33 Probability Topics

3.4 Krosstöflur

Tvíhliða tafla er leið til að setja fram gögn sem getur auðveldað útreikning á líkindum. Þegar tvíhliða tafla er notuð til að reikna líkindi er hún oft kölluð krosstafla. Taflan hjálpar til við að ákvarða skilyrt líkindi á mjög auðveldan hátt. Taflan sýnir úrtaksgildi í tengslum við tvær mismunandi breytur sem geta verið háðar hvor annarri. Við notuðum tvíhliða töflur í köflum 1 og 2 til að reikna jaðardreifingar og skilyrtar dreifingar. Þessar töflur skipuleggja gögn á þann hátt sem styður útreikning á hlutfallslegri tíðni og þar með tilraunalíkinda (reynslulíkinda). Síðar munum við nota krosstöflur aftur, en á annan hátt.

Dæmi 3.20

Gerum ráð fyrir að rannsókn á hraðakstursbrotum og ökumönnum sem nota farsíma hafi skilað eftirfarandi uppdiktuðum gögnum:

	Hraðakstursbrot á síðasta ári	Ekkert hraðakstursbrot á síðasta ári	Samtals
Notar farsíma við akstur	25	280	305
Notar ekki farsíma við akstur	45	405	450
Samtals	70	685	755

Heildarfjöldi fólks í úrtakinu er 755. Samtölur raða eru 305 og 450. Samtölur dálka eru 70 og 685. Taktu eftir að 305 + 450 = 755 og 70 + 685 = 755.

Notaðu töfluna til að reikna eftirfarandi líkindi:

Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári og notar farsíma við akstur).
Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur or einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur given einstaklingur fékk brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári að því gefnu að einstaklingurinn notar ekki farsíma við akstur).

Lausn

a. Þetta er það sama og jaðardreifingin (Kafli 1.2).

P (einstaklingur notar farsíma við akstur) = \frac{fjöldi sem notar farsíma við akstur}{fjöldi í rannsókninni} = \frac{305}{755} \approx 0,4040

b. Jaðardreifingin er

P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári) = \frac{fjöldi sem fékk ekkert brot}{fjöldi í rannsókninni} = \frac{685}{755} \approx 0,9073 .

c. Finndu fjölda þátttakenda sem uppfylla bæði skilyrðin.

P ( P e r s o n h a d n o v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r A N D u s e s a c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g ) = n u m b e r w h o h a d n o v i o l a t i o n A N D u s e s c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g/n u m b e r i n s t u d y = 280/755 ≈ 0,3709

d. Til að finna þessi líkindi þarftu að finna hversu margir þátttakendur nota farsíma við akstur eða voru ekki með brot á síðasta ári eða bæði.

P ( einstaklingur notar farsíma við akstur eða fékk ekkert brot á síðasta ári ) = 25 + 405 + 280/755

\begin{matrix} = \frac{710}{755} \\ \approx 0,9404 \end{matrix}

e. Þetta eru skilyrt líkindi. Þér er gefið að einstaklingurinn var ekki með brot á síðasta ári, þannig að þú þarft aðeins að skoða gildin í þeim dálki gagnanna.

( P e r s o n u s e s a c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g G I V E N t h e p e r s o n h a d a v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r ) = n u m b e r w h o u s e d c e l l p h o n e A N D ​ h a d a v i o l a t i o n/n u m b e r i n s t u d y w h o h a d a v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r = 25/70 ≈ 0,3571

f. Fyrir þessi skilyrtu líkindi skaltu aðeins skoða gildi í röðinni sem merkt er „Notar ekki farsíma við akstur.“

P ( einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári að því gefnu að einstaklingurinn notar ekki farsíma við akstur ) = 405/450 = 0,9

Prófaðu 3.20

3.4.

Tafla 3.4 sýnir fjölda íþróttamanna sem teygja fyrir æfingu og hversu margir urðu fyrir meiðslum á síðasta ári.

	Meiðsli á síðasta ári	Engin meiðsli á síðasta ári	Samtals
Teygir	55	295	350
Teygir ekki	231	219	450
Samtals	286	514	800

Hvað er P (íþróttamaður teygir fyrir æfingu)?
Hvað er P (Íþróttamaður teygir fyrir æfingu|engin meiðsli á síðasta ári)?

Dæmi 3.21

Tafla 3.5 sýnir slembiúrtak 100 göngumanna og hvaða göngusvæði þeir kjósa.

Kyn	Strandlengjan	Nálægt vötnum og ám	Á fjallstindum	Samtals
Kona	18	16	___	45
Karl	___	___	14	55
Samtals	___	41	___	___

a. Fylltu út töfluna.

b. Eru atburðirnir að vera kona og að kjósa strandlengjuna óháðir atburðir?

Látum F = being vera kona og látum C = preferring vera strandlengjan.

Finndu P ( F og C ).
Finndu P ( F ) P ( C ).

Eru þessar tvær tölur þær sömu? Ef svo er, þá eru F og C óháð. Ef ekki, þá eru F og C ekki óháð.

c. Finndu líkurnar á því að einstaklingur sé karlmaður gefið að einstaklingurinn kýs að ganga nálægt vötnum og ám. Látum M = being vera karlmaður, og látum L = prefers vera gönguferðir nálægt vötnum og ám.

Hvaða orð segir þér að þetta séu skilyrt líkindi?
Er úrtaksrúmið fyrir þetta dæmi allir 100 göngumennirnir? Ef ekki, hvað er það?
Fylltu í eyðurnar og reiknaðu líkurnar: P (_____|_____) = _____.

d. Finndu líkurnar á því að einstaklingur sé kona eða kjósi að ganga á fjallstindum. Látum F = being vera kona, og látum P = prefers vera fjallstindar.

Finndu P ( F ).
Finndu P ( P ).
Finndu P ( F og P ).
Finndu P ( F eða P ).

Lausn

a. Það eru 45 konur í úrtakinu; 18 kjósa strandlengjuna og 16 kjósa að ganga nálægt vötnum og ám. Þannig að við vitum að það eru 45 − 18 − 16 = 11 kvenkyns nemendur sem kjósa að ganga á fjallstindum.

Haltu áfram að rökhugsa á þennan hátt til að fylla út töfluna.

Kyn	Strandlengjan	Nálægt vötnum og ám	Á fjallstindum	Samtals
Kona	18	16	11	45
Karl	16	25	14	55
Samtals	34	41	25	100

P ( F og C ) = 18/100 = 0,18
P ( F ) P ( C ) = ( 45/100 ) ( 34/100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153

P ( F og C ) ≠ P ( F ) P ( C ), þannig að atburðirnir F og C eru ekki óháðir.

Orðið gefið segir þér að þetta séu skilyrt líkindi.
Nei, úrtaksrúmið fyrir þetta dæmi eru þeir 41 göngumenn sem kjósa vötn og ár.
Finndu skilyrtu líkurnar P ( M | L ). Vegna þess að það er gefið að einstaklingurinn kýs að ganga nálægt vötnum og ám, þarftu aðeins að skoða gildin í dálkinum sem merktur er "Nálægt vötnum og ám." P ( M | L ) = 25/41

P ( F ) = 45/100
P ( P ) = 25/100
P ( F og P ) = fjöldi göngufólks sem er kona og kýs fjallstinda/fjöldi göngufólks í rannsókninni = 11/100
P ( F eða P ) = P ( F ) + P ( P ) − P ( F og P ) = 45/100 + 25/100 - 11/100 = 59/100

Prófaðu 3.21

3.7.

Tafla 3.7 sýnir slembiúrtak 200 hjólreiðamanna og hvaða leiðir þeir kjósa. Látum M = karlar og H = hæðóttur vera stígur.

Kyn	Vatnsstígur	Hæðóttur stígur	Skógarstígur	Samtals
Kona	45	38	27	110
Karl	26	52	12	90
Samtals	71	90	39	200

Hverjar eru líkurnar á því að hjólreiðamaðurinn kjósi hæðóttan stíg, miðað við að hann sé karlkyns?
Eru atburðirnir að vera karlkyns og að kjósa hæðótta stíginn óháðir atburðir?

Dæmi 3.22

Músin Muddy býr í búri með þremur hurðum. Ef Muddy fer út um fyrstu hurðina eru líkurnar á því að kötturinn Alissa grípi hann 1/5 og líkurnar á því að hann verði ekki gripinn eru 4/5 . Ef hann fer út um aðra hurðina eru líkurnar á því að Alissa grípi hann 1/4 og líkurnar á því að hann verði ekki gripinn eru 3/4 . Líkurnar á því að Alissa grípi Muddy þegar hann kemur út um þriðju hurðina eru 1/2 og líkurnar á því að hún grípi hann ekki eru 1/2 . Það er jafn líklegt að Muddy velji hvaða hurð sem er af þessum þremur, þannig að líkurnar á því að velja hverja hurð eru 1/3 .

Gripinn eða ekki	Hurð eitt	Hurð tvö	Hurð þrjú	Samtals
Gripinn	1/15	1/12	1/6	____
Ekki gripinn	4/15	3/12	1/6	____
Samtals	____	____	____	1

Fyrsta færslan 1/15 = ( 1/5 ) ( 1/3 ) er P (hurð eitt og gripinn).
Færslan 4/15 = ( 4/5 ) ( 1/3 ) er P (hurð eitt og ekki gripinn).

Staðfestu hinar færslurnar.

a. Ljúktu við krosstöfluna fyrir líkurnar. Reiknaðu færslurnar fyrir samtölurnar. Staðfestu að færslan í neðra hægra horninu sé 1.

b. Hverjar eru líkurnar á því að Alissa grípi Muddy ekki?

c. Hverjar eru líkurnar á því að Muddy velji hurð eitt eða hurð tvö, að því gefnu að Alissa grípi hann?

Lausn

Gripinn eða ekki	Hurð eitt	Hurð tvö	Hurð þrjú	Samtals
Gripinn	1/15	1/12	1/6	19/60
Ekki gripinn	4/15	3/12	1/6	41/60
Samtals	5/15	4/12	2/6	1

b. 41/60

c. Þetta eru skilyrtar líkur, svo skoðaðu aðeins líkurnar í röðinni sem merkt er „Gripinn“. Að velja hurð eitt og að velja hurð tvö eru ósamrýmanlegir atburðir, svo

P (velur hurð eitt eða velur hurð tvö og gripinn) = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{9}{60} .

Notaðu jöfnuna fyrir skilyrtar líkur P ( A | B ) = P ( A og B )/P ( B ) .

P (hurð eitt eða hurð tvö|gripinn) = \frac{P (hurð eitt eða hurð tvö og gripinn)}{P (gripinn)} = \frac{\frac{9}{60}}{\frac{19}{60}} = \frac{9}{19.} .

Dæmi 3.23

Tafla 3.10 sýnir fjölda glæpa á hverja 100,000 íbúa frá 2008 til 2011 í Bandaríkjunum.

Ár	Glæpur A	Glæpur B	Glæpur C	Glæpur D
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
Samtals

Leggðu SAMAN hvern dálk og hverja röð. Samtals data = 4,520.7.

Finndu P (2009 og Crime A).
Finndu P (2010 og Crime B).
Finndu P (2010 eða Crime B).
Finndu P (2011|Glæpur A).
Finndu P (Glæpur D|2008).

Lausn

a. 133 0,1/4,520 0,7 = 0,0294, b. 701/4,520 0,7 = 0,1551, c. P (2010 eða Crime B) = P (2010) + P (Crime B) – P (2010 og Crime B) = 1,087 0,1/4,520 0,7 + 2,852 0,9/4,520 0,7 − 701/4,520 0,7 = 0,7165, d. 113 0,7/511 0,8 = 0,2222, e. 314 0,7/1,222 0,2 = 0,2575

Prófaðu 3.23

3.11.

Tafla 3.11 sýnir tengsl milli þyngdar og hæðar hóps einstaklinga sem taka þátt í áhorfsrannsókn.

Aldur	Hávaxinn	Meðalhæð	Lágvaxinn
Undir 18	18	28	14
18–50	20	51	28
51+	12	25	9
Samtals

Finndu samtöluna fyrir hverja röð og hvern dálk.
Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn einstaklingur úr þessum hópi sé hávaxinn.
Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn einstaklingur úr þessum hópi sé undir 18 og hávaxinn.
Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn einstaklingur úr þessum hópi sé hávaxinn, að því gefnu að einstaklingurinn sé undir 18.
Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn einstaklingur úr þessum hópi sé undir 18, að því gefnu að einstaklingurinn sé hávaxinn.
Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn einstaklingur úr þessum hópi sé hávaxinn og á aldrinum 51+.
Eru atburðirnir undir 18 og hávaxinn óháðir?

Dæmi 3.20

Gerum ráð fyrir að rannsókn á hraðakstursbrotum og ökumönnum sem nota farsíma hafi skilað eftirfarandi uppdiktuðum gögnum:

	Hraðakstursbrot á síðasta ári	Ekkert hraðakstursbrot á síðasta ári	Samtals
Notar farsíma við akstur	25	280	305
Notar ekki farsíma við akstur	45	405	450
Samtals	70	685	755

Heildarfjöldi fólks í úrtakinu er 755. Samtölur raða eru 305 og 450. Samtölur dálka eru 70 og 685. Taktu eftir að 305 + 450 = 755 og 70 + 685 = 755.

Notaðu töfluna til að reikna eftirfarandi líkindi:

Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári og notar farsíma við akstur).
Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur or einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur notar farsíma við akstur given einstaklingur fékk brot á síðasta ári).
Finndu P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári að því gefnu að einstaklingurinn notar ekki farsíma við akstur).

Lausn

a. Þetta er það sama og jaðardreifingin (Kafli 1.2).

P (einstaklingur notar farsíma við akstur) = \frac{fjöldi sem notar farsíma við akstur}{fjöldi í rannsókninni} = \frac{305}{755} \approx 0,4040

b. Jaðardreifingin er

P (einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári) = \frac{fjöldi sem fékk ekkert brot}{fjöldi í rannsókninni} = \frac{685}{755} \approx 0,9073 .

c. Finndu fjölda þátttakenda sem uppfylla bæði skilyrðin.

P ( P e r s o n h a d n o v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r A N D u s e s a c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g ) = n u m b e r w h o h a d n o v i o l a t i o n A N D u s e s c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g/n u m b e r i n s t u d y = 280/755 ≈ 0,3709

d. Til að finna þessi líkindi þarftu að finna hversu margir þátttakendur nota farsíma við akstur eða voru ekki með brot á síðasta ári eða bæði.

P ( einstaklingur notar farsíma við akstur eða fékk ekkert brot á síðasta ári ) = 25 + 405 + 280/755

\begin{matrix} = \frac{710}{755} \\ \approx 0,9404 \end{matrix}

e. Þetta eru skilyrt líkindi. Þér er gefið að einstaklingurinn var ekki með brot á síðasta ári, þannig að þú þarft aðeins að skoða gildin í þeim dálki gagnanna.

( P e r s o n u s e s a c e l l p h o n e w h i l e d r i v i n g G I V E N t h e p e r s o n h a d a v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r ) = n u m b e r w h o u s e d c e l l p h o n e A N D ​ h a d a v i o l a t i o n/n u m b e r i n s t u d y w h o h a d a v i o l a t i o n i n t h e l a s t y e a r = 25/70 ≈ 0,3571

f. Fyrir þessi skilyrtu líkindi skaltu aðeins skoða gildi í röðinni sem merkt er „Notar ekki farsíma við akstur.“

P ( einstaklingur fékk ekkert brot á síðasta ári að því gefnu að einstaklingurinn notar ekki farsíma við akstur ) = 405/450 = 0,9

Dæmi 3.21

Tafla 3.5 sýnir slembiúrtak 100 göngumanna og hvaða göngusvæði þeir kjósa.

Kyn	Strandlengjan	Nálægt vötnum og ám	Á fjallstindum	Samtals
Kona	18	16	___	45
Karl	___	___	14	55
Samtals	___	41	___	___

a. Fylltu út töfluna.

b. Eru atburðirnir að vera kona og að kjósa strandlengjuna óháðir atburðir?

Látum F = being vera kona og látum C = preferring vera strandlengjan.

Finndu P ( F og C ).
Finndu P ( F ) P ( C ).

Eru þessar tvær tölur þær sömu? Ef svo er, þá eru F og C óháð. Ef ekki, þá eru F og C ekki óháð.

Hvaða orð segir þér að þetta séu skilyrt líkindi?
Er úrtaksrúmið fyrir þetta dæmi allir 100 göngumennirnir? Ef ekki, hvað er það?
Fylltu í eyðurnar og reiknaðu líkurnar: P (_____|_____) = _____.

d. Finndu líkurnar á því að einstaklingur sé kona eða kjósi að ganga á fjallstindum. Látum F = being vera kona, og látum P = prefers vera fjallstindar.

Finndu P ( F ).
Finndu P ( P ).
Finndu P ( F og P ).
Finndu P ( F eða P ).

Lausn

Haltu áfram að rökhugsa á þennan hátt til að fylla út töfluna.

Kyn	Strandlengjan	Nálægt vötnum og ám	Á fjallstindum	Samtals
Kona	18	16	11	45
Karl	16	25	14	55
Samtals	34	41	25	100

P ( F og C ) = 18/100 = 0,18
P ( F ) P ( C ) = ( 45/100 ) ( 34/100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153

P ( F og C ) ≠ P ( F ) P ( C ), þannig að atburðirnir F og C eru ekki óháðir.

Orðið gefið segir þér að þetta séu skilyrt líkindi.
Nei, úrtaksrúmið fyrir þetta dæmi eru þeir 41 göngumenn sem kjósa vötn og ár.
Finndu skilyrtu líkurnar P ( M | L ). Vegna þess að það er gefið að einstaklingurinn kýs að ganga nálægt vötnum og ám, þarftu aðeins að skoða gildin í dálkinum sem merktur er "Nálægt vötnum og ám." P ( M | L ) = 25/41

P ( F ) = 45/100
P ( P ) = 25/100
P ( F og P ) = fjöldi göngufólks sem er kona og kýs fjallstinda/fjöldi göngufólks í rannsókninni = 11/100
P ( F eða P ) = P ( F ) + P ( P ) − P ( F og P ) = 45/100 + 25/100 - 11/100 = 59/100

Dæmi 3.22

Gripinn eða ekki	Hurð eitt	Hurð tvö	Hurð þrjú	Samtals
Gripinn	1/15	1/12	1/6	____
Ekki gripinn	4/15	3/12	1/6	____
Samtals	____	____	____	1

Fyrsta færslan 1/15 = ( 1/5 ) ( 1/3 ) er P (hurð eitt og gripinn).
Færslan 4/15 = ( 4/5 ) ( 1/3 ) er P (hurð eitt og ekki gripinn).

Staðfestu hinar færslurnar.

a. Ljúktu við krosstöfluna fyrir líkurnar. Reiknaðu færslurnar fyrir samtölurnar. Staðfestu að færslan í neðra hægra horninu sé 1.

b. Hverjar eru líkurnar á því að Alissa grípi Muddy ekki?

c. Hverjar eru líkurnar á því að Muddy velji hurð eitt eða hurð tvö, að því gefnu að Alissa grípi hann?

Lausn

Gripinn eða ekki	Hurð eitt	Hurð tvö	Hurð þrjú	Samtals
Gripinn	1/15	1/12	1/6	19/60
Ekki gripinn	4/15	3/12	1/6	41/60
Samtals	5/15	4/12	2/6	1

b. 41/60

c. Þetta eru skilyrtar líkur, svo skoðaðu aðeins líkurnar í röðinni sem merkt er „Gripinn“. Að velja hurð eitt og að velja hurð tvö eru ósamrýmanlegir atburðir, svo

P (velur hurð eitt eða velur hurð tvö og gripinn) = \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{9}{60} .

Notaðu jöfnuna fyrir skilyrtar líkur P ( A | B ) = P ( A og B )/P ( B ) .

P (hurð eitt eða hurð tvö|gripinn) = \frac{P (hurð eitt eða hurð tvö og gripinn)}{P (gripinn)} = \frac{\frac{9}{60}}{\frac{19}{60}} = \frac{9}{19.} .

Dæmi 3.23

Tafla 3.10 sýnir fjölda glæpa á hverja 100,000 íbúa frá 2008 til 2011 í Bandaríkjunum.

Ár	Glæpur A	Glæpur B	Glæpur C	Glæpur D
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
Samtals

Leggðu SAMAN hvern dálk og hverja röð. Samtals data = 4,520.7.

Finndu P (2009 og Crime A).
Finndu P (2010 og Crime B).
Finndu P (2010 eða Crime B).
Finndu P (2011|Glæpur A).
Finndu P (Glæpur D|2008).

Lausn

Aldur

Hávaxinn

Meðalhæð

Lágvaxinn

Samtals

Undir 18

18–50

51+

Samtals