er kastað er X = {HH, HT, TH, TT}. Útkoman HH er hvorki í A né B. Vennmyndin er eftirfarandi:

Fjörutíu prósent nemenda við háskóla á svæðinu eru í klúbbi og 50 prósent vinna hlutastarf. Fimm prósent nemenda vinna hlutastarf og eru í klúbbi. Teiknaðu Vennmynd sem sýnir þessi tengsl. Látum C vera atburðinn að nemandi sé í klúbbi og PT vera atburðinn að nemandi vinni hlutastarf.

Byrjaðu á því að teikna rétthyrning til að tákna útkomurúmið. Teiknaðu síðan tvo hringi eða sporbauga inni í rétthyrningnum til að tákna atburðina sem um ræðir: að vera í klúbbi ( C ) og að vinna hlutastarf ( PT ). Teiknaðu alltaf form sem skarast til að tákna útkomur sem tilheyra báðum atburðum.

Merktu hvern hluta myndarinnar skýrt og skráðu líkur eða tíðni hvers hluta. Byrjaðu á því að merkja skurðsvæðið fyrst. Taktu eftir að líkurnar í C eru samtals 0.40 og summa líkanna í PT er 0.50. Heildarsumma allra sýndra líkinda verður að vera 1, sem táknar 100 prósent af útkomurúmnu.

Ef nemandi er valinn af handahófi, finndu eftirfarandi:

1. líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi.
2. líkurnar á því að nemandinn vinni hlutastarf.
3. líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi OG vinni hlutastarf.
4. líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi að því gefnu að nemandinn vinni hlutastarf.
5. líkurnar á því að nemandinn sé í klúbbi EÐA vinni hlutastarf.

Einstaklingur með blóðflokk O og neikvæðan Rh-þátt (Rh–) getur gefið blóð til hvaða einstaklings sem er, óháð blóðflokki. Fjögur prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru með blóðflokk O og neikvæðan Rh-þátt, 5−10 prósent Afríku-Bandaríkjamanna eru með Rh– þáttinn, og 51 prósent eru með blóðflokk O.

„O“ hringurinn táknar Afríku-Bandaríkjamenn með blóðflokk O. „Rh–“ sporbaugurinn táknar Afríku-Bandaríkjamenn með Rh– þáttinn.

Við notum meðaltal 5 prósenta og 10 prósenta, 7,5 prósent, sem hlutfall Afríku-Bandaríkjamanna sem eru með Rh– þáttinn. Látum O vera atburðinn að Afríku-Bandaríkjamaður sé með blóðflokk O og R vera atburðinn að Afríku-Bandaríkjamaður sé með Rh– þáttinn.

1. P ( O ) = ___________
2. P ( R ) = ___________
3. P ( O og R ) = ___________
4. P ( O eða R ) = ____________
5. Lýstu skurðsvæðinu í Vennmyndinni með heilli setningu.
6. Lýstu svæðinu í rétthyrningnum en utan bæði hringsins og sporbaugsins í Vennmyndinni með heilli setningu.