Lausnir
1. Gert er ráð fyrir að hvert þýði sem úrtak er tekið úr sé normaldreift.
3. Gert er ráð fyrir að þýðin hafi jöfn staðalfrávik, eða jafnar dreifnir.
5. Svarbreytan er tölulegt gildi.
7. Hₐ: Að minnsta kosti tvö hópameðaltalanna μ₁, μ₂ og μ₃ eru ekki jöfn.
9. 4.939,2
11. 2
13. 2.469,6
15. 3,7416
17. 3
19. 13,2
21. 0,825
23. Þar sem tilgátupróF með einþátta fervikagreiningu er alltaf hægrihliða samsvarar há F-prófstærð lágu p-gildi. Því er líklegt að við höfnum núlltilgátunni.
25. Ferlar nálgast normaldreifingu.
27. 10
29. SS = 237,33; MS = 23,73
31. 0,1614
33. tvær
35. SS = 5.700,4; MS = 2.850,2
37. 3,6101
39. Já, næg gögn eru til að sýna að munurinn á stigum milli hópanna sé tölfræðilega marktækur við 10% marktektarstig.
43. Þýðin sem úrtökin tvö eru tekin úr eru normaldreifð.
45. H₀: σ₁ = σ₂; Hₐ: σ₁ < σ₂. Einnig má setja þetta fram sem H₀: σ₁² = σ₂²; Hₐ: σ₁² < σ₂².
47. 4,11
49. 0,7159
51. Nei. Við 10% marktektarstig höfnum við ekki núlltilgátunni og segjum að gögnin sýni ekki að breytileiki í ferðatíma fyrsta starfsmannsins sé minni en breytileiki í ferðatíma annars starfsmannsins.
53. 2,8674
55. Höfnum núlltilgátunni. Næg gögn eru til að segja að dreifni einkunna fyrsta nemandans sé meiri en dreifni einkunna annars nemandans.
57. 0,7414
59. SS_between= 26; SS_within= 441; F = 0,2653
61. df(denom) = 15
64. H₀: μ_L= μ_T= μ_J. Hₐ: Að minnsta kosti tvö meðaltalanna eru ólík. df(num) = 2; df(denom) = 12. DreiFingin er F-dreifing. F = 0,67; p-gildi = 0,5305. Skoðaðu lausn nemanda. Ákvörðun: Höfnum ekki núlltilgátunni. Ályktun: Ekki eru næg gögn til að álykta að meðaltölin séu ólík.
67. Hₐ: Að minnsta kosti tvö tímaritanna hafa ólíka meðallengd. df(num) = 2, df(denom) = 12. DreiFingin er F-dreifing. F = 15,28; p-gildi = 0,0005. Skoðaðu lausn nemanda. Við α = 0,05 er ákvörðunin að hafna núlltilgátunni, þar sem p-gildi < α. Næg gögn eru til að álykta að meðallengdir tímaritanna séu ólíkar.
69. H₀: μ_o= μ_h= μ_f. Að minnsta kosti tvö meðaltalanna eru ólík. df(n) = 2, df(d) = 13. F₂,₁₃ = 0,64; p-gildi = 0,5437. Skoðaðu lausn nemanda. Við α = 0,05 höfnum við ekki núlltilgátunni, þar sem p-gildi > α. Meðaleinkunnir eftir ólíkum kennsluútfærslum eru ekki marktækt ólíkar.
71. H₀: μ_p= μ_m= μ_h. Að minnsta kosti tvö meðaltalanna eru ólík. df(n) = 2, df(d) = 12. F₂,₁₂ = 3,13; p-gildi = 0,0807. Skoðaðu lausn nemanda. Við α = 0,05 höfnum við ekki núlltilgátunni, þar sem p-gildi > α. Ekki eru næg gögn til að álykta að meðalfjöldi daglegra gesta sé ólíkur.
73. Gögnin virðast vera normaldreifð samkvæmt myndritinu og hafa svipaða dreifingu. Ekki virðast vera alvarleg fráviksgildi, svo hægt er að halda áfram með útreikninga í fervikagreiningu til að kanna hvort góð gögn séu fyrir mun milli hópanna.
H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃; Hₐ: μᵢ ≠ μⱼ fyrir einhver i ≠ j. Skilgreinum μ₁, μ₂ og μ₃ sem þýðismeðaltal fjölda eggja sem hóparnir þrír af ávaxtaflugum verpa.
F-prófstærð = 8,6657; p-gildi = 0,0004
Ákvörðun: Þar sem p-gildið er minna en marktektarstigið 0,01 höfnum við núlltilgátunni. Ályktun: Góð gögn benda til þess að meðalfjöldi eggja sem þessir þrír stofnar ávaxtaflugna verpa fyrstu 14 daga ævinnar sé ólíkur.
Athyglisvert er að ef framkvæmt er tveggja úrtaka t-próf til að bera saman RS- og NS-hópana eru þeir marktækt ólíkir (p = 0,0013). Á sama hátt eru SS og NS marktækt ólíkir (p = 0,0006). Hins vegar eru valræktuðu hóparnir tveir, RS og SS, ekki marktækt ólíkir (p = 0,5176). Því virðast góð gögn benda til þess að val annaðhvort fyrir þoli eða næmi fyrir DDT feli í sér minni eggjaframleiðslu, fyrir þessa tilteknu stofna, en hjá flugum sem ekki voru valdar fyrir þol eða næmi fyrir DDT. Hér virðist erfðaval hafa haft í för með sér minni frjósemi.
76. H₀: σ₁² = σ₂²; Hₐ: σ₁² ≠ σ₂². df(num) = 4; df(denom) = 4. F₄,₄ = 3,00. p-gildi = 2(0,1563) = 0,3126. Með TI-83+/84+ fallinu 2-SampFTest fæst prófstærðin 2,9986 og p-gildið beint sem 0,3127. Ef listarnir eru settir inn í annarri röð fæst prófstærðin 0,3335 en p-gildið er hið sama, þar sem prófið er tvíhliða. Skoðaðu lausn nemanda. Ákvörðun: Höfnum ekki núlltilgátunni. Ályktun: Ekki eru næg gögn til að álykta að dreifnirnar séu ólíkar.
79. Svör geta verið breytileg. Dæmisvar: tímarit um heimilisskreytingar og fréttatímarit hafa ólíkar dreifnir.
81. H₀: σ₁² = σ₂²; Hₐ: σ₁² ≠ σ₂². df(n) = 7, df(d) = 6. F₇,₆ = 0,8117; p-gildi = 0,7825. Skoðaðu lausn nemanda. Við α = 0,05 höfnum við ekki núlltilgátunni, þar sem p-gildi > α. Ekki eru næg gögn til að álykta að dreifnirnar séu ólíkar.
Hér er strikrit af silfurinnihaldi myntanna:
Þótt dreifingarnar séu ólíkar er ekki óeðlilegt að nota fervikagreiningu. Hér er fullgerð ANOVA-tafla:
| Breytingaruppspretta | Fervikasumma (SS) | Frígráður (df) | Meðalfervikasumma (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Þáttur (milli) | 37,748 | 4 – 1 = 3 | 12,5825 | 26,272 |
| Skekkja (innan) | 11,015 | 27 – 4 = 23 | 0,4789 | |
| Samtals | 48,763 | 27 – 1 = 26 |
P(F > 26,272) = 0. Höfnum núlltilgátunni fyrir hvaða α sem er. Næg gögn eru til að álykta að meðalsilfurinnihald myntsláttanna fjögurra sé ólíkt. Af strikritinu virðist fyrsta og önnur myntslátta hafa hærra silfurinnihald en þriðja og fjórða.
Hér er strikrit af fjölda sigra hjá 14 liðum Ameríkudeildarinnar á tímabilinu 2012.
Þótt dreifingin virðist svipuð má efast nokkuð um normaldreifingu gagnanna vegna breiðra bila nálægt 0,500-hlutfallinu, eða 82 leikjum, þar sem lið leika 162 leiki á hverju MLB-tímabili. Einþátta fervikagreining er þó þolin gagnvart slíkum frávikum.
Hér er ANOVA-taflan fyrir gögnin:
| Breytingaruppspretta | Fervikasumma (SS) | Frígráður (df) | Meðalfervikasumma (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Þáttur (milli) | 344,16 | 3 – 1 = 2 | 172,08 | |
| Skekkja (innan) | 1.219.55 | 14 – 3 = 11 | 110,87 | 1,5521 |
| Samtals | 1.563.71 | 14 – 1 = 13 |
P(F > 1,5521) = 0,2548. Þar sem p-gildið er svo hátt eru ekki góð gögn gegn núlltilgátunni um jöfn meðaltöl. Við höfnum því ekki núlltilgátunni. Fyrir árið 2012 eru því ekki góð gögn fyrir marktækum mun á meðalfjölda sigra milli riðladeilda Ameríkudeildarinnar.