66 Fjármálastjórn

6.3 Einfaldir vextir

Ensk auglýsing með fyrirsögninni „Earn Big with a locked-in rate“. Hún sýnir innlánsskírteini með 2, 3 og 5 ára binditíma og ársávöxtun (APY) 1,00%, 1,50% og 2,00%. Þetta eru kjör úr frumheimildinni, ekki núgildandi tilboð. — **Mynd 6.4.** Auglýsing um bundin innlán. Tölurnar sýna ársávöxtun (APY) í frumheimildinni, ekki einfalda vexti eða núgildandi kjör. (mynd: „Vextir“ eftir Mike Mozart/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir þennan hluta áttu að geta:

reiknað einfalda vexti.
skilið og reiknað framtíðargildi.
reiknað vexti og eftirstöðvar lána með hlutagreiðslum.
skilið og reiknað núvirði.

Það er sannleikskorn í orðatiltækinu „Það þarf peninga til að græða peninga.“ Ef þú átt fé sem þú getur lánað geturðu í raun lánað það gegn gjaldi og haft tekjur af viðskiptunum.

Þegar fé er fengið að láni þarf lántakandinn yfirleitt að greiða þeim sem lánaði féð, lánveitandanum, meira en upphaflega lánsfjárhæðina. Viðbótarfjárhæðin kallast vextir. Vextir eru stundum nefndir lántökukostnaður, kostnaður við lánið eða fjármagnskostnaður.

Þegar fé er lagt inn á bankareikning er það í raun lánað bankanum. Innstæðueigandinn fær vexti samkvæmt skilmálum reikningsins. Sama á við um fjárfestingu í skuldabréfi: fjárfestirinn lánar útgefandanum fé. Vextirnir eru yfirleitt reiknaðir af höfuðstólnum, það er fjárhæðinni sem er lánuð eða lögð inn.

Samband lántakanda og lánveitanda getur tekið á sig ýmsar myndir. Neytandi getur notað greiðslukort eða tekið lán hjá banka, sem er þá lánveitandinn. Fyrirtæki taka einnig lán hjá bönkum eða gefa út skuldabréf. Kaupandi skuldabréfs er lánveitandi en hluthafi á eignarhlut í fyrirtækinu. Athugið: Frumútgáfan lýsir hlutabréfakaupum ranglega sem lánveitingu.

Í þessum hluta skoðum við einfalda vexti, sem eru grunnur vaxtagreiðslna af lánum og lánsfé og jafnframt ávöxtunar fjárfestinga á borð við bankainnstæður.

Reiknum einfalda vexti

Vextir eru oft gefnir upp sem árlegt vaxtahlutfall. Í dæmum þessa hluta táknar það hlutfall höfuðstólsins sem reiknað er í vexti á ári, án viðbótargjalda. Því hærri sem höfuðstóllinn er, þeim mun hærri verður vaxtafjárhæðin að öðru óbreyttu. Einfaldir vextir eru reiknaðir af höfuðstólnum einum; áfallnir vextir bera ekki sjálfir vexti. Vaxtaprósentur og lánskjör í dæmunum eru forsendur verkefnanna, ekki upplýsingar um núgildandi kjör.

Tíminn þar til lánið þarf að vera að fullu greitt kallast lánstími. Gjalddagi er dagurinn þegar lánið þarf að vera greitt upp. Útgáfudagur lánsins er dagurinn þegar það er veitt. Við notum þessi hugtök í næstu dæmum. Í þessum hluta notum við einnig bókstafi, svonefndar breytur, til að tákna mismunandi stærðir í formúlunum. Þannig verða formúlur og útreikningar viðráðanlegri.

Lán með einföldum vöxtum með lánstíma í heilum árum

Útreikningur einfaldra vaxta líkist prósentureikningunum í hlutunum Skilningur á prósentum og Afsláttur, álagning og söluskattur, en auk þess þarf að margfalda með lánstímanum, í árum þegar ársvextir eru notaðir.

Þegar ársvextir, höfuðstóll og lánstími í árum eru þekkt má reikna vaxtagreiðsluna og síðan heildarendurgreiðsluna.

Dæmi 6.27

Einfaldir vextir af lánum með lánstíma í heilum árum

Reiknaðu einfalda vexti af láni með gefnum höfuðstól, ársvöxtum og lánstíma í árum. Reiknaðu síðan uppgreiðslufjárhæð lánsins.

Höfuðstóll $P$ = 4.000 dollarar, ársvextir $r$ = 5,5% og lánstími $t$ = 4 ár
Höfuðstóll $P$ = 14.800 dollarar, ársvextir $r$ = 7,9% og lánstími $t$ = 7 ár

Lausn

Setjum höfuðstólinn $P$ = 4.000 dollara, ársvextina sem tugabrotið $r$ = 0,055 og lánstímann $t$ = 4 ár inn í formúlu einfaldra vaxta og reiknum:
$I = P \times r \times t = 4.000 \times 0,055 \times 4 = 880$ .
Einföldu vextirnir, eða kostnaður lánsins, eru 880 dollarar.
Uppgreiðslufjárhæð lánsins, það er heildarendurgreiðslan, er $T = P + I = 4.000 + 880 = 4.880$ , eða 4.880,00 dollarar.
Setjum höfuðstólinn $P$ = 14.800 dollara, ársvextina sem tugabrotið $r$ = 0,079 og lánstímann $t$ = 7 ár inn í formúlu einfaldra vaxta og reiknum:
$I = P \times r \times t = 14.800 \times 0,079 \times 7 = 8.184,4$ .
Einföldu vextirnir, eða lántökukostnaðurinn, eru 8.184,40 dollarar.
Uppgreiðslufjárhæð lánsins, það er heildarendurgreiðslan, er $T = P + I = 14.800 + 8.184,4 = 22.984,4$ , eða 22.984,40 dollarar.

Dæmi 6.28

Lán með einföldum vöxtum vegna tækjakaupa

Riley rekur bílaverkstæði og þarf að kaupa nýjan bremsurennibekk sem kostar 11.995 dollara. Hún tekur tveggja ára lán með einföldum vöxtum og 14,9% ársvöxtum. Hve mikla vexti greiðir hún og hve mikið endurgreiðir hún samtals?

Lausn

Skref 1. Greindu breyturnar, það er hluta formúlunnar. Höfuðstóllinn $P$ er verð bremsurennibekksins, þannig að $P$ = 11.995 dollarar. Vextirnir sem Riley greiðir eru 14,9%, eða $r$ = 0,149 sem tugabrot. Lánstíminn er tvö ár, svo $t$ = 2. Fyrst eigum við að finna $I$ , það er vextina sem Riley greiðir.

Skref 2. Settu þekktu breyturnar inn í formúlu einfaldra vaxta $I = P \times r \times t$ og reiknaðu $I$ .

Úr 1. skrefi höfum við $I = P \times r \times t = 11995 \times 0,149 \times 2 = 3.574,51$ .

Einföldu vextirnir, eða lántökukostnaðurinn, eru því 3.574,51 dollarar.

Skref 3. Notaðu formúluna $T = P + I$ til að finna heildarfjárhæðina $T$ sem Riley endurgreiðir.

Heildarendurgreiðslan er $T = P + I = 11.995 + 3.574,51 = 15.569,51$ , eða 15.569,51 dollarar.

Lán með einföldum vöxtum með öðrum lánstíma

Í fyrra dæminu og verkefninu Þú átt leik voru lánin endurgreidd með einni greiðslu eftir heilan fjölda ára. Sum lán eru hins vegar ekki til heils fjölda ára heldur til ákveðins fjölda mánaða, til dæmis 4 eða 18 mánaða. Hvaða líkan á við um slík lán?

Þegar lán er endurgreitt eftir tiltekinn fjölda mánaða en ekki heilan fjölda ára er lánstíminn $t$ gefinn sem hluti úr ári. Fyrir tveggja mánaða lán er tíminn í árum 2/12 = 1/6. Fyrir fimm mánaða lán er hann 5/12 og fyrir 18 mánaða lán er hann 18/12 = 1,5 ár.

Dæmi 6.29

Lán vegna tækjakaupa

Abeje þarf lán til að kaupa tæki fyrir líkamsræktarstöð sem hún ætlar að opna. Hún fær fjögurra mánaða bankalán að fjárhæð 20.000 dollarar. Ársvextirnir eru 6,75%. Hve mikla vexti greiðir Abeje og hver er uppgreiðslufjárhæð lánsins?

Lausn

Lán Abeje er 20.000 dollarar og höfuðstóllinn því $P$ = 20.000. Ársvextirnir eru 6,75%, eða $r$ = 0,0675 sem tugabrot. Lánstíminn er fjórir mánuðir, svo $t = \frac{4}{12}$ ár. Setjum gildin inn í formúlu einfaldra vaxta: $I = P \times r \times t = 20.000 \times 0,0675 \times 4 / 12 = 450$ . Vextirnir eru 450 dollarar.

Einföldu vextirnir, eða lántökukostnaðurinn, eru 450,00 dollarar.

Uppgreiðslan er $T = P + I = 20.000 + 450 = 20.450$ , eða 20.450,00 dollarar.

Þegar lánstíminn er gefinn í dögum notum við hér raunverulegan dagafjölda deilt með 365 til að umreikna hann í ár. Þetta er dagareglan actual/365. Annaðhvort margföldum við ársvextina með þessum hluta úr ári eða deilum ársvöxtunum með 365 og margföldum með dagafjöldanum. Ekki á að deila bæði vöxtunum og tímanum með 365.

Dæmi 6.30

Lán vegna flutningskostnaðar

David hyggst flytja með fjölskyldu sína frá Raleigh í Norður-Karólínu til Tempe í Arizona. Fyrirtækið hans endurgreiðir honum flutninginn eftir á. David kannar kostnaðinn og kemst að því að flutningafyrirtæki tekur 5.600 dollara fyrir að flytja eigur fjölskyldunnar. Hann tekur 45 daga lán með einföldum vöxtum, 11,75%, til að greiða kostnaðinn. Hve mikla vexti þarf að greiða og hver er uppgreiðslufjárhæð lánsins?

Lausn

Lánstíminn er gefinn í dögum og því notum við formúluna $I = P \times \frac{r}{365} \times t$ , þar sem 𝑡 er dagafjöldinn og $r$ ársvextirnir.

Höfuðstóll lánsins er flutningskostnaðurinn, $P$ = 5.600. Ársvextirnir eru 11,75%, eða 0,1175 sem tugabrot. Lánstíminn er 45 dagar og því $t$ = 45.

Setjum gildin inn í formúluna: $I = 5.600 \times \frac{0,1175}{365} \times 45 \approx 81,13$ . Samkvæmt námundunarreglu lánadæmanna greiðir David 81,13 dollara í vexti.

Uppgreiðslufjárhæð lánsins er 5.681,13 dollarar.

Skiljum og reiknum framtíðargildi

Fé má fjárfesta í tiltekinn tíma og það getur borið einfalda vexti á meðan. Hugtökin og útreikningarnir eru þeir sömu og áður. Í stað heildarendurgreiðslu hefur fjárfestirinn þó áhuga á heildarvirði fjárfestingarinnar eftir að vöxtum hefur verið bætt við. Það kallast framtíðargildi fjárfestingarinnar.

Dæmi 6.31

Einfaldir vextir af innstæðu

Finndu áunna vexti og framtíðargildi hverrar eftirfarandi fjárfestingar, miðað við að hún beri einfalda vexti.

Höfuðstóll 1.000 dollarar, ársvextir 2,01% og tími 5 ár
Höfuðstóll 5.000 dollarar, ársvextir 1,85% og tími 30 ár
Höfuðstóll 10.000 dollarar, ársvextir 1,25% og tími 18 mánuðir
Höfuðstóll 7.000 dollarar, ársvextir 3,26% og tími 100 dagar

Lausn

Höfuðstóllinn er $P$ = 1.000 dollarar, ársvextirnir sem tugabrot 0,0201 og fjárfestingartíminn $t$ = 5 ár. Vextirnir eru $I = P \times r \times t = 1.000 \times 0,0201 \times 5 = 100,5$ , eða 100,50 dollarar. Til að finna framtíðargildið notum við $F V = P + I$ . Innsetning gefur $F V = P + I = 1.000 + 100,5 = 1100,5$ . Framtíðargildið eftir fimm ár er því 1.100,50 dollarar. Einnig má reikna það beint með $F V = P + P \times r \times t$ .
Höfuðstóllinn er $P$ = 5.000 dollarar, ársvextirnir sem tugabrot eru 0,0185 og tíminn 30 ár, eða $t$ = 30. Þar sem tíminn er heil ár eru áunnu vextirnir $I = P \times r \times t = 5.000 \times 0,0185 \times 30 = 2.775$ , eða 2.775,00 dollarar. Til að finna framtíðargildið notum við formúluna $F V = P + I$ . Eftir innsetningu og útreikning fæst $F V = P + I = 5.000 + 2.775 = 7.775$ . Framtíðargildið eftir 30 ár er 7.775,00 dollarar.
Höfuðstóllinn er $P$ = 10.000 dollarar, ársvextirnir sem tugabrot eru 0,0125 og tíminn 18 mánuðir. Þar sem tíminn er gefinn í mánuðum þarf að umreikna hann í ár og nota 18/12 fyrir $t$ . Áunnu vextirnir eru $I = P \times r \times t = 10.000 \times 0,0125 \times \frac{18}{12} = 187,5$ , eða 187,50 dollarar. Til að finna framtíðargildið notum við $F V = P + I$ . Eftir innsetningu og útreikning fæst $F V = P + I = 10.000 + 187,5 = 10.187,5$ . Framtíðargildið eftir 18 mánuði er 10.187,50 dollarar.
Höfuðstóllinn er 7.000 dollarar, ársvextirnir 3,26% og tíminn 100 dagar. Höfuðstóllinn er $P$ = 7.000 dollarar, ársvextirnir sem tugabrot eru 0,0326 og tíminn 100 dagar. Þar sem tíminn er gefinn í dögum notum við raundagafjölda/365, eða $t$ = 100/365. Áunnu vextirnir eru $I = P \times r \times t = 7.000 \times 0,0326 \times \frac{100}{365} \approx 62,52$ , eða 62,52 dollarar. Til að finna framtíðargildið notum við $F V = P + I$ . Eftir innsetningu og útreikning fæst $F V = P + I = 7.000 + 62,52 = 7.062,52$ . Framtíðargildið eftir 100 daga er 7.062,52 dollarar.

Við útreikning á framtíðargildi í þessum dæmum eru áunnir vextir námundaðir niður að heilu senti, eins og í frumútgáfunni. Þetta er sérstök reikniforsenda verkefnanna, ekki almenn regla um innlán. Námundað er eftir útreikning vaxtanna.

Bundinn innlánsreikningur, eða innlánsskírteini (CD), er sparnaðarreikningur þar sem ein innstæða, höfuðstóllinn, er bundin í tiltekinn tíma á föstum vöxtum. Þegar binditímanum lýkur má innleysa innlánsskírteinið og eigandinn fær höfuðstólinn ásamt áunnum vöxtum. Oft er ekki hægt að taka innstæðuna út fyrir lok binditímans; sé það heimilt fylgir því yfirleitt gjald.

Dæmi 6.32

Innlánsskírteini

Jonas leggur 2.500 dollara inn á bundinn reikning sem ber 3,25% einfalda vexti í 3 ár. Hve mikið fær hann þegar hann innleysir innlánsskírteinið að þremur árum liðnum?

Lausn

Þetta er dæmi um framtíðargildi. Innstæðan er $P$ = 2.500 dollarar. Ársvextirnir sem tugabrot eru $r$ = 0,0325 og binditíminn $t$ = 3 ár.

Setjum gildin inn í formúlu framtíðargildis: $F V = P + P \times r \times t = 2.500 + 2.500 \times 0,0325 \times 3 = 2.500 + 243,75 = 2.743,75$ .

Þegar Jonas innleysir innlánsskírteinið fær hann 2.743,75 dollara.

PRÓFAÐU

Innlánsskírteini (CD) er bundin bankainnstæða með tilteknum skilmálum. Áhætta og ávöxtun ráðast meðal annars af bankanum, innstæðutryggingum og binditíma. Í þessu verkefni kannarðu kjör sem bankar bjóða og berð þau saman. Ekki má jafna uppgefna ársávöxtun með vaxtavöxtum (APY) við einfalda ársvexti. Ef þú notar formúlu einfaldra vaxta við samanburðinn skaltu taka skýrt fram að það sé einföldun og bera hana saman við raunverulega skilmála.

Kannaðu kosti og galla innlánsskírteina með leit á netinu; investopedia.com veitir aðgengilegar grunnupplýsingar um fjárfestingar. Finndu síðan fimm banka sem starfa á landsvísu og tvo staðbundna banka sem bjóða innlánsskírteini.

Skráðu vexti innlánsskírteina hjá hverjum banka fyrir mismunandi binditíma, svo sem 1, 3 og 5 ár.
Reiknaðu áunna vexti af 10.000 dollara innstæðu fyrir hvert innlánsskírteini og hvern binditíma.
Berðu saman bankana, innlánsskírteinin og binditímana og veldu bestu fjárfestinguna. Taktu bæði tillit til þess hve lengi féð er bundið og ávöxtunarinnar.

Lán með einföldum vöxtum greidd með hlutagreiðslum

Í öllum dæmunum hér að framan var lánið greitt með einni greiðslu eða fjárfestingin tekin út í einu lagi. Mörg lán, til dæmis íbúðar-, bíla- og sundlaugarlán, eru hins vegar endurgreidd með tveimur eða fleiri greiðslum. Slík greiðsla kallast hlutagreiðsla vegna þess að hún greiðir aðeins hluta lánsins.

Hlutagreiðsla gengur fyrst til greiðslu áfallinna vaxta. Það sem eftir stendur lækkar höfuðstólinn. Næstu vextir eru síðan reiknaðir af lægri eftirstöðvum. Hér er gert ráð fyrir að greiðslan nægi að minnsta kosti fyrir áföllnum vöxtum og að engin viðbótargjöld leggist á. Fyrstu vextirnir reiknast frá útgáfudegi lánsins til fyrstu greiðslu. Við síðari hlutagreiðslur reiknast vextir frá fyrri greiðsludegi til þess næsta.

Dæmi 6.33

Vaxtahluti hlutagreiðslu af láni

Tekið er 6.500 dollara lán með einföldum vöxtum og 12,6% ársvöxtum. Hlutagreiðsla er innt af hendi 45 dögum eftir upphaf lánstímans. Hve stór hluti greiðslunnar fer í vexti?
Tekið er 13.700 dollara lán með einföldum vöxtum og 6,55% ársvöxtum. Hlutagreiðsla er innt af hendi eftir 60 daga. Hve stór hluti greiðslunnar fer í vexti?

Lausn

Til að finna vaxtahluta greiðslunnar reiknum við vexti af höfuðstólnum frá útgáfudegi lánsins til greiðsludags,
eða í 45 daga. Höfuðstóllinn er 6.500
dollarar og ársvextirnir sem tugabrot 0,126. Setjum $P$ , $r$ og $t$ inn í formúluna $I = P \times \frac{r}{365} \times t$
og fáum $I = P \times \frac{r}{365} \times t = 6.500 \times \frac{0,126}{365} \times 45 \approx 100,9726$ . Námundað upp fara 100,98 dollarar af hlutagreiðslunni í vexti.
Til að finna vaxtahluta greiðslunnar reiknum við vexti af höfuðstólnum frá útgáfudegi lánsins til greiðsludags, eða í
60 daga. Höfuðstóllinn er 13.700 dollarar og
ársvextirnir sem tugabrot 0,0655. Setjum gildin inn í formúluna $I = P \times \frac{r}{365} \times t$ og fáum $I = P \times \frac{r}{365} \times t = 13.700 \times \frac{0,0655}{365} \times 60 \approx 147,5096$ . Námundað upp fara 147,51 dollarar af hlutagreiðslunni í vexti.

Eftirstöðvar

Fyrri dæmin sýndu hvernig finna má vaxtahluta hlutagreiðslu. Út frá honum getum við reiknað eftirstöðvar eftir greiðsluna. Í næstu þremur skrefum táknar P hlutagreiðsluna en B eftirstöðvar höfuðstóls fyrir greiðsluna. Hér er P því notað í annarri merkingu en í vaxtajöfnunni $I = P$ × r × t.

Skref 1: Finndu þann hluta greiðslunnar $P$ sem fer í vexti $I$ .

Skref 2: Dragðu vaxtahlutann frá greiðslunni, $(P - I)$ . Niðurstaðan er sá hluti greiðslunnar sem lækkar höfuðstólinn.

Skref 3: Dragðu þá fjárhæð sem lækkar höfuðstólinn, niðurstöðuna úr 2. skrefi, frá eftirstöðvum lánsins: $B - (P - I)$ . Niðurstaðan eru eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna.

Dæmi 6.34

Eftirstöðvar láns eftir hlutagreiðslu

Tekið er 45.500 dollara lán með einföldum vöxtum og 11,8% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 20.000 dollarar er innt af hendi eftir 50 daga. Hverjar verða eftirstöðvar lánsins?
Tekið er 150.000 dollara lán með einföldum vöxtum og 5,85% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 50.000 dollarar er innt af hendi eftir 70 daga. Hverjar verða eftirstöðvar lánsins?

Lausn

Höfuðstóllinn er 45.500 dollarar og er hér meðhöndlaður sem eftirstöðvar lánsins $B$ . Ársvextirnir sem tugabrot eru 0,118 og tíminn $t$ =
50 dagar. Skref 1: Finndu þann hluta hlutagreiðslunnar sem fer í vexti. Setjum gildin inn í $I = P \times \frac{r}{365} \times t$ og fáum $I = 45.500 \times \frac{0,118}{365} \times 50 \approx 735,4795$ . Námundað upp er $I$ =
735,48 dollarar. Skref 2: Sá hluti greiðslunnar sem lækkar höfuðstólinn er hlutagreiðslan að frádregnum vaxtahlutanum. Greiðslan er 20.000 dollarar og lækkun höfuðstólsins er $P - I = $ 20.000 - $ 735,48 = $ 19.264,52$ .
Skref 3: Eftirstöðvarnar fást með því að draga þessa fjárhæð frá fyrri eftirstöðvum: $B - (P - I) = $ 45.500 - $ 19.264,52 = $ 26.235,48$ .
Eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna eru 26.235,48 dollarar.
Höfuðstóllinn er 150.000 dollarar og er hér meðhöndlaður sem eftirstöðvar lánsins $B$ . Ársvextirnir sem tugabrot eru 0,0585 og tíminn $t$ =
70 dagar. Skref 1: Setjum gildin inn í $I = P \times \frac{r}{365} \times t$ og fáum $I = 150.000 \times \frac{0,0585}{365} \times 70 \approx 1.682,8767$ . Námundað upp er $I$ =
1.682,88 dollarar. Skref 2: Greiðslan er 50.000 dollarar og sá hluti hennar sem lækkar höfuðstólinn er $P - I = $ 50.000 - $ 1.682,88 = $ 48.317,12$ .
Skref 3: Eftirstöðvarnar eru $B - (P - I) = $ 150.000 - $ 48.317,12 = $ 101.682,88$ .
Eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna eru 101.682,88 dollarar.

Uppgreiðsla láns

Að lokum finnum við fjárhæðina sem greiða þarf við lok lánstímans. Þá beitum við uppgreiðsluformúlunni á eftirstöðvarnar. Tíminn fyrir þessar eftirstöðvar er þó tímabilið frá hlutagreiðslunni til uppgreiðsludagsins.

Skref 1: Finndu eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna.

Skref 2: Reiknaðu fjölda daga frá hlutagreiðslunni til uppgreiðsludags. Þetta er tíminn $t$ í uppgreiðsluformúlunni.

Skref 3: Reiknaðu uppgreiðslufjárhæðina með $uppgreiðsla = P + P \times \frac{r}{365} \times t$ , þar sem $P$ eru eftirstöðvarnar og $t$ tíminn úr 2. skrefi.

Dæmi 6.35

Uppgreiðsla láns eftir hlutagreiðslu

Laura tekur 18.400 dollara lán til 120 daga með 17,9% einföldum vöxtum. Hún greiðir 7.500 dollara hlutagreiðslu eftir 45 daga. Hver er uppgreiðslufjárhæð hennar við lok lánstímans?

Lausn

Upphaflegar eftirstöðvar, eða höfuðstóll, eru 18.400 dollarar. Vextirnir sem tugabrot eru 0,179. Hlutagreiðslan, 7.500 dollarar, er innt af hendi eftir 45 daga. Með þessum gildum finnum við hve stór hluti hennar lækkar höfuðstólinn og síðan uppgreiðslufjárhæðina eftir 120 daga.

Skref 1: Finndu eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna. Samkvæmt aðferðinni í fyrra dæmi finnum við fyrst vaxtahluta greiðslunnar: $I = P \times \frac{r}{365} \times t = 18.400 \times \frac{0,179}{365} \times 45 \approx 406,0603$ , eða 406,07 dollarar námundað upp. Eftirstöðvar eftir hlutagreiðsluna eru því $B - (P - I) = $ 18.400 - ($ 7.500 - $ 406,07) = $ 11.306,07$ .

Skref 2: Frá hlutagreiðslunni til uppgreiðsludags eru 120 − 45 = 75 dagar. Tíminn milli greiðslnanna er því 75 dagar.

Skref 3: Notum $uppgreiðsla = P + P \times \frac{r}{365} \times t$ með $P$ = 11.306,07 dollara, eftirstöðvunum, $t$ = 75 úr 2. skrefi og $r$ = 0,179. Þá fæst $uppgreiðsla = 11.306,07 + 11.306,07 \times \frac{0,179}{365} \times 75 \approx 11.721,9165$ . Námundað upp er uppgreiðslufjárhæðin 11.721,92 dollarar.

Endurteknar hlutagreiðslur

Mörg lán eru greidd með föstum mánaðargreiðslum. Frumútgáfan nefnir bandarísk bílalán til 3–6 ára og húsnæðislán til 15–30 ára sem dæmi; þetta eru ekki almennar eða núgildandi reglur um lánstíma. Hér gerum við ráð fyrir föstum vöxtum og jafnháum greiðslum í lok hvers mánaðar. Vextir hvers mánaðar reiknast af eftirstöðvum lánsins, en ekki alltaf af upphaflegum höfuðstól.

Dæmi 6.36

Mánaðargreiðsla af bílaláni

Desiree kaupir nýjan bíl með láni hjá lánasjóði sínum (credit union). Höfuðstóll lánsins er 27.845,00 dollarar og ársvextirnir 7,3%. Hún hyggst greiða lánið upp á fjórum árum. Hve há verður mánaðargreiðslan?

Lausn

Til að nota formúlu mánaðargreiðslna þurfum við höfuðstólinn, vextina og árafjöldann. Höfuðstóllinn er 27.845 dollarar og ársvextirnir sem tugabrot 0,073. Þegar 0,073 er deilt með 12 fást mánaðarvextirnir $0,073 / 12 = 0,00608 \overline{3}$ . Lánstíminn er 4 ár, eða $t = 12 \times 4 = 48$ mánuðir. Setjum gildin inn í formúluna $A = P \times \frac{r \times {(1 + r)}^{t}}{{(1 + r)}^{t} - 1}$ og reiknum:

\begin{matrix} A & = & 27.845 \times \frac{0,00608 \overline{3} \times {(1 + 0,00608 \overline{3})}^{48}}{{(1 + 0,00608 \overline{3})}^{48} - 1} \\ = & 27.845 \times \frac{0,00608 \overline{3} \times {(1,00608 \overline{3})}^{48}}{{(1,00608 \overline{3})}^{48} - 1} \\ \approx & 27.845 \times \frac{0,00608 \overline{3} \times 1,337918996}{1,337918996 - 1} \\ \approx & 27.845 \times \frac{0,008139007}{0,337918996} \\ \approx & 27.845 \times 0,024085675 \\ \approx & 670,6656 \end{matrix}

Samkvæmt formúlunni og námundað upp að næsta senti verður mánaðargreiðsla Desiree 670,67 dollarar.

Tækniprófun

Útreikningur greiðslna er langur og felur í sér mörg skref. Flest töflureikniforrit, þar á meðal Google Sheets, hafa þó greiðslufall. Í Google Sheets heitir það PMT. Til að finna greiðslu af afborgunarláni, til dæmis bílaláni, þarf að færa inn vexti á tímabil, fjölda greiðslna og lánsfjárhæð. Í Þú átt leik 6.36 voru vextirnir 0,0476/12, greiðslurnar 60 og lánsfjárhæðin 23.660 dollarar. Veldu reit í Google Sheets og sláðu inn:

=PMT(0.0476/12,60,23660) Hér er notuð ensk svæðisstilling töflureiknisins: punktur táknar tugabrot og kommur skilja að viðföng. Aðrar svæðisstillingar geta krafist tugabrotskommu og semíkommu milli viðfanga.

Ýttu á Enter. Greiðslan 443,90 dollarar birtist strax í reitnum, en með mínusmerki. Mínusmerkið sýnir að fjárhæðin er greidd út af reikningi. Þar sem við leitum aðeins að greiðslufjárhæðinni lítum við fram hjá merkinu. Niðurstaðan og formúlan í formúlustikunni sjást á mynd 6.5.

Mynd 6.5. Greiðslufall í Google Sheets

Almennt er PMT-fallið í Google Sheets notað með því að færa inn

=PMT( $r$ /12, $t$ *12, $P$ )

þar sem $r$ eru ársvextirnir, $t$ fjöldi ára og $P$ höfuðstóll lánsins.

Skiljum og reiknum núvirði fjárfestingar með einföldum vöxtum

Þegar framtíðargildi fjárfestingar er reiknað vitum við hve mikið er lagt inn en ekki hve mikið féð verður virði síðar. Ef við setjum okkur framtíðarmarkmið er gagnlegt að vita hve mikið þarf að leggja inn núna til að reikningurinn nái markmiðinu. Fjárhæðin sem þarf að leggja inn núna til að ná tilteknu framtíðargildi kallast núvirði.

Mikilvægt er að skilja niðurstöðuna. Núvirðið er sú fjárhæð sem þarf að fjárfesta núna til að ná markmiðinu $F V$ við gefinn fjárfestingartíma og vexti.

Dæmi 6.37

Reiknaðu núvirði hverrar lýstrar fjárfestingar og túlkaðu niðurstöðuna.

$F V$ = 10.000 dollarar, $t$ = 15 ár, árlegir einfaldir vextir 5,5%
$F V$ = 150.000 dollarar, $t$ = 20 ár, árlegir einfaldir vextir 6,25%
$F V$ = 250.000 dollarar, $t$ = 486 mánuðir, árlegir einfaldir vextir 4,75%

Lausn

Framtíðargildið er $F V$ = 10.000 dollarar. Fjárfestingartíminn er $t$ = 15 ár. Árlegu einföldu vextirnir eru 5,5%, eða 0,055 sem tugabrot. Setjum gildin inn í formúluna og fáum $P V = \frac{F V}{(1 + r t)} = \frac{10.000}{(1 + (0,055) \times (15))} = \frac{10.000}{(1 + 0,825)} = \frac{10.000}{(1,825)} \approx 5.479,452$ . Námundað upp er núvirði 10.000 dollara eftir 15 ár á 5,5% einföldum ársvöxtum 5.479,46 dollarar. Fjárfesta þarf 5.479,46 dollara núna svo fjárfestingin verði 10.000 dollara virði eftir 15 ár.
Framtíðargildið er $F V$ = 150.000 dollarar og fjárfestingartíminn $t$ = 20 ár. Árlegu einföldu vextirnir eru 6,25%, eða 0,0625 sem tugabrot. Setjum gildin inn í formúluna: $P V = \frac{F V}{(1 + r t)} = \frac{150.000}{(1 + (0,0625) \times (20))} = \frac{150.000}{(1 + 1,25)} = \frac{150.000}{(2,25)} = 66.666, \overline{6}$ . Námundað upp er núvirðið 66.666,67 dollarar. Fjárfesta þarf þá fjárhæð núna svo hún verði 150.000 dollara virði eftir 20 ár.
Framtíðargildið er $FV$ = 250.000 dollarar. Fjárfestingartíminn er 486 mánuðir og þarf að breyta honum í ár með því að deila með 12: $ár = \frac{486}{12} = 40,5$ . Því er $t$ = 40,5 ár. Árlegu einföldu vextirnir eru 4,75%, eða 0,0475 sem tugabrot. Setjum gildin inn í formúluna: $P V = \frac{F V}{(1 + r t)} = \frac{250.000}{(1 + (0,0475) \times (40,5))} = \frac{250.000}{(1 + 1,92375)} = \frac{250.000}{(2,92375)} \approx 85.506,6268$ . Námundað upp er núvirðið 85.506,63 dollarar. Fjárfesta þarf þá fjárhæð núna til að ná að minnsta kosti 250.000 dollurum eftir 486 mánuði. Athugið: Frumútgáfan skiptir ranglega yfir í 150.000 í milliskrefum og gefur ranga niðurstöðu. Hér er 250.000 notað í öllum teljurum.

Dæmi 6.38

Núvirði innlánsskírteinis

Beatriz hyggst fjárfesta á bundnum reikningi sem ber 3,99% einfalda vexti í 30 ár. Hve mikið þarf hún að fjárfesta svo innlánsskírteinið verði 300.000 dollara virði eftir 30 ár?

Lausn

Beatriz þarf að vita hve mikið hún á að leggja inn núna svo innlánsskírteinið verði 300.000 dollara virði eftir 30 ár. Hún þarf því að finna núvirði 300.000 dollara. Tíminn er 30 ár og árlegu einföldu vextirnir sem tugabrot 0,0399. Notum formúlu núvirðis: $P V = \frac{F V}{(1 + r t)} = \frac{300.000}{(1 + (0,0399) \times (30))} = \frac{300.000}{(1 + 1,197)} = \frac{300.000}{(2,197)} \approx 136.549,8407$ . Námundað upp þarf Beatriz að fjárfesta 136.549,85 dollara til að eiga 300.000 dollara eftir 30 ár.

Prófaðu skilning þinn

Hvað eru vextir?

Hvað er höfuðstóll láns?

Reiknaðu einfalda vexti af sex ára láni með 1.500,00 dollara höfuðstól og 12,99% ársvexti.

Tekið er 24.200 dollara lán með einföldum vöxtum og 10,55% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 13.000 dollarar er innt af hendi eftir 25 daga. Hverjar verða eftirstöðvar lánsins?

Finndu mánaðargreiðslu af 9.800,00 dollara láni með 13,8% vöxtum til fjögurra ára.

Finndu núvirði fjárfestingar sem á að hafa framtíðargildið 30.000 dollarar eftir 10 ár og ber 3,75% einfalda vexti.

Æfingar úr hluta 6.3

Ef 1.500,00 dollarar eru lagðir inn á reikning sem ber 3,5% vexti, hver er höfuðstóllinn?

Ef 1.500 dollarar eru lagðir inn á reikning sem ber 3,5% vexti, hvert er vaxtahlutfallið?

Hvað eru einfaldir vextir?

Hvað er núvirði fjárfestingar?

Hvað er framtíðargildi fjárfestingar?

Hvað er hlutagreiðsla af láni?

Reiknaðu einfalda vexti og uppgreiðslu hvers láns í eftirfarandi æfingum út frá gefnum höfuðstól, einföldum vöxtum og lánstíma.

Höfuðstóll

P

= 5.000 dollarar, ársvextir

r

= 6,5% og lánstími

t

= 6 ár

Höfuðstóll

P

= 3.500 dollarar, ársvextir

r

= 12% og lánstími

t

= 7 ár

Höfuðstóll

P

= 7.800 dollarar, ársvextir

r

= 11,5% og lánstími

t

= 10 ár

10.

Höfuðstóll

P

= 62.500 dollarar, ársvextir

r

= 4,88% og lánstími

t

= 4 ár

11.

Höfuðstóll

P

= 4.600 dollarar, ársvextir

r

= 9,9% og lánstími 18 mánuðir

12.

Höfuðstóll

P

= 19.000 dollarar, ársvextir

r

= 16,9% og lánstími 14 mánuðir

13.

Höfuðstóll

P

= 8.500 dollarar, ársvextir

r

= 10,66% og lánstími 6 mánuðir

14.

Höfuðstóll

P

= 17.600 dollarar, ársvextir

r

= 17,9% og lánstími 20 mánuðir

15.

Höfuðstóll

P

= 4.000 dollarar, ársvextir

r

= 8,5% og lánstími 130 dagar

16.

Höfuðstóll

P

= 9.900 dollarar, ársvextir

r

= 15,9% og lánstími 90 dagar

17.

Höfuðstóll

P

= 600 dollarar, ársvextir

r

= 16,8% og lánstími 25 dagar

18.

Höfuðstóll

P

= 890 dollarar, ársvextir

r

= 9,75% og lánstími 200 dagar

Finndu framtíðargildi hverrar fjárfestingar í eftirfarandi æfingum út frá gefnum höfuðstól, einföldum vöxtum og tíma.

19.

Höfuðstóll 5.300 dollarar, ársvextir 2,07% og tími 18 ár.

20.

Höfuðstóll 14.700 dollarar, ársvextir 3,11% og tími 10 ár.

21.

Höfuðstóll 5.600 dollarar, ársvextir 2,55% og tími 30 mánuðir.

22.

Höfuðstóll 10.000 dollarar, ársvextir 1,99% og tími 15 mánuðir.

23.

Höfuðstóll 2.000 dollarar, ársvextir 3,22% og tími 100 dagar.

24.

Höfuðstóll 900 dollarar, ársvextir 3,75% og tími 175 dagar.

Finndu þann hluta hverrar tilgreindrar hlutagreiðslu sem lækkar höfuðstól lánsins út frá gefnum höfuðstól, vöxtum og greiðsludegi.

25.

Tekið er 2.700 dollara lán með einföldum vöxtum og 11,6% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 1.500 dollarar er innt af hendi eftir 28 daga.

26.

Tekið er 900 dollara lán með einföldum vöxtum og 18,9% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 400 dollarar er innt af hendi eftir 30 daga.

27.

Tekið er 13.500 dollara lán með einföldum vöxtum og 14,8% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 8.000 dollarar er innt af hendi eftir 75 daga.

28.

Tekið er 9.900 dollara lán með einföldum vöxtum og 9,875% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 4.000 dollarar er innt af hendi eftir 65 daga.

Finndu eftirstöðvar höfuðstóls eftir hverja tilgreinda hlutagreiðslu út frá gefnum höfuðstól, vöxtum og greiðsludegi.

29.

Tekið er 2.700 dollara lán með einföldum vöxtum og 11,6% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 1.500 dollarar er innt af hendi eftir 28 daga.

30.

Tekið er 900 dollara lán með einföldum vöxtum og 18,9% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 400 dollarar er innt af hendi eftir 30 daga.

31.

Tekið er 13.500 dollara lán með einföldum vöxtum og 14,8% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 8.000 dollarar er innt af hendi eftir 75 daga.

32.

Tekið er 9.900 dollara lán með einföldum vöxtum og 9,875% ársvöxtum. Hlutagreiðsla að fjárhæð 4.000 dollarar er innt af hendi eftir 65 daga.

Finndu uppgreiðslufjárhæð hvers láns út frá gefnum höfuðstól, árlegum einföldum vöxtum, lánstíma, hlutagreiðslu og greiðsludegi hennar.

33.

Höfuðstóll = 1.500 dollarar, vextir = 6,99%, lánstími 5 ár og 900 dollara hlutagreiðsla eftir 2 ár.

34.

Höfuðstóll = 21.500 dollarar, vextir = 7,44%, lánstími 10 ár og 15.000 dollara hlutagreiðsla eftir 6 ár.

35.

Höfuðstóll = 6.800 dollarar, vextir = 11,9%, lánstími 200 dagar og 4.000 dollara hlutagreiðsla eftir 100 daga.

36.

Höfuðstóll = 800 dollarar, vextir = 13,99%, lánstími 150 dagar og 525 dollara hlutagreiðsla eftir 50 daga.

Finndu mánaðargreiðslu hvers láns út frá gefnum höfuðstól, föstum ársvöxtum og árafjölda. Notaðu formúlu jafnhárra mánaðargreiðslna.

37.

Höfuðstóll = 4.500 dollarar, vextir = 8,75%, ár = 3

38.

Höfuðstóll = 2.700 dollarar, vextir = 15,9%, ár = 5

39.

Höfuðstóll = 13.980 dollarar, vextir = 10,5%, ár = 4

40.

Höfuðstóll = 8.750 dollarar, vextir = 9,9%, ár = 10

Finndu núvirðið í eftirfarandi æfingum út frá gefnu framtíðargildi FV, árlegum einföldum vöxtum r og fjölda ára t.

41.

F V

= 25.000 dollarar,

t

= 15 ár, árlegir einfaldir vextir 6,5%

42.

F V

= 12.000 dollarar,

t

= 10 ár, árlegir einfaldir vextir 4,5%

43.

F V

= 15.000 dollarar,

t

= 16 ár, árlegir einfaldir vextir 3,5%

44.

F V

= 100.000 dollarar,

t

= 30 ár, árlegir einfaldir vextir 5,5%

45.

Rita tekur 4.000 dollara lán með einföldum vöxtum til 5 ára. Vextirnir eru 7,88%. Hve mikið greiðir Rita á gjalddaga?

46.

Humberto rekur einkafyrirtæki í tölvunetþjónustu og þarf 31.500 dollara lán vegna nýs búnaðar. Hann leitar að lægstu vöxtunum og finnur 8,9% vexti á tíu ára láni. Hver verður uppgreiðslufjárhæð Humbertos að tíu árum liðnum?

47.

Jaye þarf 3.500 dollara skammtímalán og finnur 75 daga lán með 14,9% vöxtum. Hver verður uppgreiðslufjárhæðin?

48.

Bíll Theethats þarf nýjar fjöðrunarstífur sem kosta 1.189,50 dollara með uppsetningu, en hann á ekki fyrir viðgerðinni. Verkstæðið býður honum 60 daga skammtímalán með 18,9% vöxtum. Hver verður uppgreiðslufjárhæðin?

49.

Michelle opnar tölvuleikjaverslun í litlum bæ og tekur 8.500 dollara stofnlán með 9,5% vöxtum til 5 ára. Hún greiðir 4.700 dollara hlutagreiðslu eftir 3 ár. Hve mikið greiðir Michelle á gjalddaga?

50.

Lítill smásali fær 3.750 dollara að láni vegna viðgerðar. Lánstíminn er 100 dagar og vextirnir 13,55%. Ef smásalinn greiðir 2.000 dollara hlutagreiðslu eftir 30 daga, hver verður uppgreiðslufjárhæðin á gjalddaga?

51.

Sharon fjárfestir 2.500 dollara í innlánsskírteini fyrir dótturdóttur sína. Binditíminn er 5 ár og einföldu vextirnir 3,11%. Hvert verður virði innlánsskírteinisins eftir 5 ár?

52.

Jen og Fred eignast barn og leggja 1.500 dollara inn á sparnaðarreikning sem ber 1,76% einfalda vexti. Hvert verður virði reikningsins eftir 18 ár?

53.

Yasmin ákveður að kaupa notaðan bíl. Lánasjóðurinn hennar (credit union) býður 7,9% vexti af fimm ára bílalánum. Bíllinn kostar 11.209,50 dollara með sköttum og gjöldum. Hve há verður mánaðargreiðsla Yasminar?

54.

Cleo rekur eigið silkiþrykksfyrirtæki. Hún þarf tvær nýjar prentvélar sem kosta samtals 5.489,00 dollara og tekur þriggja ára lán með 8,9% vöxtum. Hve há verður mánaðargreiðslan?

55.

Kylie vill fjárfesta á reikningi sem ber 4,66% einfalda vexti. Markmið hennar er að eiga 20.000 dollara eftir 15 ár. Hve mikið þarf hún að fjárfesta núna?

56.

Ishraq vill leggja fé inn á reikning sem ber 3,5% einfalda vexti í 10 ár til að safna fyrir útborgun í húsnæði. Markmiðið er að eiga 25.000 dollara. Hve mikið þarf Ishraq að leggja inn núna?

Notaðu eftirfarandi skilgreiningu í næstu æfingum. Fjármögnunarkostnaður er mismunurinn á heildargreiðslum af láni, að viðbættum lántökugjöldum sem ekki eru þegar innifalin í greiðslunum, og upphaflegum höfuðstól. Reiknaðu heildargreiðslur yfir lánstímann, bættu þessum gjöldum við og dragðu höfuðstólinn frá. Fjármögnunarkostnaður = heildargreiðslur + gjöld − höfuðstóll.

57.

Yasmin ákveður að kaupa notaðan bíl. Lánasjóðurinn hennar (credit union) býður 7,9% vexti af fimm ára bílalánum. Bíllinn kostar 11.209,50 dollara með sköttum og gjöldum. Hve mikið greiddi hún lánasjóðnum á fimm árum? Hver var fjármögnunarkostnaður Yasminar?

58.

Cleo rekur eigið silkiþrykksfyrirtæki. Hún þarf tvær nýjar prentvélar sem kosta samtals 5.489,00 dollara og tekur þriggja ára lán með 8,9% vöxtum. Hver var fjármögnunarkostnaður Cleo?