10.4 Pöruð úrtök (valfrjálst)

Þegar tilgátupróf er notað fyrir pöruð pör eða pöruð úrtök ættu eftirfarandi einkenni að vera til staðar:

• Einföld slembiúrtaka er notuð.
• Úrtaksstærðir eru oft litlar.
• Tvær mælingar eða tvö úrtök eru fengin frá sama pari einstaklinga eða hluta.
• Mismunir eru reiknaðir úr pöruðu pörunum eða pöruðu úrtökunum.
• Mismunirnir mynda úrtakið sem er notað í tilgátuprófinu.
• Annaðhvort koma mismunir pöruðu paranna úr normaldreifðu þýði, eða fjöldi mismuna er nægilega mikill til að dreifing úrtaksmeðaltals mismunanna sé um það bil normaldreifð.

Í tilgátuprófi fyrir pöruð pör eða pöruð úrtök eru einstaklingar eða hlutir paraðir og mismunir reiknaðir. Mismunirnir eru gögnin. Þýðismeðaltal mismunanna, μd, er síðan prófað með t-prófi Students fyrir eitt þýðismeðaltal með n − 1 frígráðum, þar sem n er fjöldi mismuna.

Prófstærðin, t-gildið, er:

Dæmi 10.11

Verkefni

Rannsókn var gerð til að kanna virkni verkjastillandi lyfs. Niðurstöður fyrir slembivalda þátttakendur eru sýndar í töflu 10.11. Lægri einkunn merkir minni sársauka. Gildi fyrir lyfjagjöf er parað við gildi eftir lyfjagjöf og mismunir eru reiknaðir. Mismunirnir eru normaldreifðir. Eru skynmælingarnar að meðaltali lægri eftir lyfjagjöf? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Lausn

Samsvarandi fyrir- og eftirgildi mynda pöruð pör. Reiknaðu eftir − fyrir.

Gögnin fyrir prófið eru mismunirnir: {0,2, −4,1, −1,6, −1,8, −3,2, −2,0, −2,9, −9,6}.

Úrtaksmeðaltal og staðalfrávik mismunanna eru x̄d = −3,13 og sd = 2,91. Staðfestu þessi gildi.

Látum μd vera þýðismeðaltal mismunanna. Við notum vísinn d fyrir mismuni.

Slembibreytan er X̄d, meðalmismunur skynmælinganna.

• H₀: μd ≥ 0
• Hₐ: μd < 0

Núlltilgátan er núll eða jákvæð; það merkir að sami eða meiri sársauki finnst eftir inntöku lyfsins. Þá sýnir þátttakandinn engan bata. Gagntilgátan er neikvæð; það merkir að minni sársauki finnst eftir inntöku lyfsins og þátttakandinn sýnir bata. Einkunnin ætti að vera lægri eftir lyfjagjöf, þannig að mismunurinn ætti að vera neikvæður ef bati er til staðar.

Dreifing prófsins: Dreifingin er t-dreifing Students með df = n − 1 = 8 − 1 = 7. Notaðu t7. Athugaðu að prófið er fyrir eitt þýðismeðaltal.

Reiknað með t-dreifingu Students fæst p-gildi = 0,0095.

Graf:

X̄d er slembibreytan fyrir mismunina. Úrtaksmeðaltal og staðalfrávik mismunanna eru x̄d = −3,13 og sd = 2,91.

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,0095. Því er α > p-gildi.

Ákvörðun: Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀. Það merkir að μd < 0 og bati er til staðar.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að skynmælingarnar séu að meðaltali lægri eftir inntöku lyfsins. Lyfið virðist draga úr sársauka.

Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar

Fyrir TI-83+ og TI-84 geturðu annaðhvort reiknað mismunina fyrirfram, eftir − fyrir, og sett þá í lista, eða sett eftirgögnin í fyrsta lista og fyrirgögnin í annan lista. Farðu síðan í þriðja lista, upp að heitinu, og sláðu inn heiti fyrsta lista − heiti annars lista. Reiknivélin dregur frá og mismunirnir birtast í þriðja listanum.

Notaðu mismunalistann sem gögn. Ýttu á STAT og farðu með örvunum að TESTS. Ýttu á 2:T-Test. Farðu að Data og ýttu á ENTER. Færðu inn 0 fyrir μ0, heiti listans með gögnunum og 1 fyrir Freq:. Farðu niður að μ: og veldu < μ0. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er 0,0094 og prófstærðin er −3,04. Endurtaktu leiðbeiningarnar en veldu Draw í stað Calculate.

Reyndu sjálf/ur 10.11

Rannsókn var gerð til að kanna hversu vel nýtt mataræði lækkaði kólesteról. Niðurstöður fyrir slembivalda þátttakendur eru sýndar í töflunni. Mismunirnir eru normaldreifðir. Er kólesteról þátttakenda að meðaltali lægra eftir mataræðið? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Dæmi 10.12

Þjálfari í háskólafótbolta vildi vita hvort styrktarþjálfunarnámskeið háskólans yki hámarkslyftu leikmanna hans í bekkpressu, mælda í pundum. Hann bað fjóra leikmenn að taka þátt í rannsókn. Þyngdin sem hver þeirra gat lyft var skráð áður en þeir tóku námskeiðið. Eftir að námskeiðinu lauk var þyngdin sem hver þeirra gat lyft mæld aftur. Gögnin eru eftirfarandi:

Þyngd í pundum	Leikmaður 1	Leikmaður 2	Leikmaður 3	Leikmaður 4
Þyngd lyft fyrir námskeið	205	241	338	368
Þyngd lyft eftir námskeið	295	252	330	360

Þjálfarinn vill vita hvort styrktarþjálfunarnámskeiðið geri leikmennina að meðaltali sterkari. Skráðu mismunagögnin. Reiknaðu mismunina með því að draga þyngdina fyrir námskeið frá þyngdinni eftir námskeið. Mismunagögnin eru {90, 11, −8, −8}. Gerðu ráð fyrir að mismunirnir séu normaldreifðir.

Úrtaksmeðaltal og staðalfrávik mismunanna eru x̄d = 21,3 og sd = 46,7.

Athugasemd: Gögnin hér benda til þess að dreifingin sé skekkt til hægri. Mismunurinn 90 gæti verið öfgagildi. Hann togar úrtaksmeðaltalið upp í 21,3, sem er jákvætt. Meðaltal hinna þriggja gagnagildanna er neikvætt.

Með mismunagögnunum verður þetta próf fyrir eitt þýðismeðaltal.

Slembibreytan X̄d er meðalmismunur í hámarkslyftu á hvern leikmann.

Dreifingin fyrir tilgátuprófið er t3.

H₀: μd ≤ 0, Hₐ: μd > 0.

Graf:

p-gildið er 0,2150. Ef marktektarstigið er 5 prósent er ákvörðunin að hafna ekki núlltilgátunni, því α < p-gildi.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að styrktarþjálfunarnámskeiðið hafi gert leikmennina að meðaltali sterkari.

Reyndu sjálf/ur 10.12

Nýtt undirbúningsnámskeið var hannað til að bæta SAT-einkunnir. Fimm nemendur voru valdir af handahófi. Einkunnir þeirra á tveimur æfingaprófum voru skráðar, einu fyrir námskeiðið og einu eftir það. Gögnin eru skráð í töflu 10.15. Eru einkunnirnar að meðaltali hærri eftir námskeiðið? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.

Dæmi 10.13

Sjö nemendur í áttunda bekk í Kennedy Middle School mældu hversu langt þeir gátu varpað kúlu með ríkjandi hendi, það er skrifhöndinni, og veikari hendi, það er ekki skrifhöndinni. Þeir töldu að þeir gætu varpað jafn langt með báðum höndum. Gögnin voru söfnuð og skráð í töflu 10.16.

Fjarlægð í fetum með	Nemandi 1	Nemandi 2	Nemandi 3	Nemandi 4	Nemandi 5	Nemandi 6	Nemandi 7
Ríkjandi hönd	30	26	34	17	19	26	20
Veikari hönd	28	14	27	18	17	26	16

Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort meðalmismunur fjarlægða milli ríkjandi og veikari handar barnanna sé marktækur.

Skráðu mismunagögnin. Reiknaðu mismunina með því að draga fjarlægðina með veikari hendi frá fjarlægðinni með ríkjandi hendi. Mismunagögnin eru {2, 12, 7, −1, 2, 0, 4}. Mismunirnir eru normaldreifðir.

Úrtaksmeðaltal og staðalfrávik mismunanna eru x̄d = 3,71 og sd = 4,5.

Slembibreytan er X̄d, meðalmismunur fjarlægða milli handanna.

Dreifing tilgátuprófsins er t6.

H₀: μd = 0 og Hₐ: μd ≠ 0.

Graf:

p-gildið er 0,0716 þegar gögnin eru notuð beint. Prófstærð = 2,18 og p-gildi = 0,0719 þegar x̄d = 3,71 og sd = 4,5 eru notuð.

Ákvörðun: Gerðu ráð fyrir α = 0,05. Þar sem α < p-gildi höfnum við ekki H₀.

Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að munur sé á því hversu langt börnin geta varpað kúlu með veikari og ríkjandi hendi.

Reyndu sjálf/ur 10.13

Fimm boltaleikmenn telja að þeir geti kastað sömu vegalengd með ríkjandi hendi, kasthendinni, og hinni hendinni, griphendinni. Gögnin voru söfnuð og skráð í töflu 10.17. Framkvæmdu tilgátupróf til að ákvarða hvort meðalmismunur fjarlægða milli ríkjandi handar og hinnar handarinnar sé marktækur. Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.