33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.8 Veldi

Mynd sýnir sólkerfið með sólinni og reikistjörnunum Merkúríusi, Venusi, jörðinni, Mars, Júpíter, Satúrnusi, Úranusi og Neptúnusi. Engin heiti eru rituð á myndina. — **Mynd 3.44.** Stjarnfræðilegar fjarlægðir eru ritaðar með veldum. (mynd: „Our Solar System (Artist's Concept)“ eftir NASA/Jet Propulsion Laboratory-Caltech/almenningseign)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Beitt veldareglum til að einfalda stæður.

Stundum leitum við að styttri rithætti þegar of langan tíma tæki að skrifa eða segja eitthvað fullum stöfum. Skammstafanir á borð við LOL (laughing out loud, „hlæ upphátt“) og tl;dr (too long; didn't read, „of langt; las ekki“) eru dæmi um það. Slíkur ritháttur virkar aðeins ef allir lesendur vita hvað hann merkir. Notkun velda er sambærileg. Það tekur of langan tíma að skrifa langa runu þar sem tala er margfölduð aftur og aftur með sjálfri sér og að lokum er auðvelt að gleyma hve oft talan hefur verið skrifuð eða lesin. Til dæmis $8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8$ . Það hlýtur að vera til styttri og skilvirkari leið til að skrifa margfeldi 1, 2, 3 … einmitt 19 eintaka af 8.

Þar koma veldi við sögu í stærðfræði. Þau eru styttur ritháttur fyrir endurtekna margföldun tölu með sjálfri sér. Án þeirra yrðu útreikningar óreiðukenndir og við þyrftum að skrifa miklu meira.

Veldareglur notaðar til að einfalda stæður

Að hefja tölu í annað veldi merkir að margfalda hana með sjálfri sér. Enska heitið squared tengist því að útkoman er flatarmál fernings með þessa hliðarlengd. Á sama hátt er þriðja veldi jákvæðrar tölu rúmmál tenings með þá hliðarlengd; það skýrir enska heitið cubed. Þess vegna lesum við $5^{2}$ sem fimm í öðru veldi og $10^{3}$ sem tíu í þriðja veldi. Veldisvísirinn tilgreinir hve oft veldisstofninn kemur fyrir sem þáttur.

Rifjum upp hugtökin sem tengjast veldum og hvað þau tákna. Látum $a$ tákna tölu sem kemur endurtekið fyrir sem þáttur í margfeldi og köllum fjölda þáttanna $b$ . Þetta táknum við með $a^{b}$ og segjum að $a$ sé hafin í veldið $b$ . Þegar við skrifum eða sjáum $7^{5}$ köllum við 7 veldisstofn og 5 veldisvísi. Rithátturinn táknar margfeldi fimm eintaka af 7. Veldi eru því styttur ritháttur fyrir endurtekna margföldun: $7^{5} = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$ . Við skrifum $7^{5}$ og lesum sjö í fimmta veldi.

Skilgreiningar veldisstofns og veldisvísis gera kleift að skilja veldareglurnar.

Margfeldisregla fyrir veldi

Fyrsta reglan sem við skoðum er margfeldisreglan fyrir veldi, $a^{n} a^{m} = a^{n + m}$ . Hún segir að þegar tvö veldi með sama veldisstofn eru margfölduð verði niðurstaðan sami stofn hafinn í summu veldisvísanna. Skoðum $9^{3} \times 9^{5}$ . Með margfeldisreglunni fyrir veldi fæst $9^{3} \times 9^{5} = 9^{3 + 5} = 9^{8}$ . Þetta má sannreyna með því að skoða margföldunina sem veldin tákna. Talan $9^{3}$ er margfeldi þriggja eintaka af 9 en $9^{5}$ er margfeldi fimm eintaka af 9. Þegar þetta er sett inn í $9^{3} \times 9^{5}$ sést að $9^{3} \times 9^{5} = (9 \times 9 \times 9) \times (9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9) = 9^{8}$ , rétt eins og reglan segir.

Dæmi 3.107

Margfeldisreglan fyrir veldi notuð

Notaðu margfeldisregluna fyrir veldi, ef unnt er, til að einfalda stæðurnar hér á eftir:

$21^{9} \times 21^{15}$
$5^{9} \times 8^{4}$

Lausn

Beita má margfeldisreglunni fyrir veldi til að einfalda stæðuna vegna þess að veldisstofnarnir eru eins og um margföldun er að ræða.
$21^{9} \times 21^{15} = 21^{(9 + 15)} = 21^{24}$
Þar sem veldisstofnarnir eru ekki eins (annar er 5 en hinn 8) er ekki hægt að einfalda stæðuna með margfeldisreglunni fyrir veldi.

Þessum reglum má einnig beita á óþekktar stærðir.

Dæmi 3.108

Margfeldisreglan fyrir veldi notuð á óþekktar stærðir

Notaðu margfeldisregluna fyrir veldi til að einfalda $a^{4} \times a^{10}$ .

Lausn

Veldisstofnarnir eru eins og um margföldun er að ræða, svo við beitum margfeldisreglunni fyrir veldi til að einfalda stæðuna.

a^{4} \times a^{10} = a^{(4 + 10)} = a^{14}

Kvótaregla fyrir veldi

Næst skoðum við kvótaregluna fyrir veldi.

Reglan segir að þegar veldisstofni í tilteknu veldi er deilt með sama veldisstofni í öðru veldi verði niðurstaðan veldisstofninn hafinn í veldi sem er mismunur veldisvísanna. Skoðum $\frac{14^{13}}{14^{6}}$ . Með kvótareglunni fyrir veldi fæst $\frac{14^{13}}{14^{6}} = 14^{13 - 6} = 14^{7}$ . Þetta má sannreyna með því að skoða deilinguna sem veldin tákna. Munum að $14^{13}$ er margfeldi þrettán eintaka af 14 en $14^{6}$ er margfeldi sex eintaka af 14. Þegar það er sett inn í $\frac{14^{13}}{14^{6}}$ fæst eftirfarandi:

\frac{14^{13}}{14^{6}} = \frac{14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14}{14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14}

Hér sést að stytta má mjög marga þætti með gildið 14.

= \frac{14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14}{14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14} = \frac{14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14}{1} = 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14

Eftir stendur 14 í sjöunda veldi, $14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 \times 14 = 14^{7}$ .

Útreikningurinn hér á undan staðfestir niðurstöðuna sem reglan gaf.

Dæmi 3.109

Kvótareglan fyrir veldi notuð

Notaðu kvótaregluna fyrir veldi til að einfalda $\frac{5^{19}}{5^{11}}$ .

Lausn

Beita má kvótareglunni fyrir veldi til að einfalda stæðuna vegna þess að veldisstofnarnir eru eins og um deilingu er að ræða.

$\frac{5^{19}}{5^{11}} = 5^{(19 - 11)} = 5^{8}$

Náttúruleg afleiðing kvótareglunnar fyrir veldi er merking þess að hefja tölu, aðra en núll, í núllta veldi. Skoðum einföldunina þegar veldisvísarnir eru jafnir.

$\frac{3^{6}}{3^{6}} = 3^{(6 - 6)} = 3^{0}$

Við vitum að tala önnur en núll sem deilt er með sjálfri sér gefur 1, svo $\frac{3^{6}}{3^{6}} = 1$ . Því hlýtur að gilda að $\frac{3^{6}}{3^{6}} = 3^{0} = 1$ . Þetta gefur regluna um tölu í núllta veldi, að því gefnu að $a \neq 0$ .

Reglur um margfeldi og kvóta í veldi

Næst skoðum við regluna um margfeldi í veldi.

Þetta merkir að þegar margfeldi tveggja talna er hafið í veldi er það jafngilt því að hefja hvora tölu í sama veldi og margfalda síðan niðurstöðurnar. Til dæmis er ${(3 \times 7)}^{4} = 3^{4} \times 7^{4}$ . Þetta má skýra með skilgreiningu velda og því að margfalda alla þættina.

{(3 \times 7)}^{4} = (3 \times 7) \times (3 \times 7) \times (3 \times 7) \times (3 \times 7)

Við megum breyta röð talnanna í margföldun samkvæmt víxlreglu rauntalna. Þá má rita $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$ . Með veldum styttist það í $3^{4} \times 7^{4}$ .

Reglan gildir einnig í hina áttina: $a^{n} \times b^{n} = {(a \times b)}^{n}$ . Ef einn veldisstofn er hafinn í veldi og annar veldisstofn í sama veldi má því margfalda stofnana og hefja margfeldið í sameiginlega veldið. Til dæmis er $7^{8} \times 11^{8} = {(7 \times 11)}^{8} = 77^{8}$ .

Dæmi 3.110

Reglan um margfeldi í veldi notuð

Notaðu regluna um margfeldi í veldi til að liða ${(6 \times 13)}^{7}$ .

Lausn

Þegar reglunni um margfeldi í veldi er beitt fæst ${(6 \times 13)}^{7} = 6^{7} \times 13^{7}$ .

Dæmi 3.111

Reglan um margfeldi í veldi notuð

Notaðu regluna um margfeldi í veldi til að liða ${(c \times d)}^{10}$ .

Lausn

Þegar reglunni um margfeldi í veldi er beitt fæst ${(c \times d)}^{10} = c^{10} \times d^{10}$ .

Samsvarandi regla gildir um kvóta. Brot hafið í veldi er jafnt teljaranum í veldinu deilt með nefnaranum í sama veldi. Til dæmis er ${(\frac{3}{5})}^{7} = \frac{3^{7}}{5^{7}}$ . Sönnunin er svipuð og fyrir regluna á undan.

Dæmi 3.112

Reglan um kvóta í veldi notuð á brot

Notaðu regluna um kvóta í veldi til að liða stæðurnar hér á eftir:

${(\frac{4}{9})}^{6}$
${(\frac{3}{b})}^{11}$

Lausn

Þegar reglunni um kvóta í veldi er beitt fæst ${(\frac{4}{9})}^{6} = \frac{4^{6}}{9^{6}}$ .
Þegar reglunni um kvóta í veldi er beitt fæst ${(\frac{3}{b})}^{11} = \frac{3^{11}}{b^{11}}$ .

Veldisregla

Í reglunum tveimur hér á undan skoðuðum við hvernig veldum er beitt á margfeldi og kvóta. Nú skoðum við veldi sem er beitt á annað veldi. Til dæmis er ${(3^{6})}^{4} = 3^{(6 \times 4)} = 3^{24}$ . Þetta má skýra með því að skoða áhrif ytri veldisvísisins. Við hefjum $3^{6}$ í fjórða veldi og margföldum því fjögur eintök af $3^{6}$ : ${(3^{6})}^{4} = 3^{6} \times 3^{6} \times 3^{6} \times 3^{6}$ . Með margfeldisreglunni fyrir veldi verður þetta $3^{(6 + 6 + 6 + 6)} = 3^{24}$ .

Dæmi 3.113

Veldi hafið í annað veldi

Liðaðu eftirfarandi:

${(6^{7})}^{3}$
${(b^{12})}^{4}$

Lausn

Með veldisreglunni fæst ${(6^{7})}^{3} = 6^{(7 \times 3)} = 6^{21}$ .
Með veldisreglunni fæst ${(b^{12})}^{4} = b^{(12 \times 4)} = b^{48}$ .

Regla um neikvæða veldisvísa

Hingað til höfum við skoðað jákvæða veldisvísa og veldisvísinn núll. Síðasta veldareglan fjallar um merkingu neikvæðra veldisvísa. Rifjum upp kvótaregluna fyrir veldi: $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{(n - m)}$ . Hvað gerist ef veldisvísir nefnarans er stærri en veldisvísir teljarans? Skoðum til dæmis $\frac{4^{5}}{4^{7}}$ . Með kvótareglunni fyrir veldi fæst $\frac{4^{5}}{4^{7}} = 4^{5 - 7} = 4^{- 2}$ . Við þurfum að skýra þennan neikvæða veldisvísi. Liðum kvótann: $\frac{4^{5}}{4^{7}} = \frac{4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4}{4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4}$ . Þegar sameiginlegir þættir eru styttir standa tveir þættir með gildið 4 eftir í nefnara: $\frac{1}{4 \times 4}$ . Með veldisrithætti er það $\frac{1}{4^{2}}$ . Þar sem $4^{- 2}$ og $\frac{1}{4^{2}}$ tákna sömu tölu, $\frac{4^{5}}{4^{7}}$ , eru þau jafngild. Þannig er neikvæður veldisvísir skilgreindur.

Dæmi 3.114

Neikvæðir veldisvísar fjarlægðir

Breyttu eftirfarandi í stæður án neikvæðra veldisvísa:

$3^{4} \times 5^{- 8}$
$a^{- 9} \times b^{5}$
$\frac{7}{c^{- 2}}$

Lausn

Beitum reglunni um neikvæða veldisvísa á $5^{- 8}$ og margföldum: $3^{4} \times 5^{- 8} = 3^{4} \times \frac{1}{5^{8}} = \frac{3^{4}}{5^{8}}$ .
Beitum reglunni um neikvæða veldisvísa á $a^{- 9}$ og margföldum: $a^{- 9} \times b^{5} = \frac{1}{a^{9}} \times b^{5} = \frac{b^{5}}{a^{9}}$ .
Byrjum á að endurrita stæðuna sem $\frac{7}{c^{- 2}} = \frac{7}{1} \times \frac{1}{c^{- 2}}$ . Beitum reglunni um neikvæða veldisvísa á $\frac{1}{c^{- 2}}$ í stæðunni. Þá fæst $\frac{7}{1} \times \frac{1}{c^{- 2}} = 7 \times c^{2}$ , sem hefur enga neikvæða veldisvísa.

Dæmi 3.115

Nefnarar fjarlægðir með neikvæðum veldisvísum

Notaðu neikvæða veldisvísa til að endurrita eftirfarandi stæður án nefnara:

$\frac{7^{3}}{13^{9}}$
$\frac{c^{4}}{d^{8}}$

Lausn

Endurritum stæðuna $\frac{7^{3}}{13^{9}}$ sem $\frac{7^{3}}{1} \times \frac{1}{13^{9}}$ . Notum síðan skilgreiningu neikvæðra veldisvísa til að endurrita $\frac{1}{13^{9}}$ sem $13^{- 9}$ . Að lokum margföldum við og fáum $\frac{7^{3}}{1} \times \frac{1}{13^{9}} = 7^{3} \times 13^{- 9}$ .
Endurritum stæðuna $\frac{c^{4}}{d^{8}}$ sem $\frac{c^{4}}{1} \times \frac{1}{d^{8}}$ . Notum síðan skilgreiningu neikvæðra veldisvísa til að endurrita $\frac{1}{d^{8}}$ sem $d^{- 8}$ . Að lokum margföldum við og fáum $\frac{c^{4}}{1} \times \frac{1}{d^{8}} = c^{4} \times d^{−8}$ .

Taflan hér á eftir dregur saman veldareglurnar í þessum hluta.

Regla	Dæmi	Með orðum
Margfeldisregla fyrir veldi $a^{n} a^{m} = a^{n + m}$	$8^{2} \times 8^{5} = 8^{7}$	Veldisstofn í veldi, margfaldaður með sama veldisstofni í öðru veldi, er sami stofn hafinn í summu veldisvísanna.
Kvótaregla fyrir veldi $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{(n - m)}$	$\frac{11^{14}}{11^{12}} = 11^{2}$	Þegar veldi er deilt með öðru veldi með sama stofn fæst stofninn hafinn í mismun veldisvísanna. Stofninn verður að vera annar en núll.
Núllveldisregla $a^{0} = 1$ , að því gefnu að $a \neq 0$	$412^{0} = 1$	Sérhver tala önnur en núll, hafin í núllta veldi, er jöfn 1.
Reglan um margfeldi í veldi ${(a \times b)}^{n} = a^{n} \times b^{n}$	${(14 \times 31)}^{9} = 14^{9} \times 31^{9}$	Þegar margfeldi er hafið í veldi er hver þáttur hafinn í það veldi.
Reglan um kvóta í veldi ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$	${(\frac{62}{91})}^{8} = \frac{62^{8}}{91^{8}}$	Þegar kvóti er hafinn í veldi eru bæði teljari og nefnari hafnir í það veldi.
Veldisregla ${(a^{n})}^{m} = a^{(n \times m)}$	${(5^{9})}^{15} = 5^{135}$	Veldisstofn hafinn í veldi og síðan í öðru veldi er stofninn hafinn í margfeldi veldisvísanna.
Regla um neikvæða veldisvísa $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ , að því gefnu að $a \neq 0$	$6^{- 8} = \frac{1}{6^{8}}$ $\frac{1}{12^{7}} = 12^{- 7}$	Veldisstofn hafinn í neikvætt veldi er 1 deilt með stofninum í samsvarandi jákvæðu veldi, og öfugt.

Oft þarf að nota fleiri en eina þessara reglna saman og þá verður að beita hverri þeirra af nákvæmni.

Dæmi 3.116

Stæður einfaldaðar með veldareglum

Einfaldaðu eftirfarandi:

${(\frac{4^{2} \times 7}{9^{3}})}^{5}$
${(\frac{5 a^{4}}{b^{9}})}^{6}$

Lausn

1. Byrjum á að dreifa veldinu 5 yfir kvótann:
  ${(\frac{4^{2} \times 7}{9^{3}})}^{5} = \frac{{(4^{2} \times 7)}^{5}}{{(9^{3})}^{5}}$
2. Dreifum veldinu 5 yfir margföldunina í teljaranum:
  ${(\frac{4^{2} \times 7}{9^{3}})}^{5} = \frac{{(4^{2} \times 7)}^{5}}{{(9^{3})}^{5}} = \frac{{(4^{2})}^{5} \times 7^{5}}{{(9^{3})}^{5}}$
3. Beitum veldisreglunni þar sem við á:
  ${(\frac{4^{2} \times 7}{9^{3}})}^{5} = \frac{{(4^{2} \times 7)}^{5}}{{(9^{3})}^{5}} = \frac{{(4^{2})}^{5} \times 7^{5}}{{(9^{3})}^{5}} = \frac{4^{(2 \times 5)} \times 7^{5}}{9^{(3 \times 5)}} = \frac{4^{10} \times 7^{5}}{9^{15}}$

Byrjum á að dreifa veldinu 6 yfir kvótann:
${(\frac{5 a^{4}}{b^{9}})}^{6} = \frac{{(5 \times a^{4})}^{6}}{{(b^{9})}^{6}}$
Dreifum veldinu 6 yfir margföldunina í teljaranum:
$\frac{{(5 \times a^{4})}^{6}}{{(b^{9})}^{6}} = \frac{{(5)}^{6} \times {(a^{4})}^{6}}{{(b^{9})}^{6}}$
Beitum veldisreglunni þar sem við á:
$\frac{{(5)}^{6} \times {(a^{4})}^{6}}{{(b^{9})}^{6}} = \frac{5^{6} a^{24}}{b^{54}}$

Athugaðu skilning þinn

Einfaldaðu

{a^3} \times {a^5}

Einfaldaðu

\frac{{{5^4}}}{{{5^8}}}

Einfaldaðu

{\left( {6b} \right)^9}

Einfaldaðu

{\left( {\frac{c}{7}} \right)^3}

Einfaldaðu

{\left( {\frac{{3{a^2}}}{{4{b^5}}}} \right)^6}

Æfingar úr hluta 3.8

Í æfingunum hér á eftir skaltu einfalda stæðuna.

{4^5} \times {4^2}

{3^3} \times {3^6}

{a^2} \times {a^7}

{b^7} \times {b^{12}}

\frac{{{4^6}}}{{{4^2}}}

\frac{{{{15}^{14}}}}{{{{15}^{11}}}}

\frac{{{c^9}}}{{{c^4}}}

\frac{{{a^{14}}}}{{{a^5}}}

\frac{{{{11}^3}}}{{{{11}^7}}}

10.

\frac{{{{7}^{14}}}}{{{{7}^{23}}}}

11.

\frac{{{b^6}}}{{{b^{19}}}}

12.

\frac{{{d^8}}}{{{d^{17}}}}

13.

{\left( {4 \times 3} \right)^4}

14.

{\left( {5 \times 8} \right)^7}

15.

{\left( {3c} \right)^6}

16.

{\left( {n \times m} \right)^9}

17.

{\left( {\frac{7}{2}} \right)^8}

18.

{\left( {\frac{a}{6}} \right)^{11}}

19.

{\left( {\frac{4}{c}} \right)^9}

20.

{\left( {{6^4}} \right)^8}

21.

{\left( {{{12}^5}} \right)^3}

22.

{\left( {{x^6}} \right)^2}

23.

{\left( {{b^6}} \right)^{11}}

24.

{\left( {\frac{{3b}}{5}} \right)^4}

25.

{\left( {\frac{a}{{2b}}} \right)^5}

26.

{\left( {\frac{{3{a^4}}}{7}} \right)^3}

27.

{\left( {\frac{{6{x^7}}}{{11}}} \right)^8}

28.

{\left( {\frac{{2{x^4}}}{{{b^7}}}} \right)^3}

29.

{\left( {\frac{{7{r^9}}}{{{a^4}}}} \right)^{12}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu endurrita stæðuna án nefnara.

30.

\frac{3}{{{a^4}}}

31.

\frac{5}{{{b^6}}}

32.

\frac{4}{{{b^2}{c^3}}}

33.

\frac{9}{{{x^4}{y^5}}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu endurrita stæðuna án neikvæðra veldisvísa.

34.

{12^4} \times {5^{ - 3}}

35.

3{b^{ - 12}}

36.

\frac{{15}}{{{a^{ - 10}}}}

37.

\frac{{6{x^{ - 5}}}}{{{y^{ - 7}}}}