10.3 Samanburður á tveimur óháðum þýðishlutföllum

Þegar framkvæmt er tilgátupróf sem ber saman tvö óháð þýðishlutföll ættu eftirfarandi skilyrði að vera uppfyllt:

• Óháðu úrtökin tvö eru einföld slembiúrtök og eru óháð hvort öðru.
• Fjöldi jákvæðra útkoma er að minnsta kosti fimm og fjöldi neikvæðra útkoma er að minnsta kosti fimm í hvoru úrtaki.
• Vaxandi fræðileg umfjöllun segir að þýðið þurfi að vera að minnsta kosti 10 eða 20 sinnum stærra en úrtakið. Það kemur í veg fyrir að of stór hluti hvors þýðis sé tekinn í úrtak og að niðurstöður verði rangar.

Samanburður tveggja hlutfalla er algengur, rétt eins og samanburður tveggja meðaltala. Ef tvö metin hlutföll eru ólík getur það stafað af mun milli þýðanna eða af tilviljun. Tilgátupróf getur hjálpað til við að meta hvort munur á metnu hlutföllunum endurspegli mun á þýðishlutföllunum.

Mismunur tveggja hlutfalla fylgir nálgaðri normaldreifingu. Yfirleitt segir núlltilgátan að hlutföllin tvö séu þau sömu, það er H₀: pA = pB. Til að framkvæma prófið notum við sameinað hlutfall, pc.

Sameinaða hlutfallið er reiknað svona:

Dreifing mismunarins er:

Prófstærðin, z-gildið, er:

Dæmi 10.8

Verkefni

Tvær tegundir lyfja við ofsakláða eru prófaðar til að kanna hvort munur sé á hlutfalli fullorðinna sjúklinga sem bregðast ekki við. Af slembiúrtaki 200 fullorðinna sem fengu lyf A voru 20 enn með ofsakláða 30 mínútum eftir inntöku lyfsins. Af öðru slembiúrtaki 200 fullorðinna sem fengu lyf B voru 12 enn með ofsakláða 30 mínútum eftir inntöku lyfsins. Prófaðu við 1 prósents marktektarstig.

Lausn

Verkefnið spyr um mun á hlutföllum og því er þetta próf fyrir tvö hlutföll.

Látum A og B vera vísa fyrir lyf A og lyf B. Þá eru pA og pB þau þýðishlutföll sem við viljum bera saman.

Slembibreytan er P′A − P′B, mismunur á hlutföllum fullorðinna sjúklinga sem höfðu ekki brugðist við lyfi A og lyfi B eftir 30 mínútur.

• H₀: pA = pB
• pA − pB = 0
• Hₐ: pA ≠ pB
• pA − pB ≠ 0

Orðin „hvort munur sé“ segja að prófið sé tvíhliða.

Dreifing prófsins: Þar sem þetta er próf fyrir tvö tvíkosta þýðishlutföll er dreifingin normaldreifing.

P′A − P′B fylgir nálgaðri normaldreifingu.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,1404.

Metið hlutfall fyrir hóp A: p′A = xA/nA = 20/200 = 0,10.

Metið hlutfall fyrir hóp B: p′B = xB/nB = 12/200 = 0,06.

Graf:

P′A − P′B = 0,10 − 0,06 = 0,04. Helmingur p-gildisins er neðan við −0,04 og helmingur þess er ofan við 0,04.

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,01 og p-gildi = 0,1404. Því er α < p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 1 prósents marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að munur sé á hlutföllum fullorðinna sjúklinga sem höfðu ekki brugðist við eftir 30 mínútur við lyfi A og lyfi B.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 6:2-PropZTest. Farðu niður og færðu inn 20 fyrir x1, 200 fyrir n1, 12 fyrir x2 og 200 fyrir n2. Farðu niður að p1: og veldu „not equal p2“. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,1404 og prófstærðin er 1,47. Endurtaktu ferlið, en veldu Draw í stað Calculate.

Reyndu sjálf/ur 10.8

Tvær gerðir loka eru prófaðar til að kanna hvort munur sé á þrýstiþoli. Fimmtán af slembiúrtaki 100 loka af gerð A sprungu við 4.500 psi. Sex af slembiúrtaki 100 loka af gerð B sprungu við 4.500 psi. Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Dæmi 10.9

Verkefni

Rannsókn var gerð á kynjamun í SMS-sendingum. Rannsakandinn taldi að hlutfall stúlkna sem sendu SMS væri lægra en hlutfall drengja sem sendu SMS. Gögn sem söfnuð voru vorið 2010 úr slembiúrtaki nemenda í mið- og framhaldsskólum í stóru skólaumdæmi í suðurhluta Bandaríkjanna eru tekin saman í töflu 10.10. Er hlutfall stúlkna sem senda SMS lægra en hlutfall drengja sem senda SMS? Prófaðu við 1 prósents marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir tvö þýðishlutföll. Látum M og F vera vísa fyrir drengi og stúlkur. Þá eru pM og pF þau þýðishlutföll sem við viljum bera saman.

Slembibreytan er p′F − p′M, mismunur á hlutföllum stúlkna og drengja sem sendu SMS.

• H₀: pF = pM
• H₀: pF − pM = 0
• Hₐ: pF < pM
• Hₐ: pF − pM < 0

Orðin „lægra en“ segja að prófið sé vinsturhliða.

Dreifing prófsins: Þar sem þetta er próf fyrir tvö þýðishlutföll er dreifingin normaldreifing.

p′F − p′M fylgir nálgaðri normaldreifingu.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,1045. Metið hlutfall stúlkna er 0,0719 og metið hlutfall drengja er 0,082.

Graf:

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 1 prósents marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að hlutfall stúlkna sem senda SMS sé lægra en hlutfall drengja sem senda SMS.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 6:2-PropZTest. Farðu niður og færðu inn 156 fyrir x1, 2169 fyrir n1, 183 fyrir x2 og 2231 fyrir n2. Farðu niður að p1: og veldu „less than p2“. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,1045 og prófstærðin er z = −1,256.

Dæmi 10.10

Verkefni

Rannsakendur gerðu rannsókn á snjallsímanotkun, sími A á móti síma B, meðal fullorðinna. Farsímafyrirtæki fullyrti að snjallsími B væri vinsælli meðal hvítra einstaklinga sem ekki eru af rómönskum uppruna en meðal Afríku-Bandaríkjamanna. Niðurstöður könnunarinnar sýndu að af 232 Afríku-Bandaríkjamönnum sem áttu farsíma og voru valdir af handahófi áttu 5 prósent síma B. Af 1.343 hvítum farsímaeigendum sem voru valdir af handahófi áttu 10 prósent síma B. Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig. Er hlutfall hvítra eigenda síma B hærra en hlutfall Afríku-Bandaríkjamanna sem eiga síma B?

Lausn

Þetta er próf fyrir tvö þýðishlutföll. Látum W og A vera vísa fyrir hvíta einstaklinga og Afríku-Bandaríkjamenn. Þá eru pW og pA þau þýðishlutföll sem við viljum bera saman.

Slembibreytan er p′W − p′A, mismunur á hlutföllum eigenda síma B í hópunum tveimur.

• H₀: pW = pA
• H₀: pW − pA = 0
• Hₐ: pW > pA
• Hₐ: pW − pA > 0

Orðin „vinsælli“ gefa til kynna að prófið sé hægrihliða.

Dreifingin er um það bil normaldreifð.

p′W − p′A fylgir nálgaðri normaldreifingu.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,0077. Metið hlutfall í hópi W er 0,10 og metið hlutfall í hópi A er 0,05.

Graf:

Ákvörðun: Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að hærra hlutfall hvítra farsímaeigenda noti síma B en Afríku-Bandaríkjamanna sem eiga farsíma.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

TI-83+ og TI-84: Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 6:2-PropZTest. Farðu niður og færðu inn 135 fyrir x1, 1343 fyrir n1, 12 fyrir x2 og 232 fyrir n2. Farðu niður að p1: og veldu „greater than p2“. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,0092 og prófstærðin er z = 2,33.

Reyndu sjálf/ur 10.10

Hópur íbúa vildi vita hvort hlutfall húseigenda í smáborg þeirra væri annað árið 2011 en árið 2010. Rannsókn þeirra sýndi að af 113.231 tiltækum heimilum í borginni árið 2010 voru 7.622 í eigu fjölskyldnanna sem bjuggu þar. Árið 2011 voru 7.439 af 104.873 tiltækum heimilum í eigu borgarbúa. Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig. Svaraðu eftirfarandi spurningum:

• Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll?
• Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið?
• Hver er slembibreytan?
• Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Skrifaðu þær með táknum.
• Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða?
• Hvert er p-gildið?
• Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki?
• Við ______ marktektarstig sýna úrtaksgögnin að ______ nægar vísbendingar séu til að álykta að ______.