33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.5 Óræðar tölur

Málverk sýnir lofsöng Pýþagóringa til rísandi sólar. — **Mynd 3.28.** Pýþagóringar voru heimspekihópur í Grikklandi til forna og eru oft tengdir stærðfræði. (mynd: Fedor Andreevich Bronnikov (1827–1902), „Hymn of the Pythagoreans to the Rising Sun“, 1877, olía á striga/Wikimedia, almenningseign)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Skilgreint og þekkt óræðar tölur.
Einfaldað óræðar tölur og skrifað þær á einföldustu mynd.
Lagt saman og dregið frá óræðar tölur.
Margfaldað óræðar tölur og deilt þeim.
Eytt ferningsrótum úr nefnurum brota.

Pýþagóringar voru heimspekihópur í Grikklandi til forna. Heimspeki þeirra fól meðal annars í sér endurholdgun og hreinsun hugans með námi og íhugun stærðfræði og náttúruvísinda. Ein meginhugmynd þeirra var að skipan, einkum stærðfræði og tónlist, réði alheiminum. Þeir tengdu jafnvel dulræna merkingu við tilteknar tölur og myndir. Talan 1 var til dæmis tengd huganum og eðlinu. Talan 4 táknaði réttlæti þar sem hún er minnsta margfeldi tveggja jákvæðra sléttra talna. Þekktust eru þó tengslin við setningu Pýþagórasar: Í rétthyrndum þríhyrningi er summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningi langhliðarinnar. Forn-Egyptar nýttu einnig þetta samband; þríhyrningar með hliðarlengdirnar 3, 4 og 5 voru oft notaðir við landmælingar eftir flóð Nílar.

Sagan segir að Pýþagóringurinn Hippasos hafi uppgötvað að ekki væri hægt að skrifa allar tölur sem brot, það er að ekki væru allar tölur ræðar. Sagan endar á því að Hippasosi hafi verið drekkt fyrir að greina frá — eða samkvæmt sumum gerðum sögunnar uppgötva — að ekki væri hægt að tákna allar stærðir sem hlutfall tveggja náttúrlegra talna.

Þótt sagan sé litrík er hún líklega ósönn, enda engar samtímaheimildir til sem staðfesta hana. Hún virðist þó marka uppgötvun þess að ekki sé hægt að tákna allar stærðir eða mælingar sem hlutföll tveggja heiltalna. Þannig komu óræðar tölur til sögunnar.

Óræðar tölur skilgreindar og þekktar

Í síðasta hluta skilgreindum við ræðar tölur sem tölur sem má skrifa sem brot tveggja heiltalna. Óræðar tölur er ekki hægt að skrifa þannig. Rifjum upp að tugabrotsframsetning ræðra talna er annaðhvort endanleg eða verður lotubundin. Tugabrotsframsetning óræðra talna endar hvorki né verður lotubundin.

Einn flokkur óræðra talna er ferningsrætur jákvæðra ræðra talna sem eru ekki annað veldi ræðrar tölu. Óneikvæða talan $x$ er ferningsrót $a$ , táknuð $\sqrt{a}$ , ef $x^{2} = a$ . Heiltalan $a$ er ferningstala ef til er heiltala $n$ þannig að $a = n^{2}$ . Hugtakið er einnig notað hér um ræðar tölur sem eru annað veldi ræðrar tölu. Ræða talan $\frac{a}{b}$ er ferningstala ef bæði $a$ og $b$ eru ferningstölur og nefnarinn er ekki núll.

Ein leið til að ákvarða hvort heiltala sé ferningstala er að skoða frumþáttun hennar. Ef allir veldisvísar frumþáttanna eru sléttar tölur er heiltalan ferningstala. Einnig má reyna að skrifa heiltöluna sem annað veldi annarrar heiltölu. Stundum þekkist talan strax sem ferningstala, til dæmis 4 eða 9. Reiknivél getur gefið vísbendingu, en námunduð niðurstaða ein og sér sannar ekki að ferningsrótin sé nákvæmlega heiltala.

Dæmi 3.84

Ferningstölur þekktar

Ákvarðaðu hverjar talnanna hér á eftir eru ferningstölur.

45
81
$\frac{9}{28}$
$\frac{144}{400}$

Lausn

Frumþáttun 45 er $45 = 3^{2} \times 5$ . Þar sem veldisvísir frumþáttarins 5 er 1, sem er ekki slétt tala, er 45 ekki ferningstala.
Frumþáttun 81 er $3^{4}$ . Allir veldisvísar frumþáttanna eru sléttar tölur og því er 81 ferningstala.
Til þess að brotið $\frac{9}{28}$ sé ferningstala verða bæði teljari og nefnari að vera ferningstölur. Teljarinn 9 er ferningstala, enda 3 í öðru veldi. Frumþáttun nefnarans 28 er $28 = 2^{2} \times 7$ . Þar sem veldisvísir frumþáttarins 7 er 1, sem er ekki slétt tala, er 28 ekki ferningstala. Nefnarinn er því ekki ferningstala og þar með er $\frac{9}{28}$ ekki ferningstala.
Til að sýna að brotið $\frac{144}{400}$ sé ferningstala nægir að sýna að bæði teljari og nefnari séu ferningstölur. Teljarinn er 144 og frumþáttun hans er $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ . Allir veldisvísar frumþátta 144 eru sléttar tölur og því er 144 ferningstala. Frumþáttun nefnarans 400 er $400 = 2^{4} \times 5^{2}$ . Allir veldisvísar frumþátta 400 eru sléttar tölur og því er 400 ferningstala. Þar sem bæði teljari og nefnari $\frac{144}{400}$ eru ferningstölur er $\frac{144}{400}$ ferningstala.

Annar flokkur óræðra talna byggist á sérstöku tölunni pí, táknaðri með gríska bókstafnum $π$ . Pí er hlutfall ummáls hrings og þvermáls hans (mynd 3.30).

Hringur þar sem geisli, þvermál og ummál eru merkt. — **Mynd 3.30.** Hringur merktur með geisla, þvermáli og ummáli

Margfeldi ræðrar tölu annarrar en núll og $π$ er óræð tala. Sama gildir um sérhvert jákvætt heiltöluveldi af pí.

Sérhver tala sem er margfeldi ræðrar tölu annarrar en núll og óræðrar tölu er óræð. Í slíkri framsetningu köllum við ræðu töluna ræðan hluta og óræðu töluna óræðan hluta. Summa eða mismunur ræðrar og óræðrar tölu er óræð tala. Margfeldi þeirra er einnig órætt nema ræða talan sé núll; kvóti þeirra er óræður þegar hann er skilgreindur og ræða talan er ekki núll.

Dæmi 3.85

Óræðar tölur þekktar

Greindu hverjar talnanna hér á eftir eru óræðar.

$\sqrt{35}$
$0, \overline{15}$
$\sqrt{121}$
$4 π$

Lausn

Töluna 35 má þátta sem $5 \times 7$ og því er hún hvorki annað veldi heiltölu né ræðrar tölu. Ferningsrót hennar er því óræð.
Þar sem $0, \overline{15}$ er lotubundið tugabrot er það ræð tala, en ekki óræð.
$121 = 11^{2}$ . Þar sem 121 er annað veldi heiltölu er ferningsrótin ræð tala.
Þar sem $4 π$ er margfeldi af pí er talan óræð. Ræði hlutinn er 4 og $π$ er óræði hlutinn.

Ferningsrætur einfaldaðar og skrifaðar á einföldustu mynd

Að einfalda ferningsrót merkir að skrifa hana sem ræða tölu margfaldaða með ferningsrót tölu sem hefur engan ferningstöluþátt stærri en 1. Þessi umbreyting kallast að einfalda ferningsrótina.

Talan undir ferningsrótarmerkinu kallast rótarstofn. Í stæðunni $\sqrt{a}$ er $a$ því rótarstofninn.

Áður en við einföldum ferningsrætur þurfum við reglu um þær. Fyrir óneikvæðar tölur er ferningsrót margfeldis jöfn margfeldi ferningsróta þáttanna. Með táknum er $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Með þessari formúlu má þátta heiltölu undir ferningsrót í ferningstölu og aðra heiltölu. Síðan er ferningsrót ferningstölunnar reiknuð og eftir stendur heiltala margfölduð með ferningsrót hinnar tölunnar. Ef talan sem eftir er undir ferningsrótinni á engan ferningstöluþátt stærri en 1 er óræða talan á einföldustu mynd. Til að einfalda óræðu töluna þegar $n$ er jákvæð heiltala:

Skref 1: Finndu stærsta ferningstöluþátt $n$ og táknaðu hann $a^{2}$ .

Skref 2: Þáttaðu $n$ sem $a^{2} \times b$ .

Skref 3: Notaðu $\sqrt{a^{2} \times b} = \sqrt{a^{2}} \times \sqrt{b}$ .

Skref 4: Skrifaðu $\sqrt{n}$ á einfölduðu formi sem $a \sqrt{b}$ .

Þegar ferningsrót hefur verið einfölduð þannig kallast $a$ ræði hluti tölunnar og $\sqrt{b}$ óræði hlutinn.

Dæmi 3.86

Ferningsrót einfölduð

Einfaldaðu óræðu töluna $\sqrt{180}$ og skrifaðu hana á einföldustu mynd. Greindu ræða og óræða hlutann.

Lausn

Finndu fyrst stærstu ferningstölu sem er þáttur í 180. Það má gera með því að skrá þáttapör 180:

\begin{array}{l} 1 \times 180 2 \times 90 3 \times 60 4 \times 45 5 \times 36 6 \times 30 9 \times 20 10 \times 18 12 \times 15 \end{array}

Af þáttunum stærri en 1 eru 4, 9 og 36 ferningstölur. Stærst þeirra er 36 og því þáttum við 180 sem $36 \times 5 = 6^{2} \times 5$ . Í formúlunni er $a = 6$ og $b = 5$ . Notaðu $\sqrt{a^{2} \times b} = \sqrt{a^{2}} \times \sqrt{b}$ .

$\sqrt{6^{2} \times 5} = \sqrt{6^{2}} \times \sqrt{5}$

Einfaldaða mynd $\sqrt{180}$ er $6 \sqrt{5}$ . Hér er 6 ræði hlutinn og $\sqrt{5}$ óræði hlutinn.

Dæmi 3.87

Ferningsrót einfölduð

Einfaldaðu óræðu töluna $\sqrt{330}$ og skrifaðu hana á einföldustu mynd. Greindu ræða og óræða hlutann.

Lausn

Finndu fyrst stærstu ferningstölu sem er þáttur í 330. Það má gera með því að skrá þáttapör 330:

\begin{array}{l} 1 \times 330 2 \times 165 3 \times 110 5 \times 66 6 \times 55 10 \times 33 11 \times 30 15 \times 22 \end{array}

Enginn þáttanna annar en 1 er ferningstala og því er $\sqrt{330}$ þegar á einföldustu mynd. Ræði hlutinn er 1 og óræði hlutinn $\sqrt{330}$ . Skrifa mætti þetta sem $1 \sqrt{330}$ , en margfeldi 1 og sérhverrar tölu er talan sjálf.

Dæmi 3.88

Ferningsrót einfölduð

Einfaldaðu óræðu töluna $\sqrt{2.548}$ og skrifaðu hana á einföldustu mynd. Greindu ræða og óræða hlutann.

Lausn

Finndu fyrst stærstu ferningstölu sem er þáttur í 2.548. Það má gera með því að skrá þáttapör 2.548:

\begin{array}{l} 1 \times 2548 2 \times 1274 4 \times 637 7 \times 364 13 \times 196 14 \times 182 26 \times 98 28 \times 91 49 \times 52 \end{array}

Af þáttunum stærri en 1 eru 4, 49 og 196 ferningstölur. Stærst þeirra er 196 og því þáttum við 2.548 sem $196 \times 13 = 14^{2} \times 13$ . Samkvæmt þáttuninni er $a = 14$ og $b = 13$ . Notaðu $\sqrt{a^{2} \times b} = \sqrt{a^{2}} \times \sqrt{b}$ .

$\sqrt{14^{2} \times 13} = \sqrt{14^{2}} \times \sqrt{13}$

Einfaldaða mynd $\sqrt{2.548}$ er $14 \sqrt{13}$ . Hér er 14 ræði hlutinn og $\sqrt{13}$ óræði hlutinn.

Óræðar tölur lagðar saman og dregnar frá

Óræðar tölur má leggja saman og draga frá eins og aðrar tölur. Með reiknivél er reikniaðgerðin slegin inn og tugabrotsframsetning fæst. Stundum má þó leggja tvær óræðar tölur saman eða draga aðra frá hinni án reiknivélar. Þegar óræðu hlutar talnanna eru eins má sameina liðina með því að leggja saman eða draga frá ræðu stuðlana. Stundum þarf fyrst að einfalda ferningsræturnar.

Til að leggja saman eða draga frá tvær óræðar tölur með sama óræða hluta eru ræðu hlutarnir lagðir saman eða dregnir frá og niðurstaðan margfölduð með sameiginlega óræða hlutanum.

Dæmi 3.89

Óræðar tölur með sama óræða hluta dregnar frá

Dragðu óræðu tölurnar hér á eftir frá án reiknivélar ef hægt er. Ef það er ekki hægt skaltu útskýra hvers vegna.

$3 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7}$

Lausn

Þar sem óræðu hlutarnir eru báðir $\sqrt{7}$ má framkvæma frádráttinn án reiknivélar. Ræði hluti fyrri tölunnar er 3 og þeirrar síðari 8. Formúlan gefur $3 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} = (3 - 8) \times \sqrt{7} = - 5 \sqrt{7}$ .

Dæmi 3.90

Óræðar tölur með sama óræða hluta lagðar saman

Leggðu óræðu tölurnar hér á eftir saman án reiknivélar ef hægt er. Ef það er ekki hægt skaltu útskýra hvers vegna.

$35 π + 17 π$

Lausn

Þar sem óræðu hlutarnir eru báðir $π$ má leggja tölurnar saman án reiknivélar. Ræði hluti fyrri tölunnar er 35 og þeirrar síðari 17. Formúlan gefur $35 π + 17 π = (35 + 17) \times π = 52 π$ .

Dæmi 3.91

Óræðar tölur með ólíka óræða hluta dregnar frá

Dragðu óræðu tölurnar hér á eftir frá án reiknivélar ef hægt er. Ef það er ekki hægt skaltu útskýra hvers vegna.

$19 \sqrt{3} - 5,6 \sqrt{7}$

Lausn

Tölurnar tvær hafa ekki sama óræða hluta og því er ekki hægt að sameina liðina frekar með þessari aðferð. Mismunurinn er þó nákvæm framsetning niðurstöðunnar.

Óræðar tölur margfaldaðar og þeim deilt

Óræðar tölur má margfalda og þeim deila eins og öðrum tölum. Með reiknivél fæst tugabrotsframsetning, en stundum viljum við halda framsetningunni sem margfeldi ræðs og óræðs hluta. Ferlið líkist samlagningu og frádrætti talna á þessu formi, en óræðu hlutarnir þurfa ekki að vera eins. Hér skoðum við tilvik þar sem þeir eru af sömu gerð, til dæmis báðir ferningsrætur eða báðir margfeldi af pí. Ef þeir eru ferningsrætur getur þurft að einfalda niðurstöðuna.

Við margföldun tveggja ferningsróta er formúlan hér á eftir notuð. Hún er sú sama og við einföldun ferningsróta.

Við deilingu tveggja ferningsróta er formúlan hér á eftir notuð.

Til að margfalda eða deila óræðum tölum með óræða hluta af sömu gerð skaltu fylgja þessum skrefum:

Skref 1: Margfaldaðu ræðu hlutana eða deildu þeim.

Skref 2: Einfaldaðu niðurstöðu skrefs 1 ef þörf krefur. Hún verður ræði hluti svarsins.

Skref 3: Margfaldaðu óræðu hlutana eða deildu þeim.

Skref 4: Einfaldaðu niðurstöðu skrefs 3 ef þörf krefur. Sameinaðu ræða þætti hennar ræðu niðurstöðunni úr skrefi 2. Eftir getur staðið óræður hluti, en lokasvarið getur líka verið rætt.

Skref 5: Niðurstaðan er margfeldi einfölduðu hlutanna.

Dæmi 3.92

Óræðum tölum með óræða hluta af sömu gerð deilt

Framkvæmdu reikniaðgerðirnar hér á eftir án reiknivélar og einfaldaðu ef hægt er.

$3 \sqrt{15} \div (8 \sqrt{3})$
$14,7 \sqrt{135} \div (3 \sqrt{5})$ .

Lausn

Í deilingunni $3 \sqrt{15} \div (8 \sqrt{3})$ eru óræðu hlutarnir báðir ferningsrætur.
1. Deildu ræðu hlutunum: $3 \div 8 = \frac{3}{8}$ .
2. Tölurnar 3 og 8 eiga engan sameiginlegan jákvæðan þátt annan en 1 og því er $\frac{3}{8}$ fullstytt.
3. Deildu óræðu hlutunum: $\sqrt{15} \div \sqrt{3} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}}$ .
4. Einfaldaðu stofninn og fáðu $\sqrt{5}$ .
5. Margfeldi ræðs og óræðs hluta er $\frac{3}{8} \sqrt{5}$ .
Í deilingunni $14,7 \sqrt{135} \div (3 \sqrt{5})$ eru óræðu hlutarnir báðir ferningsrætur.
1. Deildu ræðu hlutunum: $14,7 \div 3 = 4,9$ .
2. Ræða talan er tugabrot og verður ekki einfölduð frekar.
3. Deildu óræðu hlutunum: $\sqrt{135} \div \sqrt{5} = \frac{\sqrt{135}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{135}{5}}$ .
4. Einfaldaðu ferningsrótina: $\sqrt{\frac{135}{5}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$ .
5. Margfaldaðu niðurstöðurnar: $4,9 \times 3 \sqrt{3} = 14,7 \sqrt{3}$ .

Dæmi 3.93

Óræðar tölur með óræða hluta af sömu gerð margfaldaðar

Framkvæmdu reikniaðgerðirnar hér á eftir án reiknivélar og einfaldaðu ef hægt er.

$(19 \sqrt{3}) \times (5,6 \sqrt{12})$
$13 π \times 8 π$

Lausn

Í margfölduninni $(19 \sqrt{3}) \times (5,6 \sqrt{12})$ eru óræðu hlutarnir báðir ferningsrætur.
1. Margfaldaðu ræðu hlutana: $19 \times 5,6 = 106,4$ .
2. Ræða talan er tugabrot og verður ekki einfölduð frekar.
3. Margfaldaðu óræðu hlutana: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$ .
4. Talan 36 er ferningstala og því fæst $\sqrt{36} = 6$ .
5. Margfaldaðu niðurstöðurnar: $106,4 \times 6 = 638,4$ .
Athugaðu að margföldun eða deiling óræðra talna getur stundum gefið ræða tölu.
Í margfölduninni $13 π \times 8 π$ eru óræðu hlutarnir eins, $π$ .
1. Margfaldaðu ræðu hlutana: $13 \times 8 = 104$ .
2. Niðurstaðan er heiltala.
3. Margfaldaðu óræðu hlutana: $π \times π = π^{2}$ .
4. Ekki er hægt að einfalda niðurstöðuna frekar.
5. Margfeldi ræðs og óræðs hluta er $104 π^{2}$ .

Ferningsrótum eytt úr nefnurum brota

Brot tákna oft að magni sé skipt jafnt í tiltekinn fjölda hluta. Auðveldast er að túlka brot þannig þegar nefnarinn er heiltala; óræð tala í nefnara torveldar túlkunina. Broti með nefnara sem er ferningsrót heiltölu má breyta í brot með heiltölunefnara með því að eyða ferningsrótinni úr nefnaranum. Ferlið byggist á eiginleika ferningsróta, $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ , og eiginleika brota, $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ , fyrir sérhverja tölu $c$ aðra en núll.

Með þessum eiginleikum má eyða ferningsrót úr nefnara. Margfaldaðu teljara og nefnara með ferningsrótinni í nefnaranum: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}$ . Notaðu síðan $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ á nefnarann og fáðu $\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b}$ . Ferningsrótin er ekki lengur í nefnaranum og því má túlka brotið sem jafna skiptingu heildar.

Dæmi 3.94

Ferningsrót eytt úr nefnara

Eyddu ferningsrótinni úr nefnara brotanna hér á eftir:

$\frac{5}{\sqrt{7}}$
$\frac{3 \sqrt{6}}{2 \sqrt{10}}$

Lausn

Ferningsrótin í nefnaranum er $\sqrt{7}$ . Til að eyða ferningsrótinni úr nefnara $\frac{5}{\sqrt{7}}$ margföldum við teljara og nefnara með $\sqrt{7}$ og einföldum:
$\frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{5 \sqrt{7}}{7}$ .
Ferningsrótin er á einföldustu mynd og lokasvarið því $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ .
Ferningsrótin í nefnaranum er $\sqrt{10}$ .
Skref 1: Til að eyða ferningsrótinni úr nefnara $\frac{3 \sqrt{6}}{2 \sqrt{10}}$ margföldum við teljara og nefnara með $\sqrt{10}$ og einföldum:
$\frac{3 \sqrt{6}}{2 \sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{6} \times \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{60}}{2 \times 10} = \frac{3 \sqrt{60}}{20}$ .
Skref 2: Stofninn 60 hefur þáttapörin $1 \times 60 2 \times 30 3 \times 20 4 \times 15 5 \times 12 6 \times 10$ .
Skref 3: Stærsti ferningstöluþáttur 60 er 4 og því einfaldast $\sqrt{60}$ í teljaranum í $2 \sqrt{15}$ . Styttu einnig sameiginlega þætti: $\frac{3 \sqrt{60}}{20} = \frac{3 \times 2 \sqrt{15}}{20} = \frac{6 \sqrt{15}}{20} = \frac{3 \sqrt{15}}{10}$ .
Niðurstaðan er á einföldustu mynd.

Stundum er nefnarinn óræður og jafnframt summa tveggja talna þar sem önnur eða báðar innihalda ferningsrætur, til dæmis $\frac{5}{4 + \sqrt{3}}$ . Fyrri aðferðin, sem krefst þess að nefnarinn sé ein ferningsrót, virkar þá ekki. Þó má eyða rótum úr slíkum nefnara með því að margfalda teljara og nefnara með samoka nefnarans. Samoki $a + b$ er $a - b$ . Tölurnar $a + b$ og $a ‒ b$ kallast samokar.

Samoki $- 3 + \sqrt{10}$ er því $- 3 - \sqrt{10}$ . Þetta skiptir máli vegna formúlunnar fyrir mismun ferninga, sem þáttar mismun tveggja ferninga. Þegar formúlan er notuð öfugt gerir hún okkur kleift að eyða ferningsrót.

Í formúlunni eru þættirnir tveir hægra megin við jafnaðarmerkið samokar. Við notum því $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ . Þegar $a + b$ er margfaldað með samoka sínum fæst annað veldi $a$ að frádregnu öðru veldi $b$ , það er $a^{2} - b^{2}$ . Skoðum aftur brotið $\frac{5}{4 + \sqrt{3}}$ . Nefnarinn er $4 + \sqrt{3}$ og samoki hans $4 - \sqrt{3}$ . Með $a = 4$ og $b = \sqrt{3}$ gefur formúlan $(4 + \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3}) = 4^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}$ . Þar sem ${(\sqrt{3})}^{2}$ er 3 verður margfeldið $16 - 3$ , eða 13. Ferningsrótin er horfin og þetta nýtist til að eyða ferningsrótinni úr nefnaranum.

Við þurfum einnig dreifireglu talna.

Dæmi 3.95

Ferningsrót eytt úr nefnara með samoka

Eyddu ferningsrótinni úr nefnara $\frac{4}{6 + \sqrt{10}}$ .

Lausn

Skref 1: Nefnarinn er summa tveggja talna og önnur þeirra inniheldur ferningsrót. Því má nota samoka til að eyða ferningsrótinni úr nefnaranum.

Skref 2: Margfaldaðu bæði teljara og nefnara með samoka nefnarans. Nefnarinn er $6 + \sqrt{10}$ og samokinn því $6 - \sqrt{10}$ .

Skref 3: Margfaldaðu teljara og nefnara með samokanum.

$\frac{4}{6 + \sqrt{10}} \times \frac{6 - \sqrt{10}}{6 - \sqrt{10}}$

Skref 4: Með því að nota eiginleika margfeldis samoka verður þetta

$\frac{4}{6 + \sqrt{10}} \times \frac{6 - \sqrt{10}}{6 - \sqrt{10}} = \frac{4 \times (6 - \sqrt{10})}{6^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$ .

Skref 5: Notaðu dreifiregluna í teljaranum og fáðu
$\frac{4 \times (6 - \sqrt{10})}{6^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}} = \frac{24 - 4 \sqrt{10}}{36 - 10} = \frac{24 - 4 \sqrt{10}}{26}$ .

Skref 6: Nefnarinn inniheldur því ekki lengur ferningsrót. Ef óskað er má skrifa niðurstöðuna sem ræða tölu að frádreginni óræðri tölu með því að nota $\frac{a - b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$ .

Þegar þessu er beitt á svarið fæst $\frac{4}{6 + \sqrt{10}} = \frac{24 - 4 \sqrt{10}}{26} = \frac{24}{26} - \frac{4 \sqrt{10}}{26}$ .

Skref 7: Með styttingu einfaldast þetta í $\frac{4}{6 + \sqrt{10}} = \frac{24}{26} - \frac{4 \sqrt{10}}{26} = \frac{12}{13} - \frac{2 \sqrt{10}}{13}$ .

Athugaðu skilning þinn

Einfaldaðu ferningsrótina hér á eftir:

\sqrt {500}

Framkvæmdu reikniaðgerðina hér á eftir:

3\sqrt 7 - 10\sqrt 7

Framkvæmdu reikniaðgerðina hér á eftir:

8\sqrt {10} \times 3\sqrt 2

Eyddu ferningsrótinni úr nefnara brotsins hér á eftir:

\frac{4}{{\sqrt 7 }}

Æfingar úr hluta 3.5

Greindu hverjar talnanna hér á eftir eru óræðar:

\sqrt {441}

, 4,33,

\sqrt {70}

5 + 9\pi

Greindu hverjar talnanna hér á eftir eru óræðar:

\frac{{13}}{{\sqrt {46} }}

4 + 13\pi

\sqrt {144}

\frac{5}{9}

Í æfingunum hér á eftir skaltu einfalda ferningsrótina og skrifa hana á einföldustu mynd.

\sqrt {12}

\sqrt {75}

\sqrt {605}

\sqrt {45}

\sqrt {112}

\sqrt {396}

\sqrt {\text{2,940}}

10.

\sqrt {\text{2,400}}

11.

\sqrt {\text{3,240}}

12.

\sqrt {\text{5,472}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu framkvæma reikniaðgerðirnar án reiknivélar ef hægt er. Ef það er ekki hægt skaltu útskýra hvers vegna.

13.

4\sqrt 3 + 2\sqrt 3

14.

8\sqrt 5 + 3\sqrt 5

15.

9\sqrt 7 - 15\sqrt 7

16.

\sqrt {13} - 15\sqrt {13}

17.

8\pi - 13\sqrt 2

18.

7\sqrt 5 + 6\sqrt {14}

19.

7.2\pi + 8.6\pi

20.

14.5\pi - 5.8\pi

21.

19.8\sqrt {12} - 6.1\sqrt 3

22.

7.3\sqrt {45} - 6.8\sqrt {20}

23.

\left( {4\sqrt {15} } \right) \times \left( {3\sqrt {10} } \right)

24.

\left( {7\sqrt {33} } \right) \times \left( {8\sqrt {66} } \right)

25.

\left( {4.5\sqrt {154} } \right) \div \left( {3\sqrt {77} } \right)

26.

\left( {70\sqrt {30} } \right) \div \left( {14\sqrt 6 } \right)

Í æfingunum hér á eftir skaltu eyða ferningsrótum úr nefnurum brotanna og einfalda síðan.

27.

\frac{3}{{\sqrt 2 }}

28.

\frac{8}{{\sqrt 6 }}

29.

\frac{5}{{\sqrt {13} }}

30.

\frac{9}{{\sqrt {35} }}

31.

\frac{{12}}{{\sqrt {40} }}

32.

\frac{{20}}{{\sqrt {150} }}

33.

Finndu samoka

5 + \sqrt 6

34.

Finndu samoka

10 - \sqrt {13}

35.

Finndu samoka

4 + 3\sqrt 5

36.

Finndu samoka

5\sqrt {15} + 8\sqrt {13}

37.

Finndu margfeldi

3 + 2\sqrt 7

og samoka tölunnar.

38.

Finndu margfeldi

2\sqrt{3}-5

og samoka tölunnar.

Í æfingunum hér á eftir skaltu eyða ferningsrót úr nefnara brotsins og einfalda síðan brotið.

39.

\frac{4}{{1 \,+\, \sqrt 3 }}

40.

\frac{6}{{5\, +\, \sqrt 7 }}

41.

\frac{{ - 4}}{{5 \,-\, \sqrt {10} }}

42.

\frac{{10}}{{\sqrt 6 \, +\, 7}}