33 Rauntalnakerfi og talnafræði

3.4 Ræðar tölur

Nærmynd af dagblaði sýnir breytingar á hlutabréfaverði. — **Mynd 3.20.** Hagnaður og tap af hlutabréfum eru oft sýnd í prósentum. (mynd: „stock market quotes in newspaper“ eftir Andreas Poike/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Skilgreint og þekkt ræðar tölur.
Stytt ræðar tölur og skrifað þær sem fullstytt brot.
Lagt saman og dregið frá ræðar tölur.
Breytt milli óeiginlegra brota og blandinna talna.
Breytt ræðum tölum milli tugabrotsritháttar og almennra brota.
Margfaldað ræðar tölur og deilt þeim.
Beitt forgangsröð reikniaðgerða á ræðar tölur til að einfalda stæður.
Beitt þéttleikaeiginleika ræðra talna.
Leyst verkefni með ræðum tölum.
Notað brot til að breyta milli eininga.
Skilgreint prósentur og beitt þeim.
Leyst verkefni með prósentum.

Oft eru prósentur eða brot notuð til að lýsa því hve stór hluti þýðis hefur tiltekinn eiginleika. Í tölunum sem notaðar eru hér er hlutfall háskólanema við opinberar stofnanir sem útskrifast innan sex ára 57,6%, eða 72/125. Brotið eitt og sér er erfitt að túlka en án samhengis er einnig erfitt að meta prósentuna. Við einkareknar stofnanir er hlutfallið 65,4%, eða 327/500. Auðvelt er að bera prósenturnar saman en brotin erfiðari vegna ólíkra nefnara. Söguleg gögn veita meira samhengi. Ein rannsókn greindi frá 56,4% sex ára útskriftarhlutfalli árið 1995. Samanburður við nýlegra hlutfall opinberra stofnana, 57,6%, sýnir að breytingin er lítil.

Ræðar tölur skilgreindar og þekktar

Ræð tala, á ensku rational number, þar sem rational vísar til hlutfalls, er brot þar sem teljarinn er heiltala og nefnarinn heiltala önnur en núll. Þótt skilgreiningin sé einföld má sýna ræðar tölur á marga vegu. Sérhver heiltala er ræð tala. Heiltöluna $n$ má skrifa sem brot tveggja heiltalna, $\frac{n}{1}$ .

Í einföldustu mynd er ræð tala heiltala deilt með heiltölu annarri en núlli, til dæmis $\frac{3}{12}$ . Brot má nota til að tákna hluta af heild. Nefnarinn segir í hve marga jafnstóra hluta heildinni er skipt og teljarinn hve margir hlutanna eru notaðir eða valdir. Ef pitsu er skipt í 8 jafna hluta er hver sneið $\frac{1}{8}$ af pitsunni. Þrjár sneiðar eru $\frac{3}{8}$ af pitsunni (mynd 3.21). Ef 5 af 20 einstaklingum eru með hatt er það $\frac{5}{20}$ hópsins (mynd 3.22).

Átta pitsusneiðar; þrjár þeirra eru auðkenndar. — **Mynd 3.21.** Pitsa skorin í 8 sneiðar og 3 þeirra auðkenndar

Hópur 20 einstaklinga; fimm þeirra eru með hatt. — **Mynd 3.22.** Hópur 20 einstaklinga þar sem 5 eru með hatt

Ræðar tölur má einnig skrifa sem blöndnar tölur, til dæmis $2 \frac{5}{8}$ (mynd 3.23). Það táknar heila tölu, hér 2, að viðbættu broti, hér $\frac{5}{8}$ .

Tvær heilar pitsur og 5 sneiðar af þeirri þriðju. Hver heil pitsa er 8 sneiðar. — **Mynd 3.23.** Tvær heilar pitsur og hluti af þeirri þriðju

Ræðar tölur má einnig skrifa sem tugabrot, til dæmis 1,34. Tugabrotshlutinn 0,34 táknar brotið $\frac{34}{100}$ og talan 1,34 er jöfn $1 \frac{34}{100}$ . Ekki tákna þó öll tugabrot ræðar tölur.

Endanlegt tugabrot hefur endanlegan fjölda aukastafa, eins og 1,34. Líta má svo á að allir aukastafir á eftir þeim síðasta séu núll.

Allar tölur sem má skrifa sem endanlegt tugabrot eru ræðar. Tugabrotshlutinn táknar brot þar sem nefnarinn er viðeigandi veldi af 10. Veldisvísirinn er fjöldi aukastafa; 0,34 hefur tvo aukastafi og er jafnt $\frac{34}{100}$ .

Einnig er ræð tala tugabrot með endurtekinni lotu, til dæmis 67,1313… Þegar ræð tala er skrifuð sem lotubundið tugabrot er sérstakt tákn notað yfir lotuna. Tugabrotið 4,3636… er skrifað $4, \overline{36}$ . Strikið yfir 36 sýnir að 36 endurtekur sig endalaust.

Ef tugabrotsframsetning tölu er hvorki endanleg né lotubundin er talan ekki ræð.

Til óræðra talna teljast ferningsrætur jákvæðra heiltalna eða jákvæðra ræðra talna sem eru ekki ferningstölur, til dæmis $\sqrt{10}$ og $\sqrt{\frac{25}{6}}$ . Óneikvæða talan $b$ er ferningsrót $a$ ef $a = b^{2}$ . Þetta er táknað $b = \sqrt{a}$ , þar sem $\sqrt$ er ferningsrótarmerki. Heil ferningstala er heiltala sem má skrifa sem annað veldi heiltölu. Ræð ferningstala er ræð tala sem má skrifa sem brot tveggja ferningstalna.

Stundum þekkir þú ferningstölu úr minni. Einnig má þátta töluna sem margfeldi heiltölu með sjálfri sér eða nota reiknivél, til dæmis Desmos, til að finna ferningsrótina. Ef ferningsrótin er nákvæmlega heiltala er upphaflega talan ferningstala. Námunduð reiknivélarniðurstaða ein og sér nægir ekki til að staðfesta það.

Dæmi 3.51

Ferningstölur þekktar

Hverjar talnanna hér á eftir eru ferningstölur?

Lausn

Við getum kannað með þáttun hvort talan sé ferningstala. Þáttapör 45 eru $1 \times 45, 3 \times 15$ og $5 \times 9$ . Ekkert paranna er tala margfölduð með sjálfri sér og því er 45 ekki ferningstala. Reiknivél gefur ferningsrót 45 sem 6,708, námundað að þremur aukastöfum. Þar sem það er ekki heiltala er 45 ekki ferningstala.
Við getum kannað með þáttun hvort talan sé ferningstala. Meðal þáttapara 144 eru $1 \times 144, 2 \times 72, 3 \times 48, 6 \times 24, 8 \times 18$ og $12 \times 12$ . Þar sem síðasta parið er heiltala margfölduð með sjálfri sér er 144 ferningstala. Desmos gefur ferningsrót 144 sem 12. Þar sem ferningsrótin er heiltala er 144 ferningstala.

Dæmi 3.52

Ræðar tölur þekktar

Ákvarðaðu hverjar talnanna hér á eftir eru ræðar:

$\sqrt{73}$
$4,556$
$3 \frac{1}{5}$
$\frac{41}{17}$
$5, \overline{64}$

Lausn

Þar sem 73 er ekki ferningstala er ferningsrót hennar ekki ræð tala. Reiknivél gefur nálgun að ferningsrótinni. Þegar $\sqrt{73}$ er slegið inn fæst 8,544003745317 og fleiri aukastafir. Röksemdin fyrir óræðni byggist á því að 73 er ekki ferningstala; endanlegur listi aukastafa sannar hana ekki.
Þar sem 4,556 er endanlegt tugabrot er það ræð tala.
$3 \frac{1}{5}$ er blönduð tala og því ræð tala.
$\frac{41}{17}$ er heiltala deilt með heiltölu og því ræð tala.
$5,646464...$ er lotubundið tugabrot og því ræð tala.

Ræðar tölur styttar og skrifaðar sem fullstytt brot

Ræð tala er ein leið til að tákna deilingu tveggja heiltalna. Sama gildi má því oft skrifa með mörgum ólíkum brotum. Brotin $\frac{4}{5}$ og $\frac{12}{15}$ hafa til dæmis sama gildi; reiknivél gefur bæði sem 0,8. Jafngildi brotanna má einnig sjá á mynd.

Á mynd 3.25 sést að $\frac{3}{5}$ rétthyrningsins og $\frac{9}{15}$ hans hafa sama flatarmál.

Tveir rétthyrningar eru sýndir á rúðuneti með 15 röðum og 20 einingarferningum í hverri röð. Fyrri rétthyrningnum er skipt í 5 jafna hluta með 3 einingarferningum í hverjum; 3 hlutar eru skyggðir og merktir sem þrír fimmtu hlutar. Seinni rétthyrningnum er skipt í 15 jafna einingarferninga; 9 eru skyggðir og merktir 9 af 15. — **Mynd 3.25.** Tveir rétthyrningar með jafnstór skyggð svæði

Sama hlutfall flatarmáls hvors rétthyrnings er skyggt. Vinstri rétthyrningurinn hefur 5 hluta og 3 þeirra eru skyggðir. Sá hægri hefur 15 hluta og 9 eru skyggðir. Hverjum hluta vinstra rétthyrningsins var skipt jafnt í þrjá. Teljarinn 3 verður því $3 \times 3$ , eða 9, og nefnarinn 5 verður $5 \times 3$ , eða 15. Brotin $\frac{3}{5}$ og $\frac{9}{15}$ eru jafngild því þau tákna sama hluta.

Myndræn skýring jafngildra brota er gagnleg en almennt óhentug til að ákvarða hvort brot séu jafngild. Til að kanna hvort $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ séu jafngild athugum við hvort $a \times d = b \times c$ . Séu margfeldin jöfn eru brotin jafngild.

Dæmi 3.53

Ákvarðað hvort tvö brot séu jafngild

Ákvarðaðu hvort $\frac{12}{30}$ og $\frac{14}{35}$ séu jafngild brot.

Lausn

Samkvæmt skilgreiningunni eru $a = 12, b = 30, c = 14$ og $d = 35$ . Þá er $a \times d = 12 \times 35 = 420$ og $b \times c = 30 \times 14 = 420$ . Þar sem gildin eru jöfn eru brotin jafngild.

Ástæðan fyrir því að $a \times d = b \times c$ sýnir að brotin $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ eru jafngild byggist á algebru. Fyrir náttúrlegar, heilar, ræðar og óræðar tölur gildir að fyrir hvaða þrjár tölur $a, b,$ og $c$ sem er, þar sem $c \neq 0$ , ef $a = b$ , þá er $a / c = b / c$ . Þegar jafnar tölur eru báðar deildar með sömu tölu annarri en núlli verða niðurstöðurnar einnig jafnar. Þessu má beita á $a \times d$ og $b \times c$ til að sýna að $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ eru jafngild ef $a \times d = b \times c$ .

Ef $a \times d = c \times b$ og $b \neq 0, d \neq 0$ má deila báðum hliðum með b og fá $\frac{a \times d}{b} = \frac{c \times b}{b}$ . Stytta má $b$ út hægra megin og fá $\frac{a \times d}{b} = c$ . Síðan má deila báðum hliðum með $d$ og fá $\frac{a \times d}{b \times d} = \frac{c}{d}$ . Þegar $d$ er stytt út vinstra megin fæst $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Ræðu tölurnar $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ eru því jafngildar þegar $a \times d = c \times b$ .

Sameiginlegur deilir eða þáttur heiltalnamengis deilir öllum tölum mengisins. Ef teljari og nefnari brots eiga sameiginlegan deili má stytta hann út. Þetta er kallað að stytta sameiginlega þætti eða einfaldlega að stytta brotið.

Skoðum brotið $\frac{36}{63}$ . Teljari og nefnari eiga sameiginlega þáttinn 3. Skrifa má brotið $\frac{36}{63} = \frac{12 \times 3}{21 \times 3}$ . Sameiginlegi þátturinn 3 er styttur út og fæst $\frac{12 \times 3}{21 \times 3} = \frac{12}{21}$ . Strik yfir þristana sýnir að þeir hafa verið styttir út. Ferlið kallast að stytta brotið.

Ef teljari og nefnari eiga engan sameiginlegan jákvæðan deili annan en 1 er brotið fullstytt.

Að stytta sameiginlega þætti úr teljara og nefnara kallast að stytta brotið.

Ein leið til að fullstytta brot er að finna stærsta samdeili teljara og nefnara og stytta hann út. Einnig má stytta sameiginlega deila þar til enginn sameiginlegur jákvæður þáttur annar en 1 er eftir.

Dæmi 3.54

Brot fullstytt

Skrifaðu ræðu tölurnar hér á eftir sem fullstytt brot:

$\frac{36}{48}$
$\frac{100}{250}$
$\frac{51}{136}$

Lausn

Ein leið til að fullstytta $\frac{36}{48}$ er að finna stærsta samdeili 36 og 48, sem er 12, og stytta hann út.
Skref 1: Skrifaðu teljara og nefnara með því að taka 12 út sem þátt.
$\frac{36}{48} = \frac{12 \times 3}{12 \times 4}$
Skref 2: Nú má stytta 12 út úr teljara og nefnara.
$\frac{36}{48} = \frac{12 \times 3}{12 \times 4} = \frac{3}{4}$
Þegar $\frac{36}{48}$ er fullstytt fæst því $\frac{3}{4}$ .
Einnig má finna sameiginlegan þátt, stytta hann út og endurtaka ferlið þar til brotið er fullstytt.
Skref 1: Talan 4 er sameiginlegur þáttur 36 og 48.
Skref 2: Styttu 4 út, eins og í $\frac{36}{48} = \frac{4 \times 9}{4 \times 12} = \frac{4 \times 9}{4 \times 12} = \frac{9}{12}$ .
Skref 3: Þegar 9 og 12 eru skoðuð sést að 3 er sameiginlegur þáttur; styttu 3 út, eins og í $\frac{9}{12} = \frac{3 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{4}$ . Tölurnar 3 og 4 eiga engan sameiginlegan jákvæðan þátt annan en 1 og því er brotið fullstytt.
Þegar $\frac{36}{48}$ er fullstytt fæst því $\frac{3}{4}$ .
Skref 1: Til að fullstytta $\frac{100}{250}$ finnum við stærsta samdeili 100 og 250. Hann er 50.
Skref 2: Þá má skrifa teljara og nefnara með því að taka 50 út sem þátt úr báðum.
$\frac{100}{250} = \frac{50 \times 2}{50 \times 5}$ .
Skref 3: Nú má stytta 50 út úr teljara og nefnara.
$\frac{100}{250} = \frac{50 \times 2}{50 \times 5} = \frac{2}{5}$
Þegar $\frac{100}{250}$ er fullstytt fæst því $\frac{2}{5}$ .
Skref 1: Til að fullstytta $\frac{51}{136}$ finnum við stærsta samdeili 51 og 136. Hann er 17.
Skref 2: Þá má skrifa teljara og nefnara með því að taka 17 út sem þátt úr báðum.
$\frac{51}{136} = \frac{17 \times 3}{17 \times 8}$
Skref 3: Nú má stytta 17 út úr teljara og nefnara.
$\frac{51}{136} = \frac{17 \times 3}{17 \times 8} = \frac{3}{8}$
Þegar $\frac{51}{136}$ er fullstytt fæst því $\frac{3}{8}$ .

Samlagning og frádráttur ræðra talna

Leggja má ræðar tölur saman eða draga þær frá með reiknivél. Reiknivélin skilar oft tugabrotsframsetningu. Einnig má reikna með almennum brotum með því að finna sameiginlegan nefnara.

Dæmi 3.55

Ræðar tölur lagðar saman með Desmos

Reiknaðu $\frac{23}{42} + \frac{9}{56}$ með Desmos.

Lausn

Sláðu $\frac{23}{42} + \frac{9}{56}$ inn í Desmos. Niðurstaðan birtist sem $0,70833333333$ (sem er $0,708 \overline{3}$ ). Ef smellt er á brothnappinn vinstra megin við útreikningslínuna fæst $\frac{17}{24}$ .

Samlagning og frádráttur án reiknivélar geta verið fyrirhafnarmeiri. Þegar ræðu tölurnar hafa sama nefnara er einfalt að leggja þær saman eða draga aðra frá hinni. Leggðu teljarana saman eða dragðu þá frá og settu niðurstöðuna í teljara yfir sameiginlega nefnaranum. Með táknum er þetta $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$ . Þetta sést á mynd 3.27, þar sem $\frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$ .

Einn rétthyrningur á rúðuneti með 15 röðum og 20 dálkum. Honum er skipt í 5 raðir og 4 dálka, alls 20 jafnstóra reiti. Fjórir efstu reitirnir eru grænir og þrír neðstu reitirnir bleikir. Merkingarnar sýna 4/20 fyrir efra skyggða svæðið og 3/20 fyrir það neðra. Jafnan við hliðina er 3/20 + 4/20 = 7/20. — **Mynd 3.27.** Rétthyrningur skyggður að hluta

Venja er að skrifa síðan niðurstöðuna sem fullstytt brot.

Dæmi 3.56

Ræðar tölur með sama nefnara lagðar saman

Reiknaðu $\frac{13}{28} + \frac{7}{28}$ .

Lausn

Þar sem ræðu tölurnar hafa sama nefnara leggjum við teljarana saman, $13 + 7$ , og setjum niðurstöðuna yfir sameiginlega nefnarann 28: $\frac{13}{28} + \frac{7}{28} = \frac{13 + 7}{28} = \frac{20}{28}$

Síðan fullstyttum við niðurstöðuna og fáum $\frac{20}{28} = \frac{4 \times 5}{4 \times 7} = \frac{4 \times 5}{4 \times 7} = \frac{5}{7}$ .

Dæmi 3.57

Ræð tala dregin frá annarri með sama nefnara

Reiknaðu $\frac{45}{136} - \frac{17}{136}$ .

Lausn

Þar sem ræðu tölurnar hafa sama nefnara drögum við síðari teljarann frá þeim fyrri, $45 - 17$ , og setjum niðurstöðuna yfir sameiginlega nefnarann 136: $\frac{45}{136} - \frac{17}{136} = \frac{45 - 17}{136} = \frac{28}{136}$

Síðan fullstyttum við niðurstöðuna og fáum $\frac{28}{136} = \frac{4 \times 7}{4 \times 34} = \frac{4 \times 7}{4 \times 34} = \frac{7}{34}$ .

Þegar ræðu tölurnar hafa ekki sama nefnara þarf að umbreyta þeim svo að þær fái sameiginlegan nefnara. Sá sameiginlegi nefnari sem minnkar vinnuna síðar í dæminu er minnsta sameiginlega margfeldi nefnaranna. Við fylgjum skrefunum hér á eftir þegar ræðu tölurnar $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ eru lagðar saman eða önnur dregin frá hinni.

Skref 1: Finndu minnsta sameiginlega margfeldið, $LCM (b, d)$ .

Skref 2: Reiknaðu $n = \frac{LCM (b, d)}{b}$ og $m = \frac{L C M (b, d)}{d}$ .

Skref 3: Margfaldaðu teljara og nefnara $\frac{a}{b}$ með $n$ og fáðu $\frac{a \times n}{b \times n}$ .

Skref 4: Margfaldaðu teljara og nefnara $\frac{c}{d}$ með $m$ og fáðu $\frac{c \times m}{d \times m}$ .

Skref 5: Leggðu saman eða dragðu frá ræðu tölurnar úr skrefum 3 og 4, þar sem þær hafa nú sama nefnara.

Sameiginlegi nefnarinn er $LCM (b, d)$ . Fyrir fyrri nefnarann gildir $b \times n = b \times \frac{L C M (b, d)}{b} = L C M (b, d)$ , því margfaldað er og deilt með sömu tölunni. Þannig fæst $LCM (b, d)$ . Fyrir síðari nefnarann gildir á sama hátt $d \times m = d \times \frac{L C M (b, d)}{d} = L C M (b, d)$ .

Dæmi 3.58

Ræðar tölur með ólíka nefnara lagðar saman

Reiknaðu $\frac{11}{18} + \frac{2}{15}$ .

Lausn

Nefnarar brotanna eru 18 og 15 og því látum við $b = 18$ og $d = 15$ .

Skref 1: Finndu LCM(18,15). Það er 90.

Skref 2: Reiknaðu $n$ og $m$ : $n = \frac{90}{18} = 5$ og $m = \frac{90}{15} = 6$ .

Skref 3: Þegar teljari og nefnari $\frac{11}{18}$ eru margfaldaðir með $n = 5$ fæst $\frac{11 \times 5}{18 \times 5} = \frac{55}{90}$ .

Skref 4: Þegar teljari og nefnari $\frac{2}{15}$ eru margfaldaðir með $m = 6$ fæst $\frac{2 \times 6}{15 \times 6} = \frac{12}{90}$ .

Skref 5: Nú leggjum við saman gildin úr skrefum 3 og 4: $\frac{55}{90} + \frac{12}{90} = \frac{67}{90}$ .

Brotið er fullstytt og því höfum við sýnt að $\frac{11}{18} + \frac{2}{15} = \frac{67}{90}$ .

Dæmi 3.59

Ræð tala dregin frá annarri með ólíkan nefnara

Reiknaðu $\frac{14}{25} - \frac{9}{70}$ .

Lausn

Nefnarar brotanna eru 25 og 70 og því látum við $b = 25$ og $d = 70$ .

Skref 1: Finndu LCM(25,70). Það er 350.

Skref 2: Reiknaðu $n$ og $m$ : $n = \frac{350}{25} = 14$ og $m = \frac{350}{70} = 5$ .

Skref 3: Þegar teljari og nefnari $\frac{14}{25}$ eru margfaldaðir með $n = 14$ fæst $\frac{14 \times 14}{25 \times 14} = \frac{196}{350}$ .

Skref 4: Þegar teljari og nefnari $\frac{9}{70}$ eru margfaldaðir með $m = 5$ fæst $\frac{9 \times 5}{70 \times 5} = \frac{45}{350}$ .

Skref 5: Nú drögum við gildið úr skrefi 4 frá gildinu úr skrefi 3: $\frac{196}{350} - \frac{45}{350} = \frac{151}{350}$ .

Brotið er fullstytt og því höfum við sýnt að $\frac{14}{25} - \frac{9}{70} = \frac{151}{350}$ .

Breytt milli óeiginlegra brota og blandinna talna

Ein leið til að sjá brot fyrir sér er sem hluta af heild, til dæmis $\frac{5}{12}$ úr pitsu. Þegar teljarinn er stærri en nefnarinn, eins og í $\frac{23}{12}$ , virðist hugmyndin um hluta af heild hins vegar ekki eiga við. Slíkt brot er óeiginlegt brot. Það má skrifa sem heila tölu að viðbættu broti, það er blandaða tölu. Brotið $\frac{23}{12}$ verður $1 \frac{11}{12}$ sem blönduð tala. Reikningslega jafngildir $1 \frac{11}{12}$ stæðunni $1 + \frac{11}{12}$ , sem er lesin „einn og ellefu tólftu“.

Óeiginlegum brotum má breyta í blandaðar tölur með deilingu og afgangi. Til að finna blandaða tölu sem jafngildir óeiginlegu broti er teljaranum deilt með nefnaranum. Kvótinn verður heiltöluhlutinn og afgangurinn verður teljari brotshlutans.

Dæmi 3.60

Óeiginlegu broti breytt í blandaða tölu

Skrifaðu $\frac{48}{13}$ sem blandaða tölu.

Lausn

Þegar 48 er deilt með 13 fæst 3 og afgangurinn 9. Því má skrifa $\frac{48}{13}$ sem $3 \frac{9}{13}$ .

Á sama hátt má breyta blandaðri tölu í óeiginlegt brot. Fyrst er heiltöluhlutanum breytt í brot með því að skrifa heiltöluna yfir 1 og síðan eru brotin lögð saman.

Einnig má margfalda heiltöluhlutann með nefnara brotshlutans, leggja margfeldið við teljarann og skrifa loks summuna yfir nefnarann.

Dæmi 3.61

Blandaðri tölu breytt í óeiginlegt brot

Skrifaðu $5 \frac{4}{9}$ sem óeiginlegt brot.

Lausn

Skref 1: Margfaldaðu heiltöluhlutann 5 með nefnaranum 9 og fáðu $5 \times 9 = 45$ .

Skref 2: Leggðu margfeldið við teljarann og fáðu $45 + 4 = 49$ .

Skref 3: Skrifaðu summuna 49 yfir nefnarann 9 og fáðu $\frac{49}{9}$ .

Breytt milli tugabrots- og brotaforms ræðra talna

Áður en tölum er breytt milli almenns brots og tugabrots þarf að skilja hvað tugabrot tákna. Tugabrotið 4,557 er jafnt $4 \frac{557}{1.000}$ . Tugabrotshlutinn 0,557 er 557 deilt með 1.000. Til að skrifa tugabrotshluta endanlegs tugabrots sem almennt brot er heiltölunni, sem fæst þegar tugabrotsmerkinu er sleppt, deilt með 10 í veldi sem jafngildir fjölda aukastafa. Þar sem 4,557 hefur þrjá aukastafi deilum við 557 með $10^{3} = 1000$ .

Tugabrotsframsetningar geta verið mjög langar. Þá er hentugt að námunda að tilteknum fjölda aukastafa. Til að námunda tugabrot að $n$ aukastöfum er tölustafurinn í sæti $n + 1$ skoðaður. Sé hann 0, 1, 2, 3 eða 4 eru aðeins fyrstu $n$ aukastafirnir skrifaðir. Sé tölustafurinn í sæti $n + 1$ hins vegar 5, 6, 7, 8 eða 9 er $n$ -ti aukastafurinn hækkaður um einn og tekið yfir í fyrri sæti ef þarf. Þannig er námundað að $n$ aukastöfum; öllum aukastöfum á eftir þeim $n$ -ta er sleppt.

Dæmi 3.62

Tugabrot námundað að þremur aukastöfum

Námundaðu 5,67849 að þremur aukastöfum.

Lausn

Þriðji aukastafurinn er 8 og næsti tölustafur er 4. Þegar næsti tölustafur er 4 er talan aðeins skrifuð að þriðja aukastaf. Talan 5,67849 námunduð að þremur aukastöfum er því 5,678.

Dæmi 3.63

Tugabrot námundað að fjórum aukastöfum

Námundaðu 45,11475 að fjórum aukastöfum.

Lausn

Fjórði aukastafurinn er 7 og næsti tölustafur er 5. Fyrst skrifum við töluna að fjórða aukastaf, 45,1147, og hækkum síðan fjórða aukastafinn um einn. Þá fæst 45,1148. Talan 45,11475 námunduð að fjórum aukastöfum er því 45,1148.

Til að breyta ræðri tölu úr almennu broti í tugabrot skaltu framkvæma deilinguna með reiknivél.

Dæmi 3.64

Ræðri tölu breytt úr almennu broti í tugabrot

Breyttu $\frac{47}{25}$ í tugabrot.

Lausn

Þegar 47 er deilt með 25 á reiknivél fæst 1,88.

Endanlegu tugabroti má breyta í almennt brot með skrefunum hér á eftir:

Skref 1: Teldu aukastafi tölunnar og táknaðu fjöldann með $n$ .

Skref 2: Reiknaðu 10 í $n$ -ta veldi.

Skref 3: Skrifaðu töluna án tugabrotsmerkisins.

Skref 4: Tölunni úr skrefi 3 er deilt með niðurstöðunni úr skrefi 2. Útkoman er almenna brotið.

Ferlið byggist á merkingu tugabrota og reikningi með blönduðum tölum. Breytum til dæmis 7,4536 í almennt brot. Tugabrotshlutinn 0,4536 hefur fjóra aukastafi. Samkvæmt skilgreiningu tugabrotsritháttar táknar hann $\frac{4.536}{10^{4}} = \frac{4.536}{10.000}$ . Tugabrotið 7,4536 er jafnt blöndnu tölunni $7 \frac{4.536}{10.000}$ . Þegar liðirnir eru lagðir saman fæst óeiginlega brotið $\frac{74.536}{10.000}$ .

Dæmi 3.65

Endanlegu tugabroti breytt í almennt brot

Breyttu 3,2117 í almennt brot.

Lausn

Skref 1: Fjórir tölustafir eru á eftir tugabrotsmerkinu og því er $n = 4$ .

Skref 2: Reiknaðu 10 í fjórða veldi: $10^{4} = 10.000$ .

Skref 3: Þegar tugabrotsmerkið er fjarlægt fæst 32.117.

Skref 4: Teljarinn er niðurstaðan úr skrefi 3 og nefnarinn niðurstaðan úr skrefi 2. Brotið er því $\frac{32.117}{10.000}$ .

Annað ferli þarf þegar lotubundnu tugabroti er breytt í almennt brot. Það ferli kemur fyrir í æfingum í lok hlutans.

Ræðar tölur margfaldaðar og þeim deilt

Einfaldara er að margfalda ræðar tölur en að leggja þær saman eða draga frá, því ekki þarf að finna sameiginlegan nefnara. Margfaldaðu teljarana saman, síðan nefnarana saman og skrifaðu margfeldi teljaranna yfir margfeldi nefnaranna. Með táknum er $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ . Niðurstöðuna á alltaf að fullstytta.

Dæmi 3.66

Ræðar tölur margfaldaðar

Reiknaðu $\frac{12}{25} \times \frac{10}{21}$ .

Lausn

Margfaldaðu teljarana og settu margfeldið í teljara; margfaldaðu síðan nefnarana og settu margfeldið í nefnara.

$\frac{12}{25} \times \frac{10}{21} = \frac{12 \times 10}{25 \times 21} = \frac{120}{525}$

Brotið er ekki fullstytt og þarf því að stytta það. Stærsti samdeilir 120 og 525 er 15.

$\frac{120}{525} = \frac{15 \times 8}{15 \times 35} = \frac{8}{35}$

Eins og við margföldun má deila ræðum tölum með reiknivél.

Dæmi 3.67

Tugabrotum deilt með reiknivél

Reiknaðu 3,45 ÷ 2,341 með reiknivél. Námundaðu að þremur aukastöfum ef þörf krefur.

Lausn

Með reiknivél fæst 1,473729175565997. Námundað að þremur aukastöfum er það 1,474.

Áður en við skoðum deilingu brota án reiknivélar skulum við rifja upp margföldunarandhverfu. Margföldunarandhverfa tölu annarrar en núll er 1 deilt með tölunni. Margföldunarandhverfa brots fæst með því að víxla teljara og nefnara. Margföldunarandhverfa $\frac{a}{b}$ er $\frac{b}{a}$ . Mikilvægur eiginleiki tölu og margföldunarandhverfu hennar er að margfeldi þeirra er 1.

Þegar tveimur brotum er deilt án reiknivélar er margföldunarandhverfa deilisins fundin. Síðan er deilinum skipt út fyrir margföldunarandhverfu hans, deilingunni breytt í margföldun og margföldunin framkvæmd. Með táknum er $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$ . Fullstyttu niðurstöðuna eins og áður.

Dæmi 3.68

Ræðum tölum deilt

Reiknaðu $\frac{4}{21} \div \frac{6}{35}$ .
Reiknaðu $\frac{1}{8} \div \frac{5}{28}$ .

Lausn

Skref 1: Finndu margföldunarandhverfu deilisins $\frac{6}{35}$ . Hún er $\frac{35}{6}$ .
Skref 2: Margfaldaðu fyrra brotið með margföldunarandhverfunni.
$\frac{4}{21} \div \frac{6}{35} = \frac{4}{21} \times \frac{35}{6} = \frac{140}{126}$
Svarið $\frac{140}{126}$ er ekki fullstytt. Stærsti samdeilir 140 og 126 er 14. Með þáttun og styttingu fæst $\frac{140}{126} = \frac{14 \times 10}{14 \times 9} = \frac{10}{9}$ .
Skref 1: Finndu margföldunarandhverfu deilisins $\frac{5}{28}$ . Hún er $\frac{28}{5}$ .
Skref 2: Margfaldaðu fyrra brotið með margföldunarandhverfunni: $\frac{1}{8} \div \frac{5}{28} = \frac{1}{8} \times \frac{28}{5} = \frac{28}{40}$
Svarið $\frac{28}{40}$ er ekki fullstytt. Stærsti samdeilir 28 og 40 er 4. Með þáttun og styttingu fæst $\frac{28}{40} = \frac{4 \times 7}{4 \times 10} = \frac{7}{10}$ .

Forgangsröð reikniaðgerða notuð til að einfalda stæður

Forgangsröð reikniaðgerða er sú sama fyrir ræðar tölur og heiltölur, eins og fjallað var um í hlutanum Forgangsröð reikniaðgerða. Hún tryggir að allir fái sömu réttu niðurstöðuna. Til að muna röðina er oft stuðst við ensku skammstöfunina PEMDAS:

$P$	Svigar (enska: parentheses)
E	Veldi (enska: exponents)
M/D	Margföldun og deiling (enska: multiplication og division)
A/S	Samlagning og frádráttur (enska: addition og subtraction)

Fyrst eru reikniaðgerðir innan sviga framkvæmdar. Síðan eru veldareikningar framkvæmdir, þá öll margföldun og deiling frá vinstri til hægri og loks samlagning og frádráttur frá vinstri til hægri.

Dæmi 3.69

Forgangsröð reikniaðgerða beitt á ræðar tölur

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna $(\frac{5}{7} - \frac{2}{7}) \times 2^{3}$ .

Lausn

Skref 1: Framkvæmdu alla reikninga innan sviga áður en aðrar reikniaðgerðir eru framkvæmdar.

$(\frac{5}{7} - \frac{2}{7}) \times 2^{3} = (\frac{3}{7}) \times 2^{3}$

Skref 2: Þegar allir svigar hafa verið leystir upp reiknum við næst veldin.

$(\frac{3}{7}) \times 2^{3} = (\frac{3}{7}) \times 8$

Skref 3: Framkvæmdu nú alla margföldun og deilingu frá vinstri til hægri.

$(\frac{3}{7}) \times 8 = \frac{24}{7}$

Dæmi 3.70

Forgangsröð reikniaðgerða beitt á ræðar tölur

Beittu reglum um forgangsröð reikniaðgerða rétt til að reikna $4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{2}{3} + 5))}^{2}$ .

Lausn

Framkvæmdu alla reikninga innan sviga áður en aðrar reikniaðgerðir eru framkvæmdar. Reiknaðu fyrst úr innsta sviganum. Reikna má úr aðskildum svigum samtímis.

Skref 1: Innsti sviginn inniheldur $\frac{2}{3} + 5$ . Leggðu saman eftir að hafa fundið sameiginlegan nefnara.

$\begin{array}{l} 4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{2}{3} + 5))}^{2} \\ = 4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{2}{3} + \frac{5}{1}))}^{2} \\ = 4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{2}{3} + \frac{15}{3}))}^{2} \\ = 4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{17}{3}))}^{2} \end{array}$

Skref 2: Reiknaðu veldið innan svigans, ${(\frac{5}{9})}^{2}$ .

$\begin{array}{l} 4 + \frac{2}{3} \div {({(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{17}{3}))}^{2} \\ = 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{25}{81}) - (\frac{17}{3}))}^{2} \end{array}$

Skref 3: Framkvæmdu frádráttinn innan svigans með sameiginlegum nefnara.

$\begin{array}{l} 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{25}{81}) - (\frac{17}{3}))}^{2} \\ 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{25}{81}) - (\frac{17 \times 27}{3 \times 27}))}^{2} \\ 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{25}{81}) - (\frac{459}{81}))}^{2} \\ 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{- 434}{81}))}^{2} \end{array}$

Skref 4: Reiknaðu nú veldið og deildu.

$\begin{array}{l} 4 + \frac{2}{3} \div {((\frac{- 434}{81}))}^{2} \\ 4 + \frac{2}{3} \div (\frac{188.356}{6.561}) \\ = 4 + \frac{2}{3} \times (\frac{6.561}{188.356}) \\ = 4 + \frac{2.187}{94.178} \end{array}$

Skref 5: Leggðu saman.

$\begin{array}{l} 4 + \frac{2.187}{94.178} \\ = \frac{378.899}{94.178} \end{array}$

Hefði þetta verið reiknað á reiknivél væri tugabrotsframsetning svarsins 4,0232, námunduð að fjórum aukastöfum.

Þéttleikaeiginleiki ræðra talna notaður

Milli sérhverra tveggja ólíkra ræðra talna er önnur ræð tala. Þetta kallast þéttleikaeiginleiki ræðra talna.

Mjög einfalt er að finna ræða tölu milli tveggja ræðra talna.

Skref 1: Leggðu ræðu tölurnar tvær saman.

Skref 2: Deildu niðurstöðunni með 2.

Niðurstaðan er alltaf ræð tala. Það leiðir af eiginleikum ræðra talna: summa tveggja brota er brot og þegar broti er deilt með broti — en 2 má skrifa sem brot — fæst annað brot. Þetta tveggja skrefa ferli gefur því ræða tölu ef upphaflegu tölurnar tvær voru ræðar.

Dæmi 3.71

Þéttleikaeiginleiki ræðra talna notaður

Sýndu þéttleikaeiginleika ræðra talna með því að finna ræða tölu milli $\frac{4}{11}$ og $\frac{7}{12}$ .

Lausn

Til að finna ræða tölu milli $\frac{4}{11}$ og $\frac{7}{12}$ :

Skref 1: Leggðu brotin saman.

$\frac{4}{11} + \frac{7}{12} = \frac{4 \times 12}{11 \times 12} + \frac{7 \times 11}{12 \times 11} = \frac{48}{132} + \frac{77}{132} = \frac{125}{132}$

Skref 2: Deildu niðurstöðunni með 2. Mundu að deiling með 2 jafngildir margföldun með margföldunarandhverfu 2. Hún er $\frac{1}{2}$ , eins og sýnt er hér að neðan.

$\frac{125}{132} \div 2 = \frac{125}{132} \times \frac{1}{2} = \frac{125}{264}$

Ein ræð tala milli $\frac{4}{11}$ og $\frac{7}{12}$ er því $\frac{125}{264}$ .

Staðfesta má að talan liggi milli hinna tveggja með tugabrotsframsetningum þeirra. Reiknivél gefur 0,363636…, 0,473484848… og 0,5833333…. Hér sést greinilega að $\frac{125}{264}$ liggur milli $\frac{4}{11}$ og $\frac{7}{12}$ .

Verkefni með ræðum tölum leyst

Ræðar tölur eru notaðar við margvíslegar aðstæður, stundum til að tákna hluta af heild og stundum hlutfall tveggja stærða. Í raungreinum eru þær notaðar við einingabreytingar, til dæmis milli gallona og rúmtomma. Í efnafræði má nota þær til að reikna blöndu með tilteknum styrk efnis á rúmmálseiningu. Í lýðfræði lýsa þær dreifingu mannfjölda og í næringarfræði réttu magni hráefnis í uppskrift. Notkun ræðra talna nær því yfir margar fræðigreinar.

Dæmi 3.72

Jarðvegi blandað fyrir grænmetisrækt

James blandar jarðvegi í upphækkað beð þar sem hann ætlar að rækta ýmiss konar grænmeti. Hann ákveður að $\frac{2}{5}$ af blöndunni skuli vera gróðurmold, $\frac{2}{5}$ mómold og $\frac{1}{5}$ molta. Hve mikið þarf hann af hverju ef fylla á beðið með 60 rúmfetum af jarðvegi?

Lausn

Við þekkjum hlutfall hvers efnis og heildarrúmmál blöndunnar. Til að finna magn hvers efnis margföldum við 60 rúmfet, heildarrúmmálið, með því broti sem tilgreinir hlut efnisins.

Skref 1: Hlutur gróðurmoldar er $\frac{2}{5}$ og því þarf James $60 \times \frac{2}{5}$ rúmfet. Margföldunin gefur $60 \times \frac{2}{5} = \frac{120}{5} = 24$ rúmfet af gróðurmold; hér er brotið túlkað sem deiling og 120 deilt með 5 er 24.

Skref 2: Hlutur mómoldar er einnig $\frac{2}{5}$ og því þarf hann $60 \times \frac{2}{5}$ rúmfet, eða $60 \times \frac{2}{5} = \frac{120}{5} = 24$ rúmfet af mómold.

Skref 3: Hlutur moltu er $\frac{1}{5}$ . Hann þarf því $60 \times \frac{1}{5} = \frac{60}{5} = 12$ rúmfet af moltu.

Dæmi 3.73

Fjöldi sérpitsa ákvarðaður

Hjá Bella’s Pizza er þriðjungur allra pantaðra pitsa af sértegundum staðarins. Hve margar af 273 pöntuðum pitsum eru sérpitsur?

Lausn

Þriðjungur heildarinnar er sérpitsur og því finnum við þriðjung af 273: $\frac{1}{3} \times 273 = \frac{273}{3} = 91$ , þar sem 273 er deilt með 3. Alls voru því 91 af pöntuðu pitsunum af sértegund.

Brot notuð til að breyta milli eininga

Algeng notkun brota er einingabreyting, það er að breyta mæligildi úr einni mælieiningu í aðra.

Ein tomma er til dæmis nákvæmlega 2,54 cm. Til að breyta milli eininga eru tvö jafngild gildi sett fram sem brot. Við breytingu úr fyrri einingunni í þá síðari er síðari einingin í teljara brotsins og sú fyrri í nefnara.

Til að breyta tommum í sentímetra notum við brotið $\frac{2,54 cm}{1 in}$ . Til að breyta sentímetrum í tommur notum við hins vegar $\frac{1 in}{2,54 cm}$ . Brotið er margfaldað með fjölda þeirra eininga sem breytt er úr; einingin í nefnara brotsins er því sú sama og einingin sem margfaldað er með.

Dæmi 3.74

Lítrum breytt í gallon

Vitað er að 1 lítri (L) er um það bil 0,264172 bandarísk gallon (gal). Notaðu það til að breyta 14 lítrum í gallon.

Lausn

Við notum nálgunina 1 lítri ≈ 0,264172 gal. Þar sem við breytum úr lítrum verður lítraeiningin að vera í nefnara umbreytingarbrotsins. Til að breyta 14 lítrum í gallon margföldum við 14 með $\frac{0,264172 gal}{1 L}$ . Gallonaeiningin er í teljara vegna þess að breytt er í gallon og lítraeiningin í nefnara vegna þess að breytt er úr lítrum. Reiknað og námundað að þremur aukastöfum fæst $14 L \times \frac{0,264172 gal}{1 L} \approx 3,698 gal$ .

Dæmi 3.75

Sentímetrum breytt í tommur

Vitað er að 1 tomma jafngildir 2,54 sentímetrum. Notaðu það til að breyta 100 sentímetrum í tommur.

Lausn

Við vitum að 1 tomma = 2,54 cm. Þar sem við breytum úr sentímetrum verður sentímetraeiningin að vera í nefnara umbreytingarbrotsins, $\frac{1 in}{2,54 cm}$ . Til að breyta 100 cm í tommur margföldum við 100 með $\frac{1 in}{2,54 cm}$ . Tommueiningin er í teljara vegna þess að breytt er í tommur og sentímetraeiningin í nefnara vegna þess að breytt er úr sentímetrum. Reiknað og námundað að þremur aukastöfum fæst $100 cm \times \frac{1 in}{2,54 cm} = 39,370 in$ . Því jafngilda 100 cm 39,370 tommum.

Prósenta skilgreind og notuð

Prósenta merkir „af hundraði“. $n$ prósent, táknað $n$ %, er brotið $\frac{n}{100}$ .

Dæmi 3.76

Prósenta skrifuð sem brot

Skrifaðu prósenturnar hér á eftir sem brot:

Lausn

Samkvæmt skilgreiningunni, með $n = 31$ , er 31% skrifað sem brotið $\frac{31}{100}$ .
Samkvæmt skilgreiningunni, með $n = 93$ , er 93% skrifað sem brotið $\frac{93}{100}$ .

Dæmi 3.77

Prósenta skrifuð sem tugabrot

Skrifaðu prósenturnar hér á eftir sem tugabrot:

Lausn

Samkvæmt skilgreiningunni, með $n = 54$ , er 54% skrifað sem brotið $\frac{54}{100}$ . Þegar tölu er deilt með 100 færist tugabrotsmerkið um tvö sæti til vinstri; 54% sem tugabrot er því 0,54.
Samkvæmt skilgreiningunni, með $n = 83$ , er 83% skrifað sem brotið $\frac{83}{100}$ . Þegar tölu er deilt með 100 færist tugabrotsmerkið um tvö sæti til vinstri; 83% sem tugabrot er því 0,83.

Athugaðu að einfaldlega má færa tugabrotsmerkið um tvö sæti til vinstri án þess að nota brotaskilgreiningu prósentu.

Prósenta táknar hluta af heild. Til að finna 30% af 90 margföldum við, með 30% skrifað sem tugabrot eða almennt brot. Talan 90 er heildin, 30 er prósentan og 27, sem er $0,30 \times 90$ , er prósentuhluti heildarinnar.

Dæmi 3.78

Prósentuhluti heildar fundinn

Finndu 40% af 300.
Finndu 64% af 190.

Lausn

Heildin er 300 og prósentan 40. Með því að skrifa 40% sem tugabrot og margfalda fæst $0,40 \times 300 = 120$ .
Heildin er 190 og prósentan 64. Með því að skrifa 64% sem tugabrot og margfalda fæst $0,64 \times 190 = 121,6$ .

Í dæmunum hér á undan þekktum við heildina og fundum prósentuhluta hennar. Stundum þekkjum við prósentuhlutann og prósentuna en ekki heildina. Þá má finna heildina með formúlunni hér á eftir.

Dæmi 3.79

Heild fundin þegar prósenta og prósentuhluti heildarinnar eru þekkt

Hver er heildin ef 28% hennar eru 140?
Hver er heildin ef 6% hennar eru 91?

Lausn

Prósentan er 28 og því er $n = 28$ . Prósentuhluti heildarinnar er 140 og því er $x = 140$ . Þá fæst heildin $\frac{100 \times 140}{28} = 500$ .
Prósentan er 6 og því er $n = 6$ . Prósentuhluti heildarinnar er 91 og því er $x = 91$ . Þá fæst heildin $\frac{100 \times 91}{6} = 1.516,666…$ .

Finna má prósentuna ef heildin og prósentuhluti hennar eru þekkt og heildin er ekki núll. Deildu fyrst prósentuhlutanum með heildinni, færðu tugabrotsmerkið um tvö sæti til hægri og bættu við tákninu %. Formúlan hér á eftir gefur prósentuna.

Dæmi 3.80

Prósenta fundin þegar heild og prósentuhluti hennar eru þekkt

Finndu prósentuna í dæmunum hér á eftir:

Heildin er 300 og prósentuhluti hennar 60.
Heildin er 440 og prósentuhluti hennar 176.

Lausn

Heildin er 300 og prósentuhlutinn 60. Deilingin gefur 0,2. Þegar tugabrotsmerkið er fært um tvö sæti til hægri fæst 20 og þegar prósentumerkinu er bætt við fæst 20%. Talan 60 er því 20% af 300.
Heildin er 440 og prósentuhlutinn 176. Deilingin gefur 0,4. Þegar tugabrotsmerkið er fært um tvö sæti til hægri fæst 40 og þegar prósentumerkinu er bætt við fæst 40%. Talan 176 er því 40% af 440.

Verkefni með prósentum leyst

Prósentur eru oft notaðar í fjölmiðlum, rannsóknum og daglegu tali til að lýsa hlutföllum. Skilningur á prósentum er því mikilvægur við túlkun upplýsinga og talna. Við lausn prósentuverkefna þarf að greina hverjar af þremur stærðum eru gefnar: heildin, prósentan eða prósentuhluti heildarinnar. Ef tvær þeirra eru þekktar má finna þá þriðju með aðferðunum hér á undan.

Dæmi 3.81

Hlutfall nemenda með svefnskort

Rannsókn sýndi að 70% nemenda búa við svefnskort, skilgreindan sem minna en 8 klukkustunda svefn á nóttu. Ef 400 manns tóku þátt í könnuninni, hve margir sváfu minna en 8 klukkustundir á nóttu?

Lausn

Prósentan er 70% og heildarfjöldi nemenda 400. Því getum við fundið prósentuhlutann, það er fjöldann með svefnskort. Formúlan hér að framan gefur $0,70 \times 400 = 280$ . Alls voru því 280 nemendur í rannsókninni með svefnskort.

Dæmi 3.82

Áskrifendur að Amazon Prime

Gerum ráð fyrir að í Bandaríkjunum séu 126 milljónir áskrifenda að Amazon Prime. Ef íbúar Bandaríkjanna eru 328,2 milljónir, hve hátt hlutfall þeirra er áskrifendur?

Lausn

Við eigum að finna prósentuna. Deilum prósentuhlutanum, 126 milljónum, með heildinni, 328,2 milljónum. Deilingin, námunduð að þremur aukastöfum, gefur $\frac{126}{328,2} = 0,384$ . Þegar tugabrotsmerkið er fært um tvö sæti til hægri og % bætt við sést að 38,4% íbúa Bandaríkjanna eru áskrifendur að Amazon Prime.

Dæmi 3.83

Heildarfjöldi nemenda sem stunda íþróttir fundinn

Evander leikur með körfuboltaliði háskólans síns og 73% íþróttafólks við skólann fær einhvers konar námsstyrk. Ef 219 nemendur sem stunda íþróttir fá styrk, hve margir nemendur sem stunda íþróttir eru við háskólann?

Lausn

Við þurfum að finna heildarfjölda nemenda sem stunda íþróttir við háskóla Evanders.

Skref 1: Greindu gefnu upplýsingarnar. Við vitum að 73% nemendanna sem stunda íþróttir fá einhvers konar styrk og að prósentuhluti heildarinnar er 219 nemendur sem stunda íþróttir.

Skref 2: Til að finna heildarfjöldann notum við $\frac{100 \times x}{n}$ , þar sem $x = 219$ og $n = 73$ . Þá fæst $\frac{100 \times 219}{73} = 300$ .

Alls eru því 300 nemendur sem stunda íþróttir við háskóla Evanders.

Athugaðu skilning þinn

Greindu hverjar talnanna hér á eftir eru ræðar:

- 41,{\mkern 1mu} \,\sqrt {13}, {\mkern 1mu} \,\frac{4}{3},\,\,2.75,\,{\mkern 1mu} 0.2\overline {13}

Skrifaðu

\frac{{18}}{{30}}

sem fullstytt brot.

Reiknaðu

\frac{3}{8} + \frac{5}{{12}}

og fullstyttu svarið.

Breyttu 0,34 í almennt brot.

Breyttu

\frac{{47}}{{12}}

í blandaða tölu.

Reiknaðu

\frac{2}{9} \times \frac{{21}}{{22}}

og fullstyttu svarið.

Reiknaðu

\frac{2}{5} \div \frac{3}{{10}} + \frac{1}{6}

Finndu ræða tölu milli

\frac{7}{8}

\frac{{20}}{{21}}

Skrifaðu

3\frac{{2}}{{7}}

sem óeiginlegt brot.

Lina ákveður að leggja fyrir

\frac{1}{8}

af útborguðum launum í hvert sinn. Síðasta útborgun hennar var 882 dalir. Hve mikið leggur hún fyrir af þeirri greiðslu?

Finndu 38% af 600.

Örflöguverksmiðja ætlar að fjölga starfsfólki um 10%. Nú starfa þar 70 manns. Hve marga nýja starfsmenn ræður verksmiðjan?

Æfingar úr hluta 3.4

Í æfingunum hér á eftir skaltu greina hverjar talnanna eru ræðar.

4,598

\sqrt {144}

\sqrt {131}

Í æfingunum hér á eftir skaltu fullstytta brotið.

\frac{8}{{10}}

\frac{{30}}{{105}}

\frac{{36}}{{539}}

\frac{{231}}{{490}}

\frac{{750}}{{17,875}}

Í æfingunum hér á eftir skaltu framkvæma tilgreinda umbreytingu. Ef tugabrotið er lotubundið skaltu nota réttan rithátt.

Breyttu

\frac{{25}}{6}

í blandaða tölu.

10.

Breyttu

\frac{{240}}{{53}}

í blandaða tölu.

11.

Breyttu

2\frac{3}{8}

í óeiginlegt brot.

12.

Breyttu

15\frac{7}{{30}}

í óeiginlegt brot.

13.

Breyttu

\frac{4}{9}

í tugabrot.

14.

Breyttu

\frac{{13}}{{20}}

í tugabrot.

15.

Breyttu

\frac{{27}}{{625}}

í tugabrot.

16.

Breyttu

\frac{{11}}{{14}}

í tugabrot.

17.

Breyttu 0,23 í almennt brot og fullstyttu.

18.

Breyttu 3,8874 í almennt brot og fullstyttu.

Í æfingunum hér á eftir skaltu framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir og fullstytta.

19.

\frac{3}{5} + \frac{3}{{10}}

20.

\frac{3}{{14}} + \frac{8}{{21}}

21.

\frac{{13}}{{36}} - \frac{{14}}{{99}}

22.

\frac{{13}}{{24}} - \frac{4}{{117}}

23.

\frac{3}{7} \times \frac{{21}}{{48}}

24.

\frac{{48}}{{143}} \times \frac{{77}}{{120}}

25.

\frac{{14}}{{27}} \div \frac{7}{{12}}

26.

\frac{{44}}{{75}} \div \frac{{484}}{{285}}

27.

\left( {\frac{3}{5} + \frac{2}{7}} \right) \times \,\frac{{10}}{{21}}

28.

\frac{3}{8} \times \left( {\frac{{13}}{{12}} - \frac{{35}}{{36}}} \right)

29.

{\left( {\frac{3}{7} + \frac{5}{{16}}} \right)^2} - \frac{5}{{12}}

30.

\frac{3}{8} \times {\left( {\frac{4}{9} - \frac{1}{8}} \right)^2}

31.

{\left( {\frac{2}{5} \times \left( {\frac{7}{8} - \frac{2}{3}} \right)} \right)^2} \div \left( {\frac{4}{9} + \frac{5}{6}} \right) + \frac{7}{{12}}

32.

\left( {\frac{1}{5} \div \left( {\frac{3}{{10}} + \frac{{11}}{{15}}} \right)} \right) \times \left( {\frac{2}{{21}} + \frac{5}{9}} \right) - {\left( {\frac{8}{{15}} \div \frac{4}{{33}}} \right)^2}

33.

Finndu ræða tölu milli

\frac{8}{{17}}

\frac{{15}}{{28}}

34.

Finndu ræða tölu milli

\frac{3}{{50}}

\frac{{13}}{{98}}

35.

Finndu tvær ræðar tölur milli

\frac{3}{{10}}

\frac{{19}}{{45}}

36.

Finndu þrjár ræðar tölur milli

\frac{5}{{12}}

\frac{{175}}{{308}}

37.

Breyttu 24% í almennt brot og fullstyttu.

38.

Breyttu 95% í almennt brot og fullstyttu.

39.

Breyttu 0,23 í prósentu.

40.

Breyttu 1,22 í prósentu.

41.

Finndu 30% af 250.

42.

Finndu 75% af 600.

43.

Ef 25% hóps eru 41 einstaklingur, hve margir eru alls í hópnum?

44.

Ef 80% af heildinni eru 60, hver er heildin?

45.

Hve mörg prósent af 20 eru 13?

46.

Hve mörg prósent af 320 eru 80?

47.

Í kvikmyndasöguáfanga Donalsons prófessors eru 60 nemendur. Af þeim segja

\frac{2}{5}

að gamanmyndir séu uppáhaldskvikmyndategundin þeirra. Hve margir nemendur í áfanganum nefna gamanmyndir sem uppáhald?

48.

Á heimavistarhæð Naiu búa 80 manns. Af þeim spila

\frac{3}{8}

tölvuleikinn Fortnite í að minnsta kosti 15 klukkustundir á viku. Hve margir nemendur á hæðinni spila Fortnite í að minnsta kosti 15 klukkustundir á viku?

49.

Í bæ Töru búa 24.000 manns. Af þeim búa

\frac{{13}}{{100}}

við fæðuóöryggi. Hve margir í bænum búa við fæðuóöryggi?

50.

Um það bil

\frac{4}{5}

lofts eru köfnunarefni. Ef lokað rými inniheldur 2.000 lítra af lofti, hve marga lítra af köfnunarefni má búast við þar?

51.

Til að gera sósu fyrir hrásalat þarf Maddie að blanda

\frac{3}{5}

majónesi og

\frac{2}{5}

eplaediki. Ef hún vill fá 8 bolla af sósu, hve marga bolla þarf hún af majónesi og hve marga af eplaediki?

52.

Malika er að skipuleggja vikuna. Malika vill verja

\frac{4}{{15}}

tímans í svefn,

\frac{1}{{3}}

í nám og kennslustundir,

\frac{1}{{5}}

í vinnu og

\frac{2}{{15}}

í annað, svo sem afþreyingu eða hreyfingu. Vikan er 168 klukkustundir. Hér hefur Malika ekki ráðstafað öllum tíma vikunnar. Hve mörgum klukkustundum ver Malika í

svefn,
nám og kennslustundir
og vöku?

53.

Um 20,9% lofts er súrefni. Hve mikið súrefni er í 200 lítrum af lofti?

54.

Gerum ráð fyrir að 65% háskólanema útskrifist innan 6 ára frá upphafi náms. Í árgangi fyrsta árs við háskóla eru 400 nemendur. Hve margir þeirra eru líklegir til að útskrifast innan 6 ára?

55.

Veittur er 20% afsláttur af nýrri fartölvu. Hve hár er afslátturinn ef upphaflegt verð hennar var 700 dalir?

56.

Leya aðstoðaði við hverfissölu og fékk 5% af sölutekjunum. Ef Leya fær 171,25 dali, hverjar voru heildartekjur sölunnar?

57.

Einingabreyting. Eitt kílógramm (kg) jafngildir 2,20462 pundum. Breyttu 13 kg í pund og námundaðu að þremur aukastöfum ef þörf krefur.

58.

Einingabreyting. Eitt kílógramm (kg) jafngildir 2,20462 pundum. Breyttu 200 pundum í kílógrömm og námundaðu að þremur aukastöfum ef þörf krefur.

59.

Einingabreyting. Í einu feti eru 12 tommur, í einum jarda 3 fet og í einni mílu 1.760 jardar. Breyttu 10 mílum í tommur. Breyttu fyrst mílum í jarda, síðan jördum í fet og loks fetum í tommur.

60.

Einingabreyting. Í einum kílómetra (km) eru 1.000 metrar (m) og í einum metra 100 sentímetrar (cm). Breyttu 4 km í sentímetra.

61.

Álagning. Í þessari æfingu kynnumst við hugtakinu álagning. Álagning vöru er mismunurinn á söluverði hennar og innkaupsverði verslunarinnar. Gerum ráð fyrir að Wegmans, matvörukeðja í norðausturhluta Bandaríkjanna, kaupi morgunkorn á 1,50 dali kassann og selji á 2,29 dali.

Finndu álagninguna í dölum.
Hve mörg prósent af innkaupsverðinu er álagningin? Námundaðu prósentuna að einum aukastaf.

62.

Í þessari æfingu skoðum við hvað gerist þegar vara er fyrst hækkuð í verði um tiltekna prósentu og síðan lækkuð um sömu prósentu. Wegmans kaupir vöru á 5 dali stykkið og leggur 25% á hana.

a. Reiknaðu álagninguna í dölum.

b. Hvert er söluverðið? Það er innkaupsverðið að viðbættri álagningu.

c. Gerum ráð fyrir að Wegmans veiti síðan 25% afslátt af söluverðinu úr b-lið. Hve hár er afslátturinn í dölum?

d. Finndu verð vörunnar eftir afslátt, það er söluverðið að frádregnum afslættinum. Námundaðu að tveimur aukastöfum.

e. Er lokaverðið eftir álagningu og afslátt jafnt innkaupsverðinu? Rökstyddu.

63.

Endurteknir afslættir. Í þessari æfingu skoðum við áhrif fleiri en eins afsláttar á sömu vöru. Gerum ráð fyrir að verslun lækki verð vöru um 50% og bjóði síðan afsláttarmiða sem veitir 25% afslátt af útsöluvörum. Við finnum lokaverðið eftir báða afslættina.

a. Upphaflegt verð var 150 dalir. Hvert er verðið eftir 50% afslátt?

b. Afsláttarmiðinn gildir á afsláttarverðið og veitir 25% afslátt. Finndu 25% af söluverðinu úr a-lið.

c. Finndu verðið eftir að afsláttarmiðinn er notaður, það er gildi a-liðar að frádregnu gildi b-liðar.

d. Heildarsparnaðurinn er mismunur upphaflegs verðs og lokaverðs eftir alla afslætti. Finndu hann með því að draga lokaverðið úr c-lið frá upphaflega verðinu.

e. Finndu virka afsláttarhlutfallið með því að deila heildarsparnaðinum með upphaflega verðinu.

f. Er virka afsláttarhlutfallið 75%, það er 50% plús 25%? Rökstyddu.

Lotubundnu tugabroti breytt í almennt brot

Fram kom í þessum hluta að lotubundin tugabrot eru ræðar tölur. Fylgdu skrefunum hér á eftir til að breyta lotubundnu tugabroti í almennt brot:

Skref 1: Táknaðu upphaflegu töluna með S.

Skref 2: Teldu tölustafina í endurtekna hluta tölunnar og táknaðu fjöldann með n.

Skref 3: Margfaldaðu S með 10ⁿ og táknaðu niðurstöðuna með 10ⁿ $\times ⁠$ S.

Skref 4: Reiknaðu 10ⁿ − 1.

Skref 5: Reiknaðu 10ⁿ $\times ⁠$ S − S. Ef rétt er reiknað fellur endurtekni hluti tölunnar út.

Skref 6: Ef niðurstaðan úr skrefi 5 hefur aukastafi skaltu telja þá og tákna fjöldann með m. Ef hún er heiltala er m = 0.

Skref 7: Fjarlægðu tugabrotsmerkið úr niðurstöðunni í skrefi 5.

Skref 8: Bættu m núllum aftan við töluna úr skrefi 4.

Skref 9: Deildu niðurstöðunni úr skrefi 7 með niðurstöðunni úr skrefi 8. Það er almenna brotið sem jafngildir lotubundna tugabrotinu.

64.

Breyttu

0.\overline 7

í almennt brot.

65.

Breyttu

0.\overline {45}

í almennt brot.

66.

Breyttu

3.1\overline 5

í almennt brot.

67.

Breyttu

2.71\overline {94}

í almennt brot.