1313 F-dreifing og einþátta fervikagreining

13.4 Tilgátupróf fyrir tvær dreifnir

Önnur notkun F-dreifingarinnar er tilgátupróf fyrir tvær dreifnir. Oft er æskilegra að bera saman tvær dreifnir en tvö meðaltöl. Til dæmis gætu stjórnendur háskóla viljað að tveir kennarar sem fara yfir próf hefðu svipaðan breytileika í einkunnagjöf sinni. Til að lok passi á ílát ætti breytileiki loksins og ílátsins að vera sá sami. Matvöruverslun gæti haft áhuga á breytileika afgreiðslutíma hjá tveimur afgreiðslumönnum.

Til að Framkvæma F-próf fyrir tvær dreifnir er mikilvægt að eftirfarandi gildi:

Þýðin sem úrtökin tvö eru tekin úr eru normaldreifð.
Þýðin tvö eru óháð hvort öðru.

Ólíkt Flestum öðrum prófum í þessari bók er F-próf fyrir jafnar dreifnir mjög næmt fyrir frávikum frá normaldreifingu. Ef dreifingarnar tvær eru ekki normaldreifðar getur prófið gefið p-gildi sem eru ýmist hærri eða lægri en þau ættu að vera, á ófyrirsjáanlegan hátt. Margar kennslubækur leggja til að nemendur noti þetta próf alls ekki, en hér er það tekið með til að umfjöllunin sé heildstæð.

Gerum ráð Fyrir að við tökum slembiúrtök úr tveimur óháðum normaldreifðum þýðum. Látum σ₁² og σ₂² vera þýðisdreifnirnar og s₁² og s₂² vera úrtaksdreifnirnar. Látum úrtaksstærðirnar vera n₁ og n₂. Þar sem við viljum bera saman úrtaksdreifnirnar tvær notum við F-hlutfallið:

F = \frac{\frac{s_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}}}{\frac{s_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}}}

F \sim F_{(n_{1} - 1, n_{2} - 1)}

þar sem n₁ − 1 eru frígráður teljarans og n₂ − 1 eru frígráður nefnarans.

EF núlltilgátan er σ₁² = σ₂², þá verður F-hlutfallið:

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

F = \frac{\frac{s_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}}}{\frac{s_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}}} = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}

Athugasemd

F-hlutfallið gæti einnig verið s₂²/s₁². Það fer eftir gagntilgátunni og því hvor úrtaksdreifnin er stærri.

EF þýðin tvö haFa jafnar dreifnir eru s₁² og s₂² nálægt hvort öðru og F = s₁²/s₂² er nálægt 1. Ef þýðisdreifnirnar tvær eru mjög ólíkar hafa s₁² og s₂² einnig tilhneigingu til að vera mjög ólíkar. Ef s₁² er valin sem stærri úrtaksdreifnin verður hlutfallið s₁²/s₂² stærra en 1. Ef s₁² og s₂² eru langt hvor frá annarri verður F = s₁²/s₂² stór tala.

Þess vegna styðja gögnin núlltilgátuna, um að þýðisdreiFnirnar tvær séu jaFnar, ef F er nálægt 1. Ef F er miklu stærra en 1 eru gögnin hins vegar gegn núlltilgátunni. Tilgátupróf fyrir tvær dreifnir getur verið vinsturhliða, hægrihliða eða tvíhliða.

Dæmi 13.5

Tveir háskólakennarar vilja kanna hvort breytileiki sé í því hvernig þeir gefa einkunnir á stærðfræðiprófum. Hvor kennari fer yfir sama safn af 30 prófum. Einkunnir fyrsta kennarans hafa dreifnina 52,3. Einkunnir annars kennarans hafa dreifnina 89,9. Prófaðu fullyrðinguna um að dreifni fyrsta kennarans sé minni. Í flestum háskólum er æskilegt að dreifni prófeinkunna sé næstum sú sama milli kennara. Marktektarstigið er 10 prósent.

Látum 1 og 2 vera vísa sem tákna fyrsta og annan kennarann, í þeirri röð. Þá er n₁ = n₂ = 30.

H_{0} : σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} og H_{a} : σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}

Reiknum próFstærðina. Samkvæmt núlltilgátunni, σ₁² = σ₂², er F-prófstærðin:

F = \frac{\frac{s_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}}}{\frac{s_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}}} = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} = \frac{52,3}{89,9} = 0,5818

Dreifing prófsins er F₂₉,₂₉, þar sem n₁ − 1 = 29 og n₂ − 1 = 29. Þetta próf er vinsturhliða.

Teiknaðu grafið og merktu og skyggðu það á viðeigandi hátt.

This graph shows a nonsymmetrical F distribution curve. The curve is slightly skewed to the right, but is approximately normal. The value 0.5818 is marked on the vertical axis to the right of the curve's peak. A vertical upward line extends from 0.5818 to the curve and the area to the left of this line is shaded to represent the p-value. — **Mynd 13.7.** Mynd 13.7

p-gildi = P (F < 0,5818) = 0,0753

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,10 og α > p-gildi. Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀.

Niðurstaða: Með 10 prósent marktektarstigi gefa gögnin nægar vísbendingar til að álykta að dreifni einkunna hjá fyrsta kennaranum sé minni.

Notkun TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivélar

Ýttu á STAT og farðu yfir í TESTS. Farðu niður í D:2-SampFTest og ýttu á ENTER. Farðu í Stats og ýttu á ENTER. Fyrir Sx1, n1, Sx2 og n2 skaltu slá inn √(52,3), 30, √(89,9) og 30. Ýttu á ENTER eftir hvert gildi. Farðu að σ1: og veldu < σ2. Ýttu á ENTER. Farðu niður í Calculate og ýttu á ENTER. Þá fæst F = 0,5818 og p-gildi = 0,0753. Endurtaktu ferlið og prófaðu Draw í stað Calculate.

Reyndu sjálf/ur 13.5

New York Choral Society skiptir karlröddum í fjóra flokka frá hæstu röddum til lægstu: Tenor1, Tenor2, Bass1 og Bass2. Í töflunni eru hæðir karla í hópunum Tenor1 og Bass2. Grunur er um að hærri karlar hafi lægri raddir og að dreifni hæðar geti einnig aukist með lægri röddum. Höfum við góðar vísbendingar um að dreifni hæðar söngvara í þessum tveimur hópum, Tenor1 og Bass2, sé ólík?

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Dæmi 13.5

Látum 1 og 2 vera vísa sem tákna fyrsta og annan kennarann, í þeirri röð. Þá er n₁ = n₂ = 30.

H_{0} : σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} og H_{a} : σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}

Reiknum próFstærðina. Samkvæmt núlltilgátunni, σ₁² = σ₂², er F-prófstærðin:

F = \frac{\frac{s_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}}}{\frac{s_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}}} = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} = \frac{52,3}{89,9} = 0,5818

Dreifing prófsins er F₂₉,₂₉, þar sem n₁ − 1 = 29 og n₂ − 1 = 29. Þetta próf er vinsturhliða.

Teiknaðu grafið og merktu og skyggðu það á viðeigandi hátt.

p-gildi = P (F < 0,5818) = 0,0753

Berðu saman α og p-gildið: α = 0,10 og α > p-gildi. Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀.

Niðurstaða: Með 10 prósent marktektarstigi gefa gögnin nægar vísbendingar til að álykta að dreifni einkunna hjá fyrsta kennaranum sé minni.

Tenor1

Bass2

Tenor1

Bass2

Tenor1

Bass2

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2	Tenor1	Bass2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72