Æfing

10.1 Tvö þýðismeðaltöl með óþekktum staðalfrávikum

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 15 æfingum. Tilgreinið hvort tilgátuprófið sé fyrir:

• meðaltöl óháðra hópa, þar sem staðalfrávik þýðis og/eða dreifni eru þekkt,
• meðaltöl óháðra hópa, þar sem staðalfrávik þýðis og/eða dreifni eru óþekkt,
• pöruð úrtök,
• eitt meðaltal,
• tvö hlutföll eða
• eitt hlutfall.

1. Talið er að 70 prósent karla standist ökupróf í fyrstu tilraun en 65 prósent kvenna standist prófið í fyrstu tilraun. Spurt er hvort hlutföllin séu jöfn.
2. Nýtt þvottaefni er prófað á neytendum. Spurt er um hlutfall neytenda sem kjósa nýja vörumerkið fram yfir helsta keppinautinn. Rannsókn er gerð til að prófa þetta.
3. Ný meðferð fyrir framrúður er sögð hrinda vatni betur frá sér. Tíu framrúður eru prófaðar með hermdu regni án nýju meðferðarinnar. Sömu framrúður eru síðan meðhöndlaðar og tilraunin endurtekin. Tilgátupróf er framkvæmt.
4. Þekkt staðalfrávik launa allra millistigsstarfsmanna í fjármálageiranum er 11.000 Bandaríkjadalir. Fyrirtæki A og fyrirtæki B starfa í fjármálageiranum. Gerum ráð fyrir að úrtök séu tekin af millistigsstarfsmönnum úr fyrirtæki A og fyrirtæki B. Úrtaksmeðaltal launa millistigsstarfsmanna í fyrirtæki A er 80.000 Bandaríkjadalir. Úrtaksmeðaltal launa millistigsstarfsmanna í fyrirtæki B er 96.000 Bandaríkjadalir. Stjórnendur fyrirtækjanna vilja vita hvort millistigsstarfsmenn þeirra fái að meðaltali mismunandi laun.
5. Meðalstarfsmaður í Þýskalandi fær átta vikur í launað orlof.
6. Samkvæmt sjónvarpsauglýsingu eru 80% tannlækna sammála um að tiltekið flúortannkrem sé það besta á markaðnum.
7. Talið er að meðaleinkunn á enskuritgerð í tilteknu skólakerfi sé hærri hjá stúlkum en drengjum. Slembiúrtak 31 stúlku hafði meðaleinkunnina 82 og staðalfrávikið 3, og slembiúrtak 25 drengja hafði meðaleinkunnina 76 og staðalfrávikið 4.
8. Meðaltal deildarinnar í sláttarhlutfalli er 0,280 með þekktu staðalfráviki 0,06. Rattlers og Vikings eru í deildinni. Meðaltal sláttarhlutfalls í úrtaki átta Rattlers-leikmanna er 0,210 og meðaltal sláttarhlutfalls í úrtaki átta Vikings-leikmanna er 0,260. Það eru 24 leikmenn hjá Rattlers og 19 hjá Vikings. Er sláttarhlutfall Rattlers og Vikings tölfræðilega ólíkt?
9. Í slembiúrtaki 100 skóga í Bandaríkjunum voru 56 barrskógar eða skógar sem innihéldu barrtré. Í slembiúrtaki 80 skóga í Mexíkó voru 40 barrskógar eða skógar sem innihéldu barrtré. Er hlutfall barrtrjáa í Bandaríkjunum tölfræðilega hærra en hlutfall barrtrjáa í Mexíkó?
10. Nýtt lyf er sagt bæta svefn. Átta þátttakendur eru valdir af handahófi og fá lyfið. Meðalfjöldi svefnstunda hjá hverjum þátttakanda var skráður áður en lyfjagjöf hófst og eftir hana.
11. Talið er að unglingar sofi að meðaltali meira en fullorðnir. Rannsókn er gerð til að sannreyna það. Úrtak 16 unglinga hefur meðaltalið 8,9 svefnstundir og staðalfrávikið 1,2. Úrtak 12 fullorðinna hefur meðaltalið 6,9 svefnstundir og staðalfrávikið 0,6.
12. Íþróttamenn í skólaliðum æfa að meðaltali fimm sinnum í viku.
13. Úrtak 12 framhaldsnámsbrauta fyrir íbúa sama ríkis við skóla A hefur meðalskólagjöldin 64.000 Bandaríkjadali með staðalfrávikinu 8.000 Bandaríkjadölum. Við skóla B hefur úrtak 16 slíkra framhaldsnámsbrauta meðalskólagjöldin 80.000 Bandaríkjadali með staðalfrávikinu 6.000 Bandaríkjadölum. Eru meðalskólagjöldin að meðaltali ólík?
14. Nýr WiFi-drægniaukari er boðinn neytendum. Rannsakandi prófar upprunalega drægni 12 mismunandi beina við sömu skilyrði og skráir drægnina. Síðan notar rannsakandinn nýja WiFi-drægniaukarann og skráir nýju drægnina. Virkar nýi WiFi-drægniaukarinn betur?
15. Skólastjóri framhaldsskóla heldur því fram að 30 prósent nemenda sem stunda íþróttir aki sjálf í skólann en 4 prósent nemenda sem stunda ekki íþróttir aki sjálf. Í úrtaki 20 íþróttanemenda aka 45 prósent sjálf í skólann. Í úrtaki 35 nemenda sem stunda ekki íþróttir aka 6 prósent sjálf í skólann. Er hlutfall íþróttanemenda sem aka sjálf í skólann hærra en hlutfall nemenda sem stunda ekki íþróttir?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Rannsókn er gerð til að ákvarða hvor af tveimur gosdrykkjum inniheldur meiri sykur. Í úrtaki eru 13 dósir af drykk A og sex dósir af drykk B. Meðalmagn sykurs í drykk A er 36 grömm með staðalfrávikinu 0,6 grömm. Meðalmagn sykurs í drykk B er 38 grömm með staðalfrávikinu 0,8 grömm. Rannsakendur telja að drykkur B innihaldi að meðaltali meiri sykur en drykkur A. Bæði þýðin eru normaldreifð.

1. Eru staðalfrávikin þekkt eða óþekkt?
2. Hver er slembibreytan?
3. Er þetta einhliða eða tvíhliða próf?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 12 æfingum. Sóttvarnastofnun Bandaríkjanna (U.S. Centers for Disease Control) greinir frá því að meðalævilíkur hafi verið 47,6 ár hjá hvítum sem fæddust árið 1900 og 33,0 ár hjá öðrum en hvítum. Gerum ráð fyrir að þið veljið af handahófi dánarskrár fólks sem fæddist árið 1900 í tiltekinni sýslu. Af 124 hvítum var meðalævilengd 45,3 ár með staðalfrávikinu 12,7 ár. Af 82 öðrum en hvítum var meðalævilengd 34,1 ár með staðalfrávikinu 15,6 ár. Framkvæmið tilgátupróf til að kanna hvort meðalævilengd í sýslunni hafi verið sú sama hjá hvítum og öðrum en hvítum.

1. Er þetta próf á meðaltölum eða hlutföllum?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu: H₀: __________; Hₐ: __________.
3. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
4. Hver er slembibreytan sem skiptir máli í þessu prófi, rituð með táknum?
5. Skilgreinið slembibreytuna sem skiptir máli í þessu prófi með orðum.
6. Hvaða dreifingu, normaldreifingu eða t-dreifingu Students, mynduð þið nota fyrir þetta tilgátupróf?
7. Útskýrið hvers vegna þið völduð dreifinguna í æfingu 24.
8. Reiknið prófstærðina og p-gildið.
9. Teiknið graf af aðstæðunum. Merkið lárétta ásinn. Merkið tilgátumismuninn og úrtaksmismuninn. Skyggið svæðið sem samsvarar p-gildinu.
10. Finnið p-gildið.
11. Við fyrirfram ákveðið α = 0,05, skrifið ákvörðun ykkar, ástæðuna fyrir ákvörðuninni og niðurstöðuna í fullri setningu.
12. Virðist sem meðaltölin séu þau sömu? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

10.2 Tvö þýðismeðaltöl með þekktum staðalfrávikum

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Bera á saman meðalhraða hraðkasta tveggja hafnaboltakastara. Úrtak 14 hraðkasta er mælt frá hvorum kastara. Þýðin eru normaldreifð. Tafla 10.18 sýnir niðurstöðuna. Skátar telja að Rodriguez kasti hraðari hraðbolta.

1. Hver er slembibreytan?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. Hver er prófstærðin?
4. Hvert er p-gildið?
5. Hver er niðurstaða ykkar við 1 prósents marktektarstig?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Rannsakandi prófar áhrif plöntunæringar á vöxt plantna. Níu plöntur hafa fengið næringuna. Aðrar níu plöntur hafa ekki fengið næringuna. Hæð plantnanna er skráð eftir átta vikur. Þýðin eru normaldreifð. Eftirfarandi tafla sýnir niðurstöðuna. Rannsakandinn telur að næringin láti plönturnar vaxa hærra.

1. Er staðalfrávik þýðis þekkt eða óþekkt?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. Hvert er p-gildið?
4. Teiknið graf af p-gildinu.
5. Hver er niðurstaða ykkar við 1 prósents marktektarstig?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Tvær málmblöndur koma til greina sem efni í kúlulegur. Bera á saman meðalbræðslumark málmblendnanna tveggja. Fimmtán stykki af hvorum málmi eru prófuð. Bæði þýðin eru normaldreifð. Eftirfarandi tafla sýnir niðurstöðuna. Talið er að málmblanda Zeta hafi annað bræðslumark.

1. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
2. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf?
3. Hvert er p-gildið?
4. Teiknið graf af p-gildinu.
5. Hver er niðurstaða ykkar við 1 prósents marktektarstig?

10.3 Samanburður á tveimur óháðum þýðishlutföllum

Notið eftirfarandi upplýsingar fyrir næstu fimm æfingar. Tvær gerðir stýrikerfa fyrir síma eru prófaðar til að kanna hvort munur sé á hlutföllum kerfisbilana (hruna). Fimmtán símar í slembiúrtaki 150 síma með stýrikerfi 1 lentu í kerfisbilunum á fyrstu átta klukkustundum notkunar. Níu símar í öðru slembiúrtaki 150 síma með stýrikerfi 2 lentu í kerfisbilunum á fyrstu átta klukkustundum notkunar. Talið er að stýrikerfi 2 sé stöðugra, það er hafi færri hrun, en stýrikerfi 1.

1. Er þetta próf á meðaltölum eða hlutföllum?
2. Hver er slembibreytan?
3. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
4. Hvert er p-gildið?
5. Hvaða ályktun má draga um stýrikerfin tvö?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu 12 æfingum. Í nýlegu bandarísku manntali sögðust 3 prósent íbúa Bandaríkjanna vera af tveimur eða fleiri kynþáttum. Hlutfallið er þó mjög breytilegt milli ríkja. Gerum ráð fyrir að tvær slembikannanir séu gerðar. Í fyrri könnuninni sögðust aðeins 9 af 1.000 íbúum Norður-Dakóta vera af tveimur eða fleiri kynþáttum. Í seinni könnuninni sögðust 17 af 500 íbúum Nevada vera af tveimur eða fleiri kynþáttum. Framkvæmið tilgátupróf til að ákvarða hvort þýðishlutföllin séu þau sömu í ríkjunum tveimur eða hvort hlutfallið í Nevada sé tölfræðilega hærra en í Norður-Dakóta.

1. Er þetta próf á meðaltölum eða hlutföllum?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu: H₀: _________; Hₐ: _________.
3. Er þetta hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða próf? Hvernig vitið þið það?
4. Hver er slembibreytan sem skiptir máli í þessu prófi?
5. Skilgreinið slembibreytuna fyrir þetta próf með orðum.
6. Hvaða dreifingu, normaldreifingu eða t-dreifingu Students, mynduð þið nota fyrir þetta tilgátupróf?
7. Útskýrið hvers vegna þið völduð dreifinguna í æfingu 56.
8. Reiknið prófstærðina.
9. Teiknið graf af aðstæðunum. Merkið tilgátumismuninn og úrtaksmismuninn. Skyggið svæðið sem samsvarar p-gildinu.

1. Finnið p-gildið.
2. Við fyrirfram ákveðið α = 0,05, skrifið ákvörðun ykkar, ástæðuna fyrir ákvörðuninni og niðurstöðuna í fullri setningu.
3. Virðist sem hlutfall íbúa Nevada sem eru af tveimur eða fleiri kynþáttum sé hærra en hlutfall íbúa Norður-Dakóta? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

10.4 Pöruð úrtök (valfrjálst)

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Rannsókn var gerð til að prófa virkni hugbúnaðarviðbótar við að draga úr kerfisbilunum yfir sex mánaða tímabil. Niðurstöður fyrir uppsetningar sem voru valdar af handahófi eru sýndar í töflu 10.21. Fyrra gildið er parað við síðara gildið og mismunarnir eru reiknaðir. Mismunarnir eru normaldreifðir. Prófið við 1 prósents marktektarstig.

1. Hver er slembibreytan?
2. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
3. Hvert er p-gildið?
4. Teiknið graf af p-gildinu.
5. Hvaða niðurstöðu getið þið dregið um hugbúnaðarviðbótina?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Rannsókn var gerð til að prófa virkni námskeiðs í að halda boltum á lofti. Áður en námskeiðið hófst héldu sex þátttakendur eins mörgum boltum á lofti í einu og þeir gátu. Eftir námskeiðið héldu sömu sex þátttakendur eins mörgum boltum á lofti og þeir gátu. Mismunurinn á fjölda bolta er reiknaður. Mismunarnir eru normaldreifðir. Prófið við 1 prósents marktektarstig.

1. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
2. Hvert er p-gildið?
3. Hver er meðalmismunur úrtaksins?
4. Teiknið graf af p-gildinu.
5. Hvaða niðurstöðu getið þið dregið um námskeiðið?

Notið eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu fimm æfingum. Læknir vill vita hvort blóðþrýstingslyf sé virkt. Blóðþrýstingur sex þátttakenda er skráður. Eftir tólf vikur á lyfinu er blóðþrýstingur sömu sex þátttakenda skráður aftur. Í þessu prófi skiptir aðeins slagbilsþrýstingur máli. Prófið við 1 prósents marktektarstig.

1. Setjið fram núlltilgátu og gagntilgátu.
2. Hver er prófstærðin?
3. Hvert er p-gildið?
4. Hver er meðalmismunur úrtaksins?
5. Hver er niðurstaðan?