33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.11 Kvótarunur

Hönd skrifar í tékkhefti. Á borðinu eru einnig veski, greiðslukort og fleiri ávísanir. — **Mynd 3.49.** Sparifé vex samkvæmt kvótarunu. (Mynd: aðlögun á „Stór hluti fjárhagslegs frelsis felst í því að hugur og hjarta séu laus við áhyggjur af óvissu lífsins.“ – Suze Orman, eftir Morgan/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Borið kennsl á kvótarunur.
Fundið tiltekinn lið í kvótarunu.
Fundið $n$ -ta lið kvótarunu.
Fundið summu endanlegrar kvótarunu.
Notað kvótarunur við raunhæf verkefni.

Eitt atriði sem skiptir máli við fjárfestingu er tvöföldunartími, það er tíminn sem það tekur verðmæti fjárfestingar að tvöfaldast. Því styttri sem tvöföldunartíminn er, þeim mun hraðar vex fjárfestingin. Ef 200 dalir eru lagðir inn á reikning með átta ára tvöföldunartíma verður inneignin eftir átta ár $2 \times $ 200 = $ 400$ . Eftir átta ár til viðbótar, samtals 16 ár, verður inneignin $2 \times (2 \times $ 200) = 2 \times ($ 400) = $ 800$ . Fjárfestingin tvöfaldast á átta ára fresti og eftir þriðja átta ára tímabilið er inneignin $2 \times 2 \times (2 \times $ 200) = $ 1.600$ . Þetta er dæmi um veldisvöxt, sem er eitt af notkunarsviðum kvótaruna sem við skoðum í þessum hluta.

Kvótarunur bornar kennsl á

Við vitum hvað runa er, en hvað gerir runu að kvótarunu? Í jafnmunarunu fæst hver liður með því að leggja fasta mismuninn við liðinn á undan. Í hverju skrefi er því tala, sem getur verið neikvæð, lögð við. Í kvótarunu fæst hver liður hins vegar með því að margfalda liðinn á undan með sama fasta gildinu, sem kallast kvóti. Í sýndu rununni ${3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536}$ er kvótinn 2. Á mynd 3.51 eru síðustu tvær tölurnar ranglega sýndar sem 728 og 1.456; réttu tölurnar eru 768 og 1.536. Berið saman runurnar tvær á myndum 3.50 og 3.51 til að sjá muninn á jafnmunarunu og kvótarunu.

Talnaruna: 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58 og 63. Bogar merktir „plús 5“ liggja frá hverri tölu að þeirri næstu frá vinstri til hægri. — **Mynd 3.50.** Jafnmunaruna

Hver liður þessarar jafnmunarunu fæst með því að leggja 5 við liðinn á undan.

Talnarunan 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 728, 1.456. Bogar milli samliggjandi talna eru merktir ×2. Síðustu tvær tölurnar á myndinni eru rangar: við tvöföldun ættu þær að vera 768 og 1.536. — **Mynd 3.51.** Kvótaruna

Hver liður þessarar kvótarunu fæst með því að margfalda liðinn á undan með 2.

Í sýndu rununni ${3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536}$ stækka jákvæðu tölurnar hratt. Kvótarunur haga sér þó ekki alltaf þannig. Eftir gildi kvótans geta liðirnir hækkað í hverju skrefi, eins og á mynd 3.51, lækkað í hverju skrefi eða skipst á milli jákvæðra og neikvæðra gilda. Allt ræðst af kvótanum $r$ .

Skoðum þessa kvótarunu:

{5, 15, 45, 135, 405, 1215...}

Hver liður fæst með því að margfalda liðinn á undan með 3 og því er kvótinn 3. Hann er stærri en 1 og liðirnir hækka því í hverju skrefi. Skoðum nú þessa kvótarunu:

{2, - 6, 18, - 54, 162, - 486, 1458...}

Hver liður fæst með því að margfalda liðinn á undan með −3 og formerki liðanna skiptist því á milli plúss og mínuss. Skoðum síðan þessa kvótarunu:

{9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27} ...}

Hver liður fæst með því að margfalda liðinn á undan með $\frac{1}{3}$ og liðirnir lækka í hverju skrefi. Dæmin þrjú sýna að runan hækkar ef fyrsti liðurinn er jákvæður og kvótinn stærri en 1. Ef kvótinn er neikvæður skiptist formerki liðanna á. Ef fyrsti liðurinn er jákvæður og kvótinn er á milli 0 og 1 lækka liðirnir.

Tvö sértilvik kvótaruna eru þegar kvótinn er 1 og þegar hann er 0. Ef kvótinn er 1 eru allir liðir rununnar eins, til dæmis ${3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}$ . Slík runa kallast fastaruna. Ef kvótinn er 0 getur fyrsti liðurinn verið hvaða tala sem er en allir liðir þar á eftir eru 0, til dæmis ${- 43,2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}$ .

Dæmi 3.138

Kvótarunur bornar kennsl á

Ákvarðaðu fyrir hverja runu hvort hún sé kvótaruna. Ef svo er skaltu finna kvótann.

${5, 20, 80, 320, 1.280, 5.120, 20.480, ...}$
${- 3, 6, - 12, 24, 11, 33}$
${4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...}$

Lausn

Í rununni ${5, 20, 80, 320, 1.280, 5.120, 20.480, ...}$ fæst stökkið frá 5 í 20 með margföldun með 4, eins og stökkin í 80 og 320. Gildi hvers liðar er því fjórfalt gildi liðarins á undan. Þetta er kvótaruna með kvótann 4.
Í rununni ${- 3, 6, - 12, 24, 11, 33}$ má sjá að 6 er −3 sinnum −2. Stökkið frá 6 í −12 er einnig margföldun með −2. Ef þetta væri kvótaruna þyrfti hver liður að vera −2 sinnum liðurinn á undan. Breytingin frá 24 í 11 fæst hins vegar ekki með margföldun með −2 og því er þetta ekki kvótaruna.
Í rununni ${4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...}$ fæst breytingin frá 4 í 2 með margföldun með $\frac{1}{2}$ , eins og breytingin frá 2 í 1 og frá 1 í $\frac{1}{2}$ . Hver liður er $\frac{1}{2}$ sinnum liðurinn á undan. Þar sem hver liður er $\frac{1}{2}$ sinnum fyrri lið er þetta kvótaruna. Kvótinn er $\frac{1}{2}$ .

Eins og í jafnmunarunum er fyrsti liður kvótarunu táknaður með $a_{1}$ . Talan sem liðurinn á undan er margfaldaður með til að fá næsta lið kallast kvóti og er táknuð með $r$ . Ef fyrsti liðurinn $a_{1}$ og kvótinn $r$ eru þekktir má reikna $n -ta$ liðinn, $a_{n}$ , með formúlunni $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Snúum aftur að rununni ${3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, ...}$ . Fyrsti liðurinn er 3 og því er $a_{1} = 3$ . Kvótinn er 2 og því er $r = 2$ . Taflan hér á eftir sýnir hvernig reikna má hvaða lið sem er út frá $a_{1}$ og $r$ .

Tákn i, sæti í runu	Tákn aᵢ, i-ti liður	Gildi liðar	Liður skrifaður sem a₁ $\times ⁠$ r^{i − 1}
1	$a_{1}$	3	3 × 2⁰
2	$a_{2}$	6	3 × 2¹
3	$a_{3}$	12	3 × 2²
4	$a_{4}$	24	3 × 2³
5	$a_{5}$	48	3 × 2⁴
i	aᵢ		$3 \times 2^{i - 1}$

Dæmi 3.139

Gildi tiltekins liðar kvótarunu ákvarðað

Finndu tilgreindan lið í kvótarununum hér á eftir út frá gefnum fyrsta lið og kvóta.

Finndu $9 .$ lið kvótarunu þar sem $a_{1} = 6$ og $r = 3$ .
Finndu $11 .$ lið kvótarunu þar sem $a_{1} = 2$ og $r = - 5$ .

Lausn

Með $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ þar sem $a_{1} = 6$ , $r = 3$ og $n = 9$ reiknum við
$a_{9} = a_{1} r^{9 - 1} = 6 \times {(3)}^{9 - 1} = 6 \times {(3)}^{8} = 6 \times 6561 = 39366$
.
Gildi $9 .$ liðar kvótarununnar með $a_{1} = 6$ og $r = 3$ er $a_{9} = 39366$ .
Með $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ þar sem $a_{1} = 2$ , $r = - 5$ og $n = 11$ reiknum við
$a_{11} = a_{1} r^{11 - 1} = 2 \times {(- 5)}^{11 - 1} = 2 \times {(- 5)}^{10} = 2 \times 9.765.625 = 19.531.250$
.

Summa endanlegrar kvótarunu fundin

Eins og í jafnmunarunum má leggja saman liði kvótarunu. Einföld formúla gefur summu endanlegs fjölda liða.

Dæmi 3.140

Summa endanlegrar kvótarunu reiknuð

Hver er summa fyrstu 13 liða kvótarunu þar sem $a_{1} = 5$ og $r = 3$ ?
Hver er summa fyrstu 7 liða kvótarunu þar sem $a_{1} = 16$ og $r = \frac{1}{8}$ ?

Lausn

Með $a_{1} = 5$ , $r = 3$ og $n = 13$ fæst summan: $\begin{array}{l} S_{13} = a_{1} (\frac{1 - r^{13}}{1 - r}) = 5 (\frac{1 - 3^{13}}{1 - 3}) = 5 (\frac{1 - 1.594.323}{- 2}) \\ = 5 (\frac{- 1.594.322}{- 2}) = 5 (797.161) = 3.985.805 \end{array}$
Summa fyrstu 13 liðanna er því 3.985.805.
Með $a_{1} = 16$ , $r = \frac{1}{8}$ og $n = 7$ fæst summan:
$\begin{array}{l} s_{7} = a_{1} (\frac{1 - r^{7}}{1 - r}) = 16 (\frac{1 - {(\frac{1}{8})}^{7}}{1 - (\frac{1}{8})}) = 16 (\frac{1 - (\frac{1}{2.097.152})}{\frac{7}{8}}) \\ = 16 (\frac{\frac{2.097.151}{2.097.152}}{\frac{7}{8}}) = 16 (\frac{299.593}{262.144}) = \frac{299.593}{16.384} \approx 18,2857 \end{array}$

Summa fyrstu 7 liðanna er því um $18,2857$ .

Kvótarunur notaðar í raunhæfum verkefnum

Kvótarunur eiga sér fjölmörg notkunarsvið, þar á meðal vaxtavexti. Vaxtavextir myndast á fé sem lagt er inn á reikning, til dæmis sparnaðarreikning eða einstaklingsbundinn eftirlaunareikning. Vextir eru reiknaðir og lagðir við inneignina með reglulegu millibili. Vextir sem áður hafa áunnist bera þannig einnig vexti og féð vex hraðar. Sé vöxtum bætt við mánaðarlega er sagt að þeir séu reiknaðir mánaðarlega; sé þeim bætt við daglega eru þeir reiknaðir daglega. Upphaflega fjárhæðin kallast höfuðstóll og er táknuð með $P$ . Vaxtatekjurnar eru hlutfall af inneigninni og vaxtahlutfallið, skrifað sem tugabrot, er táknað með $r$ .

Dæmi 3.141

Árlegir vaxtavextir reiknaðir

Daryl leggur 1.000 dali inn á reikning með $4 %$ árlegum vaxtavöxtum. Hve mikið er á reikningnum eftir 25 ár?

Lausn

Með $A = P {(1 + r)}^{t}$ þar sem $P = 1000$ , $r = 0,04$ og $t = 25$ fæst $A = P {(1 + r)}^{t} = 1.000 \times {(1 + 0,04)}^{25} = 1.000 \times {(1,04)}^{25} \approx 1.000 \times 2,66583633 \approx 2.665,84$ . Eftir 25 ár er inneignin því $$ 2.665,84$ .

Veldisvöxtur er annað notkunarsvið kvótaruna. Hann kemur oft fyrir í líffræði, einkum í bakteríurækt og öðrum líkönum af stofnstærð. Í einföldu veldisvaxtarlíkani er gert ráð fyrir að tvöföldunartími stofnsins sé sá sami óháð stærð hans. Tvöfaldist stofninn eftir þrjár klukkustundir tvöfaldast hann aftur eftir þrjár klukkustundir til viðbótar og svo koll af kolli. Í máli kvótaruna er kvótinn 2.

Dæmi 3.142

Bakteríurækt tvöfölduð

Gerum ráð fyrir að Escherichia coli (E. coli) sé ræktuð í næringarvökva við 37 °C. Ef ræktin hefst með 30 lífverum og tvöföldunartíminn er 20 mínútur, hve margar E. coli-bakteríur eru í ræktinni eftir 16 klukkustundir?

Lausn

Í líkaninu tvöfaldast stofninn á 20 mínútna fresti og myndar því kvótarunu með $r = 2$ . Ræktin hefst með 30 lífverum, svo $a_{1} = 30$ . Sextán klukkustundir samsvara 48 tuttugu mínútna tímabilum. Upphafsgildið er fyrsti liðurinn, svo eftir 48 tvöfaldanir erum við komin að 49. liðnum. Við notum því n = 49 í formúlunni.

$a_{49} = a_{1} r^{n - 1} = 30 \times 2^{49 - 1} = 30 \times 2^{48} = 30 \times (2,81474976710656 \times 10^{14}) = 8,44424930131968 \times 10^{15}$

Samkvæmt líkaninu inniheldur ræktin eftir 16 klukkustundir um $8,44425 \times 10^{15}$ E. coli-bakteríur, eða rúmlega átta billjarða.

Dæmi 3.143

Summa endanlegrar kvótarunu notuð í verkefni

Skákmaður setur eitt hrísgrjón á fyrsta reit skákborðs, tvö á annan reit og fjögur á þann þriðja. Á hverjum reit þar á eftir tvöfaldar hann fjölda hrísgrjóna. Hve mörg hrísgrjón hafa samtals verið sett á borðið þegar síðasta grjónið er lagt á 64. reitinn?

Lausn

Fjöldi hrísgrjóna tvöfaldast í hverju skrefi og myndar því kvótarunu með $a_{1} = 1$ og $r = 2$ . Hrísgrjón eru lögð á 64 reiti og við leitum að summu fyrstu 64 liðanna. Með summuformúlunni fæst $\begin{array}{l} s_{64} = a_{1} (\frac{1 - r^{n}}{1 - r}) = 1 \times (\frac{1 - 2^{64}}{1 - 2}) = (\frac{1 - 2^{64}}{- 1}) = - (1 - 2^{64}) \\ = - (- 18,446744073709551615 \times 10^{18}) = 18,446744073709551615 \times 10^{18} \end{array}$ .

Það er 20 stafa tala!

Athugaðu skilning þinn

Er runan hér á eftir kvótaruna? Rökstyddu svarið. {3, 6, 12, 24, 48, 96, 192}

Finndu kvóta kvótarununnar {3, −30, 300, −3,000, …}.

Fyrsti liður kvótarunu er 10 og kvótinn 1,5. Hver er 15. liður?

Hver er summa fyrstu 100 liða kvótarunu þar sem fyrsti liðurinn er 4 og kvótinn 0,3?

15.000 dalir eru lagðir inn á reikning með 4,2% árlegum vaxtavöxtum. Hve mikið er á reikningnum eftir 17 ár?

Æfingar úr hluta 3.11

Ákvarðaðu í dæmunum hér á eftir hvort runan sé kvótaruna.

\left\{ {3,7,11,15,25,100,...} \right\}

\left\{ {2,4,8,16,32,...} \right\}

\left\{ {9,0.9,0.09,0.009,0.00009,...} \right\}

\left\{ {\text{262,144},\text{65,536},\text{16,384},\text{4,096},\text{1,024},...} \right\}

\left\{ {14,19,24,29,34,50,60} \right\}

\left\{ {3.9,2.3,0.7, - 0.9, - 2.5, - 4.1, - 5.7,..} \right\}

\left\{ {4, - 8,16, - 32,64, - 128,256,...} \right\}

\left\{ {8, - 4,2, - 1,0.5, - 0.25,0.125, - 0.0625,...} \right\}

Runurnar í dæmunum hér á eftir eru kvótarunur. Finndu kvótann í hverri runu og staðfestu að hver liður fáist með því að margfalda liðinn á undan með kvótanum.

\left\{ {3,6,12,24,48,96,...} \right\}

10.

\left\{ {8,24,72,216,648,1944,...} \right\}

11.

\left\{ {15,3,0.6,0.12,0.024,0.0048,0.00096,...} \right\}

12.

\left\{ {52,26,13,6.5,3.25,1.625,0.8125,0.40625...} \right\}

13.

\left\{ {18, - 18,18, - 18,18 - 18,...} \right\}

14.

\left\{ {48, - 12,3 - 0.75,0.1875, - 0.046875,...} \right\}

Í dæmunum hér á eftir eru fyrsti liður og kvóti kvótarunu gefnir. Notaðu upplýsingarnar til að finna tilgreindan lið.

15.

{a_1} = 5

r = 3

; finndu

{a_6}

16.

{b_1} = 7

r = 9

; finndu

{b_5}

17.

{c_1} = 11

r = 4

; finndu

{c_{12}}

18.

{a_1} = 2

r = 7

; finndu

{a_9}

19.

{t_1} = 100

r = \frac{1}{5}

; finndu

{t_{10}}

20.

{b_1} = 56

r = 0.25

; finndu

{b_{15}}

21.

{b_1} = 13

r = - 2

; finndu

{b_{10}}

22.

{a_1} = 11

r = - 3

; finndu

{a_{12}}

23.

{a_1} = 12

r = - \frac{1}{3}

; finndu

{a_8}

24.

{a_1} = 100

r = - 10

; finndu

{a_{15}}

Í dæmunum hér á eftir eru fyrsti liður og kvóti kvótarunu gefnir. Notaðu upplýsingarnar til að finna summu fyrstu

𝑛

liða rununnar,

𝑠

𝑛

25.

{a_1} = 3

r = 4

; reiknaðu

{s_5}

26.

{a_1} = 5

r = 3

; reiknaðu

{s_9}

27.

{a_1} = 4

r = 5

; reiknaðu

{s_8}

28.

{a_1} = 48

r = 2

; reiknaðu

{s_{11}}

29.

{a_1} = 450

r = 0.5

; reiknaðu

{s_{12}}

30.

{a_1} = 300

r = 0.25

; reiknaðu

{s_{10}}

31.

{a_1} = 3

r = - 2

; reiknaðu

{s_{11}}

32.

{a_1} = 5

r = - 4

; reiknaðu

{s_8}

Beittu skilningi þínum á kvótarunum í raunhæfu verkefnunum hér á eftir.

33.

Lactobacillus acidophilus (L. acidophilus) er baktería sem vex í mjólk. Við kjöraðstæður tvöfaldast stofn hennar á 26 mínútna fresti. Ef rækt hefst með 20 L. acidophilus-bakteríum, hve margar eru þær eftir 390 mínútur? Ábending: Þá hafa liðið fimmtán 26 mínútna tímabil.

34.

Bacillus megaterium (B. megaterium) er baktería sem vex í súkrósasöltum. Við kjöraðstæður tvöfaldast stofn hennar á 25 mínútna fresti. Ef rækt hefst með 30 B. megaterium-bakteríum, hve margar eru þær eftir 1.000 mínútur? Ábending: Þá hafa liðið fjörutíu 25 mínútna tímabil.

35.

Alex og Jill leggja 4.000 dali inn á reikning með 5% árlegum vaxtavöxtum. Ef þau leggja ekki meira fé inn, hvert verður verðmæti inneignarinnar eftir 30 ár?

36.

Kerry og Megan leggja 6.000 dali inn á reikning með 4% árlegum vaxtavöxtum. Ef þau leggja ekki meira fé inn, hve mikið verður á reikningnum eftir 40 ár?

37.

Þú ákveður að lita ferning sem er einn metri á kant með sérstökum hætti. Fyrst skiptir þú honum í tvennt með lóðréttri línu og litar annan helminginn fjólubláan. Síðan skiptir þú ólitaða helmingnum lárétt í tvennt og litar neðri hlutann bláan. Þá skiptir þú þeim fjórðungi sem eftir er lóðrétt í tvennt og litar vinstri hlutann rauðan. Þú heldur áfram þar til þú hefur litað tólf hluta alls. Hvert er heildarflatarmálið sem hefur verið litað eftir tólfta skiptið?

38.

Skoðaðu kvótarunu með fyrsta lið 0,9 og kvótann 0,1. Hver er summa fyrstu fimm liðanna?

39.

Endurtaktu dæmi 38 fyrir summu fyrstu tíu liðanna.

Í spurningunum hér á eftir skaltu muna að formúlan fyrir árlega vaxtavexti er

𝐴

𝑃

⁢

(

𝑟

)

𝑡

⁢

(

)

þar sem

𝐴

er inneignin eftir

𝑡

ár,

𝑃

er upphaflega innborgunin og

𝑟

er árlega vaxtahlutfallið, skrifað sem tugabrot. Ef vextirnir eru reiknaðir mánaðarlega breytist formúlan í

𝐴

𝑃

⁢

(

𝑟

)

⁢

𝑡

⁢

(

)

⁢

40.

Hvert yrði verðmæti inneignar Kerry og Megan úr dæmi 36 ef vextir væru reiknaðir mánaðarlega?

41.

Hvert yrði verðmæti inneignar Alex og Jill úr dæmi 35 ef vextir væru reiknaðir mánaðarlega?

42.

Hugsaðu þér ættartré þitt. Þú átt tvo foreldra og hvor þeirra á tvo foreldra, afa þína og ömmur, og svo framvegis. Hve mörg sæti eru í ættartrénu sex kynslóðum aftur í tímann?

43.

Hugsaðu þér ættartré þitt. Þú átt tvo foreldra og hvor þeirra á tvo foreldra, afa þína og ömmur, og svo framvegis. Hve mörg sæti eru í ættartrénu 22 kynslóðum aftur í tímann?