4.4 Rúmfræðileg dreifing (valfrjálst)

Gerum ráð fyrir að leikur hafi tvær mögulegar útkomur, vinning eða tap. Þú spilar leikinn aftur og aftur þar til þú tapar. Líkurnar á tapi eru p = 0,57.

Látum X vera fjölda leikja sem þú spilar þar til þú tapar, að tapleiknum meðtöldum. Þá er X rúmfræðilega dreifð slembibreyta. Öll þrjú einkennin eru uppfyllt. Hver leikur er Bernoulli tilraun, annaðhvort vinningur eða tap. Þú þarft að spila að minnsta kosti einn leik áður en þú hættir. X tekur gildin 1, 2, 3, ... og gæti fræðilega haldið áfram endalaust. Þar sem við mælum fjölda leikja þar til tap kemur upp skilgreinum við tap sem jákvæða útkomu og vinning sem neikvæða útkomu. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru p = 0,57 og líkurnar á neikvæðri útkomu eru q = 1 − p = 1 − 0,57 = 0,43. Bæði p og q haldast óbreytt milli leikja.

Ef við viljum finna líkurnar á því að það taki fimm leiki þar til þú tapar, má skrifa líkindin sem P(x = 5). Við útskýrum síðar í þessum kafla hvernig finna má líkur í rúmfræðilegri dreifingu.

Öryggisverkfræðingur telur að 35 prósent allra vinnuslysa í verksmiðju hennar stafi af því að starfsmenn fylgi ekki leiðbeiningum. Hún ákveður að skoða slysaskýrslur, valdar af handahófi og settar aftur í bunkann eftir lestur, þar til hún finnur skýrslu um slys sem stafaði af því að starfsmaður fylgdi ekki leiðbeiningum.

Látum X vera fjölda slysaskýrslna sem öryggisverkfræðingurinn þarf að skoða þar til hún finnur skýrslu um slys sem stafaði af því að starfsmaður fylgdi ekki leiðbeiningum. Þá er X rúmfræðilega dreifð slembibreyta. Öll þrjú einkennin eru uppfyllt. Hver slysaskýrsla sem hún les er Bernoulli tilraun: slysið stafaði annaðhvort af því að starfsmaður fylgdi ekki leiðbeiningum eða ekki. Hún þarf að lesa að minnsta kosti eina skýrslu áður en hún hættir. X tekur gildin 1, 2, 3, ... . Þar sem við mælum fjölda skýrslna fram að slíkri skýrslu skilgreinum við slíkt slys sem jákvæða útkomu. Ef slysið stafaði af annarri ástæðu er skýrslan neikvæð útkoma. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru p = 0,35 og líkurnar á neikvæðri útkomu eru q = 1 − p = 1 − 0,35 = 0,65. Bæði p og q haldast óbreytt milli skýrslna.

Ef við viljum finna líkurnar á því að öryggisverkfræðingurinn þurfi að skoða að minnsta kosti þrjár skýrslur þar til hún finnur slíka skýrslu, má skrifa líkindaspurninguna með p = 0,35. Ef við viljum finna hversu margar skýrslur hún má að meðaltali búast við að skoða þar til hún finnur slíka skýrslu, þurfum við að finna væntigildið E(X). Við útskýrum síðar í þessum kafla hvernig leysa má þessar spurningar.

Gerum ráð fyrir að þú sért að leita að nemanda í háskólanum þínum sem býr innan við fimm mílur frá þér. Þú veist að 55 prósent af 25.000 nemendum búa innan fimm mílna frá þér. Þú hefur samband við nemendur af handahófi þar til einn segir að hann eða hún búi innan fimm mílna frá þér. Hverjar eru líkurnar á að þú þurfir að hafa samband við fjóra einstaklinga?

Þetta er rúmfræðilegt verkefni vegna þess að þú gætir fengið nokkrar neikvæðar útkomur áður en eina jákvæða útkoman sem þú leitar að kemur fram. Líkurnar á jákvæðri útkomu eru líka þær sömu í hvert skipti sem þú spyrð nemanda hvort hann eða hún búi innan fimm mílna frá þér. Fjöldi tilrauna er ekki ákveðinn fyrir fram.

a. Látum X vera fjölda nemenda sem þú þarft að spyrja þar til einn segir já.

b. Hvaða gildi tekur X?

c. Hvað eru p og q?

d. Líkindaspurningin er P(_______).

Gerum ráð fyrir að líkurnar á gölluðum tölvuíhlut séu 0,02. Íhlutir eru valdir af handahófi. Finndu líkurnar á að fyrsti gallinn komi fram í sjöunda íhlutnum sem prófaður er. Hversu marga íhluti má búast við að þurfa að prófa þar til einn reynist gallaður?

Látum X vera fjölda tölvuíhluta sem eru prófaðir þar til fyrsti gallinn finnst.

X tekur gildin 1, 2, 3, ... þar sem p = 0,02. Þá er X ~ G(0,02).

Finndu P(x = 7). Til er formúla fyrir líkindafall rúmfræðilegrar dreifingar, P(x), og hana mætti nota til að finna P(x = 7). Útreikningurinn er þó langur og tímafrekur, svo venjulega er notuð grafísk reiknivél eða hugbúnaður. Með grafískri reiknivél fæst P(x = 7) = 0,0177. Leiðbeiningar fyrir TI-83, 83+, 84 og 84+ eru hér að neðan.

Notkun TI-83, 83+, 84 og 84+ reiknivéla

Farðu í 2nd DISTR. Ritháttur skipananna er eftirfarandi:

Til að reikna líkurnar á nákvæmu gildi P(x = gildi) skaltu nota geometpdf(p, tala). Hér er geometpdf líkindafall rúmfræðilegrar dreifingar og gefur líkurnar á því að rúmfræðilega dreifð slembibreyta sé jöfn tilteknu gildi. p eru líkurnar á jákvæðri útkomu og tala er gildið.

Til að reikna uppsafnaðar líkur P(x ≤ gildi) skaltu nota geometcdf(p, tala). Hér er geometcdf dreififall rúmfræðilegrar dreifingar og gefur líkurnar á „í mesta lagi“ dæmum, það er líkurnar á að rúmfræðilega dreifð slembibreyta sé minni en eða jöfn tilteknu gildi. p eru líkurnar á jákvæðri útkomu og tala er gildið.

Til að finna P(x = 7) skaltu fara í 2nd DISTR, færa þig niður á geometpdf og ýta á ENTER. Sláðu inn 0,02, 7. Niðurstaðan er P(x = 7) = 0,0177.

Ef við þurfum að finna P(x ≤ 7), förum við í 2nd DISTR, færum okkur niður á geometcdf og ýtum á ENTER. Sláðu inn 0,02, 7. Niðurstaðan er P(x ≤ 7) = 0,1319.

Grafið fyrir X ~ G(0,02) er:

Fyrra stuðlarit líkindadreifingarinnar sýnir allar líkurnar fyrir X. x-ás hverrar súlu sýnir gildi X, fjölda tölvuíhluta sem eru prófaðir þar til fyrsti gallinn finnst, og hæð súlunnar sýnir líkurnar á því gildi. Til dæmis er x-gildi fyrstu súlunnar 1 og hæð hennar 0,02. Það merkir að líkurnar á að fyrsti prófaði tölvuíhluturinn sé gallaður eru 0,02.

Væntigildi, eða meðaltal, X er E(X) = μ = 1/p = 1/0,02 = 50.

Dreifni X er σ² = (1/p)(1/p − 1) = (1/0,02)(1/0,02 − 1) = (50)(49) = 2.450.

Staðalfrávik X er σ = √(σ²) = √(2.450) ≈ 49,5.

Þannig túlkum við meðaltal og staðalfrávik: búast má við að prófa þurfi 50 íhluti þar til fyrsti gallaði íhluturinn finnst, og fjöldinn víki að meðaltali um það bil 50 íhluti frá því gildi.

Áhætta á ævinni á að fá briskrabbamein er um einn af hverjum 78, eða 1,28 prósent. Látum X vera fjölda fólks sem þú spyrð þar til einhver segist vera með briskrabbamein. Þá er X strjál slembibreyta með rúmfræðilega dreifingu: X ~ G(1/78), eða X ~ G(0,0128).

1. Hverjar eru líkurnar á að þú spyrjir 10 manns áður en einhver segist vera með briskrabbamein?
2. Hverjar eru líkurnar á að þú þurfir að spyrja 20 manns?
3. Finndu (i) meðaltal og (ii) staðalfrávik X.