Lausnir

Æfingar

1. Tvö hlutföll.
2. Pöruð úrtök.
3. Eitt meðaltal.
4. Meðaltöl óháðra hópa, þar sem staðalfrávik þýðis og/eða dreifni eru óþekkt.
5. Tvö hlutföll.
6. Meðaltöl óháðra hópa, þar sem staðalfrávik þýðis og/eða dreifni eru óþekkt.
7. Meðaltöl óháðra hópa, þar sem staðalfrávik þýðis og/eða dreifni eru óþekkt.
8. Tvö hlutföll.

Slembibreytan er mismunur á meðalmagni sykurs í gosdrykkjunum tveimur.

Meðaltöl; tvíhliða próf.

Slembibreytan er mismunur á meðalævilengd hvítra og annarra en hvítra. Þetta er samanburður tveggja þýðismeðaltala með óþekktum staðalfrávikum þýðis.

• Athugið lausn nemanda.
• Hafnið núlltilgátunni.
• p-gildi < 0,05.
• Við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn til að styðja fullyrðinguna um að lífslíkur á 20. öld séu ólíkar hjá hvítum og öðrum en hvítum.

Slembibreytan er mismunur á meðalhraða hraðbolta kastaranna tveggja. Prófstærð: −2,46. Við 1% marktektarstig getum við hafnað núlltilgátunni. Næg gögn eru til að álykta að meðalhraði hraðbolta Rodriguez sé meiri en hjá Wesley.

Vísar: 1 = matur, 2 = enginn matur. H₀: μ₁ ≤ μ₂ og Hₐ: μ₁ > μ₂.

Vísar: 1 = Gamma, 2 = Zeta. H₀: μ₁ = μ₂ og Hₐ: μ₁ ≠ μ₂. p-gildi = 0,0062. Næg gögn eru til að hafna núlltilgátunni. Gögnin styðja að bræðslumark málmblöndu Zeta sé ólíkt bræðslumarki málmblöndu Gamma.

P′_OS1 − P′_OS2 er mismunur hlutfalla síma sem urðu fyrir kerfisbilun á fyrstu átta klukkustundum notkunar með OS 1 og OS 2. p-gildi = 0,1018.

Hlutföll; hægrihliða próf. Slembibreytan er mismunur hlutfalla þýðanna sem eru af tveimur eða fleiri kynþáttum í Nevada og Norður-Dakóta. Úrtaksstærðirnar eru báðar miklu stærri en fimm, þannig að notuð er normaldreifing fyrir tvö hlutföll.

• Athugið lausn nemanda.
• Hafnið núlltilgátunni.
• p-gildi < α.
• Við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að hlutfall íbúa Nevada sem eru af tveimur eða fleiri kynþáttum sé tölfræðilega hærra en hlutfallið í Norður-Dakóta.

Slembibreytan er meðalmismunur kerfisbilana. p-gildi = 0,0067. Með p-gildi 0,0067 getum við hafnað núlltilgátunni. Næg gögn eru til að styðja að hugbúnaðarviðbótin dragi úr fjölda kerfisbilana.

p-gildi = 0,0021.

H₀: μ_d ≥ 0 og Hₐ: μ_d < 0. p-gildi = 0,0699. Við höfnum ekki núlltilgátunni. Ekki eru næg gögn til að styðja að lyfið sé virkt.

Heimadæmi

• Vísar: 1 = tveggja ára háskólar, 2 = fjögurra ára háskólar.
• H₀: μ₁ ≥ μ₂ og Hₐ: μ₁ < μ₂.
• X̄₁ − X̄₂ er mismunur meðalinnritunar í tveggja ára og fjögurra ára háskólum.
• Dreifing: t-dreifing Students. Prófstærð: −0,2480. p-gildi: 0,4019.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna ekki núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi > α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn til að álykta að meðalinnritun í fjögurra ára háskólum sé hærri en í tveggja ára háskólum.
• Vísar: 1 = vélaverkfræði, 2 = rafmagnsverkfræði.
• H₀: μ₁ ≥ μ₂ og Hₐ: μ₁ < μ₂.
• X̄₁ − X̄₂ er mismunur meðalbyrjunarlauna vélaverkfræðinga og rafmagnsverkfræðinga.
• Dreifing: t₁₀₈. Prófstærð: t = −0,82. p-gildi: 0,2061.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna ekki núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi > α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn til að álykta að meðalbyrjunarlaun vélaverkfræðinga séu lægri en rafmagnsverkfræðinga.
• H₀: μ₁ = μ₂ og Hₐ: μ₁ ≠ μ₂.
• X̄₁ − X̄₂ er mismunur meðaltíma til að ljúka hring í keppnum og á æfingum.
• Dreifing: t₂₀,₃₂. Prófstærð: −4,70. p-gildi: 0,0001.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðaltími til að ljúka hring í keppnum sé ólíkur meðaltíma á æfingum.
• H₀: μ₁ = μ₂ og Hₐ: μ₁ ≠ μ₂.
• X̄₁ − X̄₂ er mismunur meðaltíma til að ljúka hring í keppnum og á æfingum.
• Dreifing: t₄₀,₉₄. Prófstærð: −5,08. p-gildi: 0.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðaltími til að ljúka hring í keppnum sé ólíkur meðaltíma á æfingum.

c.

Próf: tvö óháð úrtaksmeðaltöl, staðalfrávik þýða óþekkt. μ₁ = meðalverð félagsfræðikennslubókar á völdu síðunni; μ₂ = meðalverð stærðfræði- eða náttúrufræðikennslubókar á síðunni. Slembibreytan er X̄₁ − X̄₂, mismunur úrtaksmeðalverðs félagsfræðibóka og stærðfræði-/náttúrufræðibóka. Tilgátur: H₀: μ₁ − μ₂ = 0 og Hₐ: μ₁ − μ₂ < 0, eða H₀: μ₁ = μ₂ og Hₐ: μ₁ < μ₂. Notið t_df þar sem hvort úrtak hefur fleiri en 30 athuganir; df = n₁ + n₂ − 2 = 33 + 33 − 2 = 64. Nálgið markgildið í t-töflu með næstu tiltæku frígráðum, 60; markgildið 2,660 er í dálknum 0,0005. Prófstærð: t_c = ((X̄₁ − X̄₂) − 0) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) = ((74,64 − 111,56) − 0) / √(49,36²/33 + 66,90²/33) = −2,55. Með reiknivél, t_c = −2,55 og df = 64, fæst vinsturhliða p-gildi 0,0066. Ákvörðun: hafna H₀. Niðurstaða: við 1% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðalverð félagsfræðikennslubóka sé lægra en meðalverð stærðfræði- og náttúrufræðikennslubóka.

Dreifing: H₀: μ₁ = μ₂ og Hₐ: μ₁ < μ₂. Meðalaldur við inngöngu í atvinnugreinina í Kanada er lægri en meðalaldurinn í Bandaríkjunum.

Graf: vinsturhliða. p-gildi: 0,0151. Ákvörðun: hafna ekki H₀. Niðurstaða: við 1% marktektarstig eru ekki næg gögn úr úrtakinu til að álykta að meðalaldur við inngöngu í atvinnugreinina í Kanada sé lægri en í Bandaríkjunum.

d.

• Vísar: 1 = drengir, 2 = stúlkur.
• H₀: μ₁ ≤ μ₂ og Hₐ: μ₁ > μ₂.
• Slembibreytan er mismunur meðalkostnaðar bílatrygginga fyrir drengi og stúlkur.
• Dreifing: normaldreifing. Prófstærð: z = 2,50. p-gildi: 0,0062.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðalkostnaður bílatrygginga unglingsdrengja sé meiri en unglingsstúlkna.
• Vísar: 1 = fólksbílar sem eru ekki tvinnbílar, 2 = tvinnbílar.
• H₀: μ₁ ≥ μ₂ og Hₐ: μ₁ < μ₂.
• Slembibreytan er mismunur meðaltals mílna á gallon hjá bílum sem eru ekki tvinnbílar og hjá tvinnbílum.
• Dreifing: normaldreifing. Prófstærð: 6,36. p-gildi: 0.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðalfjöldi mílna á gallon hjá bílum sem eru ekki tvinnbílar sé lægri en hjá tvinnbílum.
• H₀: μ_d = 0 og Hₐ: μ_d < 0.
• Slembibreytan X_d er meðalmismunur ánægjustigs eiginmanns og eiginkonu.
• Dreifing: t₉. Prófstærð: t = −1,86. p-gildi: 0,0479.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni, en endurtaka ætti prófið. Ástæða: p-gildi < α, en p-gildið er mjög nálægt α. Niðurstaða: þetta er veikt próf, en við 5% marktektarstig eru gögnin næg til að benda til þess að meðalmismunurinn sé neikvæður.
• Vísar: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College.
• H₀: p₁ = p₂ og Hₐ: p₁ ≠ p₂.
• Slembibreytan er mismunur hlutfalla nemenda af rómönsk-amerískum uppruna við Cabrillo College og Lake Tahoe College.
• Dreifing: normaldreifing fyrir tvö hlutföll. Prófstærð: 4,29. p-gildi: 0,00002.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að hlutföll nemenda af rómönsk-amerískum uppruna við Cabrillo College og Lake Tahoe College séu ólík.

a.

Próf: tvö óháð úrtakshlutföll. Slembibreytan er p′₁ − p′₂. Tilgátur: H₀: p₁ = p₂ og Hₐ: p₁ ≠ p₂. Hlutfall notenda rafbókalesara er ólíkt hjá 16 til 29 ára notendum og notendum 30 ára og eldri. Graf: tvíhliða.

p-gildi: 0,0033. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn úr úrtakinu til að álykta að hlutfall notenda rafbókalesara á aldrinum 16 til 29 ára sé ólíkt hlutfalli notenda 30 ára og eldri.

Próf: tvö óháð úrtaksmeðaltöl, staðalfrávik þýða óþekkt. Lausnin er sú sama og fyrir félagsfræðibækurnar hér að ofan: H₀: μ₁ = μ₂, Hₐ: μ₁ < μ₂, df = 64, t_c = −2,55 og vinsturhliða p-gildi = 0,0066. Ákvörðun: hafna H₀. Við 1% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðalverð félagsfræðikennslubóka sé lægra en meðalverð stærðfræði- og náttúrufræðikennslubóka.

• Vísar: 1 = karlar, 2 = konur.
• H₀: p₁ ≤ p₂ og Hₐ: p₁ > p₂.
• P′₁ − P′₂ er mismunur hlutfalla karla og kvenna sem hafa gaman af að versla raftæki.
• Dreifing: normaldreifing fyrir tvö hlutföll. Prófstærð: 0,22. p-gildi: 0,4133.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna ekki núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi > α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn til að álykta að hlutfall karla sem hafa gaman af raftækjaverslun sé hærra en hlutfall kvenna.
• H₀: p₁ = p₂ og Hₐ: p₁ ≠ p₂.
• P′₁ − P′₂ er mismunur hlutfalla karla og kvenna sem bera að minnsta kosti eitt skart.
• Dreifing: normaldreifing fyrir tvö hlutföll. Prófstærð: −4,82. p-gildi: 0.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að hlutföll karla og kvenna sem bera að minnsta kosti eitt skart séu ólík.
• H₀: μ_d = 0 og Hₐ: μ_d > 0.
• Slembibreytan X_d er meðalmismunur vinnutíma á dögum með morgunmat og án morgunmatar.
• Dreifing: t₉. Prófstærð: 4,8963. p-gildi: 0,0004.
• Athugið lausn nemanda.
• α = 0,05. Ákvörðun: hafna núlltilgátunni. Ástæða: p-gildi < α. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn til að álykta að meðalmismunur vinnutíma á dögum með morgunmat og án morgunmatar sé jákvæður.

p-gildi = 0,1494. Við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn til að álykta að lyfið hafi lækkað kólesterólgildi eftir 12 vikur.

b. c.

Próf: tvö pöruð pör eða pöruð úrtök (t-próf). Slembibreytan er X̄_d. Dreifing: t₁₂. H₀: μ_d = 0 og Hₐ: μ_d > 0. Meðaltal mismuna nýrra brjóstakrabbameinstilfella hjá konum í suðurríkjunum milli 2013 og 2012 er stærra en núll. Matið á nýjum brjóstakrabbameinstilfellum hjá konum í suðurríkjunum er hærra árið 2013 en árið 2012. Graf: hægrihliða. p-gildi: 0,0004.

Ákvörðun: hafna H₀. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru næg gögn úr úrtakinu til að álykta að mat á nýjum brjóstakrabbameinstilfellum hjá konum hafi verið hærra árið 2013 en árið 2012.

Próf: pöruð úrtök (t-próf). Mismunagögn: {−0,9, −3,7, −3,2, −0,5, 0,6, −1,9, −0,5, 0,2, 0,6, 0,4, 1,7, −2,4, 1,8}. Slembibreytan er X̄_d. Tilgátur: H₀: μ_d = 0 og Hₐ: μ_d < 0. Meðaltal mismuna á hlutfalli vanatvinnu í norðausturríkjum milli 2012 og 2011 er minna en núll; hlutfall vanatvinnu lækkaði frá 2011 til 2012. Graf: vinsturhliða.

p-gildi: 0,1207. Ákvörðun: hafna ekki H₀. Niðurstaða: við 5% marktektarstig eru ekki næg gögn úr úrtakinu til að álykta að hlutfall vanatvinnu hafi lækkað í norðausturríkjunum frá 2011 til 2012.

1. e.
2. d.
3. f.
4. e.
5. f.
6. Framhaldsneminn ber saman úrtakshlutfall við þýðishlutfall eða fullyrðingu. Rannsóknin felur því í sér tilgátupróf á einu hlutfalli. Tilgátupróf á tveimur hlutföllum ber saman tvö úrtakshlutföll.
7. a.