33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.1 Frumtölur og samsettar tölur

Lástákn sést á skjá fartölvu. — **Mynd 3.2.** Sumar dulritunaraðferðir sem verja tölvugögn byggjast á frumtölum. (mynd: „Data Security“ eftir Blogtrepreneur/Flickr, CC BY 2.0)

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Beitt deilanleikareglum.
Skilgreint og þekkt frumtölur og samsettar tölur.
Fundið frumþáttun samsettra talna.
Fundið stærsta samdeili.
Notað stærsta samdeili til að leysa hagnýt verkefni.
Fundið minnsta sameiginlega margfeldi.
Notað minnsta sameiginlega margfeldi til að leysa hagnýt verkefni.

Dulritun er nauðsynleg fyrir örugg upplýsingaskipti, til dæmis í netbönkum og netverslun. Sumar dulritunaraðferðir, svo sem RSA, byggjast á frumtölum. Í RSA er notuð samsett tala sem er margfeldi tveggja mjög stórra frumtalna. Ein leið til að rjúfa slíka dulritun er að finna frumtölurnar tvær sem mynduðu samsettu töluna. Séu frumtölurnar nægilega stórar er það afar tímafrekt með þekktum aðferðum á hefðbundnum tölvum.

Deilanleikareglum beitt

Áður en við könnum deilanleika þurfum við að þekkja nokkrar staðreyndir um mikilvæg talnamengi:

Talningartölurnar eru kallaðar náttúrlegar tölur. Þetta talnamengi, ${1, 2, 3, 4, \dots}$ , er táknað með $ℕ$ .
Annað mikilvægt talnamengi er mengi heiltalna. Heiltölurnar eru náttúrlegu tölurnar ásamt 0 og samsvarandi neikvæðum tölum. Mengið er oft skrifað sem ${\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots}$ . Heiltölurnar eru táknaðar með ℤ.
Taktu eftir að ℕ er eiginlegt hlutmengi ℤ, það er ℕ ⊂ ℤ. Öll atriði þessa hluta gilda um náttúrlegar tölur en aðeins sum þeirra um allar heiltölur.

Heiltalan $n$ er deilanleg með $m$ , sem er ekki 0, ef skrifa má $n$ sem margfeldi $m$ og annarrar heiltölu. Jafngilt er að engin leif verði þegar $n$ er deilt með $m$ . Oft þarf að skipta hlutum í jafnstóra hópa þannig að heilir hlutir skiptist jafnt á milli hópanna. Francis, myndmenntakennari í leikskóla, er til dæmis með 15 nemendur í hópi. Hann á 225 arkir af föndurpappír og vill gefa hverjum nemanda jafnmargar arkir. Til að vita hvort allur pappírinn nýtist þarf Francis í raun að ákvarða hvort 225 megi skipta jafnt í 15 hópa.

Dæmi 3.1

Athugað hvort ein tala deili annarri

Ákvarðaðu hvort 36 sé deilanleg með 4.

Lausn

Við getum deilt 36 með 4 og athugað hvort leif verði eða kannað hvort skrifa megi 36 sem 4 margfaldað með annarri heiltölu. Þegar 36 er deilt með 4 fæst $36 \div 4 = 9$ án leifar. Því er 36 deilanleg með 4. Einnig má skrifa 36 sem 4 margfaldað með annarri heiltölu, $36 = 4 \times 9$ . Samkvæmt skilgreiningu deilanleika er 36 því deilanleg með 4.

Fljótlegt er að kanna hvort tala sé deilanleg með 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 eða 12. Fyrir hverja þessara talna er auðþekkt einkenni eða regla sem sýnir deilanleikann, eins og taflan hér á eftir sýnir.

Deilir	Regla
2	Síðasti tölustafurinn er slétt tala
3	Leggðu tölustafi tölunnar saman. Sé summan deilanleg með 3 er upphaflega talan það einnig
4	Skoðaðu aðeins síðustu tvo tölustafina. Sé talan sem þeir mynda deilanleg með 4 er upphaflega talan það einnig
5	Skoðaðu aðeins síðasta tölustafinn. Sé hann 5 eða 0 er upphaflega talan deilanleg með 5
6	Uppfylli talan deilanleikareglurnar fyrir bæði 2 og 3 er hún deilanleg með 6
9	Leggðu tölustafi tölunnar saman. Sé summan deilanleg með 9 er upphaflega talan það einnig
10	Skoðaðu aðeins síðasta tölustafinn. Sé hann 0 er upphaflega talan deilanleg með 10
12	Uppfylli talan deilanleikareglurnar fyrir 3 og 4 er hún deilanleg með 12

Dæmi 3.2

Deilanleikareglur notaðar

Notaðu deilanleikareglur til að ákvarða hvort 245 sé deilanleg með 5.

Lausn

Þar sem síðasti tölustafurinn er 5 er talan 245 deilanleg með 5, því reglan segir að tala sé deilanleg með 5 ef síðasti tölustafur hennar er 5 eða 0.

Dæmi 3.3

Deilanleikareglur notaðar

Notaðu deilanleikareglur til að ákvarða hvort 25.983 sé deilanleg með 9.

Lausn

Samkvæmt deilanleikareglunni fyrir 9 er tala deilanleg með 9 ef summa tölustafa hennar er deilanleg með 9. Við reiknum því summu tölustafanna.

$2 + 5 + 9 + 8 + 3 = 27$ . Þar sem 27 er deilanleg með 9 er upphaflega talan 25.983 það einnig.

Dæmi 3.4

Deilanleikareglur notaðar

Má raða 298 peningum í 6 jafnstóra stafla?

Lausn

Til að staflarnir verði jafnstórir þarf 298 að vera deilanleg með 6. Deilanleikareglan fyrir 6 kveður á um að talan uppfylli reglurnar fyrir bæði 2 og 3. Þar sem síðasti tölustafurinn er sléttur er 298 deilanleg með 2. Til að kanna deilanleika með 3 leggjum við fyrst saman tölustafina: $2 + 9 + 8 = 19$ . Þar sem 19 er ekki deilanleg með 3 er 298 það ekki heldur. Þar af leiðandi er 298 ekki deilanleg með 6 og því er ekki hægt að skipta peningunum í 6 jafnstóra stafla.

Dæmi 3.5

Deilanleikareglur notaðar

Notaðu deilanleikareglur til að ákvarða hvort 4.259 sé deilanleg með 10.

Lausn

Deilanleikareglan fyrir 10 segir að tala sé deilanleg með 10 ef síðasti tölustafur hennar er 0. Þar sem síðasti tölustafur 4.259 er ekki 0 er 4.259 ekki deilanleg með 10.

Dæmi 3.6

Deilanleikareglur notaðar

Notaðu deilanleikareglur til að ákvarða hvort 936.276 sé deilanleg með 4.

Lausn

Deilanleikareglan fyrir 4 felst í að skoða síðustu tvo tölustafi tölunnar. Sé talan sem þeir mynda deilanleg með 4 er upphaflega talan það einnig. Síðustu tveir tölustafirnir mynda töluna 76 og hún er deilanleg með 4, því $76 = 4 \times 19$ . Þar sem 76 er deilanleg með 4 er 936.276 það einnig.

Frumtölur og samsettar tölur

Stundum hefur náttúrleg tala aðeins tvo ólíka deila, 1 og sjálfa sig. Til dæmis eru 7 og 19 frumtölur. Með öðrum orðum er ekki hægt að skipta frumtölu í hópa með jafnmörgum hlutum nema annaðhvort sé aðeins einn hópur eða einn hlutur í hverjum hópi. Aðrar náttúrlegar tölur hafa fleiri en tvo ólíka deila, til dæmis 4 og 26. Þær kallast samsettar tölur. Talan 1 er sérstök; hún er hvorki frumtala né samsett tala.

Til að ákvarða hvort tala sé frumtala eða samsett tala þarf að kanna hvort hún hafi aðra deila en 1 og sjálfa sig. Deilanleikareglurnar nýtast vel og geta fljótt sýnt hvort tala hafi deili á listanum.

Ef engin þeirra deilir tölunni þarf samt að prófa alla aðra mögulega frumdeila. Hvaða frumtölur gætu verið deilar tölunnar sem er til skoðunar? Aðeins þarf að kanna frumtölur upp að kvaðratrót hennar, að henni meðtalinni. Til að komast að því hvort 2.117 sé frumtala þarf til dæmis að athuga hvort einhver frumtala upp að kvaðratrót 2.117, sem er 46,0 námunduð að einum aukastaf, deili 2.117. Ef einhver þeirra deilir tölunni er hún samsett. Ef engin þeirra gerir það er talan sjálf frumtala.

Nota má hvaða verkfæri sem hentar til að kanna deilanleika. Deilanleikareglur eru fljótlegar fyrir suma frumdeila, til dæmis 2 og 5, en síður fyrir aðra, svo sem 11. Í stað þeirra má einfaldlega nota reiknivél. Ef deiling með frumtölunni gefur heiltölu er talan deilanleg með frumtölunni. Tafla 3.1 sýnir frumtölurnar upp að 50. Frumtölurnar sem eru minni en 50 eru 15 talsins.

2	3	5	7	11
13	17	19	23	29
31	37	41	43	47

Dæmi 3.7

Athugað hvort tala sé frumtala eða samsett tala

Ákvarðaðu hvort 2.117 sé frumtala eða samsett tala.

Lausn

Kvaðratrótin af 2.117 er 46,0, námunduð að einum aukastaf. Því þarf að kanna hvort 2.117 sé deilanleg með einhverri frumtölu upp að 46.

Skref 1: Fyrst notum við deilanleikareglurnar sem við lærðum hér á undan:

2.117 er ekki deilanleg með 2 því síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.
2.117 er ekki deilanleg með 5 því síðasti tölustafurinn er hvorki 0 né 5.
Summa tölustafa 2.117 er 11, sem er ekki deilanleg með 3. Því er 2.117 heldur ekki deilanleg með 3.

Skref 2: Nú endurtökum við ferlið fyrir allar frumtölur upp að 46.

Með reiknivél kemur í ljós að deiling 2.117 með frumtölunum 7, 11, 13, 17, 19 og 23 gefur ekki heiltölu. Því vitum við að 2.117 er ekki deilanleg með þessum frumtölum. (Sannreyndu niðurstöðurnar.)

Næst prófum við frumtöluna 29. Þegar 2.117 er deilt með 29 á reiknivél fæst 73. Þar sem útkoman er heiltala er 2.117 deilanleg með 29.

Þetta þýðir að 2.117 er ekki frumtala heldur samsett tala. Skrifa má 2.117 sem margfeldi 29 og annarrar náttúrlegrar tölu: $2.117 = 29 \times 73$ .

Dæmi 3.8

Athugað hvort tala sé frumtala eða samsett tala

Ákvarðaðu hvort 423 sé frumtala eða samsett tala.

Lausn

Kvaðratrótin af 423 er 20,57, námunduð að tveimur aukastöfum. Því þarf að kanna hvort 423 sé deilanleg með einhverri frumtölu upp að 20.

Skref 1: Prófum 2. Talan 423 er ekki deilanleg með 2 því síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.

Skref 2: Prófum 5. Talan er ekki deilanleg með 5 því síðasti tölustafurinn er hvorki 0 né 5.

Skref 3: Prófum 3. Til að kanna hvort 423 sé deilanleg með 3 notum við deilanleikaregluna fyrir 3. Summa tölustafa 423 er 9. Þar sem 9 er deilanleg með 3 er 423 það einnig.

Þar sem 423 er deilanleg með 3 er hún samsett tala. Skrifa má 423 sem margfeldi 3 og annarrar náttúrlegrar tölu: $423 = 3 \times 141$ .

Dæmi 3.9

Athugað hvort tala sé frumtala eða samsett tala

Ákvarðaðu hvort 1.034 sé frumtala eða samsett tala

Lausn

Fljótleg athugun sýnir að 1.034 er deilanleg með 2 þar sem síðasti tölustafurinn er sléttur; 1.034 er því samsett tala.

Dæmi 3.10

Athugað hvort tala sé frumtala eða samsett tala

Ákvarðaðu hvort 2.917 sé frumtala eða samsett tala.

Lausn

Kvaðratrótin af 2.917 er 54,01, námunduð að tveimur aukastöfum. Því þarf að kanna hvort 2.917 sé deilanleg með einhverri frumtölu upp að 54.

Skref 1: Prófum 2. Talan 2.917 er ekki deilanleg með 2 því síðasti tölustafurinn er ekki sléttur.

Skref 2: Prófum 5. Hún er ekki deilanleg með 5 því síðasti tölustafurinn er hvorki 0 né 5.

Skref 3: Prófum 3. Samkvæmt deilanleikareglunni fyrir 3 leggjum við saman tölustafi 2.917 og fáum 19. Þar sem 19 er ekki deilanleg með 3 er 2.917 það ekki heldur.

Skref 4: Prófum með reiknivél allar frumtölurnar sem eftir eru upp að 54. Þegar 2.917 er deilt með hverri frumtölu upp að 54 fæst ekki heiltala.

Þar sem engin frumtala upp að 54 deilir 2.917 er talan frumtala.

Fólk í stærðfræði

Sophie Germain

Mynd 3.3. Sophie Germain (mynd: „Sophie Germain at 14 years“, myndskreyting úr Histoire du socialisme, um 1880, Wikimedia Commons, almenningseign)

Sophie Germain fæddist árið 1776 inn í efnaða franska fjölskyldu. Hún uppgötvaði stærðfræðina og féll fyrir henni þegar hún las bækur föður síns. Leynilegt nám, mikil þrautseigja og stærðfræðileg hugsun dugðu henni þó ekki til að fá inngöngu í háskóla, enda mátti hún ekki stunda þar nám. Með hjálp vina tókst henni að afla verkefnasafna og skila afbragðslausnum undir nafninu Monsieur LaBlanc. Talnafræði, rannsókn á eiginleikum heiltalna, var eitt helsta áhugasvið hennar. Ein af setningum hennar, setning Sophie Germain, leiddi til hlutalausnar á einni mestu ráðgátu stærðfræðinnar, hinstu setningu Fermats. Í kjölfarið uppgötvaði hún það sem nú kallast frumtölur Sophie Germain. Skilgreiningin er þessi: ef $2 p + 1$ er frumtala, þar sem $p$ er frumtala, er sú síðarnefnda frumtala Sophie Germain. Til dæmis er 23 frumtala og $2 (23) + 1 = 47$ , sem einnig er frumtala; 23 er því frumtala Sophie Germain. Athuga ber að $2 p + 1$ , þar sem $p$ er frumtala, getur verið frumtala en þarf ekki að vera það (prófaðu $p = 7$ !).

Frumþáttun samsettra talna fundin

Áður en við byrjum á frumþáttun skulum við rifja upp hvað felst í að þátta tölu. Tala er þáttuð með því að finna tvær eða fleiri tölur sem gefa upphaflegu töluna þegar þær eru margfaldaðar saman. Til dæmis gefa 3 og 24 töluna 72 þegar þær eru margfaldaðar. Því má þátta 72 sem $3 \times 24$ . Einnig mætti þátta 72 á annan hátt, til dæmis $72 = 6 \times 12$ , $72 = 2 \times 36$ eða jafnvel $72 = 3 \times 4 \times 6$ .

Að finna frumþáttun samsettrar tölu merkir að skrifa hana sem margfeldi allra frumþátta hennar. Til dæmis er $80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5$ . Allar tölurnar hægra megin eru frumtölur. Sami frumþáttur getur komið fyrir oftar en einu sinni. Þegar frumþáttur kemur fyrir oftar en einu sinni má nota veldisvísa, eins og í $80 = 2^{4} \times 5$ . Þar er 2 hafið í fjórða veldi. Talan 4 er veldisvísirinn og 2 er veldisstofninn. Almennt er í veldisrithættinum $a^{b}$ talan $a$ veldisstofninn og talan $b$ veldisvísirinn.

Spyrja má hvort mismunandi aðferðir við frumþáttun geti gefið ólíkar þáttanir. Undirstöðusetning reikningsins segir að hver náttúrleg tala stærri en 1 hafi aðeins eina frumþáttun.

Undirstöðusetning reikningsins

Sérhverja náttúrlega tölu aðra en 1 má skrifa á nákvæmlega einn hátt, fyrir utan röð þáttanna, sem margfeldi frumtalna.

Frumþáttun er ítrekað ferli: við framkvæmum skref og endurtökum það þar til ekki er hægt að halda áfram. Í hverju skrefi finnum við einn frumþátt tölunnar og skrifum töluna sem margfeldi hans og annars þáttar. Síðan endurtökum við skrefið fyrir nýfundna þáttinn. Haldið er áfram þar til þátturinn sem eftir stendur er frumtala. Sýnidæmi skýrir ferlið best.

Dæmi 3.11

Frumþáttun fundin

Finndu frumþáttun 140.

Lausn

Skref 1: Finndu frumtölu sem deilir 140. Þar sem 140 er slétt tala deilir 2 henni. Við tökum 2 út sem þátt og fáum $140 = 2 \times 70$ .

Skref 2: Finndu frumþátt tölunnar 70 sem eftir stendur. Þar sem 70 er einnig slétt deilir 2 henni. Við tökum 2 út sem þátt og þáttunin verður $140 = 2 \times 2 \times 35 = 2^{2} \times 35$ .

Taktu eftir að við skrifuðum tvö eintök af frumþættinum 2 sem $2^{2}$ .

Skref 3: Skoðum þáttinn 35 sem eftir stendur. Síðasti tölustafur 35 er 5 og því er 5 þáttur í 35. Við tökum 5 út sem þátt. Þáttunin verður þá $140 = 2^{2} \times 5 \times 7$ .

Skref 4: Skoðum þáttinn 7 sem eftir stendur. Þar sem 7 er frumtala er ferlinu lokið.

Frumþáttun 140 er $2^{2} \times 5 \times 7$ .

Þáttatré

Þáttatré er gagnlegt verkfæri við frumþáttun. Fylgdu eftirfarandi skrefum til að búa til þáttatré náttúrlegu tölunnar $n$ , þar sem $n$ er ekki 1:

Skref 1: Ef $n$ er frumtala er verkinu lokið. Ef $n$ er samsett tala skaltu halda áfram í næsta skref.

Skref 2: Finndu tvo deila $n$ og kallaðu þá $a$ og $b$ , þannig að margfeldi þeirra sé upphaflega talan og hvorugur þeirra sé 1.

Skref 3: Skrifaðu töluna $n$ og teiknaðu tvær greinar niður frá $n$ eða til hægri við hana.

Skref 4: Merktu enda annarrar greinarinnar $a$ og hinnar $b$ . Sjá mynd 3.4.

Þáttatré sýnir tvær greinar frá n niður að a og b. — **Mynd 3.4.** Þáttatré sýnir hvernig talan n er skrifuð sem margfeldi þáttanna a og b.

Skref 5: Ef $a$ og $b$ eru frumtölur er tréð fullgert. Frumtala á þessu stigi kallast lauf í trémyndinni.

Skref 6: Ef $a$ eða $b$ er samsett tala skaltu endurtaka skref 2 til 4 fyrir $a$ og $b$ eftir því sem við á.

Skref 7: Ferlinu lýkur þegar öll laufin eru frumtölur.

Skref 8: Frumþáttunin er þá margfeldi allra laufanna.

Þetta sést best í dæmi.

Dæmi 3.12

Frumþáttun fundin

Finndu frumþáttun 66.

Lausn

Þar sem 66 er slétt tala er 2 þáttur.

Skref 1: Taktu 2 út sem þátt. Þáttunin er $66 = 2 \times 33$ . Þáttatréð sést á mynd 3.5.

Þáttatré sýnir tvær greinar frá 66 niður að 2 og 33. — Mynd 3.5

Þar sem 2 er frumþáttur er þeirri grein lokið og 2 er lauf.

Skref 2: Talan 33 er hins vegar deilanleg með 3 og er margfeldi 3 og 11. Við bætum því við þáttatréð (mynd 3.6).

Þáttatré sýnir tvær greinar frá 66 niður að 2 og 33 og tvær greinar frá 33 niður að 3 og 11. — Mynd 3.6

Þar sem 2, 3 og 11 eru allar frumtölur er þáttatréð fullgert.

Frumþáttun 66 er margfeldi laufanna, þannig að $66 = 2 \times 3 \times 11$ . Þáttuninni er lokið.

Dæmi 3.13

Frumþáttun fundin

Finndu frumþáttun 135.

Lausn

Talan 135 er deilanleg með 3 og því er 3 þáttur í 135.

Skref 1: Taktu 3 út sem þátt. Þáttunin er $135 = 3 \times 45$ . Notum þáttatréð á mynd 3.7.

Trémynd sýnir tvær greinar frá hnút merktum 135 niður að 3 og 45. — Mynd 3.7

Talan 45 er einnig deilanleg með 3.

Skref 2: Taktu 3 út sem þátt úr 45. Hinn þátturinn er 15. Þáttatréð sést á mynd 3.8.

Trémynd sýnir tvær greinar frá hnút merktum 135 niður að 3 og 45. Tvær aðrar greinar liggja frá 45 niður að 3 og 15. — Mynd 3.8

Talan 15 er einnig deilanleg með 3.

Skref 3: Þættir 15 eru 3 og 5. Þáttatréð sést á mynd 3.9.

Trémynd sýnir tvær greinar frá hnút merktum 135 niður að 3 og 45. Tvær aðrar greinar liggja frá 45 niður að 3 og 15. Enn tvær greinar liggja frá 15 niður að 3 og 5. — Mynd 3.9

Öll laufin eru frumtölur og því er ferlinu lokið. Frumþáttun 135 er $3^{3} \times 5$ .

Dæmi 3.14

Frumþættir fundnir

Hve marga ólíka frumþætti hefur 10.241?

Lausn

Til að finna fjölda ólíkra frumþátta 10.241 þurfum við að frumþátta töluna.

Skref 1: Deilanleikareglur sýna að 10.241 er hvorki deilanleg með 2 né 5 og ekki heldur með 3, enda er summa tölustafanna 8. Hún er hins vegar deilanleg með 7.

Skref 2: Þegar 7 hefur verið tekinn út sem þátt er þáttunin $10, 241 = 7 \times 1463$ ; talan 1.463 er einnig deilanleg með 7.

Skref 3: Þegar 7 hefur aftur verið tekinn út sem þátt er þáttunin $10, 241 = 7 \times 7 \times 209 = 7^{2} \times 209$ . Talan 209 er ekki deilanleg með 7.

Skref 4: Prófum næstu frumtölu, 11. Talan 11 deilir 209.

Skref 5: Þegar 11 hefur verið tekinn út sem þátt er þáttunin $10, 241 = 7^{2} \times 11 \times 19$ .

Þar sem 19 er frumtala er frumþáttun 10.241 lokið. Talan 10.241 hefur því þrjá ólíka frumþætti: 7, 11 og 19.

Stærsti samdeilir fundinn

Tvær tölur eiga oft fleiri en einn deili sameiginlegan; öll pör náttúrlegra talna eiga deilinn 1 sameiginlegan. Þegar sameiginlegir deilar eru taldir upp er sá stærsti oft mikilvægastur. Hann kallast stærsti samdeilir og er táknaður ssd. Hann er einnig stundum kallaður stærsti sameiginlegi þáttur.

Talan 6 er til dæmis stærsti samdeilir 12 og 18. Þetta sést með því að telja upp alla deila hvorrar tölu og velja stærstu töluna sem kemur fyrir á báðum listum.

Deilar 12	1, 2, 3, 4, 6, 12
Deilar 18	1, 2, 3, 6, 9, 18

Auðvelt er að sjá að 6 er stærsta talan sem kemur fyrir á báðum listum.

Dæmi 3.15

Stærsti samdeilir fundinn með listum

Finndu stærsta samdeili 1.400 og 250 með því að telja upp alla deila hvorrar tölu.

Lausn

Við búum til lista yfir alla deila 1.400 og 250 og veljum stærsta deilinn sem kemur fyrir á báðum listum.

Deilar 1.400 eru

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 40, 50, 56, 70, 100, 140, 175, 200, 280, 350, 700, 1.400.

Deilar 250 eru

1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250.

Stærsta talan sem kemur fyrir á báðum listum er 50 og því er 50 stærsti samdeilir 1.400 og 250.

Það virkar alltaf að telja upp alla deila talnanna í menginu, en jafnvel fyrir tiltölulega litlar tölur getur listinn orðið langur og tímafrekt að finna alla deilana. Önnur leið til að finna stærsta samdeili er að nota frumþáttun talnanna. Þá er eftirfarandi skrefum fylgt:

Skref 1: Finndu frumþáttun talnanna.

Skref 2: Finndu frumþættina sem koma fyrir í frumþáttun hverrar tölu. Þeir kallast sameiginlegir frumþættir.

Skref 3: Finndu minnsta veldisvísi hvers frumþáttar úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3. Útkoman er stærsti samdeilirinn.

Dæmi 3.16

Stærsti samdeilir fundinn með frumþáttun

Finndu stærsta samdeili 1.400 og 250 með frumþáttun talnanna.

Lausn

Skref 1: Finndu frumþáttun talnanna.

Frumþáttun 1.400 er $2^{3} \times 5^{2} \times 7$ .

Frumþáttun 250 er $250 = 2 \times 5^{3}$ .

Skref 2: Finndu frumþættina sem koma fyrir í frumþáttun hverrar tölu.

Sameiginlegu frumþættirnir eru 2 og 5.

Skref 3: Finndu minnsta veldisvísi hvers frumþáttar úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Veldisvísir sameiginlega frumþáttarins 2 í frumþáttun 1.400 er 3 en 1 í frumþáttun 250. Minni veldisvísirinn er 1.

Veldisvísir sameiginlega frumþáttarins 5 í frumþáttun 1.400 er 2 en 3 í frumþáttun 250. Minni veldisvísirinn er 2.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Þetta gefur $2^{1} \times 5^{2} = 50$ . Stærsti samdeilir 1.400 og 250 er $2 \times 5^{2} = 50$ .

Taktu eftir að svarið er hið sama og í dæmi 3.15.

Dæmi 3.17

Stærsti samdeilir fundinn með frumþáttun

Finndu stærsta samdeili 600 og 784 með frumþáttun talnanna.

Lausn

Skref 1: Finndu frumþáttun talnanna.

Frumþáttun 600 er $2^{3} \times 3 \times 5^{2}$ .

Frumþáttun 784 er $2^{4} \times 7^{2}$ .

Skref 2: Finndu frumþættina sem koma fyrir í frumþáttun hverrar tölu.

Aðeins einn sameiginlegur frumþáttur er til, 2.

Skref 3: Finndu minnsta veldisvísi hvers frumþáttar úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Veldisvísir 2 í frumþáttun 600 er 3 en í frumþáttun 784 er hann 4. Minni veldisvísirinn er því 3.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Þetta gefur $2^{3} = 8$ . Stærsti samdeilir 600 og 784 er 8.

Fólk í stærðfræði

Srinivasa Ramanujan

Mynd 3.10. Srinivasa Ramanujan (mynd: ljósmynd Konrads Jacobs, Oberwolfach Photo Collection, almenningseign)

Ramanujan fæddist á Suður-Indlandi árið 1887 meðan landið var undir breskri stjórn. Hann var sjálfmenntaður stærðfræðingur og hóf þegar í framhaldsskóla að vinna skipulega úr tveggja binda verki um stærðfræðisetningar og niðurstöður. Meðal viðfangsefna hans var dreifing frumtalna. Að lokum vakti hann athygli breska stærðfræðingsins G. H. Hardy. Í einni heimsókn nefndi Hardy við Ramanujan að númer leigubílsins hans væri 1.729 og sagði töluna fremur ómerkilega. Ramanujan svaraði: „Þetta er mjög áhugaverð tala; hún er minnsta talan sem má skrifa sem summu tveggja teningstalna á tvo ólíka vegu.“

Notkun stærsta samdeilis

Stærsti samdeilir nýtist bæði í annarri stærðfræði, til dæmis við styttingu brota, og í hversdagslegum verkefnum. Við skoðum tvö slík dæmi sem byggjast á sömu grunnhugmynd. Í báðum tilvikum þarf að finna tölu sem gengur upp í fjölda hluta eða lengdarmál.

Dæmi 3.18

Stærð gólfflísa reiknuð

Gerum ráð fyrir að rétthyrnt herbergi sé 570 cm breitt og 450 cm langt. Þú vilt leggja ferningslaga flísar á gólfið. Hver er mesta mögulega hliðarlengd flísanna ef aðeins á að nota heilar flísar?

Lausn

Þar sem flísarnar eru ferningar eru lengd þeirra og breidd jafnar. Til að aðeins þurfi heilar flísar verður hliðarlengd þeirra að deila bæði lengd og breidd herbergisins. Við viljum stærstu mögulegu flísarnar og þurfum því stærsta samdeili 570 og 450.

Skref 1: Finndu frumþáttun talnanna.

Frumþáttun 570 er $2 \times 3 \times 5 \times 19$ .

Frumþáttun 450 er $2 \times 3^{2} \times 5^{2}$ .

Skref 2: Finndu frumþættina sem koma fyrir í frumþáttun hverrar tölu.

Sameiginlegu frumþættirnir eru 2, 3 og 5.

Skref 3: Finndu minnsta veldisvísi hvers frumþáttar úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Veldisvísir frumþáttarins 2 í frumþáttun beggja talna, 570 og 450, er 1. Minnsti veldisvísir 2 er því 1.

Veldisvísir frumþáttarins 3 er 1 í frumþáttun 570 en 2 í frumþáttun 450. Minnsti veldisvísir 3 er því 1.

Veldisvísir frumþáttarins 5 er 1 í frumþáttun 570 en 2 í frumþáttun 450. Minnsti veldisvísir 5 er því 1.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Þetta gefur $2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1} = 30$ . Stærsti samdeilir 450 og 570 er 30 og því eru stærstu ferningslaga flísarnar sem má nota 30 cm $\times ⁠$ 30 cm.

Dæmi 3.19

Bókum raðað í hillur

Gerum ráð fyrir að þú viljir raða bókum í hillur þannig að jafnmargar bækur séu í hverri hillu. Í hverri hillu eiga aðeins að vera bækur úr einni bókmenntagrein. Þú átt 24 vísindaskáldsögur, 42 fantasíubækur og 30 hryllingsbækur. Hve margar bækur geta mest farið í hverja hillu?

Lausn

Þar sem jafnmargar bækur eiga að vera í hverri hillu og aðeins eiga að vera bækur úr einni bókmenntagrein í hverri hillu þurfum við tölu sem deilir 24, 42 og 30 án leifar. Við þurfum því stærsta samdeili bókafjöldans í hverri grein, það er stærsta samdeili 24, 42 og 30.

Skref 1: Finndu frumþáttun talnanna.

Frumþáttun 24 er $2^{3} \times 3$ .

Frumþáttun 42 er $2 \times 3 \times 7$ .

Frumþáttun 30 er $2 \times 3 \times 5$ .

Skref 2: Finndu frumþættina sem koma fyrir í frumþáttun hverrar tölu.

Sameiginlegu frumþættirnir eru 2 og 3.

Skref 3: Finndu minnsta veldisvísi hvers frumþáttar úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Minnsti veldisvísir 2 og 3 í þáttununum er 1.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Þetta gefur $2^{1} \times 3^{1} = 6$ . Stærsti samdeilir 24, 42 og 30 er 6 og því geta í mesta lagi 6 bækur verið í hverri hillu.

Minnsta sameiginlega margfeldið fundið

Hugtakið margfeldi er nátengt hugtakinu deilir. Talan 5 er til dæmis deilir 45 og því er 45 margfeldi 5. Almennt gildir að ef $a$ deilir $b$ þá er $b$ margfeldi $a$ .

Þetta leiðir til hugtaksins minnsta sameiginlega margfeldis talnamengis. Sameiginlegt margfeldi talnamengis er margfeldi hverrar tölu í menginu. Talan 45 er til dæmis sameiginlegt margfeldi 9 og 5, því hún er margfeldi 9, þar sem 9 deilir 45, og einnig margfeldi 5. Minnsta sameiginlega margfeldi talnamengis er minnsta jákvæða sameiginlega margfeldi talnanna.

Að minnsta kosti þrjár leiðir eru til að finna minnsta sameiginlega margfeldi talnamengis og við skoðum tvær þeirra. Ein leið er að gera lista yfir margfeldi hverrar tölu og finna síðan minnsta margfeldið sem kemur fyrir á öllum listunum.

Dæmi 3.20

Minnsta sameiginlega margfeldið fundið með listum

Finndu minnsta sameiginlega margfeldi 24 og 90 með því að telja upp margfeldi og velja það minnsta sem þær eiga sameiginlegt.

Lausn

Gerðu lista yfir margfeldi hvorrar tölu.

Skref 1: Fyrstu 15 margfeldi 24:

24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, 288, 312, 336, 360.

Skref 2: Fyrstu 15 margfeldi 90:

90, 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810, 900, 990, 1.080, 1.170, 1.260, 1.350.

Eitt margfeldi, 360, kemur fyrir á báðum listum. Minnsta sameiginlega margfeldi 24 og 90 er því 360.

Önnur leið er að finna frumþáttun talnanna í menginu og byggja minnsta sameiginlega margfeldið út frá frumþáttum þeirra. Það má gera á svipaðan hátt og þegar stærsti samdeilir er fundinn. Eftirfarandi skref sýna hvernig frumþáttun er notuð til þess.

Skref 1: Finndu frumþáttun hverrar tölu.

Skref 2: Finndu allar frumtölur sem koma fyrir í einhverri frumþáttuninni.

Skref 3: Finndu stærsta veldisvísi hverrar frumtölu úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Skref 4: Margfaldaðu saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Dæmi 3.21

Minnsta sameiginlega margfeldið fundið með frumþáttun

Notaðu frumþáttun 24 og 90 til að finna minnsta sameiginlega margfeldi þeirra.

Lausn

Skref 1: Finndu frumþáttun hverrar tölu.

$24 = 2^{3} \times 3$

$90 = 2 \times 3^{2} \times 5$

Skref 2: Finndu allar frumtölur sem koma fyrir í einhverri frumþáttuninni.

Frumtölurnar sem koma fyrir í frumþáttununum eru 2, 3 og 5.

Skref 3: Finndu stærsta veldisvísi hverrar frumtölu úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Frumtala	2	3	5
Stærsti veldisvísir	3	2	1

Skref 4: Reiknaðu minnsta sameiginlega margfeldið með því að margfalda saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Minnsta sameiginlega margfeldi 24 og 90 er $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1} = 360$ .

Dæmi 3.22

Minnsta sameiginlega margfeldið fundið með frumþáttun

Notaðu frumþáttun 36, 66 og 250 til að finna minnsta sameiginlega margfeldi talnanna.

Lausn

Skref 1: Finndu frumþáttun hverrar tölu.

$36 = 2^{2} \times 3^{2}$

$66 = 2 \times 3 \times 11$

$250 = 2 \times 5^{3}$

Skref 2: Finndu allar frumtölur sem koma fyrir í einhverri frumþáttuninni.

Frumtölurnar sem koma fyrir í frumþáttununum eru 2, 3, 5 og 11.

Skref 3: Finndu stærsta veldisvísi hverrar frumtölu úr skrefi 2 í frumþáttununum.

Frumtala	2	3	5	11
Stærsti veldisvísir	2	2	3	1

Skref 4: Reiknaðu minnsta sameiginlega margfeldið með því að margfalda saman frumþættina úr skrefi 2, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 3.

Minnsta sameiginlega margfeldi 36, 66 og 250 er $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 11 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{3} \times 11^{1} = 49.500$ .

Það getur verið mjög tímafrekt að nota lista fyrir þrjár eða fleiri tölur, sérstaklega stórar tölur. Frumþáttun er oft mun fljótlegri, eins og í þessu dæmi. Í reynd má nota annaðhvort lista eða frumþáttun til að finna minnsta sameiginlega margfeldið.

Dæmi 3.23

Minnsta sameiginlega margfeldið fundið með báðum aðferðum

Finndu minnsta sameiginlega margfeldi 20, 36 og 45 með listum og frumþáttun.

Lausn

Skref 1: Notaðu lista. Skrifaðu upp margfeldin:

20	20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220
36	36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360
45	45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, 450, 495, 540

Minnsta talan sem kemur fyrir á öllum listunum er 180 og því er minnsta sameiginlega margfeldi 20, 36 og 45 jafnt og 180.

Skref 2: Finndu frumþáttun hverrar tölu.

$20 = 2^{2} \times 5$

$36 = 2^{2} \times 3^{2}$

$45 = 3^{2} \times 5$

Skref 3: Finndu allar frumtölur sem koma fyrir í einhverri frumþáttuninni.

Frumtölurnar sem koma fyrir í frumþáttununum eru 2, 3 og 5.

Skref 4: Finndu stærsta veldisvísi hverrar frumtölu úr skrefi 3 í frumþáttununum.

Frumtala	2	3	5
Stærsti veldisvísir	2	2	1

Skref 5: Reiknaðu minnsta sameiginlega margfeldið með því að margfalda saman frumþættina úr skrefi 3, hvern hafinn í veldið sem fannst í skrefi 4.

Minnsta sameiginlega margfeldi 20, 36 og 45 er $2^{2} \times 3^{2} \times 5^{1} = 180$ .

Bæði listarnir og frumþáttunin gáfu sömu niðurstöðu: minnsta sameiginlega margfeldið er 180.

Notkun minnsta sameiginlega margfeldisins

Í sumum verkefnum um minnsta sameiginlega margfeldi endurtaka atburðir sig með föstu millibili, til dæmis heimsóknir á stað. Í öðrum þarf að láta einingar af ólíkri stærð mynda jafnstóra heild, eins og í dæmi 3.25. Í báðum tilvikum er leitað að því hvenær tvö ferli falla saman.

Dæmi 3.24

Sameiginlegur tími fundinn með minnsta sameiginlega margfeldinu

Nemendurnir João og Amelia hittast dag einn á dvalarheimili þar sem þau starfa sem sjálfboðaliðar. João sinnir sjálfboðastarfi á 6 daga fresti en Amelia á 10 daga fresti. Hve margir dagar líða þar til þau verða aftur bæði þar sama dag?

Lausn

Ef við teljum upp dagana sem hvort þeirra sinnir sjálfboðastarfinu sést að leysa má verkefnið með minnsta sameiginlega margfeldi 6 og 10.

João verður á dvalarheimilinu eftir 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 og 48 daga.

Amelia verður á dvalarheimilinu eftir 10, 20, 30, 40, 50 og 60 daga.

Minnsta talan á báðum listum er 30. João og Amelia sinna því aftur sjálfboðastarfi saman eftir 30 daga.

Dæmi 3.25

Lágmarkshæð fundin með minnsta sameiginlega margfeldinu

Í hópeflisverkefni byggja lið spilaborg eins hátt og þau geta. Spilin eru þó misstór eftir liðum. Lið 1 notar 10 cm $\times ⁠$ 10 cm spil en lið 2 notar 8 cm $\times ⁠$ 8 cm spil. Hver er minnsta hæðin þar sem spilaborgir liðanna verða jafnháar? Hunsaðu breidd spilanna.

Lausn

Hér eru hlutir af ólíkri stærð settir saman. Við viljum finna minnstu sameiginlegu hæð spilaborganna. Turnar úr 10 cm $\times ⁠$ 10 cm spilum verða 10, 20, 30, 40, 50 og 60 cm háir. Turnar úr 8 cm $\times ⁠$ 8 cm spilum verða 8, 16, 24, 32, 40, 48 og 56 cm háir. Minnsta talan á báðum listum er 40. Turnarnir verða því fyrst jafnháir þegar þeir eru 40 cm.

Athugaðu skilning þinn

Tilgreindu hverjar talnanna hér á eftir eru frumtölur og hverjar eru samsettar tölur: 31, 56, 213, 48, 701

Finndu frumþáttun 4.570.

Finndu stærsta samdeili 410 og 144.

Finndu minnsta sameiginlega margfeldi 45 og 70.

Þú vilt fylla gjafapoka fyrir börn í frístundastarfi þar sem þú ert sjálfboðaliði. Þú átt 30 vaxliti, 20 límmiðablöð og 70 litla sælgætismola. Ef hver poki á að innihalda jafnmarga vaxliti, jafnmörg límmiðablöð og jafnmarga sælgætismola, hve marga poka er mest hægt að fylla?

Æfingar úr hluta 3.1

Notaðu deilanleikareglur í æfingunum hér á eftir til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 2.

1.345.321

Notaðu deilanleikareglur í æfingunum hér á eftir til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 3.

210

5.345.324

Notaðu deilanleikareglur í æfingunum hér á eftir til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 5.

130

237

1.345.321

Notaðu deilanleikareglur í æfingunum hér á eftir til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 9.

10.

11.

210

12.

5.345.325

Notaðu deilanleikareglur í æfingunum hér á eftir til að ákvarða hvort hver tala sé deilanleg með 12.

13.

14.

210

15.

5.355.324

16.

Tilgreindu hverjar talnanna hér á eftir eru frumtölur: {3, 27, 77, 131, 457}

17.

Tilgreindu hverjar talnanna hér á eftir eru frumtölur: {31, 97, 188, 389}

Finndu frumþáttun hverrar gefinnar tölu í æfingunum hér á eftir.

18.

19.

20.

21.

345

22.

938

23.

36.068

24.

8.211.679

Finndu stærsta samdeili hvers gefins talnamengis í æfingunum hér á eftir.

25.

{45, 245}

26.

{11, 24}

27.

{56, 44}

28.

{150, 600}

29.

{1.746, 28.324}

30.

{30, 40, 75}

31.

{19, 45, 70}

32.

{293, 7.298, 19.229}

33.

{3.927.473, 82.709, 1.210.121}

34.

Gerðu lista yfir sameiginlega deila 12 og 18. Hver er stærsti samdeilir 12 og 18? Hverjir af hinum sameiginlegu deilunum deila stærsta samdeilinum?

35.

Gerðu lista yfir sameiginlega deila 20 og 84. Hver er stærsti samdeilirinn? Hverjir af hinum sameiginlegu deilunum deila einnig stærsta samdeilinum?

36.

Gerðu lista yfir sameiginlega deila 120 og 88. Hver er stærsti samdeilirinn? Hverjir af hinum sameiginlegu deilunum deila einnig stærsta samdeilinum?

37.

Settu fram tilgátu um stærsta samdeili tveggja talna og aðra sameiginlega deila þeirra út frá svörunum við æfingum 34, 35 og 36.

38.

Rebecca vill skera tvær spýtur í jafnlanga búta án afgangs. Spýturnar eru 230 cm og 370 cm langar. Hver er mesta mögulega lengd hvers búts ef þeir eiga allir að vera jafnir?

39.

Yasmin leikur við yngri bróður sinn, Cameron. Þau flokka Skittles-mola eftir lit. Þau eiga 14 græna, 10 gula og 8 fjólubláa mola. Í hverjum hópi þurfa að vera jafnmargir grænir, jafnmargir gulir og jafnmargir fjólubláir molar. Hve marga hópa geta þau mest búið til?

40.

Gathii leggur flísar á vegg í eldhúsinu. Hann vill nota ferningslaga flísar til að þekja 330 cm

\times ⁠

12 cm svæði. Hver er mesta mögulega hliðarlengd flísanna?

41.

Deiji hannar keppni þar sem hvert lið fær jafnmarga tannstöngla, 5 únsa pappabolla og 2 cm langa spottabúta. Hún á 420 spottabúta, 300 pappabolla og 1.610 tannstöngla. Hve mörg lið geta mest tekið þátt ef hvert þeirra á að fá jafnmarga spottabúta, bolla og tannstöngla?

Finndu minnsta sameiginlega margfeldi gefna talnamengisins í æfingunum hér á eftir.

42.

{30, 40}

43.

{11, 24}

44.

{14, 45}

45.

{200, 450}

46.

{38.077, 9.088.687}

47.

{36, 42, 70}

48.

{7, 13, 36}

49.

{4.450.864, 339.889, 157.339}

50.

Benjamin og Mia vinna bæði á veitingastaðnum Grease Fire. Benjamin á frí fjórða hvern dag en Mia sjötta hvern dag. Hve margir dagar líða þar til þau eiga aftur frí sama dag?

51.

Tunglmánuður er 30 dagar að lengd þegar námundað er að heilum degi. Nýr tunglmánuður hefst á laugardegi. Hve margir dagar líða þar til tunglmánuður hefst aftur á laugardegi?

52.

Isabella býr til klippimynd fyrir verkefni og vill gera láréttan skurð í myndina. Hún notar fjólubláar efnisræmur sem eru 28 mm langar og gular pappírsræmur sem eru 36 mm langar. Hver er minnsta lengd skurðar sem hún getur gert með ræmum af þessum lengdum?

53.

Smástirni eru fyrirbæri sem ganga á braut um sólina. Minnsta fjarlægð smástirnis frá sólu á braut sinni kallast sólnánd. Umferðartími smástirnis er tíminn sem það tekur að fara nákvæmlega einn hring um sólina. Umferðartími smástirnisins Ceresar er 1.680 dagar en umferðartími Hygieu er 2.031 dagur. Gerum ráð fyrir að bæði séu í sólnánd sama dag. Hve margir dagar líða þar til Ceres og Hygiea verða bæði aftur í sólnánd sama dag?