66 Fjármálastjórn

6.4 Vaxtavextir

Mynt í misháum stöflum sem raðað er í sveig. — **Mynd 6.6.** Áhrif vaxtavaxta (mynd: „Enskir peningar“ eftir Images Money/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

reiknað vaxtavexti.
borið saman vaxtatekjur samkvæmt einföldum vöxtum og vaxtavöxtum.
skilið og reiknað framtíðargildi.
reiknað núvirði.
reiknað og túlkað virka ársávöxtun.

Trúarlegar reglur hafa á ýmsum tímum og stöðum takmarkað vaxtatöku. Hér skoðum við hvað gerist þegar áfallnir vextir leggjast við höfuðstólinn og bera sjálfir vexti. Ef vextir eru færðir á árlega reiknast vextir næsta árs af upphaflegum höfuðstól ásamt áður áföllnum vöxtum. Á hverju ári bætast þannig nýir vextir við fjárhæðina sem ber vexti.

Þar sem inneignin vex á hverju ári ber sífellt hærri fjárhæð vexti. Við fasta vexti myndar inneignin eftir hvert tímabil kvótarunu, sjá hlutann Kvótarunur. Í þessum hluta er fjallað um stærðfræði vaxtavaxta.

Skiljum og reiknum vaxtavexti

Í hlutanum um einfalda vexti sáum við að vextir reiknast aðeins af upphaflegum höfuðstól. Við vaxtavexti eru vextir færðir á með reglulegu millibili. Eftir hvert tímabil bætast þeir við höfuðstólinn og bera síðan sjálfir vexti.

Eftir hvert vaxtatímabil eru vextir reiknaðir og lagðir inn á reikninginn. Í lok næsta tímabils eru vextirnir reiknaðir bæði af upphaflegum höfuðstól og vöxtunum sem bættust við á fyrri tímabilum. Í dæmum þessa hluta eru vextir fastir, engin viðbótargjöld eru tekin og hvorki er lagt meira inn né tekið út. Uppgefnir vextir eru forsendur verkefnanna, ekki upplýsingar um núgildandi kjör. Við daglega vaxtafærslu reiknum við með 365 tímabilum á ári og við vikulega vaxtafærslu með 52. Raunverulegir samningar geta miðast við aðrar dagareglur.

Eftirfarandi dæmi sýnir hvernig vaxtavextir reiknast.

Dæmi 6.39

Árleg vaxtafærsla

Abena fjárfestir 1.000 dollara í innlánsskírteini sem ber 4% vexti með árlegri vaxtafærslu. Hvert verður virði innlánsskírteinisins eftir 3 ár?

Lausn

Þar sem vextir eru færðir á árlega eru þeir reiknaðir í lok hvers árs og bætt við virði innlánsskírteinisins. Vextir næsta árs miðast við virðið í lok fyrra árs. Í þessu dæmi eru vextir hvers árs námundaðir niður að heilu senti við vaxtafærsluna. Í síðari dæmum með vaxtavaxtaformúlunni eru milliniðurstöður ekki námundaðar og aðeins lokafjárhæðin námunduð niður að heilu senti. Þetta eru reikniforsendur dæmanna.

Skref 1: Eftir fyrsta árið eru vextirnir reiknaðir með $I = P \times r \times t$ . Höfuðstóllinn er $P$ = 1.000, vextirnir sem tugabrot 0,04 og tíminn $t$ = 1 ár. Áunnir vextir fyrsta árs eru $I = P \times r \times t = 1.000 \times 0,04 \times 1 = 40$ , eða 40,00 dollarar. Þeim er bætt við innlánsskírteinið og virði þess verður $$ 1.000 + $ 40 = $ 1.040$ .

Skref 2: Í lok annars árs eru vextir aftur reiknaðir, nú af nýja virðinu, 1.040 dollurum. Með sama vaxtahlutfalli og tíma, $r$ = 0,04 og $t$ = 1, fást $I = P \times r \times t = 1.040 \times 0,04 \times 1 = 41,6$ , eða 41,60 dollarar. Þeim er bætt við og virðið verður $$ 1.040,00 + $ 41,60 = $ 1.081,60$ .

Skref 3: Í lok þriðja árs eru vextir reiknaðir af nýja virðinu, 1.081,60 dollurum. Með $r$ = 0,04 og $t$ = 1 fást $I = P \times r \times t = 1.081,60 \times 0,04 \times 1 = 43,264$ , eða 43,26 dollarar námundað niður. Þeim er bætt við og virðið verður $$ 1.081,60 + $ 43,26 = $ 1.124,86$ .

Eftir 3 ár er innlánsskírteini Abenu 1.124,86 dollara virði.

Finndu muninn á einföldum vöxtum og vaxtavöxtum

Eðlilegt er að spyrja hvort vaxtavextir skipti miklu máli. Til að kanna það skoðum við innlánsskírteini Abenu aftur.

Dæmi 6.40

Samanburður einfaldra vaxta og vaxtavaxta á þriggja ára innlánsskírteini

Abena fjárfesti 1.000 dollara í innlánsskírteini sem bar 4% vexti með árlegri vaxtafærslu og var 1.124,86 dollara virði eftir 3 ár. Hvert hefði virðið verið ef reikningurinn hefði borið einfalda vexti? Hve miklu meira aflaði Abena með vaxtavöxtum?

Lausn

Með 4% einföldum vöxtum í 3 ár hefði virðið orðið $P + P \times r \times t = 1.000 + 1.000 \times 0,04 \times 3 = 1.120$ , eða 1.120,00 dollarar. Með árlegum vaxtavöxtum varð það 1.124,86 dollarar. Mismunurinn er $$ 1.124,86 - $ 1.120,00 = $ 4,86$ . Vaxtavextirnir skiluðu því 4,86 dollurum meira.

Skiljum og reiknum framtíðargildi

Ef fjárfest er í 30 ár og vextir færðir á mánaðarlega þyrfti að reikna 360 vaxtatímabil með aðferðinni hér að framan. Það er óhagkvæmt. Sem betur fer er til formúla fyrir framtíðargildi fjárfestingar sem ber vaxtavexti.

Dæmi 6.41

Framtíðargildi með vaxtavöxtum

Reiknaðu framtíðargildi fjárfestinganna við eftirfarandi skilyrði.

Höfuðstóll 5.000 dollarar, ársvextir 3,8%, mánaðarleg vaxtafærsla og fjárfestingartími 5 ár.
Höfuðstóll 18.500 dollarar, ársvextir 6,25%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla og fjárfestingartími 17 ár.

Lausn

Höfuðstóllinn er P = 5.000 dollarar, r = 0,038, n = 12 og t = 5 ár. Setjum gildin inn í formúluna: $\begin{matrix} A & = & P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = 5.000 {(1 + \frac{0,038}{12})}^{12 \times 5} \\ = & 5.000 {(1 + 0,0031 \overline{6})}^{60} \\ = & 5.000 {(1,0031 \overline{6})}^{60} \\ \approx & 5.000 \times 1,20888663572 \\ \approx & 6.044,4332 \end{matrix}$ Framtíðargildið er 6.044,43 dollarar. Í einu skrefi frumútgáfunnar stendur 40 ranglega sem veldisvísir; rétt gildi er 60 þar sem 12 × 5 = 60.
Höfuðstóllinn er P = 18.500 dollarar, r = 0,0625, n = 4 og t = 17 ár. Setjum gildin inn í formúluna: $\begin{matrix} A & = & P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = 18.500 {(1 + \frac{0,0625}{4})}^{4 \times 17} \\ = & 18.500 {(1 + 0,015625)}^{68} \\ = & 18.500 {(1,015625)}^{68} \\ \approx & 18.500 \times 2,86992151999 \\ \approx & 53.093,5481 \end{matrix}$ Framtíðargildið er 53.093,54 dollarar.

Dæmi 6.42

Ársfjórðungsleg vaxtafærsla

Cody fjárfestir 7.500 dollara á reikningi sem ber 4,5% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu, fjórum sinnum á ári. Finndu virði fjárfestingarinnar eftir 10 ár.

Lausn

Upphafleg fjárfesting Codys er 7.500 dollarar og því $P$ = 7.500 dollarar. Ársvextirnir eru 4,5%, eða 0,045 sem tugabrot. Ársfjórðungsleg vaxtafærsla merkir fjögur tímabil á ári og því $n$ = 4. Hann fjárfestir í 10 ár. Setjum gildin inn í formúluna og reiknum:

\begin{matrix} A & = & P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = 7.500 {(1 + \frac{0,045}{4})}^{4 \times 10} \\ = & 7.500 {(1 + 0,01125)}^{40} \\ = & 7.500 {(1,01125)}^{40} \\ \approx & 7.500 \times 1,564376865391 \\ \approx & 11.732,8265 \end{matrix}

Eftir 10 ár er upphafleg 7.500 dollara fjárfesting Codys 11.732,82 dollara virði.

Dæmi 6.43

Dagleg vaxtafærsla

Kathy fjárfestir 10.000 dollara á reikningi sem ber 5,6% vexti með daglegri vaxtafærslu. Hve mikið verður á reikningnum eftir 20 ár?

Lausn

Upphafleg fjárfesting Kathy er 10.000 dollarar og því $P$ = 10.000 dollarar. Ársvextirnir eru 5,6%, eða 0,056 sem tugabrot. Dagleg vaxtafærsla merkir 365 tímabil á ári og því $n$ = 365. Hún fjárfestir í 20 ár og því $t$ = 20. Setjum gildin inn í formúluna og reiknum:

\begin{matrix} A & = & P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = 10.000 {(1 + \frac{0,056}{365})}^{365 \times 20} \\ \approx & 10.000 {(1 + 0,000153424657534)}^{7300} \\ \approx & 10.000 {(1,000153424657534)}^{7300} \\ \approx & 10.000 \times 3,06459091598 \\ \approx & 30.645,909 \end{matrix}

Eftir 20 ár er upphafleg 10.000 dollara fjárfesting Kathy 30.645,90 dollara virði.

PRÓFAÐU

Til að skilja áhrif vaxtavaxta yfir langan tíma er gagnlegt að útbúa töflu sem ber saman einfalda vexti og vaxtavexti með mismunandi fjölda vaxtatímabila á ári yfir mörg ár. Notaðu 10.000 dollara höfuðstól og 6% ársvexti.

Búðu til töflu með fimm dálkum. Merktu fyrsta dálkinn ÁR, annan EINFALDIR VEXTIR, þriðja ÁRLEG VAXTAFÆRSLA, fjórða MÁNAÐARLEG VAXTAFÆRSLA og síðasta DAGLEG VAXTAFÆRSLA, eins og sýnt er hér fyrir neðan.

ÁR EINFALDIR VEXTIR ÁRLEG VAXTAFÆRSLA MÁNAÐARLEG VAXTAFÆRSLA DAGLEG VAXTAFÆRSLA
Færðu árin 1, 2, 3, 5, 10, 20 og 30 í raðir fyrsta dálksins.
Reiknaðu virði reikningsins í hverjum dálki og fyrir hvert ár.
Berðu saman niðurstöðurnar. Hvaða áhrif hefur fjöldi vaxtafærslna á ári á virði reikningsins? Hvaða áhrif hefur árafjöldinn á virði reikningsins?
Gerðu töfluna aftur með vöxtum og höfuðstól að eigin vali. Koma sömu mynstur fram?

Skiljum og reiknum núvirði

Við fjárfestingu er oft stefnt að tilteknu markmiði, til dæmis: „Eftir 20 ár vil ég að reikningurinn sé 100.000 dollara virði.“ Þá þarf að svara spurningunni: „Hve mikið þarf að fjárfesta núna til að ná markmiðinu?“ Eins og með einfalda vexti kallast þessi fjárhæð núvirði.

Dæmi 6.44

Núvirði reiknað

Finndu núvirði reikninganna við eftirfarandi skilyrði.

$A$ = 250.000 dollarar, fjárfest á 6,75% vöxtum með mánaðarlegri vaxtafærslu í 30 ár.
$A$ = 500.000 dollarar, fjárfest á 7,1% vöxtum með ársfjórðungslegri vaxtafærslu í 40 ár.

Lausn

Lokafjárhæðin á að vera A = 250.000 dollarar. Við notum r = 0,0675, n = 12 og t = 30 ár: $\begin{matrix} P V & = & \frac{A}{{(1 + \frac{r}{n})}^{n \times t}} = \frac{250.000}{{(1 + \frac{0,0675}{12})}^{12 \times 30}} \\ = & \frac{250.000}{{(1 + 0,005625)}^{360}} \\ = & \frac{250.000}{{(1,005625)}^{360}} \\ \approx & \frac{250.000}{7,5332454772} \\ \approx & 33.186,2277 \end{matrix}$ Leggja þarf inn 33.186,23 dollara til að eiga að minnsta kosti 250.000 dollara eftir 30 ár.
Lokafjárhæðin á að vera A = 500.000 dollarar. Við notum r = 0,071, n = 4 og t = 40 ár: $\begin{matrix} P V & = & \frac{A}{{(1 + \frac{r}{n})}^{n \times t}} = \frac{500.000}{{(1 + \frac{0,071}{4})}^{4 \times 40}} \\ = & \frac{500.000}{{(1 + 0,01775)}^{160}} \\ = & \frac{500.000}{{(1,01775)}^{160}} \\ \approx & \frac{500.000}{16,6946672846} \\ \approx & 29.949,6834 \end{matrix}$ Leggja þarf inn 29.949,69 dollara til að eiga að minnsta kosti 500.000 dollara eftir 40 ár.

Dæmi 6.45

Fjárfestingarmarkmið með vaxtavöxtum

Pilar byrjar snemma að undirbúa starfslok og telur sig þurfa 1.500.000 dollara til að lifa þægilegu lífi eftir 67 ára aldur. Hve mikið þarf hún að leggja inn þegar hún er 23 ára á reikning sem ber 6,35% ársvexti með mánaðarlegri vaxtafærslu?

Lausn

Til að finna innborgun Pilar er reiknað núvirði markmiðsins, 1.500.000 dollara. Vextirnir eru 6,35%, eða 0,0635 sem tugabrot. Við mánaðarlega vaxtafærslu er $n$ = 12. Frá 23 til 67 ára aldurs eru 44 ár, svo $t$ = 44. Setjum gildin inn í núvirðisformúluna og reiknum:

\begin{matrix} P V & = & \frac{A}{{(1 + \frac{r}{n})}^{n \times t}} = \frac{1.500.000}{{(1 + \frac{0,0635}{12})}^{12 \times 44}} \\ = & \frac{1.500.000}{{(1 + 0,005291 \overline{6})}^{528}} \\ = & \frac{1.500.000}{{(1,005291 \overline{6})}^{528}} \\ \approx & \frac{1.500.000}{16,226302189} \\ \approx & 92.442,5037 \end{matrix}

Pilar þarf að fjárfesta 92.442,51 dollara til að eiga 1.500.000 dollara við 67 ára aldur.

Reiknum og túlkum virka ársávöxtun

Við ársfjórðungslega vaxtafærslu eru vextir færðir á fjórum sinnum á ári, við mánaðarlega tólf sinnum og við daglega 365 sinnum samkvæmt forsendum þessa hluta. Virk ársávöxtun mælir hlutfallslega aukningu fjárhæðar á einu ári, að meðtöldum vaxtavöxtum. Hún gerir okkur kleift að bera ólík vaxtakjör saman að öðru óbreyttu. Hér er eingöngu borin saman ávöxtun samkvæmt líkaninu, án gjalda eða mats á áhættu.

Formúla virkrar ársávöxtunar er leidd af vaxtavaxtaformúlunni og miðast við eins dollara fjárfestingu í eitt ár. Jafngildir einfaldir vextir gefa sömu aukningu á þessu eina ári; jafngildið nær ekki sjálfkrafa yfir fleiri ár.

Dæmi 6.46

Virk ársávöxtun af 6% vöxtum með ársfjórðungslegri vaxtafærslu

Gerum ráð fyrir fjárfestingu sem ber 6% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu. Reiknaðu og túlkaðu virka ársávöxtun hennar.

Lausn

Hér er $n$ = 4, vegna ársfjórðungslegrar vaxtafærslu, og $r$ = 0,06. Setjum inn í formúluna og fáum virku ársávöxtunina:

\begin{matrix} Y & = & {(1 + \frac{0,06}{4})}^{4} - 1 \\ = & {(1,015)}^{4} - 1 \\ \approx & 1,06136 - 1 \\ \approx & 0,0614 \\ \approx & 6,14 % \end{matrix}

Virk ársávöxtun 6% nafnvaxta með ársfjórðungslegri vaxtafærslu er því um 6,14%. Það jafngildir um 6,14% einföldum vöxtum yfir eitt ár.

Dæmi 6.47

Virk ársávöxtun af 5% vöxtum með daglegri vaxtafærslu

Reiknaðu og túlkaðu virka ársávöxtun innstæðu sem ber 5% vexti með daglegri vaxtafærslu.

Lausn

Hér er $r$ = 0,05 og $n$ = 365. Notum $Y = {(1 + \frac{r}{n})}^{n} - 1$ og fáum:

\begin{matrix} Y & = & {(1 + \frac{0,05}{365})}^{365} - 1 \\ \approx & {(1,0001369863)}^{365} - 1 \\ \approx & 1,051267 - 1 \\ \approx & 0,0513 \end{matrix}

Virk ársávöxtun 5% nafnvaxta með daglegri vaxtafærslu er því um 5,13%. Það jafngildir um 5,13% einföldum vöxtum yfir eitt ár.

Dæmi 6.48

Val á banka

Minh getur valið milli nokkurra banka fyrir sparnaðarreikning sinn. Hann leggur inn 3.200 dollara og vill fá bestu vextina. Bankarnir auglýsa eftirfarandi kjör:

Banki	Vaxtahlutfall
ABC-banki	2,08% vextir, færðir á mánaðarlega
123-banki	2,09% vextir, færðir á árlega
XYZ-banki	2,05% vextir, færðir á daglega

Hvaða banki býður bestu vextina?

Lausn

Til að bera kjörin beint saman getur Minh umreiknað hvert vaxtahlutfall í virka ársávöxtun. Útreikningarnir gefa:

ABC-banki: $Y = {(1 + \frac{0,0208}{12})}^{12} - 1 \approx 0,0210 = 2,10 %$

123-banki: $Y = {(1 + \frac{0,0209}{1})}^{1} - 1 = 0,0209 = 2,09 %$

XYZ-banki: $Y = {(1 + \frac{0,0205}{365})}^{365} - 1 \approx 0,0207 = 2,07 %$

ABC-banki hefur hæstu virku ársávöxtunina samkvæmt þessum forsendum. Ef eingöngu er borið saman út frá ávöxtun og önnur skilyrði eru jöfn er hann því hagstæðasti kosturinn í dæminu.

Þú átt leik 6.48

Isabella ákveður að leggja 5.500 dollara í innlánsskírteini en þarf að velja banka. Hún finnur fjóra banka og kannar kjör þeirra. Niðurstöðurnar eru í töflunni hér fyrir neðan.

Banki	Vaxtahlutfall
Smith-banki	3,08% með ársfjórðungslegri vaxtafærslu
Park-banki	3,11% með árlegri vaxtafærslu
Town-banki	3,09% með daglegri vaxtafærslu
Community-banki	3,10% með mánaðarlegri vaxtafærslu

Hvaða banki býður bestu ávöxtunina?

Prófaðu skilning þinn

Hvað eru vaxtavextir?

Hvort gefur hærri lokafjárhæð, einfaldir vextir eða vaxtavextir? Gerðu ráð fyrir sama höfuðstól, sömu jákvæðu nafnvöxtum á ári og fleiri en einu liðnu vaxtatímabili, án annarra inn- eða útborgana.

Finndu framtíðargildi 8.560,00 dollara innstæðu eftir 15 ár á reikningi sem ber 4,05% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu.

10.000 dollarar eru lagðir inn á reikning sem ber 5,6% vexti í 5 ár. Finndu mismun framtíðargildis með einföldum vöxtum og með ársfjórðungslegri vaxtafærslu.

Finndu núvirði framtíðargildisins 75.000 dollara að 28 árum liðnum ef féð er fjárfest á reikningi sem ber 3,25% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu.

Hvernig má bera saman reikninga þegar vextir og fjöldi vaxtafærslna á ári eru mismunandi?

Finndu virka ársávöxtun reiknings sem ber 4,89% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu.

Æfingar úr hluta 6.4

Hver er munurinn á einföldum vöxtum og vaxtavöxtum?

Hvernig má bera reikninga með mismunandi vöxtum og fjölda vaxtafærslna beint saman?

Hvor reikningurinn vex hraðar, sá sem ber einfalda vexti eða sá sem ber vaxtavexti? Gerðu ráð fyrir sama höfuðstól, sömu jákvæðu nafnvöxtum á ári og fleiri en einu liðnu vaxtatímabili, án annarra inn- eða útborgana.

Hve mörg vaxtatímabil eru á ári þegar vextir eru færðir á:

Daglega

Vikulega

Mánaðarlega

Ársfjórðungslega

Hálfsárslega

Reiknaðu framtíðargildi hverrar fjárfestingar við eftirfarandi skilyrði.

Höfuðstóll = 15.000 dollarar, ársvextir = 4,25%, árleg vaxtafærsla í 5 ár

10.

Höfuðstóll = 27.500 dollarar, ársvextir = 3,75%, árleg vaxtafærsla í 10 ár

11.

Höfuðstóll = 13.800 dollarar, ársvextir = 2,55%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla í 18 ár

12.

Höfuðstóll = 150.000 dollarar, ársvextir = 2,95%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla í 30 ár

13.

Höfuðstóll = 3.500 dollarar, ársvextir = 2,9%, mánaðarleg vaxtafærsla í 7 ár

14.

Höfuðstóll = 1.500 dollarar, ársvextir = 3,23%, mánaðarleg vaxtafærsla í 30 ár

15.

Höfuðstóll = 16.000 dollarar, ársvextir = 3,64%, dagleg vaxtafærsla í 13 ár

16.

Höfuðstóll = 9.450 dollarar, ársvextir = 3,99%, dagleg vaxtafærsla í 25 ár

Reiknaðu núvirði reikninganna við eftirfarandi skilyrði.

17.

Framtíðargildi = 250.000 dollarar, ársvextir = 3,45%, árleg vaxtafærsla í 25 ár

18.

Framtíðargildi = 300.000 dollarar, ársvextir = 3,99%, árleg vaxtafærsla í 15 ár

19.

Framtíðargildi = 1.500.000 dollarar, ársvextir = 4,81%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla í 35 ár

20.

Framtíðargildi = 750.000 dollarar, ársvextir = 3,95%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla í 10 ár

21.

Framtíðargildi = 600.000 dollarar, ársvextir = 3,79%, mánaðarleg vaxtafærsla í 17 ár

22.

Framtíðargildi = 800.000 dollarar, ársvextir = 4,23%, mánaðarleg vaxtafærsla í 35 ár

23.

Framtíðargildi = 890.000 dollarar, ársvextir = 2,77%, dagleg vaxtafærsla í 25 ár

24.

Framtíðargildi = 345.000 dollarar, ársvextir = 2,99%, dagleg vaxtafærsla í 19 ár

Reiknaðu virka ársávöxtun reikninganna út frá gefnum vöxtum og fjölda vaxtafærslna. Gefðu svarið sem prósentu og námundaðu að þremur aukastöfum.

25.

Ársvextir = 2,75%, mánaðarleg vaxtafærsla

26.

Ársvextir = 3,44%, mánaðarleg vaxtafærsla

27.

Ársvextir = 5,18%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla

28.

Ársvextir = 2,56%, ársfjórðungsleg vaxtafærsla

29.

Ársvextir = 4,11%, dagleg vaxtafærsla

30.

Ársvextir = 6,5%, dagleg vaxtafærsla

Í eftirfarandi æfingum er kannað hvað gerist þegar fé er lagt inn á reikning sem ber vaxtavexti.

31.

Finndu núvirði 500.000 dollara á reikningi sem ber 3,85% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu fyrir tilgreindan árafjölda: 40 ár 35 ár

30
ár 25
ár
20
ár 15
ár

32.

Finndu núvirði 1.000.000 dollara á reikningi sem ber 6,15% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu fyrir tilgreindan árafjölda: 40 ár 35 ár

30
ár 25
ár
20
ár 15
ár

33.

Í eftirfarandi æfingum getur árafjöldinn táknað frestun innborgunar. Fjörutíu ár samsvara innborgun við upphaf 40 ára starfsævi, 35 ár fimm ára frestun, 30 ár tíu ára frestun og svo framvegis. Hvað gerist þegar innborgun er frestað?

34.

Reiknaðu mismun núvirðanna fyrir hvert fimm ára bil í æfingu 32. Er mismunurinn sá sami milli allra bilanna eða breytist hann? Hvernig breytist hann og hvaða ályktun má draga?

35.

Daria fjárfestir 2.500 dollara í innlánsskírteini sem ber 3,5% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu í 5 ár. Hvert er virði þess eftir 5 ár?

36.

Maurice fjárfestir 4.200 dollara í innlánsskírteini sem ber 3,8% vexti með árlegri vaxtafærslu í 3 ár. Hvert er virði þess eftir 3 ár?

37.

Georgita leitar að reikningi til að fjárfesta á. Hún vill að reikningurinn verði 400.000 dollara virði eftir 30 ár og finnur reikning sem ber 4,75% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu. Hve mikið þarf hún að leggja inn til að ná markmiðinu?

38.

Zak vill byggja upp varasjóð. Hann vill að reikningurinn verði 600.000 dollara virði eftir 25 ár og finnur reikning sem ber 4,05% vexti með ársfjórðungslegri vaxtafærslu. Hve mikið þarf hann að leggja inn til að ná markmiðinu?

39.

Eli vill bera saman tvo reikninga fyrir sparnað sinn. Annar ber 4,26% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu og hinn 4,31% með ársfjórðungslegri vaxtafærslu. Hvor reikningurinn nær markmiði Elis fyrr?

40.

Heath hyggst láta af störfum eftir 40 ár og vill þá eiga 250.000 dollara. Hann vill leggja fé inn núna. Hve mikið þarf hann að leggja á reikning sem ber 5,71% vexti með hálfsárslegri vaxtafærslu til að ná markmiðinu?

41.

Jo og Kim vilja safna fyrir útborgun á nýjum bíl og hafa 6 ár til þess. Ef þau vilja greiða 15.000 dollara út, hve mikið eiga þau að leggja inn núna á reikning sem ber 4,36% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu?

42.

Viðskiptasíða dagblaðs birtir grein um sparnað hjá bönkum í borginni. Þar eru taldir upp fimm bankar sem bjóða reikninga með vaxtavöxtum. A-banki býður 3,76% með daglegri vaxtafærslu, B-banki 3,85% með árlegri, C-banki 3,77% með vikulegri, D-banki 3,74% með daglegri og E-banki 3,81% með hálfsárslegri. Hvaða banka ætti að velja til að fá hæstu ávöxtunina?

43.

Paola les dagblaðsgreinina úr æfingu 42. Hún vill bera kjörin saman í dollurum en ekki aðeins með virkri ársávöxtun. Hún reiknar framtíðargildi 100.000 dollara höfuðstóls hjá hverjum banka eftir 20 ár. Hver er mismunur framtíðargildis reikningsins með hæstu virku ársávöxtunina og reikningsins með næsthæstu virku ársávöxtunina?

44.

45.

Jesse og Lila þurfa að ákveða hvort þau leggja fé inn á þessu ári. Nú geta þau lagt inn 17.400 dollara og látið féð vaxa í 35 ár. Þau gætu einnig beðið í 12 ár, lagt þá inn 31.700 dollara og látið féð vaxa í 23 ár. Reikningurinn ber 4,63% vexti með mánaðarlegri vaxtafærslu. Hvor leiðin skilar hærri lokafjárhæð: að leggja 17.400 dollara inn núna eða 31.700 dollara eftir 12 ár?

46.

Veronica og Jose ræða hvort þau eigi að leggja 15.000 dollara inn núna eða bíða í 10 ár og leggja þá inn 25.000 dollara. Ef þau leggja inn núna vex féð í 35 ár, en í 25 ár ef þau bíða. Reikningurinn ber 5,25% vexti með vikulegri vaxtafærslu. Hvor leiðin skilar hærri lokafjárhæð: að leggja 15.000 dollara inn núna eða 25.000 dollara eftir 10 ár?

ÁR	EINFALDIR VEXTIR	ÁRLEG VAXTAFÆRSLA	MÁNAÐARLEG VAXTAFÆRSLA	DAGLEG VAXTAFÆRSLA