Heimadæmi

13.1 Einþátta fervikagreining

1. Þrjár ólíkar akstursleiðir eru prófaðar með tilliti til meðalferðatíma. Gildin í töflu 13.18 eru aksturstímar, í mínútum, á leiðunum þremur. Settu fram SS_between, SS_within og F-prófstærðina.

   Leið 1	Leið 2	Leið 3
   30	27	16
   32	29	41
   27	28	22
   35	36	31

2. Hópur vill kanna hvort unglingar fái ökuskírteini sitt að meðaltali á svipuðum aldri um landið. Eftirfarandi gögnum er safnað af handahófi frá fimm unglingum á hverju svæði landsins. Tölurnar í töflu 13.19 tákna aldurinn þegar unglingarnir fengu ökuskírteini sitt. Settu fram tilgáturnar: H₀: ____________ og Hₐ: ____________.

   	Norðaustur	Suður	Vestur	Miðsvæði	Austur
   	16,3	16,9	16,4	16,2	17,1
   	16,1	16,5	16,5	16,6	17,2
   	16,4	16,4	16,6	16,5	16,6
   	16,5	16,2	16,1	16,4	16,8
   x ¯ =	________	________	________	________	________
   s 2 =	________	________	________	________	________

13.2 F-dreifingin og F-hlutfallið

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu þremur æfingum. Hópur vill kanna hvort unglingar fái ökuskírteini sitt að meðaltali á svipuðum aldri um landið. Gögnin eru sýnd í töflu 13.20.

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅

Hₐ: Að minnsta kosti tvö hópameðaltalanna μ₁, μ₂, …, μ₅ eru ekki jöfn.

13.3 Staðreyndir um F-dreifinguna

Leiðbeiningar

Notaðu lausnablað til að framkvæma eftirfarandi tilgátupróf. Lausnablaðið er að finna í viðauka E.

1. Þrír nemendur, Linda, Tuan og Javier, fá fimm tilraunarottur hver fyrir næringartilraun. Þyngd hverrar rottu er skráð í grömmum. Linda gefur sínum rottum formúlu A, Tuan gefur sínum formúlu B og Javier gefur sínum formúlu C. Við lok tiltekins tímabils er hver rotta vegin aftur og nettóþyngdaraukningin, í grömmum, er skráð í töflu 13.21. Notaðu 10% marktektarstig til að prófa tilgátuna um að formúlurnar þrjár gefi sömu meðalþyngdaraukningu.

   Rottur Lindu (g)	Rottur Tuans (g)	Rottur Javiers (g)
   43,5	47,0	51,2
   39,4	40,5	40,9
   41,3	38,9	37,9
   46,0	46,3	45,0
   38,2	44,2	48,6

2. Grasrótarhópur sem er andvígur fyrirhugaðri hækkun bensínskatts heldur því fram að hækkunin bitni mest á verkafólki, þar sem það aki lengst til vinnu. Hópurinn velur slembiúrtak 24 einstaklinga og spyr þá um daglega akstursvegalengd aðra leið til vinnu. Niðurstöðurnar eru í töflu 13.22. Notaðu 5% marktektarstig til að prófa tilgátuna um að meðalakstursvegalengdir hópanna þriggja séu jafnar.

   Verkafólk	Sérfræðistörf (miðtekjur)	Sérfræðistörf (hátekjur)
   17,8	16,5	8,5
   26,7	17,4	6,3
   49,4	22,0	4,6
   9,4	7,4	12,6
   65,4	9,4	11,0
   47,1	2,1	28,6
   19,5	6,4	15,4
   51,2	13,9	9,3

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Tafla 13.23 sýnir fjölda blaðsíðna í fjórum ólíkum tegundum tímarita.

1. Notaðu 5% marktektarstig til að prófa tilgátuna um að tímaritategundirnar fjórar hafi sömu meðallengd.

2. Fjarlægðu eina tímaritategund sem þú telur nú hafa aðra meðallengd en hinar. Endurtaktu tilgátuprófið og prófaðu hvort meðaltöl hinna þriggja tegundanna séu tölfræðilega þau sömu. Notaðu nýtt lausnablað. Samkvæmt þessu prófi, eru meðallengdir hinna þriggja tímaritategunda tölfræðilega þær sömu?

3. Rannsakandi vill vita hvort meðaltíminn, í mínútum, sem fólk horfir á uppáhaldsfréttastöðina sína sé sá sami. Tafla 13.24 sýnir niðurstöður rannsóknar. Gerðu ráð fyrir að allar dreifingar séu normaldreifðar, staðalfrávik þýðanna þriggja séu um það bil þau sömu og að gögnum hafi verið safnað óháð og af handahófi. Notaðu marktektarstigið 0,05.

   CNN	FOX	Staðbundin stöð
   45	15	72
   12	43	37
   18	68	56
   38	50	60
   23	31	51
   35	22

4. Eru meðaltöl lokaprófseinkunna þau sömu fyrir allar kennsluútfærslur í tölfræðinámskeiði? Tafla 13.25 sýnir einkunnir á lokaprófum úr nokkrum slembivöldum bekkjum sem notuðu ólíkar kennsluútfærslur. Gerðu ráð fyrir að allar dreifingar séu normaldreifðar, staðalfrávik þýðanna þriggja séu um það bil þau sömu og að gögnum hafi verið safnað óháð og af handahófi. Notaðu marktektarstigið 0,05.

   Netnám	Blandað nám	Staðnám
   72	83	80
   84	73	78
   77	84	84
   80	81	81
   81		86
   		79
   		82

5. Er meðalfjöldi skipta á mánuði sem einstaklingur borðar úti sá sami hjá hvítum, svörtum, rómönskum og asískum einstaklingum? Tafla 13.26 sýnir niðurstöður rannsóknar. Gerðu ráð fyrir að allar dreifingar séu normaldreifðar, staðalfrávik þýðanna fjögurra séu um það bil þau sömu og að gögnum hafi verið safnað óháð og af handahófi. Notaðu marktektarstigið 0,05.

   Hvítir	Svartir	Rómönsk	Asískir
   6	4	7	8
   8	1	3	3
   2	5	5	5
   4	2	4	1
   6		6	7

6. Er meðalfjöldi daglegra gesta á skíðasvæði sá sami fyrir þrjú ólík snjóskilyrði? Tafla 13.27 sýnir niðurstöður rannsóknar. Gerðu ráð fyrir að allar dreifingar séu normaldreifðar, staðalfrávik þýðanna þriggja séu um það bil þau sömu og að gögnum hafi verið safnað óháð og af handahófi. Notaðu marktektarstigið 0,05.

   Púðursnjór	Vélgerður snjór	Harðtroðinn snjór
   1.210	2.107	2.846
   1.080	1.149	1.638
   1.537	862	2.019
   941	1.870	1.178
   	1.528	2.233
   	1.382

7. Sanjay bjó til eins pappírsflugvélar úr þremur ólíkum þyngdum pappírs: léttum, miðlungsþungum og þungum. Hann bjó til fjórar flugvélar úr hverri pappírsþyngd og skaut þeim sjálfur yfir herbergið. Töflan sýnir vegalengdirnar, í metrum, sem flugvélarnar flugu.

   Pappírsgerð/tilraun	Tilraun 1	Tilraun 2	Tilraun 3	Tilraun 4
   Þungur	5,1 m	3,1 m	4,7 m	5,3 m
   Miðlungs	4 m	3,5 m	4,5 m	6,1 m
   Léttur	3,1 m	3,3 m	2,1 m	1,9 m

   

Skoðaðu gögnin á ritinu. Athugaðu dreifingu gagnanna í hverjum hópi (léttur, miðlungsþungur, þungur). Virðist eðlilegt að gera ráð fyrir normaldreifingu með sömu dreifni í hverjum hópi?

Hvers vegna er þetta jafnvæg hönnun?

Reiknaðu úrtaksmeðaltal og úrtaksstaðalfrávik fyrir hvern hóp.

Hefur þyngd pappírsins áhrif á hversu langt flugvélin flýgur? Notaðu 1% marktektarstig. Ljúktu prófinu með aðferðinni sem sýnd var í baunaplöntudæminu í dæmi 13.4. Dreifni hópameðaltalanna __________; MS_between = __________; meðaltal úrtaksdreifnanna þriggja __________; MS_within = __________; F-prófstærð = __________; df(num) = __________, df(denom) = __________; fjöldi hópa _______; fjöldi athugana _______; p-gildi = __________ (P(F > _______) = __________); teiknaðu p-gildið; ákvörðun: _______________________; ályktun: _______________________________________________________________

73. DDT er skordýraeitur sem hefur verið bannað í Bandaríkjunum og víðast hvar annars staðar í heiminum. Það er mjög virkt en helst lengi í umhverfinu og reyndist með tímanum skaðlegt lífverum ofar í fæðukeðjunni. Frægt er að eggjaskurn arna og annarra ránfugla var talin þynnast og verða brothættari í hreiðrum vegna þess að fuglarnir innbyrtu DDT úr fæðukeðjunni. Gerð var tilraun á fjölda eggja, eða frjósemi, kvenkyns ávaxtaflugna. Í tilrauninni eru þrír hópar flugna: RS-hópurinn, ræktaður fyrir þol gegn DDT; SS-hópurinn, ræktaður fyrir sérstakt næmi fyrir DDT; og NS-hópurinn, samanburðarlína óvalinna eða dæmigerðra ávaxtaflugna. Gögnin eru í töflu 13.29. Gildin eru meðalfjöldi eggja sem hver af 75 flugum verpir daglega, 25 í hverjum hópi, fyrstu 14 daga ævinnar. Notaðu 1% marktektarstig. Eru meðalhraðar eggjavarps ólíkir milli stofnanna þriggja? Ef svo er, hvernig? Sérstaklega vildu rannsakendur kanna hvort valræktuðu stofnarnir væru frábrugðnir óvöldu línunni og hvort valræktuðu línurnar tvær væru frábrugðnar hvor annarri.

Hér er myndrit af hópunum þremur:

1. Gögnin sem sýnd eru eru skráður líkamshiti 130 einstaklinga, metinn út frá tiltækum stuðlaritum. Hefðbundið er að kenna að eðlilegur líkamshiti manna sé 98,6 °F. Það á þó ekki nákvæmlega við um alla. Eru meðalhitastig hópanna fjögurra ólík?

2. Reiknaðu 95% öryggisbil fyrir meðallíkamshita í hverjum hópi og gerðu athugasemdir við öryggisbilin.

   FL	FH	ML	MH	FL	FH	ML	MH
   96,4	96,8	96,3	96,9	98,4	98,6	98,1	98,6
   96,7	97,7	96,7	97	98,7	98,6	98,1	98,6
   97,2	97,8	97,1	97,1	98,7	98,6	98,2	98,7
   97,2	97,9	97,2	97,1	98,7	98,7	98,2	98,8
   97,4	98	97,3	97,4	98,7	98,7	98,2	98,8
   97,6	98	97,4	97,5	98,8	98,8	98,2	98,8
   97,7	98	97,4	97,6	98,8	98,8	98,3	98,9
   97,8	98	97,4	97,7	98,8	98,8	98,4	99
   97,8	98,1	97,5	97,8	98,8	98,9	98,4	99
   97,9	98,3	97,6	97,9	99,2	99	98,5	99
   97,9	98,3	97,6	98	99,3	99	98,5	99,2
   98	98,3	97,8	98		99,1	98,6	99,5
   98,2	98,4	97,8	98		99,1	98,6
   98,2	98,4	97,8	98,3		99,2	98,7
   98,2	98,4	97,9	98,4		99,4	99,1
   98,2	98,4	98	98,4		99,9	99,3
   98,2	98,5	98	98,6		100	99,4
   98,2	98,6	98	98,6		100,8

13.4 Tilgátupróf fyrir tvær dreifnir

1. Þrír nemendur, Linda, Tuan og Javier, fá fimm tilraunarottur hver fyrir næringartilraun. Þyngd hverrar rottu er skráð í grömmum. Linda gefur sínum rottum formúlu A, Tuan gefur sínum formúlu B og Javier gefur sínum formúlu C. Við lok tiltekins tímabils er hver rotta vegin aftur og nettóþyngdaraukningin, í grömmum, er skráð í töflu 13.31. Ákvarðaðu hvort dreifni þyngdaraukningar sé tölfræðilega sú sama hjá rottum Javiers og Lindu. Prófaðu við 10% marktektarstig.

   Rottur Lindu	Rottur Tuans	Rottur Javiers
   43,5	47,0	51,2
   39,4	40,5	40,9
   41,3	38,9	37,9
   46,0	46,3	45,0
   38,2	44,2	48,6

2. Grasrótarhópur sem er andvígur fyrirhugaðri hækkun bensínskatts heldur því fram að hækkunin bitni mest á verkafólki, þar sem það aki lengst til vinnu. Hópurinn velur slembiúrtak 24 einstaklinga og spyr þá um daglega akstursvegalengd aðra leið til vinnu. Niðurstöðurnar eru í töflu 13.32. Ákvarðaðu hvort dreifni ekinnar vegalengdar sé tölfræðilega sú sama hjá verkafólki og sérfræðistörfum með miðtekjur. Notaðu 5% marktektarstig.

   Verkafólk	Sérfræðistörf (miðtekjur)	Sérfræðistörf (hátekjur)
   17,8	16,5	8,5
   26,7	17,4	6,3
   49,4	22,0	4,6
   9,4	7,4	12,6
   65,4	9,4	11,0
   47,1	2,1	28,6
   19,5	6,4	15,4
   51,2	13,9	9,3

Notaðu eftirfarandi upplýsingar til að svara næstu tveimur æfingum. Tafla 13.33 sýnir fjölda blaðsíðna í fjórum ólíkum tegundum tímarita.

1. Hvaða tvær tímaritategundir telurðu hafa sömu dreifni í lengd?

2. Hvaða tvær tímaritategundir telurðu hafa ólíkar dreifnir í lengd?

3. Er dreifni fjárhæðarinnar, í dollurum, sem kaupendur eyða í verslunarmiðstöð á laugardögum sú sama og dreifnin fyrir fjárhæðina sem kaupendur eyða á sunnudögum? Tafla 13.34 sýnir niðurstöður rannsóknar.

   Laugardagur	Sunnudagur	Laugardagur	Sunnudagur
   75	44	62	137
   18	58	0	82
   150	61	124	39
   94	19	50	127
   62	99	31	141
   73	60	118	73
   	89

4. Eru dreifnir tekna á austurströnd og vesturströnd þær sömu? Tafla 13.35 sýnir niðurstöður rannsóknar. Tekjur eru sýndar í þúsundum dollara. Gerðu ráð fyrir að báðar dreifingarnar séu normaldreifðar. Notaðu marktektarstigið 0,05.

   Austurströnd	Vesturströnd
   38	71
   47	126
   30	42
   82	51
   75	44
   52	90
   115	88
   67

5. Þrjátíu háskólanemar voru þjálfaðir í fingraslætti. Þeim var skipt af handahófi í þrjá 10 manna hópa og hver hópur fékk einn af þremur koffínskömmtum: 0 mg, 100 mg eða 200 mg. Þetta samsvarar um það bil engum, einum eða tveimur kaffibollum. Tveimur klukkustundum eftir inntöku koffíns var skráð hversu oft þeir slógu með fingri á mínútu. Tilraunin var tvíblind, þannig að hvorki skrásetjarar né nemendur vissu í hvaða hópi þeir voru. Hefur koffín áhrif á sláttartíðnina og ef svo er, hvernig?

   0 mg	100 mg	200 mg	0 mg	100 mg	200 mg
   242	248	246	245	246	248
   244	245	250	248	247	252
   247	248	248	248	250	250
   242	247	246	244	246	248
   246	243	245	242	244	250

6. Manúel I Komnenos keisari ríkti yfir Býsansríkinu frá Konstantínópel, nú Istanbúl, á árunum 1145–1170 e.Kr. Ríkið var mjög öflugt á valdatíma hans en hnignaði verulega síðar. Myntir slegnar á valdatíma hans fundust á Kýpur í austanverðu Miðjarðarhafi. Níu myntir voru úr fyrstu myntsláttu hans, sjö úr annarri, fjórar úr þriðju og sjö úr fjórðu. Þær ná yfir mestan hluta valdatímans. Tafla 13.37 sýnir silfurinnihald myntanna. Breyttist silfurinnihald myntanna á valdatíma Manúels? Tafla 13.38 sýnir meðaltöl og dreifnir hverrar myntsláttu; gögnin eru ójafnvæg.

   Fyrsta myntslátta	Önnur myntslátta	Þriðja myntslátta	Fjórða myntslátta
   5,9	6,9	4,9	5,3
   6,8	9,0	5,5	5,6
   6,4	6,6	4,6	5,5
   7,0	8,1	4,5	5,1
   6,6	9,3		6,2
   7,7	9,2		5,8
   7,2	8,6		5,8
   6,9
   6,2

   	Fyrsta	Önnur	Þriðja	Fjórða
   Meðaltal	6,7444	8,2429	4,875	5,6143
   Dreifni	0,2953	1,2095	0,2025	0,1314

7. Ameríkudeild og Þjóðardeild í Major League Baseball skiptast hvor um sig í þrjár riðladeildir: Austur, Mið og Vestur. Mörg ár tala aðdáendur um að sumar riðladeildir séu sterkari, það er hafi betri lið, en aðrar. Það getur haft afleiðingar fyrir úrslitakeppnina. Til dæmis vann Tampa Bay 90 leiki árið 2012 en komst ekki í úrslitakeppni, á meðan Detroit vann aðeins 88 leiki og komst í úrslitakeppni. Þetta kann að hafa verið tilviljun, en eru góð gögn fyrir því að riðladeildir Ameríkudeildarinnar hafi verið marktækt ólíkar í heildarárangri tímabilið 2012? Notaðu gögnin í töflum 13.39–13.41 til að prófa hvort meðalfjöldi sigra á lið í riðladeildunum þremur í Ameríkudeildinni hafi verið sá sami. Athugaðu að gögnin eru ekki jafnvæg, þar sem tvær riðladeildir höfðu fimm lið en ein aðeins fjögur.

   Riðill	Lið	Sigrar
   Austur	NY Yankees	95
   Austur	Baltimore	93
   Austur	Tampa Bay	90
   Austur	Toronto	73
   Austur	Boston	69

   Riðill	Lið	Sigrar
   Mið	Detroit	88
   Mið	Chicago Sox	85
   Mið	Kansas City	72
   Mið	Cleveland	68
   Mið	Minnesota	66

   Riðill	Lið	Sigrar
   Vestur	Oakland	94
   Vestur	Texas	93
   Vestur	LA Angels	89
   Vestur	Seattle	75