5.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Lítum á tvo íþróttamenn sem hlaupa á breytilegum hraða $v_1\left(t\right)$ og $v_2\left(t\right).$ Hlaupararnir hefja kapphlaupið og ljúka því á nákvæmlega sama tíma. Útskýrið hvers vegna þeir hljóta einhvern tíma að hlaupa á sama hraða.

Tveir fjallgöngumenn hefja göngu sína í grunnbúðum og fara hvor sína leið, aðra brattari en hina, en ná á tindinn á nákvæmlega sama tíma. Er þá endilega rétt að á einhverju augnabliki hafi hæð beggja fjallgöngumannanna aukist jafnhratt?

Til að komast inn á tiltekinn veg með veggjaldi þarf ökumaður að taka kort þar sem fram kemur við hvaða mílumerki hann ók inn á veginn. Á kortinu er einnig tímastimpill. Þegar ökumaðurinn ætlar að greiða veggjaldið við útganginn kemur honum á óvart að fá jafnframt sekt fyrir hraðakstur. Útskýrið hvernig þetta getur gerst.

Látum $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\left(1-t\right)dt}.$ Finnið $F^{\prime }\text{(}2)$ og meðalgildi $F^{\text{′}}$ á $\left[1,2\right].$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑥1𝑒−𝑡2𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{−}{t}^2}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑥1𝑒cos⁡𝑡𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{cos}t}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑥3√9−𝑦2𝑑𝑦$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\sqrt{9-y^2}dy}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢⌠⎮⌡𝑥3𝑑𝑠√16−𝑠2$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}}}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫2⁢𝑥𝑥𝑡𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tdt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫√𝑥0𝑡𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{x}}tdt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫sin⁡𝑥0√1−𝑡2𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{sin}x}\sqrt{1-t^2}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫1cos⁡𝑥√1−𝑡2𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_{\text{cos}x}^1\sqrt{1-t^2}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢⌠⎮⌡√𝑥1𝑡21+𝑡4𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\frac{t^2}{1+t^4}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢⌠⎮ ⎮⌡𝑥21√𝑡1+𝑡𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{x^2}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫ln⁡𝑥0𝑒𝑡𝑑𝑡$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{ln}x}{e}^{t}dt}$

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑒𝑥1ln⁡𝑢2⁢𝑑⁢𝑢$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{e^x}\text{ln}{u}^{2}du}$

Graf fallsins 𝑦=∫𝑥0𝑓⁡(𝑡)⁢𝑑⁢𝑡,$y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ þar sem f er hlutskilgreint fastafall, er sýnt hér.

1. Á hvaða bilum er f jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það jafnt og núll?
2. Hver eru hágildi og lággildi f?
3. Hvert er meðalgildi f?

Graf fallsins 𝑦=∫𝑥0𝑓⁡(𝑡)⁢𝑑⁢𝑡,$y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ þar sem f er hlutskilgreint fastafall, er sýnt hér.

1. Á hvaða bilum er f jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það jafnt og núll?
2. Hver eru hágildi og lággildi f?
3. Hvert er meðalgildi f?

Graf fallsins 𝑦=∫𝑥0ℓ⁡(𝑡)⁢𝑑⁢𝑡,$y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ þar sem ℓ er hlutskilgreint línulegt fall, er sýnt hér.

1. Á hvaða bilum er ℓ jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það núll?
2. Á hvaða bilum er ℓ vaxandi? Á hvaða bilum er það minnkandi? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það fast?
3. Hvert er meðalgildi ℓ?

Graf fallsins 𝑦=∫𝑥0ℓ⁡(𝑡)⁢𝑑⁢𝑡,$y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ þar sem ℓ er hlutskilgreint línulegt fall, er sýnt hér.

1. Á hvaða bilum er ℓ jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það núll?
2. Á hvaða bilum er ℓ vaxandi? Á hvaða bilum er það minnkandi? Á hvaða bilum, ef einhver eru, er það fast?
3. Hvert er meðalgildi ℓ?

[T] 𝑦=𝑥2$y=x^2$ á [0,4]$\left[0,4\right]$

[T] 𝑦=𝑥3+6⁢𝑥2+𝑥−5$y=x^3+6x^2+x-5$ á [−4,2]$\left[\mathrm{-4},2\right]$

[T] 𝑦=√𝑥3$y=\sqrt{x^3}$ á [0,6]$\left[0,6\right]$

[T] 𝑦=√𝑥+𝑥2$y=\sqrt{x}+x^2$ á [1,9]$\left[1,9\right]$

[T] ∫(cos⁡𝑥−sin⁡𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle \int (\text{cos}x-\text{sin}x)dx}$ á [0,𝜋]$\left[0,\pi \right]$

[T] ∫4𝑥2𝑑𝑥${\displaystyle \int \frac{4}{x^2}dx}$ á [1,4]$\left[1,4\right]$

∫2−1(𝑥2−3⁢𝑥)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^2\left(x^2-3x\right)dx}$

∫3−2(𝑥2+3⁢𝑥−5)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left(x^2+3x-5\right)dx}$

∫3−2(𝑡+2)⁢(𝑡−3)𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left(t+2\right)\left(t-3\right)dt}$

∫32(𝑡2−9)⁢(4−𝑡2)𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_2^3\left(t^2-9\right)\left(4-t^2\right)dt}$

∫21𝑥9𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_1^2{x}^{9}dx}$

∫10𝑥99𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{99}dx}$

∫84(4⁢𝑡5/2−3⁢𝑡3/2)𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_4^8\left(4t^{5\text{/}2}-3t^{3\text{/}2}\right)dt}$

∫41/4(𝑥2−1𝑥2)𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_{1\text{/}4}^4\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx}$

∫212𝑥3𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_1^2\frac{2}{x^3}dx}$

⌠⎮⌡4112⁢√𝑥𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_1^4\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}$

⌠⎮ ⎮⌡412−√𝑡𝑡2𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_1^4\frac{2-\sqrt{t}}{t^2}dt}$

∫161𝑑𝑡𝑡1/4${\displaystyle {\int }_1^{16}\frac{dt}{t^{1\text{/}4}}}$

∫2⁢𝜋0cos⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{cos}\theta d\theta }$

∫𝜋/20sin⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\text{sin}\theta d\theta }$

∫𝜋/40sec2⁢𝜃𝑑𝜃${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}4}{\text{sec}}^2\theta d\theta }$

∫𝜋/40sec ⁡𝜃 ⁢tan ⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃${\int }_0^{\pi \text{/}4}\text{sec}\theta \text{tan}\theta d\theta$

∫𝜋/4𝜋/3csc⁡𝜃⁢cot⁡𝜃⁢𝑑⁢𝜃${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}3}^{\pi \text{/}4}\text{csc}\theta \text{cot}\theta d\theta }$

∫𝜋/2𝜋/4csc2⁢𝜃𝑑𝜃${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}4}^{\pi \text{/}2}{\text{csc}}^2\theta d\theta }$

∫21(1𝑡2−1𝑡3)𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_1^2\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt}$

∫−1−2(1𝑡2−1𝑡3)𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt}$

∫𝑥𝑎𝑡2𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_a^x{t}^{2}dt}$

∫𝑥1𝑒𝑡𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_1^x{e}^{t}dt}$

∫𝑥0cos⁡𝑡⁢𝑑⁢𝑡${\displaystyle {\int }_0^x\text{cos}tdt}$

∫𝑥−𝑥sin⁡𝑡⁢𝑑⁢𝑡${\displaystyle {\int }_{\text{−}x}^x\text{sin}tdt}$

∫3−2|𝑥|𝑑𝑥${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left|x\right|dx}$

∫4−2∣𝑡2−2⁢𝑡−3∣𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^4\left|t^2-2t-3\right|dt}$

∫𝜋0|cos⁡𝑡|𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|\text{cos}t\right|dt}$

∫𝜋/2−𝜋/2|sin⁡𝑡|𝑑𝑡${\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^{\pi \text{/}2}\left|\text{sin}t\right|dt}$

Gerum ráð fyrir að fjöldi dagsbirtustunda á tilteknum degi í Seattle sé lýst með fallinu $\mathrm{-3.75}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25,$ þar sem t er gefið upp í mánuðum og $t=0$ samsvarar vetrarsólstöðum.

1. Hver er meðalfjöldi birtustunda á sólarhring yfir heilt ár?
2. Á hvaða tímum t₁ og t₂, þar sem $0\le t_1<t_2<12,$ er fjöldi dagsbirtustunda jafn meðalfjöldanum?
3. Ritið heildi sem lýsir heildarfjölda dagsbirtustunda í Seattle á milli $t_1$ og $t_2.$
4. Reiknið meðalfjölda dagsbirtustunda í Seattle á tímabilinu frá $t_1$ til $t_2,$ þar sem $0\le t_1<t_2<12,$ og síðan á tímabilinu frá $t_2$ til $t_1,$ og sýnið að meðaltal þessara tveggja gilda sé jafnt meðallengd dags.

Gerum ráð fyrir að lýsa megi notkunarhraða bensíns í Bandaríkjunum yfir árið með sínusfalli af gerðinni (11.21−cos⁡(𝜋⁢𝑡6))$\times \text{⁠}$109$\left(11.21-\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\times {10}^9$ gallon/mán.

1. Hver er meðalnotkunin á mánuði og fyrir hvaða gildi t er notkunarhraðinn á tímanum t jafn meðalnotkunarhraðanum?
2. Hve mörg gallon af bensíni eru notuð í Bandaríkjunum á einu ári?
3. Ritið heildi sem lýsir mánaðarlegri meðalnotkun á bensíni í Bandaríkjunum þann hluta ársins sem nær frá byrjun apríl $\left(t=3\right)$ til loka september $(t=9\text{).}$

Útskýrið hvers vegna, ef f er samfellt á $\left[a,b\right],$ þá er til að minnsta kosti einn punktur $c\in \left[a,b\right]$ þannig að $f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

Útskýrið hvers vegna, ef f er samfellt á [𝑎,𝑏]$\left[a,b\right]$ og er ekki fastafall, þá er til að minnsta kosti einn punktur 𝑀∈[𝑎,𝑏]$M\in \left[a,b\right]$ þannig að 𝑓⁡(𝑀)>1𝑏−𝑎⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡$f\left(M\right)>\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ og að minnsta kosti einn punktur 𝑚∈[𝑎,𝑏]$m\in \left[a,b\right]$ þannig að 𝑓⁡(𝑚)<1𝑏−𝑎⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑡)𝑑𝑡.$f\left(m\right)<\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

Fyrsta lögmál Keplers segir að reikistjörnurnar hreyfist eftir sporbaugslaga brautum með sólina í öðrum brennipunktinum. Sá punktur á braut reikistjörnu sem er næstur sólinni nefnist sólnánd (hjá jörðinni ber hana nú upp um 3. janúar) og sá punktur sem er fjærstur sólinni nefnist sólfirrð (hjá jörðinni ber hana nú upp um 4. júlí). Annað lögmál Keplers segir að reikistjörnurnar sópi yfir jafnstór flatarmál á sporbaugslaga brautum sínum á jafnlöngum tíma. Reikistjarnan fer því eftir bogunum tveimur sem sýndir eru á myndinni á jafnlangan tíma. Á hvaða árstíma hreyfist jörðin hraðast á braut sinni? Hvenær hreyfist hún hægast?

Punktur á sporbaug með lengd langáss 2a og lengd skammáss 2b hefur hnitin $\left(a\text{cos}\theta ,b\text{sin}\theta \right),0\le \theta \le 2\pi .$

1. Sýnið að fjarlægðin frá þessum punkti að brennipunktinum í $\left(\text{−}c,0\right)$ er $d\left(\theta \right)=a+c\text{cos}\theta ,$ þar sem $c=\sqrt{a^2-b^2}.$
2. Notið þessi hnit til að sýna að meðalfjarlægðin $\bar{d}$ frá punkti á sporbaugnum að brennipunktinum í $\left(\text{−}c,0\right),$ með tilliti til hornsins θ, er a.

Samkvæmt lögmálum Keplers er braut jarðar um sólina sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum, eins og áður kom fram. Fjarlægð jarðar frá sólu í sólnánd er 147,098,290 km en í sólfirrð er hún 152,098,232 km.

1. Með því að leggja langásinn eftir x-ásnum skal finna meðalfjarlægð jarðar frá sólu.
2. Stjarnfræðieining (AU) er samkvæmt hefðbundinni skilgreiningu fjarlægðin frá jörðinni til sólarinnar og gildi hennar var reiknað sem meðaltal fjarlægðanna við sólnánd og sólfirrð. Er þessi skilgreining réttmæt?

Þyngdaraðdráttarkrafturinn milli sólarinnar og reikistjörnu er $F\left(\theta \right)=\frac{GmM}{r^2\left(\theta \right)},$ þar sem m er massi reikistjörnunnar, M er massi sólarinnar, G er algildur fasti og $r\left(\theta \right)$ er fjarlægðin milli sólarinnar og reikistjörnunnar þegar reikistjarnan myndar hornið θ við langás sporbrautar sinnar. Að því gefnu að M, m og sporbaugastikarnir a og b, hálfar lengdir langáss og skammáss, séu þekktir skal setja fram, en ekki reikna, heildi sem lýsir meðalþyngdaraðdráttarkraftinum milli sólarinnar og reikistjörnunnar sem fall af $G,m,M,a,b$.

Tilfærsla massa, sem festur er við gorm, frá jafnvægisstöðu uppfyllir jöfnu einfaldrar sveifluhreyfingar $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t-\varphi \right),$ þar sem $\varphi$ er fasafasti, ω er horntíðnin og A er útslagið. Finnið meðalhraða, meðalferð (stærð hraðans), meðaltilfærslu og meðalfjarlægð massans frá jafnvægisstöðu (stærð tilfærslunnar).