3.1 Hugtök

Líkur eru mælikvarði á það hversu viss við erum um niðurstöður, eða útkomur, tiltekinnar aðgerðar. Þegar aðgerðin er skipulögð framkvæmd við stýrðar aðstæður er hún kölluð tilraun. Ef niðurstaðan er ekki fyrirfram ákveðin kallast tilraunin slembitilraun. Hver endurtekning tilraunarinnar kallast tilraun.

Dæmi um slembitilraunir eru eftirfarandi:

• að kasta óhlutdrægri mynt,
• að snúa snúningsskífu,
• að draga kúlu af handahófi úr poka og
• að kasta tveimur teningum.

Niðurstaða tilraunar kallast útkoma. Útkomurúm tilraunar er mengi, eða safn, allra mögulegra útkoma.

Það eru fjórar meginleiðir til að setja fram útkomurúm:

*Í kafla 3.5 skoðum við líkindatré og Vennmyndir nánar.

Athugið: þegar útkomurúm er sett fram sem mengi er það táknað með stórum staf, S.

Atburður er hvers kyns samsetning útkoma. Hann er hlutmengi útkomurúmsins og því eru stórir stafir, eins og A og B, gjarnan notaðir til að tákna atburði. Til dæmis, ef tilraunin felst í því að kasta þremur óhlutdrægum myntum, gæti atburður A verið að fá í mesta lagi eina skjaldarmerkjahlið.

Líkur á atburði A eru ritaðar P(A) og 0 <= P(A) <= 1. P(A) = 0 þýðir að atburðurinn A getur aldrei gerst. P(A) = 1 þýðir að atburðurinn A gerist alltaf. P(A) = 0,5 þýðir að atburðurinn A er jafn líklegur til að gerast og að gerast ekki.

Ef tvær útkomur eða tveir atburðir eru jafnlíklegir hafa þeir sömu líkindi. Til dæmis, ef þú kastar óhlutdrægum sexhliða teningi, er hver hlið (1, 2, 3, 4, 5 eða 6) jafn líkleg til að koma upp og hver önnur hlið. Ef þú kastar óhlutdrægri mynt eru skjaldarmerki (H) og króna (T) jafnlíkleg. Ef þú giskar af handahófi á svar við satt/ósatt-spurningu í prófi er rétt svar og rangt svar jafnlíklegt.

Til að reikna líkindi atburðar A þegar allar útkomur í útkomurúminu eru jafnlíklegar telur þú fjölda útkoma í atburði A og deilir með heildarfjölda útkoma í útkomurúminu. Þetta kallast fræðileg líkindi atburðar A.

Fræðileg líkindi atburðar A

Til dæmis, ef þú kastar óhlutdrægri tíu senta mynt og óhlutdrægri fimm senta mynt, er útkomurúmið {HH, TH, HT, TT}, þar sem T = króna og H = skjaldarmerki. Útkomurúmið hefur fjórar útkomur. Látum A tákna útkomuna að fá nákvæmlega eitt skjaldarmerki. Tvær útkomur uppfylla þetta skilyrði, {HT, TH}, svo P(A) = 2/4 = 1/2 = 0,5.

Fræðileg líkindi duga þó ekki í öllum aðstæðum. Gerum ráð fyrir að við viljum reikna líkindi þess að bíll, valinn af handahófi, aki yfir á rauðu ljósi á tilteknum gatnamótum. Í þessu tilviki þurfum við að skoða atburði sem hafa átt sér stað, ekki fræðilega möguleika. Við gætum sett upp umferðarmyndavél og talið hversu oft bílar stöðvuðu ekki þegar ljósið var rautt og heildarfjölda bíla sem fóru um gatnamótin á tilteknu tímabili. Þessi gögn gera okkur kleift að reikna tilraunalíkindi, eða reynslulíkindi, þess að bíll aki yfir á rauðu ljósi.

Tilraunalíkindi atburðar A

Þótt fræðilegar og tilraunabundnar aðferðir gefi tvær ólíkar leiðir til að reikna líkindi eru þær nátengdar. Ef þú kastar einni óhlutdrægri mynt er ein leið til að fá skjaldarmerki og tvær mögulegar útkomur. Fræðilegu líkurnar á skjaldarmerki eru því 1/2. Líkur spá þó ekki fyrir um skammtímaútkomur. Ef tilraun felst í því að kasta mynt 10 sinnum ættir þú ekki að búast við nákvæmlega fimm skjaldarmerkjum og fimm krónum. Líkur á tiltekinni útkomu mæla langtímahlutfallstíðni þeirrar útkomu. Ef þú heldur áfram að kasta myntinni (frá 20 í 2.000 og 20.000 köst) nálgast hlutfallstíðni skjaldarmerkis 0,5, sem eru líkurnar á skjaldarmerki. Þessi mikilvægi eiginleiki líkindatilrauna kallast lögmál stórra talna: eftir því sem endurtekningum tilraunar fjölgar verður hlutfallstíðnin í tilrauninni yfirleitt nær fræðilegu líkindunum. Þótt útkomurnar fylgi ekki föstu mynstri eða röð nálgast langtímahlutfallstíðni, eða reynsluhlutfallstíðni, fræðilegu líkindin.

Gerum ráð fyrir að þú kastir einum óhlutdrægum sexhliða teningi með tölunum {1, 2, 3, 4, 5, 6} á hliðunum. Látum atburð E vera að kasta tölu sem er að minnsta kosti fimm. Þá eru tvær útkomur, {5, 6}, og P(E) = 2/6. Ef þú kastaðir teningnum aðeins nokkrum sinnum kæmi ekki á óvart þótt niðurstöðurnar sem þú sæir pössuðu ekki við líkurnar. Ef þú kastaðir teningnum mjög oft mætti búast við að til lengri tíma litið gæfu 2/6 kasta útkomu sem væri að minnsta kosti fimm. Þú ættir ekki að búast við nákvæmlega 2/6, en langtímahlutfallstíðni þessarar útkomu myndi nálgast fræðilegu líkurnar 2/6 eftir því sem endurtekningunum fjölgaði.

Mikilvægt er að átta sig á því að í mörgum aðstæðum eru útkomur ekki jafnlíklegar. Mynt eða teningur getur verið hlutdrægur, eða bjagaður. Tveir stærðfræðikennarar í Evrópu létu tölfræðinema sína prófa belgíska eins evru mynt og komust að því að í 250 tilraunum kom skjaldarmerki upp í 56 prósentum tilvika og króna í 44 prósentum tilvika. Gögnin virðast sýna að myntin sé ekki óhlutdræg; fleiri endurtekningar væru gagnlegar til að draga nákvæmari ályktun um slíkan bjaga. Sumir teningar geta verið bjagaðir. Skoðaðu tening í spili heima hjá þér; punktarnir á hverri hlið eru oft litlar holur sem eru skornar út og síðan málaðar. Teningurinn þinn getur því verið bjagaður eða ekki; mögulegt er að útkomurnar verði fyrir áhrifum af örlitlum þyngdarmun vegna mismunandi fjölda hola á hliðunum. Spilavíti græða mikið á útkomum teningakasta og því eru teningar þar búnir til með öðrum hætti til að eyða bjaga. Slíkir teningar hafa flatar hliðar; holurnar eru alveg fylltar með málningu sem hefur sama eðlismassa og efnið í teningnum, þannig að hver hlið er jafnlíkleg til að koma upp. Síðar lærum við aðferðir til að vinna með líkindi atburða sem eru ekki jafnlíklegir.

EÐA-atburður: Útkoma er í atburðinum A EÐA B ef hún er í A eða í B eða í báðum, A og B. Til dæmis, látum A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {4, 5, 6, 7, 8}. Þá er A EÐA B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Athugið að 4 og 5 eru ekki talin tvisvar.

OG-atburður: Útkoma er í atburðinum A OG B ef hún er bæði í A og B á sama tíma. Til dæmis, látum A og B vera {1, 2, 3, 4, 5} og {4, 5, 6, 7, 8}. Þá er A OG B = {4, 5}.

Fyllimengi atburðar A er táknað A′ (lesið „A príma“). A′ samanstendur af öllum útkomum sem eru ekki í A. Athugið að P(A) + P(A′) = 1. Til dæmis, látum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og A = {1, 2, 3, 4}. Þá er A′ = {5, 6}. P(A) = 4/6, P(A′) = 2/6 og P(A) + P(A′) = 4/6 + 2/6 = 1.

Skilyrt líkindi A að gefnu B eru rituð P(A|B), lesið „líkindi A að gefnu B“. P(A|B) eru líkindi þess að atburður A eigi sér stað að því gefnu að atburður B hafi þegar átt sér stað. Skilyrt líkindi minnka útkomurúmið. Við reiknum líkindi A út frá minnkaða útkomurúminu B. Formúlan til að reikna P(A|B) er P(A|B) = P(A og B)/P(B), þar sem P(B) er stærra en núll.

Til dæmis, gerum ráð fyrir að við köstum einum óhlutdrægum sexhliða teningi. Útkomurúmið er S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Látum A = {2, 3} og B = {2, 4, 6}. P(A|B) táknar líkurnar á því að útkoma valin af handahófi sé í A, að því gefnu að hún sé í B. Við vitum að útkoman verður að vera í B og því eru þrjár mögulegar útkomur. Aðeins ein útkoma í B er einnig í A, svo P(A|B) = 1/3.

Við fáum sömu niðurstöðu með því að nota formúluna. Mundu að S hefur sex útkomur.

P(A|B) = P(A og B)/P(B) = ((fjöldi útkoma í S sem eru 2 eða 3 og sléttar)/6) / ((fjöldi sléttra útkoma í S)/6) = (1/6)/(3/6) = 1/3

Skilningur á hugtökum og táknum: Mikilvægt er að lesa hvert dæmi vandlega og átta sig á hvaða atburðir koma við sögu. Að skilja orðalagið er fyrsta mikilvæga skrefið í lausn líkindadæma. Lestu dæmið aftur nokkrum sinnum ef þörf krefur. Finndu skýrt þann atburð sem skiptir máli. Ákvarðaðu hvort skilyrði sé gefið í orðalaginu sem bendir til þess að líkurnar séu skilyrtar; ef svo er skaltu greina skilyrðið vandlega.