13.3 Staðreyndir um F-dreifinguna
EFtirfarandi eru staðreyndir um F-dreifinguna:
- Ferillinn er ekki samhverfur heldur skekktur til hægri.
- Fyrir hvert par frígráðna er til sérstakur ferill.
- F-prófstærðin er stærri en eða jöfn núlli.
- Þegar frígráður teljarans og nefnarans verða stærri nálgast ferillinn normaldreifingu.
- Önnur notkun F-dreifingarinnar er meðal annars samanburður á tveimur dreifnum og tvíþátta fervikagreining. Tvíþátta greining er utan efnis þessa kafla.
Dæmi 13.2
Snúum aftur að æfingunni með sneiðtómatana í Reyndu sjálf/ur 13.1. Meðaltöl tómatuppskeru við fimm aðstæður jarðvegshulu eru táknuð með μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ og μ₅. Við framkvæmum tilgátupróf til að ákvarða hvort öll meðaltölin séu eins eða hvort að minnsta kosti eitt þeirra sé frábrugðið. Prófaðu núlltilgátuna um að enginn munur sé á meðaluppskeru hópanna fimm gegn gagntilgátunni um að að minnsta kosti eitt meðaltal sé frábrugðið hinum. Notaðu 5 prósent marktektarstig.
Núlltilgátan og gagntilgátan eru:
Niðurstöður einþátta fervikagreiningar eru sýndar í Töflu 13.5.
| Uppruni breytileika | Fervikasumma (SS) | Frígráður (df) | Meðalfervikasumma (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Þáttur (milli hópa) | 36.648.561 | 5 − 1 = 4 | 36.648.561/4 = 9.162.140 | 9.162.140/2.044.672,6 = 4,4810 |
| Skekkja (innan hópa) | 20.446.726 | 15 − 5 = 10 | 20.446.726/10 = 2.044.672,6 | |
| Samtals | 57.095.287 | 15 − 1 = 14 |
Dreifing prófsins er F₄,₁₀, þar sem df(num) = 5 − 1 = 4 og df(denom) = 15 − 5 = 10. Prófstærðin er F = 4,4810.
Berðu saman α og p-gildið: α = 0,05 og p-gildi = 0,0248. Þar sem α > p-gildi höfnum við H₀.
Á 5 prósent marktektarstigi höfum við nokkuð sterkar vísbendingar um að munur á meðaluppskeru sneiðtómataplantna sem ræktaðar eru við ólíkar aðstæður jarðvegshulu sé ólíklegur til að stafa eingöngu af tilviljun. Við getum ályktað að að minnsta kosti sumar jarðvegshulurnar hafi leitt til ólíkrar meðaluppskeru.
Notkun TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivélar
Til að finna þessar niðurstöður á reiknivél skaltu ýta á STAT og síðan 1:EDIT. Settu gögnin í listana L1, L2, L3, L4 og L5. Ýttu aftur á STAT, farðu yfir í TESTS, veldu ANOVA og ýttu á ENTER. Sláðu inn (L1,L2,L3,L4,L5) og ýttu á ENTER.
Reiknivélin sýnir gildin í fervikagreiningartöflunni, þar á meðal F-prófstærðina og p-gildi prófsins: F = 4,4810, p = 0,0248, df þáttar = 4, SS þáttar = 36.648.560,9, MS þáttar = 9.162.140,23, df skekkju = 10, SS skekkju = 20.446.726 og MS skekkju = 2.044.672,6.
Reyndu sjálf/ur 13.2
MRSA, eða Staphylococcus aureus, getur valdið alvarlegum bakteríusýkingum hjá sjúklingum á sjúkrahúsum. Tafla 13.6 sýnir mismunandi nýlendufjölda frá sjúklingum sem kunna að hafa MRSA eða ekki. Gögnin úr töflunni eru teiknuð á Mynd 13.5.
| Styrkur = 0,6 | Styrkur = 0,8 | Styrkur = 1,0 | Styrkur = 1,2 | Styrkur = 1,4 |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 16 | 22 | 30 | 27 |
| 66 | 93 | 147 | 199 | 168 |
| 98 | 82 | 120 | 148 | 132 |
Rit af gögnunum fyrir ólíku styrkina:
Prófaðu hvort meðalfjöldi nýlendna sé sá sami eða hvort hann sé ólíkur. Búðu til fervikagreiningartöfluna í höndunum eða með TI-83, 83+ eða 84+ reiknivél, finndu p-gildið og settu fram niðurstöðu. Notaðu 5 prósent marktektarstig.
Dæmi 13.3
Fjórar kvenfélagsdeildir tóku slembiúrtak af meðlimum sínum um meðaleinkunnir síðustu annar. Niðurstöðurnar eru sýndar í Töflu 13.7.
| Kvenfélagsdeild 1 | Kvenfélagsdeild 2 | Kvenfélagsdeild 3 | Kvenfélagsdeild 4 |
|---|---|---|---|
| 2,17 | 2,63 | 2,63 | 3,79 |
| 1,85 | 1,77 | 3,78 | 3,45 |
| 2,83 | 3,25 | 4,00 | 3,08 |
| 1,69 | 1,86 | 2,55 | 2,26 |
| 3,33 | 2,21 | 2,45 | 3,18 |
Er munur á meðaleinkunnum kvenfélagsdeildanna ef notað er 1 prósent marktektarstig?
Látum μ₁, μ₂, μ₃ og μ₄ tákna þýðismeðaltöl kvenfélagsdeildanna. Mundu að núlltilgátan fullyrðir að kvenfélagshóparnir komi úr sömu normaldreifingu. Gagntilgátan segir að að minnsta kosti tveir hópanna komi úr þýðum með ólíkar normaldreifingar. Athugaðu að úrtaksstærðirnar fjórar eru allar fimm.
Athugasemd
Þetta er dæmi um jafnvæga hönnun, því hver þáttur, það er hver kvenfélagsdeild, hefur sama fjölda athugana.
Dreifing prófsins er F₃,₁₆, þar sem k = 4 hópar og n = 20 úrtaksgildi alls. Frígráður teljarans eru df(num) = k − 1 = 4 − 1 = 3 og frígráður nefnarans eru df(denom) = n − k = 20 − 4 = 16.
Prófstærðin er F = 2,23.
Berðu saman α og p-gildið: α = 0,01, p-gildi = 0,1241 og α < p-gildi. Þar sem α < p-gildi getum við ekki hafnað H₀.
Ekki eru nægar vísbendingar til að álykta að munur sé á meðaleinkunnum kvenfélagsdeildanna.
Notkun TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivélar
Settu gögnin í listana L1, L2, L3 og L4. Ýttu á STAT, farðu yfir í TESTS, veldu F:ANOVA, ýttu á ENTER og sláðu inn (L1,L2,L3,L4).
Reiknivélin sýnir F-prófstærðina, p-gildið og gildin fyrir töflu einþátta fervikagreiningar: F = 2,2303, p = 0,1241, df þáttar = 3, SS þáttar = 2,88732, MS þáttar = 0,96244, df skekkju = 16, SS skekkju = 6,9044 og MS skekkju = 0,431525.
Reyndu sjálf/ur 13.3
Fjögur íþróttalið tóku slembiúrtak af leikmönnum sínum um meðaleinkunn síðasta árs. Niðurstöðurnar eru sýndar í Töflu 13.8.
| Körfubolti | Hafnabolti | Íshokkí | Lacrosse |
|---|---|---|---|
| 3,6 | 2,1 | 4,0 | 2,0 |
| 2,9 | 2,6 | 2,0 | 3,6 |
| 2,5 | 3,9 | 2,6 | 3,9 |
| 3,3 | 3,1 | 3,2 | 2,7 |
| 3,8 | 3,4 | 3,2 | 2,5 |
Notaðu 5 prósent marktektarstig og ákvarðaðu hvort munur sé á meðaleinkunn milli liðanna.
Dæmi 13.4
Bekkur í fjórða bekk er að læra um umhverfið. Eitt verkefnið er að rækta baunaplöntur í mismunandi jarðvegi. Tommy valdi að rækta sínar baunaplöntur í jarðvegi sem fannst fyrir utan kennslustofuna hans og var blandaður þurrkaraló. Tara valdi að rækta sínar baunaplöntur í pottamold sem keypt var í garðyrkjustöð. Nick valdi jarðveg úr garði móður sinnar. Engin efni voru notuð á plönturnar, aðeins vatn. Þær voru ræktaðar inni í kennslustofunni við stóran glugga. Hvert barn ræktaði fimm plöntur. Í lok vaxtartímans var hver planta mæld og gögnin í tommum eru í Töflu 13.9.
| Plöntur Tommys | Plöntur Töru | Plöntur Nicks |
|---|---|---|
| 24 | 25 | 23 |
| 21 | 31 | 27 |
| 23 | 23 | 22 |
| 30 | 20 | 30 |
| 23 | 28 | 20 |
Virðist jarðvegurinn þrír sem baunaplönturnar uxu í gefa sömu meðalhæð? Prófaðu á 3 prósent marktektarstigi.
Að þessu sinni framkvæmum við útreikningana sem leiða til F-prófstærðarinnar. Þar sem hver hópur hefur sama fjölda plantna notum við formúluna:
Reiknaðu fyrst úrtaksmeðaltal og úrtaksdreifni hvers hóps.
| Plöntur Tommys | Plöntur Töru | Plöntur Nicks | |
|---|---|---|---|
| Úrtaksmeðaltal | 24,2 | 25,4 | 24,4 |
| Úrtaksdreifni | 11,7 | 18,3 | 16,3 |
Næst er dreifni hópameðaltalanna þriggja reiknuð með því að finna dreifni talnanna 24,2, 25,4 og 24,4. Dreifni hópameðaltalanna er 0,413 = s²_x̄. Þá er MS_between = n s²_x̄ = (5)(0,413), þar sem n = 5 er úrtaksstærðin, það er fjöldi plantna sem hvert barn ræktaði.
Reiknaðu meðaltal úrtaksdreifnanna þriggja, 11,7, 18,3 og 16,3. Meðaltal úrtaksdreifnanna er 15,433 = s²_pooled. Þá er MS_within = s²_pooled = 15,433.
Frígráður teljarans eru fjöldi hópa mínus 1, eða 3 − 1 = 2. Frígráður nefnarans eru heildarfjöldi úrtaksgilda mínus fjöldi hópa, eða 15 − 3 = 12. Dreifing prófsins er F₂,₁₂ og prófstærðin er F = 0,134.
Ákvörðun: Þar sem α = 0,03 og p-gildið = 0,8759 höfnum við ekki H₀. Hvers vegna?
Niðurstaða: Með 3 prósent marktektarstigi gefa úrtaksgögnin ekki nægar vísbendingar til að álykta að meðalhæðir baunaplantnanna séu ólíkar.
Notkun TI-83, 83+, 84 eða 84+ reiknivélar
Til að reikna p-gildið skaltu ýta á 2nd DISTR, fara niður í Fcdf og ýta á ENTER. Sláðu inn 0,134, E99, 2, 12 og ýttu á ENTER. p-gildið er 0,8759.
Reyndu sjálf/ur 13.4
Annar nemandi í fjórða bekk ræktaði líka baunaplöntur, en í hlaupkenndri massa. Hæðirnar voru, í tommum, 24, 28, 25, 30 og 32. Framkvæmdu einþátta fervikagreiningu á hópunum fjórum. Eru hæðir baunaplantnanna ólíkar? Notaðu sömu aðferð og sýnd er í Dæmi 13.4.
Samvinnuæfing
Skiptið bekknum í fjóra jafnstóra hópa: karla undir 22 ára, karla 22 ára og eldri, konur undir 22 ára og konur 22 ára og eldri. Láttu hvern meðlim í hverjum hópi skrá fjölda fylkja í Bandaríkjunum sem hann eða hún hefur heimsótt. Framkvæmið fervikagreiningu til að ákvarða hvort meðalfjöldi heimsóttra fylkja sé sá sami í hópunum fjórum. Prófið á 1 prósent marktektarstigi. Notið eitt af lausnablöðunum í Viðauka E.