33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.3 Forgangsröð reikniaðgerða

Nærmynd sýnir útreikning í stílabók. Reiknivél og penni liggja við bókina. — **Mynd 3.19.** Reiknivélar geta beitt forgangsröð reikniaðgerða sjálfkrafa. (mynd: „Precision“ eftir Leonid Mamchenkov/Flickr, CC BY 2.0)

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Einfaldað stæður með forgangsröð reikniaðgerða.
Einfaldað stæður með forgangsröð reikniaðgerða og hópunartáknum.

Reikna reglur aðrir tryggja fyrst eins skýrar hvað þurfum ætlumst um eigi til við að til að og að við reikni.

Þú átt líklega erfitt með að skilja þessa setningu. Hún virðist fjalla um útreikninga en kannski um þarfir? Ef til vill reyndir þú að raða orðunum um leið og þú last og setja þau í þá röð sem þú bjóst við. Setningin er merkingarlaus vegna þess að orðin fylgja ekki væntri röð. Í réttri röð átti hún að vera: „Til að tryggja að aðrir reikni eins og við ætlumst til þurfum við skýrar reglur um hvað eigi að reikna fyrst.“

Á sama hátt verða reiknistæður merkingarlausar ef reglum um forgangsröð reikniaðgerða er ekki fylgt. Jafnvel einföld stæða veldur vandræðum án reglna um hvað á að reikna fyrst. Stæðuna $4 \times 2^{2} + 3 + 5^{2}$ má til dæmis reikna á marga vegu og fá 5.184, 80 eða 96. Án samræmdra reglna gefur sama stæðan ólíkar niðurstöður. Með réttri forgangsröð fæst $4 \times 2^{2} + 3 + 5^{2} = 44$ .

Stæður einfaldaðar með forgangsröð reikniaðgerða

Röð reikniaðgerða er hefð sem tryggir að allir reikni á sama hátt. Oft er stuðst við ensku skammstöfunina EMDAS:

E	Veldi (enska: exponents)
M/D	Margföldun og deiling (enska: multiplication og division)
A/S	Samlagning og frádráttur (enska: addition og subtraction)

Hvað segir EMDAS okkur að gera? Við förum frá vinstri til hægri og reiknum fyrst öll veldi. Síðan förum við aftur frá vinstri til hægri og framkvæmum margföldun og deilingu eina aðgerð í einu. Þær hafa sama forgang og því er sú aðgerð sem kemur fyrr framkvæmd fyrst. Að lokum förum við frá vinstri til hægri og leggjum saman eða drögum frá eina aðgerð í einu. Samlagning og frádráttur hafa einnig sama forgang. Þú kannt ef til vill minnisregluna PEMDAS, þar sem svigar eru fyrstir; við bætum þeim við síðar. Skoðum þetta í sýnidæmi.

Dæmi 3.43

Tvær tegundir reikniaðgerða notaðar

Reiknaðu $21 - 4 \times 13$ .

Lausn

Engin veldi eru í stæðunni og því skoðum við næst margföldun og deilingu.

Skref 1: Fyrsta margföldunin frá vinstri er 4 sinnum 13. Hún er framkvæmd fyrst.

$\begin{array}{l} 21 - 4 \times 13 \\ = 21 - 52 \end{array}$

Skref 2: Aðeins frádrátturinn er eftir.

$21 - 52 = - 31$ .

Því er $21 - 4 \times 13 = - 31$ .

Dæmi 3.44

Tvær tegundir reikniaðgerða notaðar

Reiknaðu $4 \times 8^{3}$ .

Lausn

Skref 1: Þegar farið er frá vinstri sést veldi. Það er reiknað fyrst.

$4 \times 8^{3} = 4 \times (8 \times 8 \times 8) = 4 \times 512$

Skref 2: Aðeins margföldunin er eftir.

$4 \times 512 = 2.048$

Því er $4 \times 8^{3} = 2.048$ .

Dæmi 3.45

Þrjár tegundir reikniaðgerða notaðar

Reiknaðu $2 + 3^{2} \times 4$ .

Lausn

Skref 1: Farðu frá vinstri til hægri og reiknaðu öll veldi fyrst. Eina veldið sem kemur fyrir er annað veldi tölunnar 3 og það er því reiknað fyrst.

$2 + 3^{2} \times 4 = 2 + (3 \times 3) \times 4 = 2 + 9 \times 4$

Skref 2: Þegar veldin hafa verið reiknuð er margfaldað og deilt frá vinstri til hægri. Hér er aðeins margföldunin 9 sinnum 4.

$2 + 9 \times 4 = 2 + 36$

Skref 3: Framkvæmdu samlagningu og frádrátt frá vinstri til hægri. Hér er aðeins ein slík aðgerð, 2 plús 36.

$2 + 36 = 38$

Því er $2 + 3^{2} \times 4 = 38$ .

Jafnvel þegar stæðan verður flóknari framkvæmum við aðgerðirnar í röðinni EMDAS.

Dæmi 3.46

Átta reikniaðgerðir notaðar

Beittu forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna stæðuna hér á eftir:

$4 - 25 \times 6 / 10 \times 3^{2} + 7 \times 2^{3}$ .

Lausn

Skref 1: Reiknaðu veldin fyrst frá vinstri til hægri. Tvö veldi koma fyrir, 3 í öðru veldi og 2 í þriðja veldi.

$4 - 25 \times 6 / 10 \times 3^{2} + 7 \times 2^{3} = 4 - 25 \times 6 / 10 \times 9 + 7 \times 8$

Skref 2: Þegar veldin hafa verið reiknuð er margfaldað og deilt frá vinstri til hægri. Fyrst er 25 margfaldað með 6.

$\begin{array}{l} 4 - 25 \times 6 / 10 \times 9 + 7 \times 8 \\ = 4 - 150 / 10 \times 9 + 7 \times 8 \end{array}$

Skref 3: Næst er 150 deilt með 10.

$\begin{array}{l} 4 - 150 / 10 \times 9 + 7 \times 8 \\ = 4 - 15 \times 9 + 7 \times 8 \end{array}$

Skref 4: Næst er 15 margfaldað með 9.

$\begin{array}{l} 4 - 15 \times 9 + 7 \times 8 \\ = 4 - 135 + 7 \times 8 \end{array}$

Skref 5: Að lokum eru 7 og 8 margfölduð.

$\begin{array}{l} 4 - 135 + 7 \times 8 \\ = 4 - 135 + 56 \end{array}$

Þegar allri margföldun og deilingu er lokið eru samlagning og frádráttur framkvæmd frá vinstri til hægri.

$\begin{array}{l} 4 - 135 + 56 \\ = - 131 + 56 \\ = - 131 + 56 \\ = - 75 \end{array}$

Gildi stæðunnar er −75.

Dæmi 3.47

Sex reikniaðgerðir notaðar

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna stæðuna hér á eftir:

$10 - 3 \times 5^{3} / 15 + 56 / 4$ .

Lausn

Skref 1: Reiknaðu veldi fyrst frá vinstri til hægri:

$\begin{array}{l} 10 - 3 \times 5^{3} / 15 + 56 / 4 \\ = 10 - 3 \times 125 / 15 + 56 / 4 \end{array}$

Skref 2: Margfaldaðu og deildu frá vinstri til hægri:

$\begin{array}{l} 10 - 3 \times 125 / 15 + 56 / 4 \\ = 10 - 375 / 15 + 56 / 4 \\ = 10 - 25 + 56 / 4 \\ = 10 - 25 + 14 \end{array}$

Skref 3: Framkvæmdu samlagningu og frádrátt frá vinstri til hægri:

$\begin{array}{l} 10 - 25 + 14 \\ = - 15 + 14 \\ = - 1 \end{array}$

Dæmi 3.48

Forgangsröð reikniaðgerða notuð

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna $(- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 2^{4} / 12 + 9 \times {(- 4)}^{2} / 2^{3}$ .

Lausn

Skref 1: Reiknaðu veldin fyrst frá vinstri til hægri:

$\begin{array}{l} (- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 2^{4} / 12 + 9 \times {(- 4)}^{2} / 2^{3} \\ = (- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 4^{2} / 2^{3} \\ = (- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 16 / 2^{3} \\ = (- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 16 / 8 \end{array}$

Skref 2: Margfaldaðu og deildu frá vinstri til hægri:

$\begin{array}{l} = (- 8) / 2 \times 3 - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 16 / 8 \\ = (- 4) \times 3 - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 16 / 8 \\ = (- 12) - 9 \times 16 / 12 + 9 \times 16 / 8 \\ = (- 12) - 144 / 12 + 9 \times 16 / 8 \\ = (- 12) - 12 + 9 \times 16 / 8 \\ = (- 12) - 12 + 144 / 8 \\ = (- 12) - 12 + 18 \end{array}$

Skref 3: Framkvæmdu samlagningu og frádrátt frá vinstri til hægri:

$= (- 12) - 12 + 18 = (- 24) + 18 = −6$

Forgangsröð reikniaðgerða með hópunartáknum

Við höfum séð hvernig EMDAS er notað til að reikna stæður rétt. Stundum þarf þó margföldun að fara fram á undan veldi eða frádráttur á undan deilingu. Þá er aðgerðin sem á að framkvæma fyrr sett innan sviga. Aðgerðir innan sviga eru framkvæmdar fyrst. Þegar svigum er bætt við fæst enska minnisreglan PEMDAS:

$P$	Svigar (enska: parentheses)
E	Veldi (enska: exponents)
M/D	Margföldun og deiling (enska: multiplication og division)	(deiling jafngildir margföldun með margföldunarandhverfu deilisins)
A/S	Samlagning og frádráttur (enska: addition og subtraction)	(frádráttur jafngildir samlagningu við gagntölu frádráttarliðarins)

Eins og áður sagði sýna svigar að aðgerðir innan þeirra eigi að fara á undan öðrum aðgerðum. Ef til dæmis á að margfalda 4 og 7 áður en niðurstaðan er hafin í annað veldi er margföldunin sett í sviga: ${(4 \times 7)}^{2}$ .

Aðgerðir innan sviga hafa forgang og eru framkvæmdar á undan öðrum aðgerðum. Fyrsta skrefið er því að reikna innan sviga. Innan þeirra er röðinni EMDAS fylgt.

Dæmi 3.49

Svigum veittur forgangur

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna stæðuna hér á eftir:

$(10 - 3) \times 5^{3}$ .

Lausn

Skref 1: Reiknaðu allt innan sviga á undan öðrum aðgerðum.

$(10 - 3) \times 5^{3} = 7 \times 5^{3}$

Skref 2: Þegar búið er að reikna innan allra sviga skaltu fara frá vinstri til hægri og reikna veldin.

$7 \times 5^{3} = 7 \times 125$

Skref 3: Margfaldaðu og deildu frá vinstri til hægri.

$7 \times 125 = 875$

Fleiri en einir svigar geta komið fyrir og svigar geta verið innan sviga. Þá er byrjað á innstu svigunum og unnið út á við.

Dæmi 3.50

Byrjað á innstu svigum

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna stæðuna hér á eftir:

$4 + 2 \times (3^{2} - {(2 + 5)}^{2} \times 4) / (3 + 8)$ .

Lausn

Skref 1: Reiknaðu fyrst allt innan sviga. Byrjaðu á innstu svigunum. Reikna má aðskildar stæður í svigum samtímis. Innstu svigarnir innihalda 2 + 5. Stæðan 3 + 8 er í öðrum svigum og því má reikna hana um leið.

$\begin{array}{l} 4 + 2 \times (3^{2} - {(2 + 5)}^{2} \times 4) / (3 + 8) \\ = 4 + 2 \times (3^{2} - {(7)}^{2} \times 4) / (11) \end{array}$

Skref 2: Þegar búið er að reikna innan þessara sviga er næst reiknað innan ytri sviganna. Innan þeirra er forgangsröðinni fylgt: fyrst er veldið reiknað, síðan margfaldað og loks dregið frá.

$\begin{array}{l} 4 + 2 \times (3^{2} - 7^{2} \times 4) / 11 \\ = 4 + 2 \times (3^{2} - 49 \times 4) / 11 \\ = 4 + 2 \times (- 187) / 11 \end{array}$

Skref 3: Þegar búið er að reikna innan allra sviga er EMDAS beitt til að ljúka útreikningnum.

$4 + 2 \times (- 187) / 11 = 4 - 374 / 11 = 4 - 34 = - 30$

Athugaðu skilning þinn

Hvaða reikniaðgerð hefur mestan forgang?

Hvort er reiknað fyrr, veldi eða samlagning?

Reiknaðu

2\times{3^2}-5\times8

Hvaða tákn sýna að tilteknar aðgerðir eigi að fara á undan öðrum?

Reiknaðu

{(4-3)^2}+27\times{8^2}\div{6^2}

Æfingar úr hluta 3.3

Hvaða reikniaðgerðir hafa minnstan forgang?

Ef margar aðgerðir í stæðu hafa sama forgang, í hvaða röð eru þær framkvæmdar?

Hvaða reikniaðgerðir hafa sama forgang?

Hvaða reikniaðgerðir eru framkvæmdar næst þegar allt innan sviga hefur verið reiknað?

Framkvæmdu tilgreindan útreikning í æfingunum hér á eftir.

4-5\times6

34-10\times6

18+8\times13

40+12\times17

50\div2+8

10.

72\div6+18

11.

13+4\times{3^2}

12.

45-6\times{7^3}

13.

{6^2}\times5-13\times{9^2}

14.

{14^2}\times8-5\times{2^4}

15.

450\div{3^2}-56 \div {2^2}

16.

\text{1.000} \div {5^3}-7 \times {8^4}

17.

38 \times 6-4+5 \times 18 \div 10

18.

15 \times 7+23-6 \times 40 \div 24

19.

600 \div 12 \times 5+40-{6^2}

20.

2 \times {12^3} \div 8 \times 3-{4^5}

21.

10 \times {6^3} \div 2 \times 5+{3^2}-240 \div 8 \times 9

22.

45 \div 15 \times 6+{7^2}-4 \times 15 \times 18 \div 12 \times 3

23.

(4+3) \times 2

24.

6 \times (12+8)

25.

(14-25) \times 2

26.

(86-61) \div 5

27.

{(3+2)^3}

28.

{(17 - 12)^4}

29.

{(45-60)^2}

30.

{(90-101)^3}

31.

{(3 \times 4)^3} \div 8+5

32.

{(6-9)^2} \times 5-4

33.

4-(6+3) \times 5+11

34.

12+(13-6) \times 8-130

35.

15 \times {(4-1)^2}+5 \times (17+2 \times 3)+4

36.

18 \times {(12-6)^4}-8 \times (30-14 \times 16)-90

37.

4 \times (5+2 \times (6+8))+10 \times {3^2}

38.

9 \times (13-12 \times (41-32))-8 \times 45

39.

21-3 \times (5 \times (2+6)-3 \times (18-11)+25) \div 2

40.

48-6 \times (10 \times (18+12)-25 \times (16-9)+19) \div 4