3.7 Klukkureikningur – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
33 Rauntalnakerfi og talnafræði
3.7 Klukkureikningur
3.7 Klukkureikningur
Mynd 3.40. Ef greiðslukortanúmer er slegið rangt inn finna villuprófunarreiknirit mistökin oft. (mynd: aðlögun á „Senior couple at home checking finance on credit card from above“ eftir Nenad Stojkovic/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
Lagt saman, dregið frá og margfaldað með klukkureikningi.
Beitt klukkureikningi í raunhæfum verkefnum.
Við netverslun er greiðslukortanúmer slegið inn og sent rafrænt til seljanda. Í hraðbanka er bankakort sett í lesara sem les, sendir og staðfestir upplýsingarnar. Við greiðslu í verslun sendir kortið upplýsingarnar til greiðslutækis, tölvukerfis verslunarinnar og kortafyrirtækis. Upplýsingarnar eru lesnar, skráðar og fluttar margoft og í hvert sinn getur villa slæðst inn: rangur tölustafur, víxlaðir tölustafir eða tölustafur sem vantar. Sem betur fer hafa kortanúmer innbyggða villuprófun sem byggist á módúlóreikningi, oft nefndum klukkureikningi. Í þessum hluta skoðum við klukku- eða módúlóreikning.
Lagt saman, dregið frá og margfaldað með klukkureikningi
Í venjulegum reikningi geta tölur vaxið án takmarka. Á klukku með 12 klukkustunda skífu ganga þær hins vegar í hring. Klukkan verður aldrei 49; eftir 12 kemur 1 aftur. Ef klukkan er 11 fyrir hádegi og einhver segir: „Sjáumst eftir fjórar klukkustundir,“ veistu að klukkan verður 3 eftir hádegi, ekki 15 fyrir hádegi. Reikningur þar sem tölurnar byrja aftur eftir 12 kallast klukkureikningur.
Klukkureikningur byggist á tölunni 12. Eftir hverjar 12 klukkustundir sýnir klukkan aftur sama tíma (mynd 3.41). Ef klukkan er 3:00 verður hún 5:00 bæði 14 klukkustundum og 2 klukkustundum síðar. Á slíkri klukku gefur það sömu niðurstöðu að bæta við 14 klukkustundum og að bæta við 2 klukkustundum og hið sama gildir um 26 og 38 klukkustundir.
Mynd 3.41. Klukka sem sýnir 3:00 og ör sem fer einn heilan hring, eða 12 klukkustundir
Hvað eiga 2, 14, 26 og 38 sameiginlegt gagnvart 12? Þegar þeim er deilt með 12 er afgangurinn alltaf 2. Þetta er lykilatriðið. Þegar klukkustundum er bætt við tiltekinn tíma er fjöldanum fyrst deilt með 12 og afgangurinn fundinn. Síðan er afganginum bætt við upphafstímann. Ef summan er stærri en 12 er 12 dregið frá henni.
Gagnlegt er að sjá fyrir sér talnalínu vafða um klukkuna með 0 við upphafstímann. Við hvert margfeldi af 12 á talnalínunni er komið aftur að upphafspunktinum á klukkunni. Þetta kallast reikningur módúló 12. Þótt ferlið segi að deila skuli fjölda viðbótarstundanna með 12 má fyrst leggja tölurnar saman; sama niðurstaða fæst þegar summunni er síðan deilt með 12 og afgangurinn fundinn.
Almennt látum við vera jákvæða heiltölu. Talan módúló 12, rituð ( mod 12), er afgangurinn þegar er deilt með 12. Ef afgangurinn er er ritað (mod 12).
Dæmi 3.101
Ákvörðun gildis tölu módúló 12
Finndu gildi talnanna hér á eftir módúló 12:
34
539
156
Lausn
Til að finna gildi tölu módúló 12 er tölunni deilt með 12 og afgangurinn skráður.
Til að finna 34 módúló 12:
Skref 1: Finndu afganginn þegar 34 er deilt með 12 með langri deilingu. Stærsta margfeldi 12 sem er minna en eða jafnt 34 er 24, margfeldi 12 og 2.
2
12
3
4
2
4
34 ÷ 12: kvótinn er 2; draga á 24 frá 34
Skref 2: Frádrátturinn gefur 10.
2
12
3
4
2
4
1
0
34 = 12 × 2 + 10
Þar sem niðurstaðan er minni en 12 er 10 afgangurinn. Gildi 34 módúló 12 er 10, eða 34 = 10 (mod 12).
Til að finna 539 módúló 12:
Skref 1: Finndu afganginn þegar 539 er deilt með 12 með langri deilingu. Skoðaðu fyrst 53. Stærsta margfeldi 12 sem er minna en eða jafnt 53 er 48, margfeldi 12 og 4.
4
12
5
3
9
4
8
539 ÷ 12: fyrsti kvótastafurinn er 4; draga á 48 frá 53
Skref 2: Frádrátturinn gefur 5.
4
12
5
3
9
4
8
5
539 ÷ 12: 53 − 48 = 5
Skref 3: Færðu 9 niður.
4
12
5
3
9
4
8
5
9
539 ÷ 12: 9 er fært niður og 59 fæst
Skref 4: Stærsta margfeldi 12 sem er minna en eða jafnt 59 er aftur 48, það er .
4
4
12
5
3
9
4
8
5
9
4
8
539 ÷ 12: kvótinn er 44; draga á 48 frá 59
Skref 5: Dragðu 48 frá 59 og fáðu 11.
4
4
12
5
3
9
4
8
5
9
4
8
1
1
539 = 12 44 + 11
Allir tölustafir 539 hafa verið notaðir og lokaniðurstaðan er minni en 12; 11 er því afgangurinn. Gildi 539 módúló 12 er 11, eða 539 = 11 (mod 12).
Til að finna 156 módúló 12:
Skref 1: Finndu afganginn þegar 156 er deilt með 12 með langri deilingu. Skoðaðu fyrst 15. Stærsta margfeldi 12 sem er minna en eða jafnt 15 er 12, margfeldi 12 og 1.
1
12
1
5
6
1
2
156 ÷ 12: fyrsti kvótastafurinn er 1; draga á 12 frá 15
Skref 2: Frádrátturinn gefur 3.
1
12
1
5
6
1
2
3
156 ÷ 12: 15 − 12 = 3
Skref 3: Færðu 6 niður.
1
12
1
5
6
1
2
3
6
156 ÷ 12: 6 er fært niður og 36 fæst
Skref 4: Stærsta margfeldi 12 sem er minna en eða jafnt 36 er 36, það er .
1
3
12
1
5
6
1
2
3
6
3
6
156 ÷ 12: kvótinn er 13; draga á 36 frá 36
Skref 5: Dragðu 36 frá 36 og fáðu 0.
1
3
12
1
5
6
1
2
3
6
3
6
0
156 = 12 13 + 0
Allir tölustafir 156 hafa verið notaðir og lokaniðurstaðan er minni en 12; 0 er því afgangurinn. Gildi 156 módúló 12 er 0, eða 156 = 0 (mod 12).
Þegar tími er lesinn af klukku táknar afgangurinn 0 að klukkan sé 12:00.
Dæmi 3.102
Samlagning með klukkureikningi
Ef klukkan er 3:00, hvað verður klukkan eftir 89 klukkustundir?
Lausn
Til að finna framtíðartímann má reikna 89 módúló 12 með langri deilingu eða reiknivél á borð við Desmos og bæta niðurstöðunni við 3:00. Skipunin mod(89,12) í Desmos gefur 5. Þegar fimm klukkustundum, það er 89 módúló 12, er bætt við 3:00 fæst 8:00.
Frádráttur tíma á klukku virkar á svipaðan hátt og samlagning. Finndu fjölda klukkustunda sem draga á frá módúló 12 og dragðu niðurstöðuna síðan frá upphafstímanum. Ef útkoman er neikvæð bætirðu 12 við hana; útkoman 0 samsvarar 12 á klukkunni.
Dæmi 3.103
Frádráttur með klukkureikningi
Ef klukkan er nú 4:00, hvað var hún fyrir 67 klukkustundum?
Lausn
Til að finna tímann getum við reiknað 67 módúló 12 með langri deilingu eða reiknivél á borð við Desmos og síðan dregið niðurstöðuna frá 4:00. Skipunin mod(67,12) í Desmos gefur 7. Þegar sjö klukkustundir eru dregnar frá 4:00 fæst ‒3:00, en klukkan sýnir ekki neikvæð gildi. Gildið ‒3:00 merkir þrjár klukkustundir fyrir 12:00, það er 9:00. Klukkan var því 9:00 þegar 67 klukkustundir voru í að hún yrði 4:00, eins og sýnt er á mynd 3.43.
Mynd 3.43. Klukka sýnir 7 klukkustundir dregnar frá 4:00
Rifjum upp að klukkureikningur er reikningur módúló 12. Margföldun módúló 12 byggist einnig á afgangi við deilingu með 12. Tölurnar tvær eru margfaldaðar og síðan er fundinn afgangurinn þegar margfeldinu er deilt með 12.
Dæmi 3.104
Margföldun módúló 12
Hvert er margfeldi 11 og 45 módúló 12?
Lausn
Fyrst margföldum við 11 og 45 og fáum 495. Síðan finnum við 495 módúló 12 með deilingu eða reiknivél. Skipunin mod(495,12) í Desmos gefur 3; löng deiling myndi gefa sama afgang. Því gildir módúló 12.
Raunhæf verkefni leyst með klukkureikningi
Dæmi 3.105
Klukkureikningi beitt
Gerum ráð fyrir að klukkan sé 3:00 og þú ákveðir að skoða tölvupóst á fimm klukkustunda fresti, í fyrsta sinn eftir fimm klukkustundir. Hvað verður klukkan þegar þú skoðar hann í níunda sinn?
Lausn
Níunda skoðunin á fimm klukkustunda fresti verður 45 klukkustundum eftir 3:00. Reiknum 45 módúló 12 og fáum 9. Níu klukkustundum eftir 3:00 er klukkan 12:00. Hún verður því 12:00 við níundu skoðun.
Klukkureikningi má einnig beita á vikudaga. Vikudagarnir endurtaka sig á sjö daga fresti, líkt og tíminn á klukkunni á 12 klukkustunda fresti. Munurinn er sá að hér er unnið með afganga eftir deilingu með 7, það er módúló 7. Almennt látum við vera jákvæða heiltölu. Talan módúló 7, rituð mod 7, er afgangurinn þegar er deilt með 7. Ef afgangurinn er má rita (mod 7).
Dæmi 3.106
Klukkureikningi beitt á vikudaga
Fjölskyldan þín á kött og enginn vill tæma kattakassann, en það þarf að gera daglega. Þið eruð sex og skiptist á, þannig að hvert ykkar tæmir kassann á sex daga fresti. Þú tæmir hann á fimmtudegi. Á hvaða vikudegi tæmir þú hann í tíunda sinn?
Lausn
Fyrsta tæmingin var á fimmtudegi. Sú tíunda verður því níu umferðum síðar, enda er fyrsta umferðin þegar liðin. Það eru 54 dagar, eða 9 sinnum 6 dagar. Gildi 54 módúló 7 er 5, hvort sem það er fundið með deilingu eða reiknivél. Fimm dögum eftir fimmtudag er þriðjudagur.
Athugaðu skilning þinn
Í æfingunum hér á eftir skaltu nota klukkureikning:
Calene hringir í móður sína fjórða hvern dag. Hún hringir á mánudegi. Hvaða vikudagur verður þegar hún hringir í áttunda sinn eftir þetta símtal?
Æfingar úr hluta 3.7
1.
Útskýrðu hvað módúló 12 merkir.
2.
Útskýrðu hvað módúló 7 merkir.
3.
Hvað er 75 módúló 12?
4.
Hvað er 139 módúló 12?
5.
Hvað er 38 módúló 7?
6.
Hvað er 83 módúló 7?
Í æfingunum hér á eftir skaltu nota klukkureikning, módúló 12, til að framkvæma tilgreindan útreikning.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Klukkan er 8:00. Hvað verður hún eftir 70 klukkustundir?
18.
Það er fimmtudagur. Hvaða vikudagur verður eftir 100 daga?
19.
Það er mánudagur. Hvaða vikudagur verður eftir 58 daga?
20.
Klukkan er 3:00. Hvað verður hún eftir 150 klukkustundir?
21.
Klukkan er 6:00. Hvað var hún fyrir 34 klukkustundum?
22.
Klukkan er 2:00. Hvað var hún fyrir 100 klukkustundum?
23.
Vörubílstjóri fer um Kokomo í Indiana á níu daga fresti. Ökumaðurinn kemur þar á miðvikudegi. Hvaða vikudag fer hann um Kokomo eftir átta heimsóknir til viðbótar?
24.
Jason skoðar tölvupóst á fimm klukkustunda fresti. Hann skoðar hann klukkan 6 eftir hádegi. Hvað verður klukkan þegar hann skoðar póstinn í fimmtugasta sinn eftir þessa skoðun?
25.
Mickey fær lyf sem hún þarf að taka daglega í 250 daga. Hún tekur fyrstu töfluna á föstudegi. Á hvaða vikudegi tekur hún síðustu töfluna?
26.
Zainab heimsækir hjúkrunarheimili á fimm daga fresti. Hún fer þangað á sunnudegi. Hvaða vikudagur verður þegar hún heimsækir heimilið í sjöunda sinn eftir þessa heimsókn?
27.
Micaela þarf að hafa samband við yfirmann sinn á 14 klukkustunda fresti. Ef hún hefur samband klukkan 3:00, hvað verður klukkan þegar hún hefur samband í tíunda sinn eftir það?
28.
Tracy stillir vekjara sem hringir á fjögurra klukkustunda fresti. Hann hringir klukkan 3:00. Hvað verður klukkan þegar hann hringir í tuttugasta sinn eftir það?
29.
Dejan þarf að mæla blóðsykur á fimm klukkustunda fresti. Fyrsta mælingin er klukkan 4:00. Hvað verður klukkan þegar hann mælir blóðsykurinn í fertugasta sinn eftir þá mælingu?
30.
Latanjana er á sjúkrahúsi og blóðþrýstingur hennar er mældur á þriggja klukkustunda fresti. Ef hann er mældur klukkan 5:00, hvað verður klukkan þegar hann er mældur í þrettánda sinn eftir þá mælingu?
Mánuðir ársins eru tólf, líkt og klukkustundirnar á klukku. Því má reikna mánuði módúló 12. Finndu mánuðinn í æfingunum hér á eftir.
31.
Micaela vinnur hjá fyrirtæki sem þjónustar úðakerfi og sinnir reglubundnu eftirliti með úðakerfi Harris-fjölskyldunnar þriðja hvern mánuð. Ef hún skoðar kerfið í apríl, hvaða mánuður verður þegar hún kemur í ellefta sinn eftir það?
32.
Dana hleypur hálfmaraþon á fimm mánaða fresti. Hún hleypur eitt slíkt hlaup í maí. Hvaða mánuður verður þegar hún hleypur áttunda hlaupið eftir það?
