33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.6 Rauntölur

Mynd sýnir mann hugsa um jöfnuna 4 × 31 × 25 = (4 × 25) × 31 = 100 × 31 = 3.100. — **Mynd 3.31.** Hraður hugarreikningur byggist á þekktum eiginleikum rauntalna.

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Skilgreint og þekkt rauntölur.
Þekkt hlutmengi rauntalna.
Þekkt eiginleika rauntalna.

Hefur þú einhvern tíma undrast hve hratt sumir reikna í huganum? Flest höfum við séð einhvern leysa hugarreikningsdæmi á ótrúlegum hraða, jafnvel hraðar en reiknivél. Einn þeirra er Neelkantha Bhanu Prakash. Þann 20. september 2020 var hann talinn hraðvirkasta mannlega reiknivélin í heimi og átti fjögur heimsmet. Hvernig fer fólk að þessu? Hefur það lagt aragrúa reiknistaðreynda á minnið eða býr það einfaldlega yfir einstakri reiknihæfni?

Svarið felst ekki síður í þekkingu en hæfileikum. Rauntölur hegða sér með reglubundnum hætti samkvæmt reglum sem hægt er að læra. Í þessum hluta skoðum við þær reglur.

Horfðu á TED-fyrirlestur Arthurs Benjamin til að kynnast öðrum stærðfræðingi með einstaka hæfni í hugarreikningi.

Rauntölur skilgreindar og þekktar

Mengi rauntalna er sammengi ræðra og óræðra talna. Þær tákna allar mögulegar raunverulegar fjarlægðir, ásamt 0 og neikvæðum gildum þessara fjarlægða. Ef þriggja eininga lengd er til dæmis skipt í átta jafna hluta verður hver hluti $\frac{3}{8}$ úr einingu. Ef teiknaður er rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 1 og 3 verður langhliðin $\sqrt{10}$ einingar, eins og á mynd 3.32.

Rétthyrndur þríhyrningur. Skammhliðarnar eru 1 og 3 og langhliðin er ferningsrótin af 10. — **Mynd 3.32.** Rétthyrndur þríhyrningur

Ef við köllum sumar tölur rauntölur hljóta að vera til tölur sem eru ekki rauntölur; annars væru þær einfaldlega kallaðar tölur. Ein slík tala, sem getur ekki táknað lengd, er $\sqrt{- 1}$ . Hún tilheyrir tvinntölum og er táknuð með $i$ . Almennt er ferningsrót sérhverrar neikvæðrar tölu ekki rauntala heldur tvinntala.

Til að ákvarða hvort gildi stæðu sé rauntala þarf fyrst að einfalda hana. Neikvæð tala undir ferningsrót eða táknið $i$ getur bent til tvinntölu, en slíkir liðir geta eytt hver öðrum. Gildið er rauntala ef þverhlutinn, það er stuðullinn við i, er núll eftir einföldun.

Dæmi 3.96

Rauntölur þekktar

Ákvarðaðu hvort hver talnanna hér á eftir sé rauntala:

$\frac{4 \sqrt{3}}{7}$
$13,3381$
$17 \sqrt{- 8}$

Lausn

$\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ er rauntala því engin neikvæð tala er undir ferningsrót og $i$ kemur ekki fyrir sem þáttur.
$13,3381$ er ræð tala og því rauntala.
$17 \sqrt{- 8}$ er ekki rauntala því neikvæð tala er undir ferningsrótinni.

Hlutmengi rauntalna þekkt

Rauntölurnar eru settar saman úr nokkrum talnaflokkum, meðal annars heiltölum, ræðum tölum og óræðum tölum. Þær hafa því nafngreind hlutmengi, eins og taflan sýnir.

Heiti mengis	Tákn mengis	Lýsing mengis
Náttúrlegar tölur	$ℕ$	Talningartölurnar
Núll og jákvæðar heiltölur		Talningartölurnar og 0
Heiltölur	$ℤ$	Náttúrlegu tölurnar, gagntölur þeirra og 0
Ræðar tölur	$ℚ$	Hlutföll tveggja heiltalna með nefnara öðrum en núll
Óræðar tölur	$ℙ$	Rauntölur sem ekki má skrifa sem hlutfall tveggja heiltalna
Rauntölur	$ℝ$	Sammengi ræðra og óræðra talna, allar mögulegar raunverulegar lengdir og gagntölur þeirra

Þegar tölur eru flokkaðar eftir þessum mengjum veljum við minnsta mengið í töflunni sem þær tilheyra. Talan −7 er til dæmis heiltala, ræð tala og rauntala. Minnsta mengið í töflunni sem hún tilheyrir er heiltölumengið og því segjum við að hún sé heiltala.

Tengsl mengja rauntalna má einnig sýna með mengjarithætti. Allar náttúrlegar tölur eru heiltölur en sumar heiltölur eru ekki náttúrlegar og því er $ℕ \subset ℤ$ . Á sama hátt er sérhver heiltala ræð tala en sumar ræðar tölur eru ekki heiltölur og því er $ℤ \subset ℚ$ . Hið sama gildir um ræðar tölur og rauntölur og því er $ℚ \subset ℝ$ .

Ekkert almennt viðurkennt tákn er til fyrir mengi óræðra talna. Ef það er táknað með $A$ gildir $ℚ \cup A = ℝ$ og $ℚ \cap A = \emptyset$ . Þetta merkir að óræðu tölurnar eru fyllimengi ræðra talna í grunnmengi rauntalna.

Dæmi 3.97

Tölur flokkaðar

Greindu öll talnamengin í töflunni sem tölurnar hér á eftir tilheyra:

$14$
$- 14,223$
$\sqrt{17}$

Lausn

$14$ er náttúrleg tala og tilheyrir einnig mengi núlls og jákvæðra heiltalna, heiltalnamenginu, mengi ræðra talna og rauntölumenginu.
$- 14,223$ er ræð tala og tilheyrir því einnig rauntölumenginu.
$\sqrt{17}$ er óræð tala og tilheyrir því einnig rauntölumenginu.

Dæmi 3.98

Tölur flokkaðar á Venn-mynd

Settu tölurnar hér á eftir á réttan stað á Venn-myndinni (mynd 3.33).

- 4 \sqrt{2} - 10 \frac{37}{150} 41 \frac{1}{20} 4 π

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars. Þeir eru merktir, frá innsta til ysta, N, Z, Q og R. — Mynd 3.33. Tengsl talnamengjanna N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Lausn

Þar sem $- 4 \sqrt{2}$ er óræð tala tilheyrir hún rauntölumenginu en ekki mengi ræðra talna (mynd 3.34).

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars og eru merktir, frá innsta til ysta, N, Z, Q og R. Í R-sporbauginum stendur neikvætt 4 sinnum ferningsrót af 2. — Mynd 3.34. Óræða talan −4√2 er í R en utan Q.

Þar sem −10 er heiltala tilheyrir hún mengi heiltalna en ekki mengi náttúrlegra talna (mynd 3.35).

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars og eru merktir N, Z, Q og R. Í Z-sporbauginum stendur −10 og í R-sporbauginum neikvætt 4 sinnum ferningsrót af 2. — Mynd 3.35. Heiltalan −10 er í Z en utan N.

Þar sem $\frac{37}{150}$ er ræð tala tilheyrir hún mengi ræðra talna en ekki mengi heiltalna (mynd 3.36).

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars og eru merktir N, Z, Q og R. Í Z stendur −10, í Q 37 yfir 150 og í R neikvætt 4 sinnum ferningsrót af 2. — Mynd 3.36. Ræða talan 37/150 er í Q en utan Z.

Þar sem 41 er náttúrleg tala tilheyrir hún mengi náttúrlegra talna (mynd 3.37).

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars og eru merktir N, Z, Q og R. Í N stendur 41, í Z −10, í Q 37 yfir 150 og í R neikvætt 4 sinnum ferningsrót af 2. — Mynd 3.37. Náttúrlega talan 41 er í N.

Þar sem $\frac{1}{20}$ er ræð tala tilheyrir hún mengi ræðra talna en ekki mengi heiltalna (mynd 3.38).

Venn-mynd sýnir fjóra sporbauga sem liggja hver innan annars og eru merktir N, Z, Q og R. Í N stendur 41, í Z −10, í Q 37 yfir 150 og 1 yfir 20 og í R neikvætt 4 sinnum ferningsrót af 2. — Mynd 3.38. Ræða talan 1/20 er í Q en utan Z.

Þar sem $4 π$ er óræð tala tilheyrir hún rauntölumenginu en ekki mengi ræðra talna (mynd 3.39).

Eiginleikar rauntalna þekktir

Rauntölur hegða sér með mjög reglubundnum hætti. Sú hegðun kallast eiginleikar rauntalna. Þekking á eiginleikunum hjálpar við að reikna gildi formúla, leysa jöfnur og vinna með algebru og nýtist alls staðar þar sem tölur eru notaðar. Við margföldun $4 \times 13 \times 25$ má til dæmis margfalda 4 og 25 fyrst. Þar sem margfeldið er 100 verður útreikningurinn einfaldari.

Taflan sýnir hluta af eiginleikum rauntalna.

Eiginleiki	Dæmi	Með orðum
Dreifiregla $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$	$5 \times (3 + 4) = 5 \times 3 + 5 \times 4$	Margföldun dreifist yfir samlagningu
Víxlregla samlagningar $a + b = b + a$	$3 + 7 = 7 + 3$	Leggja má tölur saman í hvaða röð sem er
Víxlregla margföldunar $a \times b = b \times a$	$10 \times 4 = 4 \times 10$	Margfalda má tölur í hvaða röð sem er
Tengiregla samlagningar $a + (b + c) = (a + b) + c$	$4 + (3 + 8) = (4 + 3) + 8$	Ekki skiptir máli hvaða tvær tölur eru lagðar saman fyrst
Tengiregla margföldunar $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$	$2 \times (5 \times 7) = (2 \times 5) \times 7$	Ekki skiptir máli hvaða tvær tölur eru margfaldaðar fyrst
Regla um samlagningarhlutleysu $a + 0 = a$	$17 + 0 = 17$	Summa sérhverrar tölu og 0 er talan sjálf
Regla um margföldunarhlutleysu $a \times 1 = a$	$21 \times 1 = 21$	Margfeldi sérhverrar tölu og 1 er talan sjálf
Regla um samlagningarandhverfu $a + (- a) = 0$	$14 + (- 14) = 0$	Summa sérhverrar tölu og gagntölu hennar er 0
Regla um margföldunarandhverfu $a \times (\frac{1}{a}) = 1$ , að því gefnu að $a \neq 0$	$3 \times (\frac{1}{3}) = 1$	Margfeldi sérhverrar tölu annarrar en núll og margföldunarandhverfu hennar er 1

Heiti eiginleikanna gefa vísbendingu um merkingu þeirra. Víxlreglur leyfa að liðum í summu eða þáttum í margfeldi sé víxlað. Tengireglur segja að hópun liða eða þátta með svigum breyti ekki niðurstöðunni. Dreifireglan lýsir því hvernig margföldun dreifist yfir samlagningu eða frádrátt innan sviga.

Dæmi 3.99

Eiginleikar rauntalna þekktir

Greindu hvaða eiginleika rauntalna er beitt í hverju dæmanna hér á eftir.

$4 + (8 + 13) = (4 + 8) + 13$
$34 \times (\frac{1}{34}) = 1$
$14 + 27 = 27 + 14$

Lausn

Hér er skipt um hvaða tvær tölur eru lagðar saman fyrst. Þetta er tengiregla samlagningar.
Hér er tala margfölduð með margföldunarandhverfu sinni og niðurstaðan er 1. Hér er beitt reglunni um margföldunarandhverfu.
Hér er röð talnanna í samlagningu breytt. Þetta er víxlregla samlagningar.

Til að nota eiginleikana við hraðan reikning þarf að koma auga á tölur sem auðvelt er að vinna með. Leitaðu að tölum sem gefa samanlagt margfeldi af 10 eða hafa margfeldi sem er margfeldi af 10 eða 100.

Dæmi 3.100

Eiginleikar rauntalna notaðir í útreikningum

Notaðu eiginleika rauntalna og hugarreikning til að reikna:

$2 \times 13 \times 50$
$13 + 84 + 27$
$9 \times 16 \times 11$

Lausn

Taktu eftir að $2 \times 50 = 100$ og því er hentugt að framkvæma þá margföldun fyrst. Notaðu víxlreglu margföldunar til að breyta röð þáttanna:
$2 \times 13 \times 50 = 2 \times 50 \times 13 = 100 \times 13 = 1.300$
Taktu eftir að $13 + 27 = 40$ og því er hentugt að framkvæma þá samlagningu fyrst. Notaðu víxlreglu samlagningar til að breyta röð liðanna:
$13 + 84 + 27 = 13 + 27 + 84 = 40 + 84 = 124$
Taktu eftir að $9 \times 11 = 99$ . Þá má breyta dæminu í $99 \times 16$ , sem virðist þó ekki einfalt. En $99 = (100 - 1)$ . Með dreifireglunni verður $99 \times 16 = (100 - 1) \times 16 = 100 \times 16 - 1 \times 16 = 1.600 - 16$ . Síðasta skrefið er frádráttur og lokasvarið því 1.584. Að margfalda með 99 jafngildir því að margfalda með 100 og draga síðan hina töluna einu sinni frá.

Athugaðu skilning þinn

Hverjar talnanna hér á eftir eru rauntölur:

4 + i,\,\sqrt{77}, \,\, \text{−19},\,38.902

Sýndu hvaða mengi eru hlutmengi hinna:

\mathbb{Q}

\mathbb{R}

\mathbb{N}

\mathbb{Z}

Hvaða eiginleiki er sýndur hér:

3 \times 6 + 3 \times 15 = 3 \times (6 + 15)

Æfingar úr hluta 3.6

Í æfingunum hér á eftir skaltu flokka hverja tölu sem náttúrlega tölu, heiltölu, ræða tölu eða rauntölu.

\frac{1}{3}

16

\sqrt {19}

- \frac{3}{7}

\pi

-47

13

\frac{{31}}{7}

Í æfingunum hér á eftir skaltu setja tölurnar rétt á Venn-myndina.

\quad - 5,6\quad \text{−7}\quad \sqrt{26}\quad 41\quad \text{−}\frac{13}{{50}}\quad \text{−46}

10.

\quad - 2\pi\quad \text{−} \sqrt {11}\quad \text{−} 17\quad 679\quad \frac{{14}}{{37}}\quad \frac{{57}}{{151}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu greina hvaða eiginleiki rauntalna er sýndur.

11.

14{\text{ }} + {\text{ }}38,9{\text{ }} = {\text{ }}38,9{\text{ }} + {\text{ }}14

12.

37,12{\text{ }} + {\text{ }}98{\text{ }} = {\text{ }}98{\text{ }} + {\text{ }}37,12

13.

38 \times 16 = 16 \times 38

14.

6,3 \times \sqrt {14} = \sqrt {14} \times 6,3

15.

4 + \left( {8 + \sqrt 7 } \right) = (4 + 8) + \sqrt 7

16.

13 \times \left( {\frac{6}{{11}} \times 14} \right) = \left( {13 \times \frac{6}{{11}}} \right) \times 14

17.

{\mkern 1mu} \left( {5,6 \times 8,7} \right) \times 6 = 5,6 \times \left( {8,7 \times 6} \right)

18.

{\mkern 1mu} \left( {3,8 + \sqrt 5 } \right) + 13 = 3,8 + \left( {\sqrt{5} + 13} \right)

19.

4 \times \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = 4 \times 5 + 4 \times \sqrt 3

20.

\sqrt {74} + \left( - \sqrt {74} \right) = 0

21.

- 3,4\pi \times \left( { - \frac{1}{{3,4\pi }}} \right) = 1

22.

{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 17 \times \left( {\frac{1}{{17}}} \right) = 1

23.

4\sqrt {35} + 0 = 4\sqrt {35}

24.

\sqrt {17} \times \left( {5 + 3,6} \right) = \sqrt {17} \times 5 + \sqrt {17} \times 3,6

25.

{\mkern 1mu} \left( { - 10\pi } \right) + 10\pi = 0

26.

{\mkern 1mu} \frac{3}{{\sqrt 7 }} \times 1 = \frac{3}{{\sqrt 7 }}

27.

3\pi + 7\sqrt {21} = 7\sqrt {21} + 3\pi

28.

{\mkern 1mu} 14 \times \left( {3\sqrt 2 + 11,6} \right) = 14 \times 3\sqrt 2 + 14 \times 11,6

Í æfingunum hér á eftir skaltu nota eiginleika rauntalna og hugarreikning til að reikna stæðuna.

29.

43 + 62 + 17

30.

106 + 75 + 94

31.

5 \times 13 \times 4

32.

4 \times 72 \times 5

33.

46 + 77 + 23 + 24 + 103

34.

23 + 98 + 75 + 12 + 77

35.

4 \times 13 \times 25

36.

50 \times 23 \times 2

37.

13 \times 99

38.

15 \times 39

39.

43 \times 101

40.

16 \times 999