10.1 Tvö þýðismeðaltöl með óþekktum staðalfrávikum
- Óháðu úrtökin tvö eru einföld slembiúrtök úr tveimur aðskildum þýðum.
- Ef úrtaksstærðirnar eru litlar skipta dreifingar þýðanna máli og ættu að vera normaldreifðar; ef úrtaksstærðirnar eru stórar skipta dreifingarnar ekki máli og þurfa ekki að vera normaldreifðar.
Prófið sem ber saman tvö óháð þýðismeðaltöl þegar staðalfrávik þýðanna eru óþekkt og hugsanlega ójöfn kallast Aspin-Welch-t-próf. Formúlan fyrir frígráður var þróuð af Aspin og Welch.
Samanburður tveggja þýðismeðaltala er mjög algengur. Munur á úrtökunum tveimur ræðst bæði af meðaltölum og staðalfrávikum. Mjög ólík meðaltöl geta komið fram fyrir tilviljun ef mikill breytileiki er í einstökum úrtökum. Til að taka tillit til breytileikans tökum við mismun úrtaksmeðaltalanna, x̄₁ − x̄₂, og deilum með staðalskekkjunni til að staðla mismuninn. Niðurstaðan er t-gildi sem prófstærð.
Þar sem staðalfrávik þýðanna eru óþekkt metum við þau með staðalfrávikum óháðu úrtakanna tveggja. Í tilgátuprófinu reiknum við metið staðalfrávik, eða staðalskekkju, fyrir mismun úrtaksmeðaltalanna, x̄₁ − x̄₂.
Staðalskekkjan er reiknuð svona:
Prófstærðin, t-gildið, er reiknuð svona:
þar sem
- s₁ og s₂, staðalfrávik úrtakanna, eru möt á σ₁ og σ₂, í þessari röð;
- σ₁ og σ₂ eru óþekkt staðalfrávik þýðanna;
- x̄₁ og x̄₂ eru úrtaksmeðaltölin;
- μ₁ og μ₂ eru þýðismeðaltölin.
Fjöldi frígráða (df) krefst nokkuð flókins útreiknings. Tölva eða reiknivél reiknar hann þó auðveldlega. Frígráðurnar eru ekki alltaf heil tala. Prófstærðin hér að ofan er nálguð með t-dreifingu Students með eftirfarandi frígráðum:
Frígráður
Þegar báðar úrtaksstærðirnar, n₁ og n₂, eru fimm eða stærri er nálgunin með t-dreifingu Students mjög góð. Athugaðu að úrtaksdreifnirnar (s₁)² og (s₂)² eru ekki samvegnar. Ef spurningin vaknar: ekki sameina dreifnirnar.
Það er ekki nauðsynlegt að reikna þetta í höndunum. Reiknivél eða tölva finnur gildið auðveldlega.
Dæmi 10.1
Óháðir hópar
Talið er að strákar og stelpur á aldrinum 7 til 11 ára verji að meðaltali jafn löngum tíma á dag í íþróttir. Rannsókn er gerð og gögnin í töflu 10.1 fást. Hvort þýði er normaldreift.
| Úrtaksstærð | Meðalfjöldi klukkustunda í íþróttum á dag | Staðalfrávik úrtaks | |
|---|---|---|---|
| Stelpur | 9 | 2 | 0,866 |
| Strákar | 16 | 3,2 | 1,00 |
Verkefni
Er munur á meðaltíma sem strákar og stelpur á aldrinum 7 til 11 ára verja daglega í íþróttir? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.
Lausn
Staðalfrávik þýðanna eru ekki þekkt. Látum g vera vísi fyrir stelpur og b vera vísi fyrir stráka. Þá er μg þýðismeðaltal stelpna og μb þýðismeðaltal stráka. Þetta er próf fyrir tvo óháða hópa, tvö þýðismeðaltöl.
Slembibreytan er x̄g − x̄b, mismunur á úrtaksmeðaltíma sem stelpur og strákar verja daglega í íþróttir.
- H₀: μg = μb
- H₀: μg − μb = 0
- Hₐ: μg ≠ μb
- Hₐ: μg − μb ≠ 0
Orðin „jafn löngum tíma“ segja þér að H₀ inniheldur jafnaðarmerki. Þar sem engin önnur orð vísa sérstaklega til Hₐ er gert ráð fyrir að gagntilgátan segi að meðaltölin séu ólík. Þetta er tvíhliða próf.
Dreifing prófsins: Notaðu tdf, þar sem df er reiknað með frígráðuformúlunni fyrir óháða hópa og tvö þýðismeðaltöl. Með reiknivél fæst df ≈ 18,8462. Ekki sameina dreifnirnar.
Reiknaðu p-gildið með t-dreifingu Students: p-gildi = 0,0054.
Graf:
sg = 0,866 og sb = 1. Því er x̄g − x̄b = 2 − 3,2 = −1,2. Helmingur p-gildisins er neðan við −1,2 og helmingur þess er ofan við 1,2.
Ákvörðun: Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀. Það merkir að við höfnum μg = μb. Meðaltölin eru ólík.
Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar
Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 4:2-SampTTest. Farðu að Stats og ýttu á ENTER. Færðu inn 2 fyrir fyrsta úrtaksmeðaltalið, 0,866 fyrir Sx1, 9 fyrir n1, 3,2 fyrir annað úrtaksmeðaltalið, 1 fyrir Sx2 og 16 fyrir n2. Farðu niður að μ1: og veldu „does not equal μ2“. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Pooled: og veldu No. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER. p-gildið er p = 0,0054, frígráðurnar eru um það bil 18,8462 og prófstærðin er −3,14. Endurtaktu ferlið, en veldu Draw í stað Calculate.
Niðurstaða: Við 5 prósenta marktektarstig sýna úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að meðalfjöldi klukkustunda á dag sem stelpur og strákar á aldrinum 7 til 11 ára verja í íþróttir sé ólíkur.
Reyndu sjálf/ur 10.1
Tvö úrtök eru sýnd í töflu 10.2. Bæði eru normaldreifð. Talið er að meðaltöl þýðanna tveggja séu þau sömu. Er munur á meðaltölunum? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig.
| Úrtaksstærð | Úrtaksmeðaltal | Staðalfrávik úrtaks | |
|---|---|---|---|
| Þýði A | 25 | 5 | 1 |
| Þýði B | 16 | 4,7 | 1,2 |
Dæmi 10.2
Samfélagshópur rannsakar tvo nálæga framhaldsskóla til að kanna hvor útskrifar nemendur sem hafa tekið fleiri stærðfræðinámskeið. Í skóla A eru 11 útskrifaðir nemendur valdir í úrtak. Meðaltal þeirra er 4 stærðfræðinámskeið og staðalfrávikið er 1,5 námskeið. Í skóla B eru níu útskrifaðir nemendur valdir í úrtak. Meðaltal þeirra er 3,5 stærðfræðinámskeið og staðalfrávikið er 1 námskeið. Samfélagshópurinn telur að nemandi sem útskrifast úr skóla A hafi að meðaltali tekið fleiri stærðfræðinámskeið. Bæði þýði eru normaldreifð. Prófaðu við 1 prósents marktektarstig.
- Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll? Lausn: tvö meðaltöl.
- Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt? Lausn: óþekkt.
- Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið? Lausn: t-dreifingu Students.
- Hver er slembibreytan? Lausn: x̄A − x̄B.
- Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Lausn: H₀: μA ≤ μB og Hₐ: μA > μB.
- Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða? Lausn: hægrihliða.
- Hvert er p-gildið? Lausn: 0,1928.
- Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki? Lausn: við höfnum ekki núlltilgátunni.
- Niðurstaða: Við 1 prósents marktektarstig gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að nemandi sem útskrifast úr skóla A hafi að meðaltali tekið fleiri stærðfræðinámskeið en nemandi sem útskrifast úr skóla B.
Reyndu sjálf/ur 10.2
Rannsókn er gerð til að kanna hvort fyrirtæki A haldi starfsfólki sínu lengur en fyrirtæki B. Fyrirtæki A velur 15 starfsmenn í úrtak og meðalstarfstími þeirra hjá fyrirtækinu er 5 ár með staðalfrávikinu 1,2. Fyrirtæki B velur 20 starfsmenn í úrtak og meðalstarfstími þeirra hjá fyrirtækinu er 4,5 ár með staðalfrávikinu 0,8. Þýðin eru normaldreifð.
- Eru staðalfrávik þýðanna þekkt?
- Framkvæmdu viðeigandi tilgátupróf. Hver er niðurstaðan við 5 prósenta marktektarstig?
Dæmi 10.3
Kennari við stóran samfélagsháskóla vildi kanna hvort munur væri á meðaltali lokaprófseinkunna milli nemenda sem tóku tölfræðinámskeiðið á netinu og nemenda sem tóku það í staðnámi. Hann taldi að meðaltal lokaprófseinkunna í nethópnum yrði lægra en í staðnámshópnum. Hafði kennarinn rétt fyrir sér? Þrjátíu lokaprófseinkunnir, valdar af handahófi úr hvorum hópi, eru sýndar í töflum 10.3 og 10.4.
| 67,6 | 41,2 | 85,3 | 55,9 | 82,4 | 91,2 | 73,5 | 94,1 | 64,7 | 64,7 |
| 70,6 | 38,2 | 61,8 | 88,2 | 70,6 | 58,8 | 91,2 | 73,5 | 82,4 | 35,5 |
| 94,1 | 88,2 | 64,7 | 55,9 | 88,2 | 97,1 | 85,3 | 61,8 | 79,4 | 79,4 |
| 77,9 | 95,3 | 81,2 | 74,1 | 98,8 | 88,2 | 85,9 | 92,9 | 87,1 | 88,2 |
| 69,4 | 57,6 | 69,4 | 67,1 | 97,6 | 85,9 | 88,2 | 91,8 | 78,8 | 71,8 |
| 98,8 | 61,2 | 92,9 | 90,6 | 97,6 | 100 | 95,3 | 83,5 | 92,9 | 89,4 |
Verkefni
Er meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig og svaraðu spurningunum.
- Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll?
- Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt?
- Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið?
- Hver er slembibreytan?
- Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Skrifaðu þær bæði í orðum og með táknum.
- Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða?
- Hvert er p-gildið?
- Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki?
- Við _____ marktektarstig sýna úrtaksgögnin að ______ nægar vísbendingar séu til að álykta að ______.
Notkun TI-83, TI-83+, TI-84 og TI-84+ reiknivélar
Settu fyrst gögn hvors hóps í tvo lista, til dæmis L1 og L2. Ýttu á STAT. Farðu með örvunum að TESTS og ýttu á 4:2SampTTest. Gakktu úr skugga um að Data sé valið og ýttu á ENTER. Farðu niður og færðu inn L1 fyrir fyrsta listann og L2 fyrir annan listann. Farðu niður að μ1: og veldu < μ2. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Pooled: No. Ýttu á ENTER. Farðu niður að Calculate og ýttu á ENTER.
Lausn
- tvö meðaltöl
- óþekkt
- t-dreifing Students
- x̄₁ − x̄₂
- H₀: μ₁ = μ₂. Núlltilgáta: Meðaltöl lokaprófseinkunna eru jöfn í net- og staðnámshópnum. Hₐ: μ₁ < μ₂. Gagntilgáta: Meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins er lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins.
- vinsturhliða
- p-gildi = 0,0011
- Höfnum núlltilgátunni.
- Kennarinn hafði rétt fyrir sér. Gögnin sýna að meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins er lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins. Við 5 prósenta marktektarstig sýna úrtaksgögnin nægar vísbendingar til að álykta að meðaltal lokaprófseinkunna nethópsins sé lægra en meðaltal lokaprófseinkunna staðnámshópsins.
Viðmið Cohens fyrir litlar, miðlungs og stórar áhrifastærðir
Cohen’s d er mælikvarði á áhrifastærð sem byggist á mun tveggja meðaltala. Cohen’s d, kennt við bandaríska tölfræðinginn Jacob Cohen, mælir hlutfallslegan styrk munarins á meðaltölum tveggja þýða út frá úrtaksgögnum. Reiknuð áhrifastærð er síðan borin saman við viðmið Cohens fyrir litlar, miðlungs og stórar áhrifastærðir.
| Áhrifastærð | Cohen’s d |
|---|---|
| Lítil | 0,2 |
| Miðlungs | 0,5 |
| Stór | 0,8 |
Cohen’s d er munur tveggja meðaltala deilt með sameinuðu staðalfráviki:
Dæmi 10.4
Verkefni
Reiknaðu Cohen’s d fyrir dæmi 10.2. Er áhrifastærðin lítil, miðlungs eða stór? Útskýrðu hvað áhrifastærðin merkir í þessu verkefni.
Lausn
μ₁ = 4, s₁ = 1,5, n₁ = 11, μ₂ = 3,5, s₂ = 1 og n₂ = 9. Þá fæst d = 0,384. Áhrifin eru lítil vegna þess að 0,384 liggur á milli gildis Cohens fyrir litla áhrifastærð, 0,2, og miðlungs áhrifastærð, 0,5. Munurinn á meðaltölum skólanna tveggja er lítill, sem bendir til þess að ekki sé marktækur munur á þeim.
Dæmi 10.5
Verkefni
Reiknaðu Cohen’s d fyrir dæmi 10.3. Er áhrifastærðin lítil, miðlungs eða stór? Útskýrðu hvað áhrifastærðin merkir í þessu verkefni.
Lausn
d = 0,834. Áhrifastærðin er stór vegna þess að 0,834 er hærra en viðmið Cohens, 0,8, fyrir stóra áhrifastærð. Munurinn á meðaltölum lokaprófseinkunna netnemenda og nemenda í staðnámi er stór, sem bendir til marktæks munar.
Reyndu sjálf/ur 10.5
Vegið alfa er mælikvarði á áhættuleiðrétta ávöxtun hlutabréfa yfir eins árs tímabil. Hátt jákvætt vegið alfa gefur til kynna hlutabréf sem hefur hækkað í verði, en lítið jákvætt vegið alfa gefur til kynna óbreytt hlutabréfaverð á tímabilinu. Vegið alfa er notað til að greina fyrirtæki með sterkar hækkunar- eða lækkunarleitnir. Vegið alfa fyrir 30 efstu hlutabréf banka í Norðausturhluta Bandaríkjanna og í Vesturhluta Bandaríkjanna, samkvæmt Nasdaq 24. maí 2013, er sýnt í töflum 10.6 og 10.7.
| 94,2 | 75,2 | 69,6 | 52,0 | 48,0 | 41,9 | 36,4 | 33,4 | 31,5 | 27,6 |
| 77,3 | 71,9 | 67,5 | 50,6 | 46,2 | 38,4 | 35,2 | 33,0 | 28,7 | 26,5 |
| 76,3 | 71,7 | 56,3 | 48,7 | 43,2 | 37,6 | 33,7 | 31,8 | 28,5 | 26,0 |
| 126,0 | 70,6 | 65,2 | 51,4 | 45,5 | 37,0 | 33,0 | 29,6 | 23,7 | 22,6 |
| 116,1 | 70,6 | 58,2 | 51,2 | 43,2 | 36,0 | 31,4 | 28,7 | 23,5 | 21,6 |
| 78,2 | 68,2 | 55,6 | 50,3 | 39,0 | 34,1 | 31,0 | 25,3 | 23,4 | 21,5 |
Er munur á vegnu alfa 30 efstu hlutabréfa banka í Norðausturhlutanum og Vesturhlutanum? Prófaðu við 5 prósenta marktektarstig og svaraðu eftirfarandi spurningum:
- Er þetta próf fyrir tvö meðaltöl eða tvö hlutföll?
- Eru staðalfrávik þýðanna þekkt eða óþekkt?
- Hvaða dreifingu notar þú til að framkvæma prófið?
- Hver er slembibreytan?
- Hverjar eru núlltilgátan og gagntilgátan? Skrifaðu þær bæði í orðum og með táknum.
- Er prófið hægrihliða, vinsturhliða eða tvíhliða?
- Hvert er p-gildið?
- Hafnar þú núlltilgátunni eða ekki?
- Við _____ marktektarstig sýna úrtaksgögnin að ______ nægar vísbendingar séu til að álykta að ______.
- Reiknaðu Cohen’s d og túlkaðu niðurstöðuna.