Heimadæmi

Línuritið á mynd 3.20 sýnir úrtaksstærðir og hlutföll fólks í mismunandi aldurs- og kynjahópum sem var spurt um ánægju sína með störf Fords borgarstjóra. Heildarfjöldi í úrtaki allra aldurshópa er 1.045.

1. Skilgreindu þrjá atburði í línuritinu.
2. Lýstu með orðum hvað færslan 40 þýðir.
3. Lýstu með orðum fylliatburði færslunnar í fyrri spurningu.
4. Lýstu með orðum hvað færslan 30 þýðir.
5. Af körlum og konum, hversu hátt hlutfall eru karlar?
6. Af konunum, hversu hátt hlutfall er ósammála Ford borgarstjóra?
7. Af öllum aldurshópum, hversu hátt hlutfall er sammála Ford borgarstjóra?
8. Finndu P (Sammála|Karl).
9. Af aldurshópunum, hversu hátt hlutfall er eldra en 44 ára?
10. Finndu P (Sammála|Aldur < 35).

Útskýrðu hvað er athugavert við eftirfarandi fullyrðingar. Notaðu heilar málsgreinar.

1. Ef það eru 60 prósent líkur á rigningu á laugardag og 70 prósent líkur á rigningu á sunnudag, þá eru 130 prósent líkur á rigningu um helgina.
2. Líkurnar á því að hafnaboltaleikmaður slái heimahlaup eru meiri en líkurnar á því að hann nái gildu höggi.

Finndu líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé 82,7.

Finndu líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé 81,0.

Finndu líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé meira en 81.

Finndu líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé á milli 80,5 og 82.

Ef við vitum að heilsuvísitölustig er 81,5 eða meira, hverjar eru líkurnar á því að það sé 82,7?

Hverjar eru líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé 80,7 eða 82,7?

Hverjar eru líkurnar á því að heilsuvísitölustig sé minna en 80,2 að því gefnu að það sé nú þegar minna en 81?

Hvaða starfsgrein er með hæsta heilsuvísitölustigið?

Hvaða starfsgrein er með lægsta tilfinningavísitölustigið?

Hvert er spönn gagnanna?

Reiknaðu meðaltal heilsuvísitölustiga.

Ef allar starfsgreinar eru jafn líklegar fyrir ákveðinn einstakling, hverjar eru líkurnar á því að hann eða hún hafi starfsgrein með lægra heilsuvísitölustig en meðaltalið?

Þann 28. febrúar 2013 greindi Field Poll könnun frá því að 61 prósent skráðra kjósenda í Kaliforníu samþykktu lög sem stóð til að samþykkja. Meðal 18 til 39 ára (skráðra kjósenda í Kaliforníu) var samþykkishlutfallið 78 prósent. Sex af hverjum 10 skráðum kjósendum í Kaliforníu sögðu að væntanlegur úrskurður Hæstaréttar um stjórnskipulegt gildi laganna væri þeim annaðhvort mjög eða nokkuð mikilvægur. Af þeim skráðu kjósendum sem studdu lögin segja 75 prósent að úrskurðurinn sé þeim mikilvægur.

Í þessu dæmi, látum

• C = California skráðir kjósendur sem studdu lögin,
• B = California skráðir kjósendur sem segja að úrskurður Hæstaréttar um lögin sé þeim mjög eða nokkuð mikilvægur, og
• A = California skráðir kjósendur sem eru 18 til 39 ára.

1. Finndu P ( C ).
2. Finndu P ( B ).
3. Finndu P ( C | A ).
4. Finndu P ( B | C ).
5. Með orðum, hvað er C | A ?
6. Með orðum, hvað er B | C ?
7. Finndu P ( C og B ).
8. Með orðum, hvað er C OG B ?
9. Finndu P ( C eða B ).
10. Eru C og B ósamrýmanlegir atburðir? Sýndu hvers vegna eða hvers vegna ekki.

Eftir að borgarstjóri í stórri kanadískri borg tilkynnti áætlanir sínar um niðurskurð á fjárlögum seint á árinu 2011, könnuðu rannsakendur hug 1.046 manns til að mæla vinsældir borgarstjórans. Allir sem spurðir voru lýstu annaðhvort yfir ánægju eða óánægju. Þetta eru niðurstöðurnar sem könnun þeirra leiddi í ljós:

• Snemma árs 2011 voru 60 prósent þjóðarinnar ánægð með störf borgarstjórans.
• Um mitt ár 2011 voru 57 prósent þjóðarinnar ánægð með störf hans.
• Seint á árinu 2011 mældist hlutfall þeirra sem voru ánægðir 42 prósent.

1. Hver er úrtaksstærðin fyrir þessa rannsókn?
2. Hvaða hlutfall í könnuninni var óánægt með borgarstjórann, samkvæmt niðurstöðum frá því seint á árinu 2011?
3. Hversu margir af þeim sem spurðir voru svöruðu því til að þeir væru ánægðir með borgarstjórann seint á árinu 2011?
4. Hverjar eru líkurnar á því að manneskja hafi stutt borgarstjórann, miðað við gögnin sem safnað var um mitt ár 2011?
5. Hverjar eru líkurnar á því að manneskja hafi stutt borgarstjórann, miðað við gögnin sem safnað var snemma árs 2011?

1. Skráið útkomumengi mögulegra rétta sem eru á matseðlinum.
2. Finnið P (þú fáir 17 únsa kjötstykki).
3. Finnið P (þú fáir svínakótelettu).
4. Finnið P (þú fáir 17 únsa svínakótelettu).
5. Er það að fá svínakótilettu fyllimengi þess að fá kjúklingabringu? Hvers vegna?
6. Finnið tvo ósamrýmanlega atburði.
7. Eru atburðirnir að fá 17 únsur af kjöti og að fá svínakótilettu óháðir?

Reiknið líkurnar.

1. P (þú fáir kjúklingabringu)
2. P (þú fáir 17 únsa kjúklingabringu)
3. P (þú fáir kjúklingabringu eða fáir ekki 17 únsa svínakótelettu)
4. P (þú fáir ekki kjúklingabringu og fáir 18 únsa svínakótelettu)
5. P (þú fáir kjötstykki sem er ekki 21 únsa)
6. P (þú fáir kjúklingastykki sem er ekki 21 únsa)
7. P (þú fáir ekki kjúklingabringu og fáir ekki svínakótelettu)

Reiknið líkurnar:

1. P (þú fáir ekki svínakótelettu)
2. P (þú fáir 20 únsa svínakótelettu)
3. P (þú fáir ekki kjúklingabringu eða fáir ekki 18 únsa svínakótelettu)
4. P (þú fáir ekki kjúklingabringu og fáir ekki 18 únsa svínakótelettu)
5. P (þú fáir svínakótelettu that is not 21 oz.)
6. P (þú fáir ekki kjúklingabringu eða fáir ekki svínakótelettu)

Gerum ráð fyrir að þú hafir átta spil. Fimm eru græn og þrjú eru gul. Grænu spilin fimm eru númeruð 1, 2, 3, 4 og 5. Gulu spilin þrjú eru númeruð 1, 2 og 3. Spilunum er vel stokkað. Þú dregur eitt spil af handahófi.

• G = dregna spilið er grænt
• E = dregna spilið er með sléttri tölu. Skráðu útkomurúmið. P ( G ) = ________ P ( G | E ) = ________ P ( G og E ) = ________ P ( G eða E ) = ________ Eru G og E ósamrýmanlegir atburðir? Rökstuddu svarið tölulega.

Kastið tveimur óbjöguðum teningum hvorum í sínu lagi. Hver teningur hefur sex hliðar.

1. Skráið útkomumengið.
2. Látum A vera atburðinn að annaðhvort þrír eða fjórir komi upp fyrst, og síðan slétt tala. Finnið P ( A ).
3. Látum B vera atburðinn að summa kastanna tveggja sé í mesta lagi sjö. Finnið P ( B ).
4. Útskýrið með orðum hvað P ( A | B ) táknar. Finnið P ( A | B ).
5. Eru A og B ósamrýmanlegir atburðir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið tölulegan rökstuðning.
6. Eru A og B óháðir atburðir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið tölulegan rökstuðning.

Sérstakur spilastokkur hefur 10 spil. Fögur eru græn, þrjú eru blá og þrjú eru rauð. Þegar spil er dregið er litur þess skráður. Tilraun felst í því að draga fyrst spil og kasta síðan peningi.

1. Skráið útkomumengið.
2. Látum A vera atburðinn að blátt spil sé dregið fyrst, og síðan komi upp skjaldarmerki í peningakastinu. Finnið P ( A ).
3. Látum B vera atburðinn að rautt eða grænt spil sé dregið, og síðan komi upp skjaldarmerki í peningakastinu. Eru atburðirnir A og B ósamrýmanlegir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið tölulegan rökstuðning.
4. Látum C vera atburðinn að rautt eða blátt spil sé dregið, og síðan komi upp skjaldarmerki í peningakastinu. Eru atburðirnir A og C ósamrýmanlegir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið tölulegan rökstuðning.

Tilraun felst í því að kasta fyrst teningi og síðan peningi.

1. Skráið útkomumengið.
2. Látum A vera atburðinn að annaðhvort þrír eða fjórir komi upp fyrst, og síðan komi upp skjaldarmerki í peningakastinu. Finnið P ( A ).
3. Látum B vera atburðinn að fyrsta og annað kast lendi á skjaldarmerki. Eru atburðirnir A og B ósamrýmanlegir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið tölulegan rökstuðning.

Tilraun felst í því að kasta fimm senta, tíu senta og tuttugu og fimm senta mynt. Áhugi er á því hvaða hlið myntarinnar snýr upp.

1. Skráið útkomumengið.
2. Látum A vera atburðinn að það séu að minnsta kosti tveir fiskar. Finnið P ( A ).
3. Látum B vera atburðinn að fyrsta og annað kast lendi á skjaldarmerki. Eru atburðirnir A og B ósamrýmanlegir? Útskýrið svarið í einni til þremur heilum setningum, þar með talið rökstuðning.

Skoðið eftirfarandi dæmi: Látum P ( C ) = 0,4. Látum P ( D ) = 0,5. Látum P ( C | D ) = 0,6.

1. Finnið P ( C og D ).
2. Eru C og D ósamrýmanleg? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
3. Eru C og D óháðir atburðir? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
4. Finnið P ( C eða D ).
5. Finnið P ( D | C ).

Y og Z eru óháðir atburðir.

1. Endurritið grunnreglu samlagningar P ( Y eða Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y og Z ) með því að nota upplýsingarnar um að Y og Z séu óháðir atburðir.
2. Notið endurrituðu regluna til að finna P ( Z ) ef P ( Y eða Z ) = 0,71 og P ( Y ) = 0,42.

G og H eru ósamrýmanlegir atburðir. P ( G ) = 0,5 P ( H ) = 0,3

1. Útskýrið hvers vegna eftirfarandi fullyrðing HLÝTUR að vera ósönn: P ( H | G ) = 0,4.
2. Finnið P ( H eða G ).
3. Eru G og H óháðir eða háðir atburðir? Útskýrið í heilli málsgrein.

Um það bil 281.000.000 manns eldri en fimm ára búa í Bandaríkjunum. Af þessu fólki tala 55.000.000 annað tungumál en ensku heima við. Af þeim sem tala annað tungumál heima við tala 62,3 prósent spænsku.

Látum E = speaks ensku heima við; E′ = talar annað tungumál heima við; og S = speaks spænsku.

Kláraðu hverja líkindafullyrðingu með því að para við rétt svar.

Árið 1994 héldu bandarísk stjórnvöld happdrætti til að gefa út 55.000 leyfi af ákveðinni tegund. Renate Deutsch, frá Þýskalandi, var ein af um það bil 6,5 milljónum manna sem tóku þátt í þessu happdrætti. Látum G vera atburðinn að leyfi vinnist.

1. Hverjar voru líkurnar á því að Renate ynni eitt af leyfunum? Skrifið svarið sem líkindafullyrðingu.
2. Sumarið 1994 fékk Renate bréf þar sem fram kom að hún væri ein af 110.000 keppendum sem komust í úrslit. Eftir að úrslitakeppendurnir voru valdir, að því gefnu að hver þeirra hefði jafnar líkur á að vinna, hverjar voru líkurnar á því að Renate ynni eitt af leyfunum? Skrifið svarið sem skilyrta líkindafullyrðingu. Látum F = was úrslitakeppandi.
3. Eru G og F óháðir eða háðir atburðir? Rökstyðjið svarið með tölum og útskýrið einnig hvers vegna.
4. Eru G og F ósamrýmanlegir atburðir? Rökstyðjið svarið með tölum og útskýrið hvers vegna.

Þrír prófessorar við George Washington háskólann gerðu tilraun til að ákvarða hvort hagfræðingar væru líklegri til að skila fundnum peningum en annað fólk. Þeir skildu eftir 64 frímerkt og stíluð umslög með $10 í reiðufé í mismunandi kennslustofum á háskólasvæði George Washington. Fjörutíu og fjórum prósentum var skilað í heildina. Úr hagfræðitímum var 56 prósentum umslaganna skilað. Úr viðskipta-, sálfræði- og sagnfræðitímum var 31 prósentum skilað.

Látum R = money skilað; E = economics tímar; og O = other tímar.

1. Skrifið líkindafullyrðingu fyrir heildarhlutfall peninga sem var skilað.
2. Skrifið líkindafullyrðingu fyrir hlutfall peninga sem var skilað úr hagfræðitímunum.
3. Skrifið líkindafullyrðingu fyrir hlutfall peninga sem var skilað úr hinum tímunum.
4. Eru skil á peningum óháð því hvaða tími á í hlut? Rökstyðjið svarið með tölum og útskýrið það.
5. Byggt á þessari rannsókn, teljið þið að hagfræðingar séu eigingjarnari en annað fólk? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki. Hafið tölur með til að rökstyðja svarið.

Eftirfarandi gagnatafla, fengin af www.baseball-almanac.com, sýnir upplýsingar um högg fyrir fjóra leikmenn. Gerum ráð fyrir að eitt högg úr töflunni sé valið af handahófi.

Eru atburðirnir að höggið sé slegið af Hank Aaron og að höggið sé tvöfalt högg óháðir?

1. Já, vegna þess að P (högg frá Hank Aaron|högg er tvöfalt) = P (hit by Hank Aaron)
2. Nei, vegna þess að P (högg frá Hank Aaron|högg er tvöfalt) ≠ P (hit is a double)
3. Nei, vegna þess að P (högg er frá Hank Aaron|högg er tvöfalt) ≠ P (hit by Hank Aaron)
4. Já, vegna þess að P (högg er frá Hank Aaron|högg er tvöfalt) = P (hit is a double)

United Blood Services er blóðbanki sem þjónar meira en 500 sjúkrahúsum í 18 fylkjum. Samkvæmt vefsíðu þeirra getur einstaklingur með blóðflokk O og neikvæðan Rh-þátt (Rh–) gefið blóð til hvaða einstaklings sem er, óháð blóðflokki. Gögn þeirra sýna að 43 prósent fólks eru í blóðflokki O og 15 prósent fólks eru með Rh– þátt; 52 prósent fólks eru í blóðflokki O eða með Rh– þátt.

1. Finnið líkurnar á því að einstaklingur sé bæði í blóðflokki O og með Rh– þátt.
2. Finnið líkurnar á því að einstaklingur sé ekki bæði í blóðflokki O og með Rh– þátt.

Í háskóla hafa 72 prósent námskeiða lokapróf og 46 prósent námskeiða krefjast rannsóknarritgerða. Gerum ráð fyrir að 32 prósent námskeiða hafi bæði rannsóknarritgerð og lokapróf. Látum F vera þann atburð að námskeið hafi lokapróf. Látum R vera þann atburð að námskeið krefjist rannsóknarritgerðar.

1. Finnið líkurnar á því að námskeið hafi lokapróf eða rannsóknarverkefni.
2. Finnið líkurnar á því að námskeið hafi hvoruga þessara tveggja krafna.

Í kassa með blönduðum smákökum innihalda 36 prósent súkkulaði og 12 prósent hnetur. Af þeim innihalda 8 prósent bæði súkkulaði og hnetur. Sean er með ofnæmi fyrir bæði súkkulaði og hnetum.

1. Finnið líkurnar á því að smákaka innihaldi súkkulaði eða hnetur (hann getur ekki borðað hana).
2. Finnið líkurnar á því að smákaka innihaldi hvorki súkkulaði né hnetur (hann getur borðað hana).

Háskóli kemst að því að 10 prósent nemenda hafa tekið fjarnámskeið og að 40 prósent nemenda eru í hlutastarfi. Af nemendum í hlutastarfi hafa 20 prósent tekið fjarnámskeið. Látum D = atburðinn að nemandi taki fjarnámskeið og E = atburðinn að nemandi sé í hlutastarfi.

1. Finnið P ( D og E ).
2. Finnið P ( E | D ).
3. Finnið P ( D eða E ).
4. Notið viðeigandi próf til að sýna hvort D og E séu óháðir.
5. Notið viðeigandi próf til að sýna hvort D og E séu ósamrýmanlegir.

Hverjar eru líkurnar á því að öldungadeildarþingmaður, valinn af handahófi, tilheyri öðrum flokki?

Hverjar eru líkurnar á því að öldungadeildarþingmaður, valinn af handahófi, verði í framboði til endurkjörs í nóvember 2016?

Hverjar eru líkurnar á því að öldungadeildarþingmaður, valinn af handahófi, hafi verið demókrati og í framboði til endurkjörs í nóvember 2016?

Hverjar eru líkurnar á því að öldungadeildarþingmaður, valinn af handahófi, hafi verið repúblikani eða í framboði til endurkjörs í nóvember 2014?

Gerum ráð fyrir að öldungadeildarþingmaður Bandaríkjanna sé valinn af handahófi. Að því gefnu að valdi þingmaðurinn hafi verið í framboði til endurkjörs í nóvember 2016, hverjar eru líkurnar á því að þessi þingmaður hafi verið demókrati?

Gerum ráð fyrir að öldungadeildarþingmaður Bandaríkjanna sé valinn af handahófi. Hverjar eru líkurnar á því að þingmaðurinn hafi verið í framboði til endurkjörs í nóvember 2014, vitandi að þessi þingmaður var repúblikani?

Atburðirnir Repúblikani og í endurkjöri árið 2016 eru ________.

1. ósamrýmanlegir
2. óháðir
3. bæði ósamrýmanlegir og óháðir
4. hvorki ósamrýmanlegir né óháðir

Atburðirnir Annar flokkur og í endurkjöri í nóvember 2016 eru ________.

1. ósamrýmanlegir
2. óháðir
3. bæði ósamrýmanlegir og óháðir
4. hvorki ósamrýmanlegir né óháðir

Finndu P (höggið var slegið af Babe Ruth).

1. 1.518/2.873
2. 2.873/12.351
3. 583/12.351
4. 4.189/12.351

Finndu P (Höggið var gert af Ty Cobb|Höggið var heimahlaup).

1. 4.189/12.351
2. 114/1.720
3. 1.720/4.189
4. 114/12.351

Tafla 3.23 flokkar hóp barna eftir einum af fjórum hárlitum og eftir hárgerð.

1. Fylltu út töfluna.
2. Hverjar eru líkurnar á því að barn sem valið er af handahófi sé með bylgjótt hár?
3. Hverjar eru líkurnar á því að barn sem valið er af handahófi sé annaðhvort með brúnt eða ljóst hár?
4. Hverjar eru líkurnar á því að barn sem valið er af handahófi sé með bylgjótt, brúnt hár?
5. Hverjar eru líkurnar á því að barn sem valið er af handahófi sé með rautt hár, að því gefnu að það sé með slétt hár?
6. Ef B er atburðurinn að barn sé með brúnt hár, finndu líkurnar á fylliatburði B.
7. Hvað táknar fylliatburður B í orðum?

Á fyrra ári voru þyngdir leikmanna í ruðningsliði frá Kaliforníu og ruðningsliði frá Texas birtar í dagblaði. Raungögnin voru tekin saman í eftirfarandi töflu. Þyngdirnar í dálkafyrirsögnunum eru í pundum.

Fyrir eftirfarandi skaltu gera ráð fyrir að þú veljir einn leikmann af handahófi úr Kaliforníuliðinu eða Texasliðinu.

1. Finndu líkurnar á því að treyjunúmer hans sé frá 1 til 33.
2. Finndu líkurnar á því að hann vegi í mesta lagi 210 pund.
3. Finndu líkurnar á því að treyjunúmer hans sé frá 1 til 33 OG hann vegi í mesta lagi 210 pund.
4. Finndu líkurnar á því að treyjunúmer hans sé frá 1 til 33 EÐA hann vegi í mesta lagi 210 pund.
5. Finndu líkurnar á því að treyjunúmer hans sé frá 1 til 33 AÐ ÞVÍ GEFNU að hann vegi í mesta lagi 210 pund.

Finndu P (upp komi skjaldarmerki á peningnum og rauð perla sé valin).

1. 2/3
2. 5/15
3. 6/36
4. 5/36

Finndu P (blá perla).

1. 15/36
2. 10/36
3. 10/12
4. 6/36

Kexkassi inniheldur þrjú súkkulaðikex og sjö smjörkex. Miguel velur kex af handahófi og borðar það. Síðan velur hann annað kex af handahófi og borðar það. Hversu mörg kex tók hann?

1. Teiknaðu trémyndina sem sýnir möguleikana fyrir kexvalið. Skrifaðu líkurnar við hverja grein trésins.
2. Eru líkurnar á bragðtegund seinna kexins sem Miguel velur óháðar fyrsta valinu hans? Útskýrðu.
3. Fyrir hverja heila leið í gegnum tréð skaltu skrifa atburðinn sem hún táknar og finna líkurnar.
4. Látum S vera atburðinn að bæði kexin sem valin voru hafi verið af sömu bragðtegund. Finndu P ( S ).
5. Látum T vera atburðinn að kexin sem valin voru hafi verið af mismunandi bragðtegundum. Finndu P ( T ) með tveimur mismunandi aðferðum, með því að nota fylliatburðaregluna og með því að nota greinar trésins. Svörin þín ættu að vera þau sömu með báðum aðferðum.
6. Látum U vera atburðinn að seinna kexið sem valið er sé smjörkex. Finndu P ( U ).