13.2 F-dreifingin og F-hlutfallið
DreiFingin sem notuð er í þessu tilgátupróFi er ný dreifing. Hún kallast F-dreifing og er nefnd eftir Sir Ronald Fisher, enskum tölfræðingi. F-prófstærðin er hlutfall, það er brot. Í prófinu koma fyrir tvennar frígráður: frígráður teljarans og frígráður nefnarans.
Til dæmis, eF F Fylgir F-dreifingu, teljarinn hefur 4 frígráður og nefnarinn hefur 10 frígráður, þá er rithátturinn F ~ F₄,₁₀.
Til að reikna F-hlutfallið eru búin til tvö möt á dreifninni.
- Dreifni milli úrtaka: mat á σ² sem jafngildir dreifni úrtaksmeðaltalanna margfaldaðri með n þegar úrtaksstærðirnar eru jafnar. Ef úrtökin eru misjafnlega stór er dreifnin milli úrtaka vegin til að taka tillit til ólíkra úrtaksstærða. Þessi dreifni kallast líka breytileiki vegna inngrips eða skýrður breytileiki.
- Dreifni innan úrtaka: mat á σ² sem er meðaltal úrtaksdreifnanna, einnig kallað samvegin dreifni. Þegar úrtaksstærðirnar eru ólíkar er dreifnin innan úrtaka vegin. Þessi dreifni kallast líka breytileiki vegna skekkju eða óskýrður breytileiki.
- SS_between er fervikasumman sem lýsir breytileika milli ólíkra úrtaka.
- SS_within er fervikasumman sem lýsir breytileika innan úrtaka sem stafar af tilviljun.
Til að finna fervikasummu eru lögð saman ferningsgildi sem geta í sumum tilvikum verið vegin. Við notuðum fervikasummur áður til að reikna úrtaksdreifni og úrtaksstaðalfrávik í kaflanum um lýsandi tölfræði.
MS merkir meðalfervikasumma. MS_betweener dreifnin milli hópa og MS_withiner dreifnin innan hópa.
Útreikningur fervikasummu og meðalfervikasummu
- k = fjöldi ólíkra hópa.
- nⱼ = stærð j-ta hópsins.
- sⱼ = summa gildanna í j-ta hópnum.
- n = heildarfjöldi allra gilda samanlagt, það er heildarúrtaksstærðin Σnⱼ.
- x er eitt gildi og Σx = Σsⱼ.
- Summa kvaðrata allra gilda úr öllum hópum samanlagt er Σx².
Heildarfervikasumman og skipting hennar í skýrðan og óskýrðan breytileika eru:
- Frígráður ólíku hópanna, það er frígráður teljarans, eru df_between = k − 1.
- Frígráður skekkjunnar innan úrtaka, það er frígráður nefnarans, eru df_within = n − k.
Einþátta fervikagreining byggist á því að MS_betweengetur orðið fyrir áhrifum af mun á þýðismeðaltölum nokkurra hópa. Þar sem MS_withinber gildin í hverjum hópi saman við meðaltal sama hóps hefur munur á hópameðaltölum ekki áhrif á MS_within.
Núlltilgátan segir að allir hóparnir séu úrtök úr þýðum með sömu normaldreifingu. Gagntilgátan segir að að minnsta kosti tveir úrtakshópar komi úr þýðum með ólíkar normaldreifingar. Ef núlltilgátan er sönn ættu MS_betweenog MS_withinbæði að meta sama gildi.
F-hlutFall eða F-prófstærð:
Ef MS_betweenog MS_withinmeta sama gildið, eins og vænta má þegar H₀ er sönn, ætti F-hlutfallið að vera nálægt 1. Frávik frá 1 stafa þá aðallega af úrtaksskekkju. Í reynd samanstendur MS_betweenaf þýðisdreifninni ásamt dreifni sem verður til vegna mismunar milli úrtakanna. MS_withiner mat á þýðisdreifninni. Þar sem dreifni er alltaf jákvæð verður MS_betweenyfirleitt stærri en MS_withinþegar núlltilgátan er röng. Þá verður F-hlutfallið stærra en 1. Ef þýðisáhrifin eru lítil er þó ekki ólíklegt að MS_withinverði stærra í tilteknu úrtaki.
Útreikningarnir hér að Framan voru gerðir fyrir hópa af ólíkri stærð. Ef hóparnir eru jafn stórir einfaldast útreikningarnir nokkuð og F-hlutfallið má rita svona:
- n = úrtaksstærðin.
- frígráður teljarans = k − 1.
- frígráður nefnarans = n − k.
- s²_pooled = meðaltal úrtaksdreifnanna, það er samvegin dreifni.
- s²_x̄ = dreifni úrtaksmeðaltalanna.
Gögn eru yfirleitt sett í töflu til að auðveldara sé að skoða þau. Tölvuhugbúnaður birtir niðurstöður einþátta fervikagreiningar oft á þennan hátt.
| Uppruni breytileika | Fervikasumma (SS) | Frígráður (df) | Meðalfervikasumma (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Þáttur (milli hópa) | SS (þáttur) | k − 1 | MS (þáttur) = SS (þáttur)/(k − 1) | F = MS (þáttur)/MS (skekkja) |
| Skekkja (innan hópa) | SS (skekkja) | n − k | MS (skekkja) = SS (skekkja)/(n − k) | |
| Samtals | SS (samtals) | n − 1 |
Dæmi
Prófa á þrjár ólíkar mataræðisáætlanir með tilliti til meðalþyngdartaps. Gildin í töflunni eru þyngdartap fyrir ólíku áætlanirnar. Niðurstöður einþátta fervikagreiningar eru sýndar í Töflu 13.2.
| Áætlun 1: n₁ = 4 | Áætlun 2: n₂ = 3 | Áætlun 3: n₃ = 3 |
|---|---|---|
| 5 | 3,5 | 8 |
| 4,5 | 7 | 4 |
| 4 | 3,5 | |
| 3 | 4,5 |
s₁ = 16,5, s₂ = 15 og s₃ = 15,5.
Eftirfarandi útreikninga þarf til að fylla út töflu fyrir einþátta fervikagreiningu. Taflan er síðan notuð til að framkvæma tilgátupróf.
þar sem n₁ = 4, n₂ = 3, n₃ =3og n = n₁ + n₂ + n₃ = 10.
Notkun TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivélar
Tafla fyrir einþátta fervikagreiningu: formúlurnar fyrir SS_total, SS_factor= SS_betweenog SS_error= SS_withineru þær sömu og sýndar voru hér að framan. Sömu upplýsingar fást úr tilgátuprófsfallinu ANOVA í STAT TESTS á TI-reiknivél (rithátturinn er ANOVA[L1, L2, L3], þar sem L1, L2 og L3 innihalda gögnin úr áætlun 1, áætlun 2 og áætlun 3).
| Uppruni breytileika | Fervikasumma (SS) | Frígráður (df) | Meðalfervikasumma (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Þáttur (milli hópa) | SS (þáttur) = SS (milli hópa) = 2,2458 | k − 1 = 3 hópar − 1 = 2 | MS (þáttur) = SS (þáttur)/(k − 1) = 2,2458/2 = 1,1229 | F = MS (þáttur)/MS (skekkja) = 1,1229/2,9792 = 0,3769 |
| Skekkja (innan hópa) | SS (skekkja) = SS (innan hópa) = 20,8542 | n − k = 10 gagnagildi alls − 3 hópar = 7 | MS (skekkja) = SS (skekkja)/(n − k) = 20,8542/7 = 2,9792 | |
| Samtals | SS (samtals) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1 | n − 1 = 10 gagnagildi alls − 1 = 9 |
Æfing
Sem hluti af tilraun til að kanna hvernig ólíkar tegundir jarðvegshulu hefðu áhrif á framleiðslu sneiðtómata ræktuðu nemendur við Marist College tómatplöntur við ólíkar aðstæður jarðvegshulu. Hópar með þrjár plöntur hver fengu eitt af eftirfarandi inngripum:
- ber jarðvegur
- verslunarkeypt jarðvegshula
- svart plast
- hálmur
- molta
Allar plönturnar uxu við sömu skilyrði og voru af sama yrki. Nemendur skráðu þyngd tómata í grömmum frá hverri af n = 15 plöntunum, eins og sést í Töflu 13.4.
| Ber jarðvegur: n₁ = 3 | Jarðvegshula: n₂ = 3 | Plast: n₃ = 3 | Hálmur: n₄ = 3 | Molta: n₅ = 3 |
|---|---|---|---|---|
| 2.625 | 5.348 | 6.583 | 7.285 | 6.277 |
| 2.997 | 5.682 | 8.560 | 6.897 | 7.818 |
| 4.915 | 5.482 | 3.830 | 9.230 | 8.677 |
Búðu til töflu fyrir einþátta fervikagreiningu.
Ritháttur
TilgátupróFið í einþátta Fervikagreiningu er alltaf Hægrihliða, því stór F-gildi liggja langt úti í hægri hala F-dreifingarferilsins og leiða gjarnan til þess að H₀ er hafnað.
Rithátturinn Fyrir F-dreifingu er:
þar sem df(num) = df_betweenog df(denom) = df_within.
Meðaltal F-dreifingarinnar er: