3.2 Heiltölur – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
33 Rauntalnakerfi og talnafræði
3.2 Heiltölur
3.2 Heiltölur
Mynd 3.11. Efnahagsreikningur ber saman eignir og skuldir og sýnir hreina eign. (mynd: aðlagað verk „Reviewing Financial Statements“ eftir Mary Cullen/Flickr, CC BY 2.0)
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
Skilgreint og þekkt heiltölur.
Sýnt heiltölur á talnalínu.
Borið saman heiltölur.
Reiknað algildi heiltölu.
Lagt saman og dregið frá heiltölur.
Margfaldað heiltölur og deilt þeim.
Hrein eign er jákvæð þegar heildarverðmæti eigna einstaklings, til dæmis húsnæðis, lífeyrissparnaðar í 401(k)-sjóði, bifreiðar og bankainnstæðna, er meira en skuldirnar, svo sem bílalán, húsnæðislán og kreditkortaskuldir. Þegar skuldirnar eru meiri en eignirnar er hrein eign hins vegar neikvæð. Með því að tákna neikvæða hreina eign með neikvæðri tölu má vinna með jákvæða og neikvæða hreina eign með sömu reikniaðferðum og í sömu verkefnum. Í þessum hluta eru heiltölur og reikniaðgerðir með þeim kynntar.
Heiltölur skilgreindar og þekktar
Þegar gagntölum talningartalnanna og núlli er bætt við talningartölurnar myndast heiltölurnar. Tala sem er ekki í menginu er ekki heiltala.
Dæmi 3.26
Heiltölur þekktar
Hverjar talnanna hér á eftir eru heiltölur og hverjar ekki?
−3
Er heiltala því hún er gagntala talningartölu
√24
Þetta er ekki skrifað sem heiltala. Þegar kvaðratrót 24 er reiknuð, til dæmis í Desmos, fæst 4,899 námundað. Þar sem 42 < 24 < 52 liggur kvaðratrótin milli 4 og 5 og því er √24 ekki heiltala.
Þar sem 36 deilt með 4 er 9 og 9 er heiltala er heiltala.
45
Er heiltala því hún er talningartala
63,9
Er ekki heiltala því hún er hvorki talningartala né gagntala talningartölu.
Þegar 2 er deilt með 7 fæst tala sem er minni en 1 en stærri en 0 og liggur því milli tveggja samliggjandi heiltalna. Þar af leiðandi er ekki heiltala.
−16,0
Er heiltala því tugabrotshlutinn er 0
Heiltölur sýndar á talnalínu
Oft má hugsa sér heiltölur sem skref eftir vegi. Byrjað er í 0; til vinstri er farið aftur á bak, í neikvæða átt, en til hægri áfram, í jákvæða átt. Talnalína (mynd 3.12) hjálpar okkur að sjá heiltölurnar fyrir okkur. Heiltala lýsir bæði stærð og stefnu: jákvæð stefna er til hægri en neikvæð til vinstri. Að sýna heiltölu á talnalínu felst í að setja fylltan punkt við töluna.
Mynd 3.12.
Dæmi 3.27
Tölur sýndar á talnalínu
Sýndu tölurnar hér á eftir á talnalínunni:
1
−4
3
Lausn
Mynd
3.13
Mynd
3.14
Mynd
3.15
Heiltölur bornar saman
Þegar við ákvarðum hvort ein stærð sé meiri en önnur er átt við að meira sé af því sem fjallað er um. Fyrir jákvæðar heiltölur liggur stærri talan lengra til hægri á talnalínunni. Sama hugmynd gildir um neikvæðar heiltölur. Því er stærri en þegar liggur hægra megin við á talnalínunni. Það er skrifað . Þegar er stærri en má einnig segja að sé minni en . Þá liggur vinstra megin við og við skrifum .
Við þurfum að átta okkur á að merkir það sama og . Þetta sést á talnalínunni á mynd 3.16. Þar liggur hægra megin við og því er . Jafnframt liggur vinstra megin við og því er .
Mynd 3.16.
Dæmi 3.28
Heiltölur bornar saman með talnalínu
Notaðu talnalínu til að ákvarða hvor talnanna −6 og 4 er stærri og skrifaðu niðurstöðuna bæði með stærra-en-tákninu og minna-en-tákninu.
Lausn
Til að sýna þetta notum við talnalínu (mynd 3.17).
Þar sem −6 liggur vinstra megin við 4 er −6 minni en 4. Við skrifum −6 < 4. Einnig má segja að 4 sé stærri en −6 og skrifa .
Dæmi 3.29
Neikvæðar heiltölur bornar saman
Ákvarðaðu hvor talnanna −6 og −2 er stærri og skrifaðu niðurstöðuna bæði með stærra-en-tákninu og minna-en-tákninu.
Lausn
Til að sýna þetta notum við talnalínu (mynd 3.18).
Þar sem −6 liggur vinstra megin við −2 er −6 minni en −2. Við skrifum .
Einnig má segja að −2 sé stærri en −6 og skrifa .
Dæmi 3.30
Heiltölur bornar saman eftir stærð
Ákvarðaðu hvor talnanna 27 og 410 er stærri og skrifaðu niðurstöðuna bæði með stærra-en-tákninu og minna-en-tákninu.
Lausn
410 er stærri tala en 27. Því er 410 stærri en 27 og 27 minni en 410. Við skrifum eða .
Algildi heiltölu
Þegar heiltölur eru sýndar á talnalínu má hugsa sér að gengið sé eftir vegi. Neikvæð stefna er til vinstri frá 0 en jákvæð til hægri. Ef þú gengur 30 skref til hægri ertu 30 skref frá 0. Ef þú gengur 30 skref til vinstri ertu einnig 30 skref frá 0. Þótt önnur talan sé neikvæð og hin jákvæð eru 30 og −30 jafnlangt frá 0; báðar eru í 30 skrefa fjarlægð. Algildi heiltölunnar er fjarlægðin frá að 0 óháð stefnu. Algildi er táknað .
Ef við hugsum um heiltölu sem bæði stefnu og stærð er algildið stærð tölunnar án tillits til stefnu.
Mjög einfalt er að reikna algildi heiltölu. Sé heiltalan jákvæð er algildi hennar talan sjálf. Sé hún neikvæð fæst algildið með því að sleppa mínusmerkinu. Ef þú hefur gengið 10 skref til vinstri frá 0 hefurðu samt gengið 10 skref; stefnan skiptir ekki máli.
Dæmi 3.31
Algildi jákvæðrar heiltölu reiknað
Reiknaðu |19|.
Lausn
Talan innan algildismerkjanna er jákvæð og því er algildið talan sjálf. Þar af leiðandi er |19| = 19.
Dæmi 3.32
Algildi neikvæðrar heiltölu reiknað
Reiknaðu |−435|.
Lausn
Talan innan algildismerkjanna er neikvæð og því fæst algildið með því að sleppa mínusmerkinu. Þar af leiðandi er |−435| = 435.
Samlagning og frádráttur heiltalna
Þú manst ef til vill eftir að hafa notað talnalínu til að leggja saman og draga frá heiltölur. Þegar jákvæðri heiltölu er bætt við er farið til hægri á talnalínunni en til vinstri þegar neikvæðri heiltölu er bætt við. Þegar jákvæð heiltala er dregin frá er farið til vinstri en til hægri þegar neikvæð heiltala er dregin frá.
Af þessu fást nokkrar reglur um samlagningu og frádrátt:
Regla 1: Að draga frá neikvæða tölu jafngildir því að leggja gagntölu hennar við.
Regla 2: Summa tveggja neikvæðra heiltalna er alltaf neikvæð.
Regla 3: Summa tveggja jákvæðra heiltalna er alltaf jákvæð.
Regla 4: Þegar heiltölur með gagnstæð formerki eru lagðar saman er formerki summunnar hið sama og formerki tölunnar með stærra algildi. Séu algildin jöfn er summan 0.
Gott er að hafa þessar reglur í huga; þær nýtast til að kanna niðurstöður sem fengnar eru með reiknivél.
Dæmi 3.33
Heiltölur lagðar saman
Notaðu reiknivél til að reikna 4 + (−7). Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Með reiknivél fæst 4 + (−7) = −3. Þar sem heiltölurnar hafa gagnstæð formerki fær svarið formerki tölunnar með stærra algildi, enda er |−7| = 7.
Dæmi 3.34
Jákvæðar heiltölur dregnar frá
Notaðu reiknivél til að reikna 18 − 9. Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Með reiknivél fæst 18 − 9 = 9. Þar sem 18 er stærri en 9 bjuggumst við við jákvæðum mismun.
Dæmi 3.35
Frádráttur með neikvæðum heiltölum
Notaðu reiknivél til að reikna 27 − (−13). Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Með reiknivél fæst 27 − (−13) = 40. Að draga frá neikvæða tölu jafngildir því að leggja gagntölu hennar við og því er þetta hið sama og 27 + 13 = 40.
Dæmi 3.36
Heiltölur með gagnstæð formerki lagðar saman
Notaðu reiknivél til að reikna (−13) + 90. Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Með reiknivél fæst (−13) + 90 = 77. Þar sem heiltölurnar hafa gagnstæð formerki fær svarið formerki tölunnar með stærra algildi. Formerkið er jákvætt vegna þess að talan með stærra algildi, 90, er jákvæð.
Ein notkun neikvæðra talna er við útreikning hreinnar eignar, það er heildarverðmætis eigna einstaklings að frádregnum öllum skuldum. Hrein eign er stundum jákvæð, sem er gott, en stundum neikvæð, sem getur valdið áhyggjum.
Dæmi 3.37
Hrein eign reiknuð
Janice, vinkona Jennifer, skuldar henni 50 dali en Jennifer skuldar vini sínum Pat 87 dali. Hver er hrein eign Jennifer?
Lausn
Í þessu dæmi er hrein eign sú upphæð sem aðrir skulda einstaklingi að frádreginni þeirri upphæð sem hann skuldar öðrum. Jennifer á inni 50 dali en skuldar 87 dali. Hrein eign hennar er því 50 − 87 = −37 dalir. Neikvæða talan sýnir að Jennifer skuldar meira en hún á inni.
Margföldun og deiling heiltalna
Eins og við samlagningu og frádrátt hafa formerki heiltalna áhrif á niðurstöður margföldunar og deilingar. Reglurnar eru einfaldar og byggjast aftur á stefnu talnalínunnar. Þær eru aðeins tvær.
Regla 1: Þegar tvær heiltölur með sama formerki eru margfaldaðar eða annarri er deilt með hinni er niðurstaðan jákvæð.
Regla 2: Þegar tvær heiltölur með gagnstæð formerki eru margfaldaðar eða annarri er deilt með hinni er niðurstaðan neikvæð.
Eins og áður nýtast reglurnar til að kanna niðurstöður úr reiknivél.
Dæmi 3.38
Jákvæðar heiltölur margfaldaðar
Notaðu reiknivél til að reikna 4 8. Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Þegar 4 8 er slegið inn í reiknivél fæst 32. Þetta samræmist væntingum: tölurnar hafa sama formerki og niðurstaðan er því jákvæð.
Dæmi 3.39
Heiltölur með ólík formerki margfaldaðar
Notaðu reiknivél til að reikna 9 (−10). Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Þegar 9 (−10) er slegið inn í reiknivél fæst −90. Þetta samræmist væntingum: tölurnar hafa gagnstæð formerki og niðurstaðan er því neikvæð.
Dæmi 3.40
Deiling heiltalna með ólík formerki
Notaðu reiknivél til að reikna 400/(−25). Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Þegar 400/(−25) er slegið inn í reiknivél fæst −16. Þetta samræmist væntingum: tölurnar hafa gagnstæð formerki og niðurstaðan er því neikvæð.
Dæmi 3.41
Deiling neikvæðra heiltalna
Notaðu reiknivél til að reikna −750/(−3). Útskýrðu hvernig svarið samræmist væntingum.
Lausn
Þegar −750/(−3) er slegið inn í reiknivél fæst 250. Þetta samræmist væntingum: tölurnar hafa sama formerki og niðurstaðan er því jákvæð.
Í lok keppnistímabils gæti lið viljað kaupa gjöf handa þjálfara sínum. Eðlilegt er að liðsfólk skipti kostnaðinum jafnt. Þá þarf að finna meðalkostnað á hvern liðsmann. Meðaltal talnamengis fæst með því að deila summu talnanna með fjölda þeirra.
Dæmi 3.42
Meðaltal talnamengis fundið
Lægsta daglega hitastigið í Barrie í Ontario vikuna sem hófst 14. febrúar 2021 var −20°, −12°, −15°, −23°, −17°, −13° og −19 °C. Hvert var meðaltal lægsta dagshitans þessa viku?
Lausn
Skref 1: Til að finna meðaltal lægsta dagshitans leggjum við fyrst hitastigin saman.
Skref 2: Síðan deilum við summunni með 7 þar sem dagarnir eru sjö: −119/7 = −17. Meðaltal lægsta dagshitans í Barrie vikuna sem hófst 14. febrúar 2021 var því −17 °C.
Athugaðu skilning þinn
Tilgreindu hverjar talnanna hér á eftir eru heiltölur: −4,
15,2, , , 430
Sýndu heiltölurnar hér á eftir á talnalínu: 4, −2, 7.
Raðaðu þessum heiltölum í vaxandi röð: 4, −2, −7, 10, −13.
Reiknaðu |−7|.
Reiknaðu 4 − (−9).
Reiknaðu .
Æfingar úr hluta 3.2
1.
Tilgreindu allar heiltölur á listanum hér á eftir: 4, −17, 8, 0,5, , , −300.
2.
Tilgreindu allar heiltölur á listanum hér á eftir: −9,2, 13, −1, , , 567, −300.
Sýndu heiltölurnar á sömu talnalínu í æfingunum hér á eftir.
3.
4, −2, 10, 0
4.
−6, −3, 10, 1, 4
5.
−3, −10, 7, 2
6.
2, 4, 8, −2, −5
Ákvarðaðu hvort hver samanburður sé sannur eða ósannur í æfingunum hér á eftir.
7.
−3 < −10
8.
−10 > −3
9.
7 > −6
10.
−6 < 7
11.
18 < 20
12.
20 < 18
13.
Hvaða tvær tölur hafa algildið 76?
14.
Hvaða tvær tölur hafa algildið 87?
15.
Finndu |−67|.
16.
Finndu |98|.
17.
Finndu |61|.
18.
Finndu |−903|.
19.
Hvaða tvær tölur eru í 23 eininga fjarlægð frá 0?
20.
Hvaða tvær tölur eru í 13 eininga fjarlægð frá 0?
Framkvæmdu tilgreindan útreikning í æfingunum hér á eftir.
21.
47 + 200
22.
67 + (−86)
23.
(−86) + 104
24.
13 – (−54)
25.
(−45) – (−26)
26.
(−13) + (−102)
27.
38 12
28.
(−12) (−10)
29.
14 (−5)
30.
421 (−13)
31.
(−412) 504
32.
(−8,919) (−3,401)
33.
(−130) ÷(−65)
34.
450 ÷9
35.
2000 ÷(−40)
36.
(−910) ÷14
37.
Lægsta daglega hitastigið í Fargo vikuna sem hófst 17. janúar 2021 var −9, −17, −18, −14, −17, −19 og −11 °C. Hvert var meðaltal lægsta dagshitans þessa viku?
38.
Riley tekur við framlögum í söfnun til styrktar heimilislausu fólki í bænum. Upphæðirnar hér á eftir berast í gegnum Venmo: 20, 20, 50, 75, 250, 10, 15, 65, 30 og 15 dalir. Hvert var meðalframlagið?
39.
Heath á 495 dali á reikningi. Tvær launagreiðslur berast þessa viku, önnur að upphæð 150 dala og hin 250 dala. Heath greiðir einnig þrjá reikninga, að upphæð 50, 110 og 300 dala. Hve mikið verður eftir á reikningnum að öllum færslum loknum?
40.
Fimm matargestir ákveða að skipta reikningnum jafnt. Heildarreikningurinn er 475 dalir. Hve mikið greiðir hver gestur?
41.
Margir kjósendur láta eitt mál ráða atkvæði sínu og kjósa með eða á móti frambjóðanda eingöngu vegna þess. Gerum ráð fyrir að stjórnmálamaður vilji afla atkvæða með afstöðu til þriggja mála. Með opinberum stuðningi við mál 1 aflar hann sér 127 atkvæða en tapar 154. Með stuðningi við mál 2 aflar hann sér 350 atkvæða en tapar 83. Með því að fordæma mál 3 aflar hann sér 306 atkvæða en tapar 158. Hver er nettóbreytingin á atkvæðafjölda hans vegna þessarar afstöðu?
