10.2 Tvö þýðismeðaltöl með þekktum staðalfrávikum

• Þótt þessi staða sé ólíkleg í reynd, það er að staðalfrávik þýðanna séu þekkt, sýnir eftirfarandi dæmi tilgátuprófun fyrir óháð meðaltöl þegar staðalfrávik þýðanna eru þekkt. Úrtakadreifing mismunar meðaltalanna er normaldreifð og bæði þýði verða að vera normaldreifð. Slembibreytan er X̄₁ − X̄₂.

• Normaldreifingin hefur eftirfarandi form:

  $${\overline{X}}_1–{\overline{X}}_2~N\left[{\mu }_1–{\mu }_2,\sqrt{\frac{{({\sigma }_1)}^2}{n_1}+\frac{{({\sigma }_2)}^2}{n_2}}\right].$$

• Staðalfrávik úrtakadreifingar mismunarins er:

  $$\sqrt{\frac{{({\sigma }_1)}^2}{n_1}+\frac{{({\sigma }_2)}^2}{n_2}}\text{.}$$

  10.2

• z-prófstærðin er:

  $$z=\frac{({\overline{x}}_1–{\overline{x}}_2)–({\mu }_1–{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{({\sigma }_1)}^2}{n_1}+\frac{{({\sigma }_2)}^2}{n_2}}}\text{.}$$

Dæmi 10.6

Óháðir hópar, staðalfrávik þýða þekkt

Bera á saman meðallíftíma tveggja keppinauta í gólfvaxi. Tuttugu gólfum er úthlutað af handahófi til að prófa hvort vax. Bæði þýði eru normaldreifð. Gögnin eru skráð í töflu 10.8.

Verkefni

Benda gögnin til þess að vax 1 sé áhrifaríkara en vax 2? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl, þar sem staðalfrávik þýðanna eru þekkt.

Slembibreytan er X̄₁ − X̄₂, mismunur á meðalfjölda mánaða sem keppinautarnir í gólfvaxi endast.

• H₀: μ₁ ≤ μ₂
• Hₐ: μ₁ > μ₂

Orðin „áhrifaríkara“ segja að vax 1 endist að meðaltali lengur en vax 2. „Lengur“ samsvarar tákninu > og fer í Hₐ. Þess vegna er þetta hægrihliða próf.

Dreifing prófsins: Staðalfrávik þýðanna eru þekkt og því er dreifingin normaldreifing. Með formúlunni fæst:

Þar sem μ₁ ≤ μ₂ er μ₁ − μ₂ ≤ 0 og meðaltal normaldreifingarinnar er núll.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,1799.

Graf:

X̄₁ − X̄₂ = 3 − 2,9 = 0,1.

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,1799. Því er α < p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að meðalending vax 1 sé lengri, það er að vax 1 sé áhrifaríkara, en meðalending vax 2.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 3:2-SampZTest. Farðu að Stats og ýttu á ENTER. Farðu niður og færðu inn 0,33 fyrir sigma1, 0,36 fyrir sigma2, 3 fyrir fyrsta úrtaksmeðaltalið, 20 fyrir n1, 2,9 fyrir annað úrtaksmeðaltalið og 20 fyrir n2. Farðu niður að μ1: og veldu > μ2. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,1799 og prófstærðin er 0,9157. Endurtaktu ferlið, en veldu Draw í stað Calculate.

Reyndu sjálf/ur 10.6

Bera á saman meðalfjölda snúninga á mínútu hjá tveimur keppinautum í vélum. Þrjátíu vélum er úthlutað af handahófi til prófunar. Bæði þýði eru normaldreifð. Tafla 10.9 sýnir niðurstöðurnar. Benda gögnin til þess að vél 2 hafi hærri snúningshraða á mínútu en vél 1? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Verkefni

Benda gögnin til þess að öldungadeildarþingmenn Demókrata séu að meðaltali eldri en öldungadeildarþingmenn Repúblikana? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl. Staðalfrávik þýðanna eru óþekkt, en summa úrtaksstærðanna er 30 + 30 = 60, sem er meira en 30. Þess vegna má nota normalnálgun við t-dreifingu Students. Vísar: 1: öldungadeildarþingmenn Demókrata; 2: öldungadeildarþingmenn Repúblikana.

Slembibreytan er X̄₁ − X̄₂, mismunur á meðalaldri öldungadeildarþingmanna Demókrata og Repúblikana í Bandaríkjunum.

• H₀: μ₁ ≤ μ₂
• H₀: μ₁ − μ₂ ≤ 0
• Hₐ: μ₁ > μ₂
• Hₐ: μ₁ − μ₂ > 0

Orðin „eldri en“ samsvara tákninu > og fara í Hₐ. Þess vegna er þetta hægrihliða próf.

Dreifing prófsins: Dreifingin er normalnálgun við t-dreifingu Students fyrir meðaltöl óháðra hópa. Með formúlunni fæst:

Þar sem μ₁ ≤ μ₂ er μ₁ − μ₂ ≤ 0 og meðaltal normaldreifingarinnar er núll.

Reiknað með normaldreifingu fæst p-gildi = 0,4040.

Graf:

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,4040. Því er α < p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að meðalaldur öldungadeildarþingmanna Demókrata sé hærri en meðalaldur öldungadeildarþingmanna Repúblikana.