33 Rauntalnakerfi og talnafræði

Lykilatriði

3.1 Frumtölur og samsettar tölur

Náttúrlegar tölur skiptast í töluna 1, frumtölur og samsettar tölur.
Frumtala er stærri en 1 og einu jákvæðu þættir hennar eru 1 og talan sjálf.
Samsettar tölur hafa að minnsta kosti þrjá ólíka þætti.
Samsetta tölu má skrifa sem margfeldi frumþátta. Frumþáttunin fæst með því að þátta töluna endurtekið í frumþætti.
Stærsti samdeilir (ssd) talnasafns er stærsta heiltalan sem gengur upp í öllum tölunum. Nota má frumþáttun talnanna til að finna stærsta samdeilinn.
Minnsta sameiginlega margfeldi (msm) talnasafns er minnsta jákvæða heiltalan sem allar tölurnar ganga upp í. Nota má frumþáttun talnanna til að finna minnsta sameiginlega margfeldið.
Stærsti samdeilir og minnsta sameiginlega margfeldi eiga sér fjölbreytt notkunarsvið.

3.2 Heiltölur

Heiltölurnar eru talnamengi sem byggja má út frá náttúrlegu tölunum. Þær samanstanda af náttúrlegu tölunum, núlli og gagntölum náttúrlegu talnanna.
Heiltölur eru oft sýndar á talnalínu, sem sýnir innbyrðis staðsetningu þeirra og gildi.
Af talnalínu má sjá hvort ein heiltala er stærri eða minni en önnur.
Reikniaðgerðir með heiltölum eru svipaðar aðgerðum með náttúrlegum tölum, en einnig þarf að taka tillit til formerkja talnanna. Við samlagningu og frádrátt ræðst formerki niðurstöðunnar bæði af formerkjum og algildum talnanna.

3.3 Forgangsröð reikniaðgerða

Nauðsynlegt er að hafa sameiginlegar reglur um hvaða reikniaðgerðir skuli framkvæma fyrst. Án þeirra gæti sama stæða gefið mismunandi niðurstöður.
Stæður innan sviga hafa hæstan forgang. Þannig má reikna hluta stæðu í annarri röð en almenn forgangsröð segir til um.
Samlagning og frádráttur hafa sama og lægsta forgang. Þegar aðeins þær aðgerðir standa eftir er reiknað frá vinstri til hægri.
Margföldun og deiling hafa sama forgang og ganga fyrir samlagningu og frádrætti. Þegar aðeins margföldun og deiling standa eftir er reiknað frá vinstri til hægri.
Veldi hafa forgang fram yfir margföldun og deilingu. Veldi með jákvæðum heiltöluveldisvísi táknar endurtekna margföldun.

3.4 Ræðar tölur

Ræð tala er hlutfall tveggja heiltalna og má skrifa sem heiltölu deilt með heiltölu sem er ekki núll.
Teljari og nefnari brots geta átt sameiginlega þætti. Þá má stytta brotið með því að fella sameiginlegu þættina út. Þegar teljari og nefnari eiga engan sameiginlegan jákvæðan þátt annan en 1 er brotið fullstytt.
Óeiginlegt brot hefur teljara sem er stærri en eða jafn nefnaranum. Slíkt brot má skrifa sem summu heiltölu og eiginlegs brots. Þegar brotahlutinn er ekki núll kallast þetta blönduð tala.
Með deilingu og afgangi má skrifa óeiginlegt brot sem blandaða tölu.
Breyta má blandaðri tölu í óeiginlegt brot með því að snúa ferlinu við.
Framkvæma má allar fjórar reikniaðgerðirnar, samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu, á ræðum tölum, þó ekki sé hægt að deila með núlli.
Leggja má saman og draga frá ræðar tölur eftir að fundinn hefur verið samnefnari og brotin færð á hann.
Margfalda má ræðar tölur og deila þeim án þess að finna samnefnara.
Milli sérhverra tveggja ólíkra ræðra talna er önnur ræð tala. Þetta er þéttleikaeiginleiki ræðra talna.

3.5 Óræðar tölur

Ekki er hægt að skrifa óræðar tölur sem heiltölu deilt með annarri heiltölu. Eitt dæmi er pí, táknað með $π$ . Ferningsrætur náttúrlegra talna sem eru ekki ferningstölur mynda annað safn óræðra talna.
Sumar óræðar tölur má skrifa sem margfeldi ræðs þáttar og óræðs þáttar. Ef tvær slíkar tölur hafa sama óræða þátt má draga hann út fyrir sviga þegar þær eru lagðar saman eða önnur dregin frá hinni.
Margfalda má ferningsrótarstæður og deila einni með annarri án reiknivélar með því að nota reglur um margfeldi og kvóta ferningsróta.
Fyrir a ≥ 0 og b > 0 gilda reglurnar $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ og $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ . Þær má nota til að finna margfeldi og kvóta ferningsróta.
Fyrir a ≥ 0 gildir $\sqrt{a^{2}} = a$ og fyrir a ≥ 0 og b ≥ 0 gildir $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . Þessar reglur má nota til að einfalda ferningsrótarstæður þannig að rótarstofninn innihaldi engan þátt stærri en 1 sem er ferningstala.
Ef nefnari brots inniheldur ferningsrót má eyða rótinni úr nefnaranum. Sé nefnarinn einn ferningsrótarliður eru teljari og nefnari margfaldaðir með viðeigandi ferningsrót; sé nefnarinn tvíliða rótarstæða er margfaldað með samoka hans og reglan um mismun ferninga notuð.
Með einum ferningsrótarlið
Með samokum þegar nefnarinn hefur tvo liði

3.6 Rauntölur

Rauntölurnar eru safn allra ræðra og óræðra talna. Hugsa má um þær sem öll gildi sem tákna má á talnalínu, það er lengdir með formerki.
Hlutmengi rauntalna eru náttúrlegar tölur, heiltölur, ræðar tölur og óræðar tölur. Náttúrlegu tölurnar eru hlutmengi heiltalna, sem eru hlutmengi ræðra talna. Ræðar og óræðar tölur eru sundurlæg mengi.
Rauntölurnar eru lokaðar undir samlagningu, frádrætti og margföldun og undir deilingu þegar ekki er deilt með núlli. Forgangsröð reikniaðgerða gildir og rauntölurnar hafa meðal annars dreifireglu, víxlreglu og tengireglu. Sérhver rauntala hefur samlagningarandhverfu og sérhver rauntala önnur en núll hefur margföldunarandhverfu.

3.7 Klukkureikningur

Klukkureikningur byggist á því að á eftir tólf kemur eitt á klukkuskífunni. Í reikningi þýðir það að þegar farið er fram hjá 12 kemur næst 1 en ekki 13.
Til að finna niðurstöðu reikniaðgerðar í klukkureikningi er lokaniðurstöðunni deilt með 12 og afgangurinn tekinn. Ef afgangurinn er 0 er klukkan 12.
Klukkureikningur kallast nánar tiltekið módúlóreikningur með 12. Reiknaðu fyrst stæðuna, deildu niðurstöðunni með 12 og taktu afganginn. Hann er niðurstaðan módúló 12.
Dagar líða í sjö daga lotum. Því er módúló 7 notað í dagareikningi. Reiknaðu fyrst stæðuna, deildu niðurstöðunni með 7 og taktu afganginn. Hann er niðurstaðan módúló 7.

3.8 Veldi

Veldi með jákvæðum heiltöluveldisvísi lýsa endurtekinni margföldun tölu með sjálfri sér. Talan sem er margfölduð kallast veldisstofn og fjöldi þáttanna kallast veldisvísir.
Skilningur á veldi sem endurtekinni margföldun gerir okkur kleift að setja fram reglur um samsetningu veldisstæðna, svo sem margfeldisreglu, kvótareglu og veldisreglu. Einnig má setja fram reglur um margfeldi og kvóta í veldi.
Sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1. Sú skilgreining samræmist kvótareglu velda.
Neikvæður veldisvísir táknar margföldunarandhverfu veldis með jákvæðum veldisvísi, þannig að $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ , að því gefnu að $a \neq 0$ .

3.9 Staðalform

Sumar tölur eru svo stórar eða smáar að óþjált er að skrifa þær með öllum tölustöfum og erfitt að sjá stærðargráðu þeirra. Staðalform gerir töluna læsilegri og sýnir stærðargráðu hennar skýrt.
Tala á staðalformi er skrifuð sem margfeldi töluhluta, sem hefur algildi að minnsta kosti 1 en minna en 10, og veldis af 10. Breyting milli staðalforms og venjulegs ritháttar byggist á réttri margföldun og deilingu með veldum af 10, sem jafngildir því að skilja áhrif færslu tugabrotskommu á veldisvísi 10.
Við samlagningu og frádrátt talna á staðalformi verða veldisvísar 10 að vera eins. Þegar tölurnar hafa verið færðar á sama veldi eru töluhlutarnir lagðir saman eða dregnir frá en veldi 10 helst óbreytt. Ef niðurstaðan er ekki á staðalformi, til dæmis ef algildi töluhlutans er orðið 10 eða stærra, þarf að færa hana á staðalform.
Við margföldun og deilingu talna á staðalformi eru töluhlutarnir fyrst margfaldaðir eða þeim deilt og síðan er sömu aðgerð beitt á tugveldin. Niðurstöðurnar tvær eru svo margfaldaðar saman. Ef niðurstaðan er ekki á staðalformi þarf að færa hana á það.

3.10 Jafnmunarunur

Runa er listi talna. Hver tala í listanum kallast liður rununnar. Tiltekinn liður er táknaður með tákni rununnar og lágvísi sem sýnir sæti liðarins.
Jafnmunaruna er sérstök tegund runu. Hún ákvarðast af fyrsta lið og föstum mismun. Hver liður eftir þann fyrsta fæst með því að leggja fasta mismuninn við liðinn á undan.
Ef fyrsti liður og fasti mismunur jafnmunarunu eru þekktir má finna hvaða lið hennar sem er beint.
Vegna reglulegs mynsturs jafnmunarunu má finna summu fyrstu $n$ liðanna með formúlunni $s_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ .

3.11 Kvótarunur

Kvótaruna er sérstök tegund runu. Hún ákvarðast af fyrsta lið og kvóta. Hver liður eftir þann fyrsta fæst með því að margfalda liðinn á undan með kvótanum.
Ef fyrsti liður og kvóti kvótarunu eru þekktir má finna hvaða lið hennar sem er beint.
Vegna reglulegs mynsturs kvótarunu má finna summu fyrstu $n$ liðanna með formúlunni $s_{n} = a_{1} (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , þegar r ≠ 1. Ef r = 1 er summan sₙ = n $\times ⁠$ a₁.
Summa endanlegrar kvótarunu reiknuð
Kvótarunur notaðar

3.11 Kvótarunur

Kvótaruna.
Ótiltekinn liður kvótarunu ákvarðaður.
Kvóti.
Summa endanlegrar kvótarunu reiknuð.
Kvótarunur notaðar.

33 Rauntalnakerfi og talnafræði

Lykilatriði

3.1 Frumtölur og samsettar tölur

Náttúrlegar tölur skiptast í töluna 1, frumtölur og samsettar tölur.
Frumtala er stærri en 1 og einu jákvæðu þættir hennar eru 1 og talan sjálf.
Samsettar tölur hafa að minnsta kosti þrjá ólíka þætti.
Samsetta tölu má skrifa sem margfeldi frumþátta. Frumþáttunin fæst með því að þátta töluna endurtekið í frumþætti.
Stærsti samdeilir (ssd) talnasafns er stærsta heiltalan sem gengur upp í öllum tölunum. Nota má frumþáttun talnanna til að finna stærsta samdeilinn.
Minnsta sameiginlega margfeldi (msm) talnasafns er minnsta jákvæða heiltalan sem allar tölurnar ganga upp í. Nota má frumþáttun talnanna til að finna minnsta sameiginlega margfeldið.
Stærsti samdeilir og minnsta sameiginlega margfeldi eiga sér fjölbreytt notkunarsvið.

3.2 Heiltölur

Heiltölurnar eru talnamengi sem byggja má út frá náttúrlegu tölunum. Þær samanstanda af náttúrlegu tölunum, núlli og gagntölum náttúrlegu talnanna.
Heiltölur eru oft sýndar á talnalínu, sem sýnir innbyrðis staðsetningu þeirra og gildi.
Af talnalínu má sjá hvort ein heiltala er stærri eða minni en önnur.
Reikniaðgerðir með heiltölum eru svipaðar aðgerðum með náttúrlegum tölum, en einnig þarf að taka tillit til formerkja talnanna. Við samlagningu og frádrátt ræðst formerki niðurstöðunnar bæði af formerkjum og algildum talnanna.

3.3 Forgangsröð reikniaðgerða

Nauðsynlegt er að hafa sameiginlegar reglur um hvaða reikniaðgerðir skuli framkvæma fyrst. Án þeirra gæti sama stæða gefið mismunandi niðurstöður.
Stæður innan sviga hafa hæstan forgang. Þannig má reikna hluta stæðu í annarri röð en almenn forgangsröð segir til um.
Samlagning og frádráttur hafa sama og lægsta forgang. Þegar aðeins þær aðgerðir standa eftir er reiknað frá vinstri til hægri.
Margföldun og deiling hafa sama forgang og ganga fyrir samlagningu og frádrætti. Þegar aðeins margföldun og deiling standa eftir er reiknað frá vinstri til hægri.
Veldi hafa forgang fram yfir margföldun og deilingu. Veldi með jákvæðum heiltöluveldisvísi táknar endurtekna margföldun.

3.4 Ræðar tölur

Ræð tala er hlutfall tveggja heiltalna og má skrifa sem heiltölu deilt með heiltölu sem er ekki núll.
Teljari og nefnari brots geta átt sameiginlega þætti. Þá má stytta brotið með því að fella sameiginlegu þættina út. Þegar teljari og nefnari eiga engan sameiginlegan jákvæðan þátt annan en 1 er brotið fullstytt.
Óeiginlegt brot hefur teljara sem er stærri en eða jafn nefnaranum. Slíkt brot má skrifa sem summu heiltölu og eiginlegs brots. Þegar brotahlutinn er ekki núll kallast þetta blönduð tala.
Með deilingu og afgangi má skrifa óeiginlegt brot sem blandaða tölu.
Breyta má blandaðri tölu í óeiginlegt brot með því að snúa ferlinu við.
Framkvæma má allar fjórar reikniaðgerðirnar, samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu, á ræðum tölum, þó ekki sé hægt að deila með núlli.
Leggja má saman og draga frá ræðar tölur eftir að fundinn hefur verið samnefnari og brotin færð á hann.
Margfalda má ræðar tölur og deila þeim án þess að finna samnefnara.
Milli sérhverra tveggja ólíkra ræðra talna er önnur ræð tala. Þetta er þéttleikaeiginleiki ræðra talna.

3.5 Óræðar tölur

Ekki er hægt að skrifa óræðar tölur sem heiltölu deilt með annarri heiltölu. Eitt dæmi er pí, táknað með $π$ . Ferningsrætur náttúrlegra talna sem eru ekki ferningstölur mynda annað safn óræðra talna.
Sumar óræðar tölur má skrifa sem margfeldi ræðs þáttar og óræðs þáttar. Ef tvær slíkar tölur hafa sama óræða þátt má draga hann út fyrir sviga þegar þær eru lagðar saman eða önnur dregin frá hinni.
Margfalda má ferningsrótarstæður og deila einni með annarri án reiknivélar með því að nota reglur um margfeldi og kvóta ferningsróta.
Fyrir a ≥ 0 og b > 0 gilda reglurnar $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ og $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ . Þær má nota til að finna margfeldi og kvóta ferningsróta.
Fyrir a ≥ 0 gildir $\sqrt{a^{2}} = a$ og fyrir a ≥ 0 og b ≥ 0 gildir $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . Þessar reglur má nota til að einfalda ferningsrótarstæður þannig að rótarstofninn innihaldi engan þátt stærri en 1 sem er ferningstala.
Ef nefnari brots inniheldur ferningsrót má eyða rótinni úr nefnaranum. Sé nefnarinn einn ferningsrótarliður eru teljari og nefnari margfaldaðir með viðeigandi ferningsrót; sé nefnarinn tvíliða rótarstæða er margfaldað með samoka hans og reglan um mismun ferninga notuð.
Með einum ferningsrótarlið
Með samokum þegar nefnarinn hefur tvo liði

3.6 Rauntölur

Rauntölurnar eru safn allra ræðra og óræðra talna. Hugsa má um þær sem öll gildi sem tákna má á talnalínu, það er lengdir með formerki.
Hlutmengi rauntalna eru náttúrlegar tölur, heiltölur, ræðar tölur og óræðar tölur. Náttúrlegu tölurnar eru hlutmengi heiltalna, sem eru hlutmengi ræðra talna. Ræðar og óræðar tölur eru sundurlæg mengi.
Rauntölurnar eru lokaðar undir samlagningu, frádrætti og margföldun og undir deilingu þegar ekki er deilt með núlli. Forgangsröð reikniaðgerða gildir og rauntölurnar hafa meðal annars dreifireglu, víxlreglu og tengireglu. Sérhver rauntala hefur samlagningarandhverfu og sérhver rauntala önnur en núll hefur margföldunarandhverfu.

3.7 Klukkureikningur

Klukkureikningur byggist á því að á eftir tólf kemur eitt á klukkuskífunni. Í reikningi þýðir það að þegar farið er fram hjá 12 kemur næst 1 en ekki 13.
Til að finna niðurstöðu reikniaðgerðar í klukkureikningi er lokaniðurstöðunni deilt með 12 og afgangurinn tekinn. Ef afgangurinn er 0 er klukkan 12.
Klukkureikningur kallast nánar tiltekið módúlóreikningur með 12. Reiknaðu fyrst stæðuna, deildu niðurstöðunni með 12 og taktu afganginn. Hann er niðurstaðan módúló 12.
Dagar líða í sjö daga lotum. Því er módúló 7 notað í dagareikningi. Reiknaðu fyrst stæðuna, deildu niðurstöðunni með 7 og taktu afganginn. Hann er niðurstaðan módúló 7.

3.8 Veldi

Veldi með jákvæðum heiltöluveldisvísi lýsa endurtekinni margföldun tölu með sjálfri sér. Talan sem er margfölduð kallast veldisstofn og fjöldi þáttanna kallast veldisvísir.
Skilningur á veldi sem endurtekinni margföldun gerir okkur kleift að setja fram reglur um samsetningu veldisstæðna, svo sem margfeldisreglu, kvótareglu og veldisreglu. Einnig má setja fram reglur um margfeldi og kvóta í veldi.
Sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1. Sú skilgreining samræmist kvótareglu velda.
Neikvæður veldisvísir táknar margföldunarandhverfu veldis með jákvæðum veldisvísi, þannig að $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ , að því gefnu að $a \neq 0$ .

3.9 Staðalform

Sumar tölur eru svo stórar eða smáar að óþjált er að skrifa þær með öllum tölustöfum og erfitt að sjá stærðargráðu þeirra. Staðalform gerir töluna læsilegri og sýnir stærðargráðu hennar skýrt.
Tala á staðalformi er skrifuð sem margfeldi töluhluta, sem hefur algildi að minnsta kosti 1 en minna en 10, og veldis af 10. Breyting milli staðalforms og venjulegs ritháttar byggist á réttri margföldun og deilingu með veldum af 10, sem jafngildir því að skilja áhrif færslu tugabrotskommu á veldisvísi 10.
Við samlagningu og frádrátt talna á staðalformi verða veldisvísar 10 að vera eins. Þegar tölurnar hafa verið færðar á sama veldi eru töluhlutarnir lagðir saman eða dregnir frá en veldi 10 helst óbreytt. Ef niðurstaðan er ekki á staðalformi, til dæmis ef algildi töluhlutans er orðið 10 eða stærra, þarf að færa hana á staðalform.
Við margföldun og deilingu talna á staðalformi eru töluhlutarnir fyrst margfaldaðir eða þeim deilt og síðan er sömu aðgerð beitt á tugveldin. Niðurstöðurnar tvær eru svo margfaldaðar saman. Ef niðurstaðan er ekki á staðalformi þarf að færa hana á það.

3.10 Jafnmunarunur

Runa er listi talna. Hver tala í listanum kallast liður rununnar. Tiltekinn liður er táknaður með tákni rununnar og lágvísi sem sýnir sæti liðarins.
Jafnmunaruna er sérstök tegund runu. Hún ákvarðast af fyrsta lið og föstum mismun. Hver liður eftir þann fyrsta fæst með því að leggja fasta mismuninn við liðinn á undan.
Ef fyrsti liður og fasti mismunur jafnmunarunu eru þekktir má finna hvaða lið hennar sem er beint.
Vegna reglulegs mynsturs jafnmunarunu má finna summu fyrstu $n$ liðanna með formúlunni $s_{n} = n (\frac{a_{1} + a_{n}}{2})$ .

3.11 Kvótarunur

Kvótaruna er sérstök tegund runu. Hún ákvarðast af fyrsta lið og kvóta. Hver liður eftir þann fyrsta fæst með því að margfalda liðinn á undan með kvótanum.
Ef fyrsti liður og kvóti kvótarunu eru þekktir má finna hvaða lið hennar sem er beint.
Vegna reglulegs mynsturs kvótarunu má finna summu fyrstu $n$ liðanna með formúlunni $s_{n} = a_{1} (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , þegar r ≠ 1. Ef r = 1 er summan sₙ = n $\times ⁠$ a₁.
Summa endanlegrar kvótarunu reiknuð
Kvótarunur notaðar

3.11 Kvótarunur

Kvótaruna.
Ótiltekinn liður kvótarunu ákvarðaður.
Kvóti.
Summa endanlegrar kvótarunu reiknuð.
Kvótarunur notaðar.