22 Markgildi

2.4 Samfelldni

Námsmarkmið

2.4.1 Útskýrið skilyrðin þrjú fyrir samfelldni í punkti.
2.4.2 Lýsið þremur tegundum ósamfelldni.
2.4.3 Skilgreinið samfelldni á bili.
2.4.4 Setjið fram setninguna um markgildi samskeyttra falla.
2.4.5 Nefnið dæmi um milligildissetninguna.

Mörg föll hafa þann eiginleika að hægt er að draga upp gröf þeirra með blýanti án þess að lyfta blýantinum af blaðinu. Slík föll kallast samfelld. Í gröfum annarra falla eru punktar þar sem rof verður, en föllin hafa þennan eiginleika á bilum innan skilgreiningarmengja sinna. Þau eru samfelld á þessum bilum og sögð ósamfelld í punktum þar sem rof verður.

Við hefjum umfjöllun okkar um samfelldni á því að kanna hvað felst í því að fall sé samfellt í punkti. Í innsæjum skilningi er fall samfellt í tilteknum punkti ef graf þess rofnar ekki þar.

Samfelldni í punkti

Áður en við skoðum formlega skilgreiningu á því hvað felst í því að fall sé samfellt í punkti skulum við líta á ýmis föll sem samræmast ekki innsæishugmynd okkar um samfelldni í punkti. Síðan setjum við fram skilyrði sem koma í veg fyrir að slíkt gerist.

Fyrsta fallið sem við skoðum er sýnt á mynd 2.32. Við sjáum að gat er á grafi $f (x)$ við a. Reyndar er $f (a)$ óskilgreint. Til að $f (x)$ sé samfellt í a þarf að minnsta kosti eftirfarandi skilyrði að vera uppfyllt:

i. f (a) is defined.

Graf stranglega vaxandi línulegs falls f(x) sem sker x-ásinn frá þriðja fjórðungi yfir í annan fjórðung og y-ásinn frá öðrum fjórðungi yfir í fyrsta fjórðung. Punkturinn a, sem er stærri en núll, er merktur á x-ásnum. Punkturinn á fallinu f(x) fyrir ofan a er sýndur sem opinn hringur; fallið er ekki skilgreint í a. — **Mynd 2.32.** Fallið $f (x)$ er ekki samfellt í a vegna þess að $f (a)$ er óskilgreint.

Eins og sjá má á mynd 2.33 nægir þetta skilyrði þó ekki eitt og sér til að tryggja samfelldni í punktinum a. Þótt $f (a)$ sé skilgreint er rof í fallinu við a. Í þessu dæmi stafar rofið af því að $lim_{x \to a} f (x)$ er ekki til. Við verðum að bæta við öðru skilyrði fyrir samfelldni í a—nánar tiltekið,

ii. lim_{x \to a} f (x) exists.

Graf hlutskilgreinds falls f(x) með tveimur hlutum. Fyrri hlutinn er vaxandi línulegt fall sem liggur frá þriðja fjórðungi um upphafspunktinn og yfir í fyrsta fjórðung. Punkturinn a, sem er stærri en núll, er merktur á x-ásnum. Við x=a er fylltur hringur á þessum hluta. Hinn hlutinn er einnig vaxandi línulegt fall og er skilgreindur í fyrsta fjórðungi fyrir x>a. Við x=a er opinn hringur á þessum hluta. — **Mynd 2.33.** Fallið $f (x)$ er ekki samfellt í a vegna þess að $lim_{x \to a} f (x)$ er ekki til.

Eins og sjá má á mynd 2.34 tryggja þessi tvö skilyrði þó ekki ein og sér samfelldni í punkti. Fallið á þessari mynd uppfyllir fyrstu tvö skilyrðin en er samt ekki samfellt í a. Við verðum að bæta þriðja skilyrðinu við listann:

iii limx a f (x) = f (a)

Graf hlutskilgreinds falls með tveimur hlutum. Fyrri hlutinn er vaxandi línulegt fall sem liggur frá þriðja fjórðungi yfir í annan fjórðung og sker x-ásinn. Það liggur síðan frá öðrum fjórðungi yfir í fyrsta fjórðung og sker y-ásinn. Punkturinn a, sem er stærri en núll, er merktur á x-ásnum. Við þann punkt er opinn hringur á línunni. Seinni hlutinn er punktur við x=a ofan við línuna. — **Mynd 2.34.** Fallið $f (x)$ er ekki samfellt í a vegna þess að $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a) .$

Nú tökum við skilyrðin saman og setjum fram skilgreiningu á samfelldni í punkti.

Með eftirfarandi aðferð má greina samfelldni falls í punkti út frá þessari skilgreiningu.

Aðferð við lausn verkefna

Athugun á samfelldni falls í punkti

Athugið hvort $f (a)$ sé skilgreint. Ef $f (a)$ er óskilgreint þurfum við ekki að kanna málið frekar. Fallið er ekki samfellt í punktinum a. Ef $f (a)$ er skilgreint skal halda áfram í skref 2.
Reiknið lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥). $lim_{x \to a} f (x) .$ Í sumum tilvikum gæti þurft að gera þetta með því að reikna fyrst lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ og lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥). $lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ Ef lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a} f (x)$ er ekki til (það er að segja er ekki rauntala) er fallið ekki samfellt í a og þar með er verkefnið leyst. Ef lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a} f (x)$ er til skal halda áfram í skref 3.
Berið saman $f (a)$ og $lim_{x \to a} f (x) .$ Ef $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a),$ þá er fallið ekki samfellt í a. Ef $lim_{x \to a} f (x) = f (a),$ þá er fallið samfellt í a.

Næstu þrjú dæmi sýna hvernig beita má þessari skilgreiningu til að ákvarða hvort fall sé samfellt í tilteknum punkti. Dæmin sýna tilvik þar sem einstök skilyrði skilgreiningarinnar á samfelldni eru ýmist uppfyllt eða ekki.

Dæmi 2.26

Athugun á samfelldni falls í punkti, skilyrði 1

Notið skilgreininguna til að ákvarða hvort fallið $f (x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)$ sé samfellt í $x = 2 .$ Rökstyðjið niðurstöðuna.

Lausn

Byrjum á að reyna að reikna $f (2) .$ Við sjáum að $f (2) = 0 / 0,$ sem er óskilgreint. Því er $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ ósamfellt í 2 vegna þess að $f (2)$ er óskilgreint. Graf $f (x)$ er sýnt á mynd 2.35.

Graf gefna fallsins. Lína liggur frá þriðja fjórðungi til annars fjórðungs og sker x-ásinn, en hún liggur einnig frá öðrum fjórðungi til fyrsta fjórðungs og sker y-ásinn. Við punkt í fyrsta fjórðungi er opinn hringur þar sem fallið er ekki skilgreint. — **Mynd 2.35.** Fallið f ⁡ ( x ) er ósamfellt í 2 vegna þess að f ⁡ ( 2 ) er óskilgreint.

Dæmi 2.27

Athugun á samfelldni falls í punkti, skilyrði 2

Notið skilgreininguna til að ákvarða hvort fallið 𝑓⁡(𝑥)={−𝑥2+4if𝑥≤34⁢𝑥−8if𝑥>3 $f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 4 & if x \leq 3 \\ 4 x - 8 & if x > 3 \end{cases}$ sé samfellt í 𝑥=3. $x = 3 .$ Rökstyðjið niðurstöðuna.

Lausn

Byrjum á því að reyna að reikna $f (3) .$

f (3) = - (3^{2}) + 4 = −5 .

Þar með er $f (3)$ skilgreint. Næst reiknum við $lim_{x \to 3} f (x) .$ Til þess þurfum við að reikna $lim_{x \to 3^{-}} f (x)$ og $lim_{x \to 3^{+}} f (x) :$

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = - (3^{2}) + 4 = −5

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4 (3) - 8 = 4 .

Þar af leiðandi er lim𝑥→3⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 3} f (x)$ ekki til. Því er 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ ekki samfellt í 3. Graf 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er sýnt á mynd 2.36.

Graf hins gefna hlutskilgreinda falls, sem er í tveimur hlutum. Fyrri hlutinn er fleygbogi sem opnast niður og er samhverfur um y-ásinn. Toppunktur hans er á y-ásnum, ofan við núll. Fylltur hringur er á fleygboganum fyrir x=3. Síðari hlutinn er vaxandi línulegt fall í fyrsta fjórðungi sem er skilgreint fyrir gildi x > 3. Opinn hringur er við enda línunnar þar sem x væri 3. — **Mynd 2.36.** Fallið f ⁡ ( x ) er ekki samfellt í 3 vegna þess að lim x → 3 ⁢ f ⁡ ( x ) er ekki til.

Dæmi 2.28

Athugun á samfelldni falls í punkti, skilyrði 3

Notið skilgreininguna til að ákvarða hvort fallið 𝑓⁡(𝑥)={sin⁡𝑥𝑥if𝑥≠01if𝑥=0 $f (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x} & if x \neq 0 \\ 1 & if x = 0 \end{cases}$ sé samfellt í 𝑥=0. $x = 0 .$

Lausn

Athugum fyrst að

f (0) = 1 .

Því næst

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .

Að lokum berum við saman $f (0)$ og $lim_{x \to 0} f (x) .$ Við sjáum að

f (0) = 1 = limx 0 f (x)

Þar sem öll þrjú skilyrðin í skilgreiningunni á samfelldni eru uppfyllt er 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ samfellt í 𝑥=0. $x = 0 .$

Með því að beita skilgreiningunni á samfelldni og áður sönnuðum setningum um útreikning markgilda getum við sett fram eftirfarandi setningu.

Sönnun

Áður sýndum við að ef $p (x)$ og $q (x)$ eru margliður, þá er $lim_{x \to a} p (x) = p (a)$ fyrir sérhverja margliðu $p (x)$ og $lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)}$ að því gefnu að $q (a) \neq 0 .$ Því eru margliður og ræð föll samfelld á skilgreiningarmengjum sínum.

□

Við beitum nú setningunni um samfelldni margliða og ræðra falla til að ákvarða í hvaða punktum tiltekið rætt fall er samfellt.

Dæmi 2.29

Samfelldni ræðs falls

Fyrir hvaða gildi x er $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ samfellt?

Lausn

Ræða fallið 𝑓⁡(𝑥)=𝑥+1𝑥−5 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 5}$ er samfellt fyrir sérhvert gildi x nema 𝑥=5. $x = 5 .$

Tegundir ósamfelldni

Eins og við höfum séð í dæmum 2.26 og 2.27 getur ósamfelldni birst með ýmsum hætti. Þær gerðir ósamfelldni sem við höfum séð hingað til flokkast sem afmáanleg ósamfelldni, óendanleg ósamfelldni eða stökkósamfelldni. Í grófum dráttum er afmáanleg ósamfelldni gat á grafinu; stökkósamfelldni er ósamfelldni sem er ekki óendanleg og þar sem hlutar grafsins mætast ekki; og óendanleg ósamfelldni verður við lóðfellu. Mynd 2.37 sýnir muninn á þessum gerðum. Þótt þessi hugtök séu hentug til að lýsa þremur algengum gerðum ósamfelldni ber að hafa í huga að ekki fellur öll ósamfelldni skýrt í þessa flokka.

Þrjú gröf sem hvert um sig sýnir mismunandi tegund ósamfelldni. Fyrsta grafið sýnir afmáanlega ósamfelldni. Þar er gefna fallið lína með jákvæða hallatölu. Í punkti x=a, þar sem a>0, er opinn hringur á línunni og fylltur hringur nokkrum einingum ofan við hana. Annað grafið sýnir stökkósamfelldni. Þar eru tvær línur með jákvæða hallatölu. Fyrri línan er skilgreind fyrir x<=a og sú síðari fyrir x>a, þar sem a>0. Fyrri línan endar í fylltum hring þar sem x=a og sú síðari hefst nokkrum einingum ofar með opnum hring við x=a. Þriðja tegundin er óendanleg ósamfelldni. Þar skiptist fallið í tvo hluta sem lóðfellan x=a aðskilur. Fyrri hlutinn er ferill sem nálgast 0 meðfram x-ásnum þegar x stefnir á mínus óendanlegt og stefnir á óendanlegt meðfram y-ásnum þegar x stefnir á núll. Síðari hlutinn er ferill sem stefnir á mínus óendanlegt meðfram y-ásnum þegar x stefnir á núll og nálgast 0 meðfram x-ásnum þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 2.37.** Ósamfelldni flokkast í (a) afmáanlega ósamfelldni, (b) stökkósamfelldni eða (c) óendanlega ósamfelldni.

Þessar þrjár tegundir ósamfelldni eru formlega skilgreindar á eftirfarandi hátt:

Skilgreining

Ef 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er ósamfellt í a þá

$f$ hefur afmáanlega ósamfelldni í a ef $lim_{x \to a} f (x)$ er til. (Athugið: Þegar við segjum að $lim_{x \to a} f (x)$ sé til eigum við við að $lim_{x \to a} f (x) = L,$ þar sem L er rauntala.)
𝑓 $f$ hefur stökkósamfelldni í a ef lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ og lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ eru bæði til, en lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥)≠lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥). $lim_{x \to a^{-}} f (x) \neq lim_{x \to a^{+}} f (x) .$ (Athugið: Þegar við segjum að lim𝑥→𝑎−⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ og lim𝑥→𝑎+⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to a^{+}} f (x)$ séu bæði til, eigum við við að bæði séu raungild og að hvorugt þeirra taki gildin ±∞.)
$f$ hefur óendanlega ósamfelldni í a ef $lim_{x \to a^{-}} f (x) = ± \infty$ og/eða $lim_{x \to a^{+}} f (x) = ± \infty .$

Dæmi 2.30

Flokkun ósamfelldni

Í dæmi 2.26 sýndum við að 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−4𝑥−2 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ er ósamfellt í 𝑥=2. $x = 2 .$ Flokkið þessa ósamfelldni sem afmáanlega ósamfelldni, stökkósamfelldni eða óendanlega ósamfelldni.

Lausn

Til að flokka ósamfelldnina í 2 verðum við að reikna $lim_{x \to 2} f (x) :$

\begin{matrix} lim_{x \to 2} f (x) & = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2} \\ = lim_{x \to 2} (x + 2) \\ = 4 . \end{matrix}

Þar sem f er ósamfellt í 2 og lim𝑥→2⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 2} f (x)$ er til hefur f afmáanlega ósamfelldni í 𝑥=2. $x = 2 .$

Dæmi 2.31

Flokkun ósamfelldni

Í dæmi 2.27sýndum við að 𝑓⁡(𝑥)={−𝑥2+4if𝑥≤34⁢𝑥−8if𝑥>3 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 4 & if x \leq 3 \\ 4 x - 8 & if x > 3 \end{matrix}$ er ósamfellt í 𝑥=3. $x = 3 .$ Flokkið ósamfelldnina sem afmáanlega ósamfelldni, stökkósamfelldni eða óendanlega ósamfelldni.

Lausn

Fyrr sýndum við að f er ósamfellt í 3 vegna þess að lim𝑥→3⁢𝑓⁡(𝑥) $lim_{x \to 3} f (x)$ er ekki til. Þar sem lim𝑥→3−⁢𝑓⁡(𝑥)=−5 $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = −5$ og lim𝑥→3+⁢𝑓⁡(𝑥)=4 $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 4$ eru hins vegar bæði til, ályktum við að fallið hafi stökkósamfelldni í 3.

Dæmi 2.32

Flokkun ósamfelldni

Ákvarðið hvort 𝑓⁡(𝑥)=𝑥+2𝑥+1 $f (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ sé samfellt í punktinum −1. Ef fallið er ósamfellt í −1 skal flokka ósamfelldnina sem afmáanlega ósamfelldni, stökkósamfelldni eða óendanlega ósamfelldni.

Lausn

Fallsgildið $f (−1)$ er óskilgreint. Fallið er því ekki samfellt í −1. Til að ákvarða tegund ósamfelldninnar verðum við að ákvarða markgildið í −1. Við sjáum að $lim_{x \to {−1}^{-}} \frac{x + 2}{x + 1} = − \infty$ og $lim_{x \to {−1}^{+}} \frac{x + 2}{x + 1} = + \infty .$ Fallið hefur því óendanlega ósamfelldni í −1.

Samfelldni á bili

Nú þegar við höfum kannað hugtakið samfelldni í punkti yfirfærum við þessa hugmynd á samfelldni á bili. Þegar við útfærum þessa hugmynd fyrir mismunandi gerðir bila getur verið gagnlegt að hafa í huga þá innsæju hugmynd að fall sé samfellt á bili ef unnt er að nota blýant til að draga upp graf fallsins milli hvaða tveggja punkta sem er á bilinu án þess að lyfta blýantinum af blaðinu. Til að undirbúa skilgreiningu á samfelldni á bili skoðum við fyrst hvað felst í því að fall sé samfellt frá hægri í punkti og samfellt frá vinstri í punkti.

Fall er samfellt á opnu bili ef það er samfellt í sérhverjum punkti bilsins. Fall $f (x)$ er samfellt á lokuðu bili af gerðinni $[a, b]$ ef það er samfellt í sérhverjum punkti í $(a, b)$ og er samfellt frá hægri í a og er samfellt frá vinstri í b. Á hliðstæðan hátt er fall $f (x)$ samfellt á bili af gerðinni $(a, b]$ ef það er samfellt á $(a, b)$ og er samfellt frá vinstri í b. Samfelldni á öðrum gerðum bila er skilgreind með hliðstæðum hætti.

Með því að krefjast þess að $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ og $lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ er tryggt að við getum dregið graf fallsins frá punktinum $(a, f (a))$ að punktinum $(b, f (b))$ án þess að lyfta blýantinum. Ef til dæmis $lim_{x \to a^{+}} f (x) \neq f (a),$ þyrftum við að lyfta blýantinum til að stökkva frá $f (a)$ yfir á graf þess hluta fallsins sem eftir er á $(a, b] .$

Dæmi 2.33

Samfelldni á bili

Tilgreinið það bil eða þau bil þar sem fallið $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ er samfellt.

Lausn

Þar sem 𝑓⁡(𝑥)=𝑥−1𝑥2+2⁢𝑥 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x}$ er rætt fall er það samfellt í sérhverjum punkti skilgreiningarmengis síns. Skilgreiningarmengi 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er mengið (−∞,−2)∪(−2,0)∪(0,+∞). $(− \infty, −2) \cup (−2, 0) \cup (0, + \infty) .$ Því er 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ samfellt á hverju bilanna (−∞,−2),(−2,0), $(− \infty, −2), (−2, 0),$ og (0,+∞). $(0, + \infty) .$

Dæmi 2.34

Samfelldni á bili

Tilgreinið bilið eða bilin þar sem fallið $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ er samfellt.

Lausn

Samkvæmt reiknireglum fyrir markgildi vitum við að $lim_{x \to a} \sqrt[]{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - a^{2}}$ fyrir öll gildi a í $(−2, 2) .$ Við vitum einnig að $lim_{x \to {−2}^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ er til og $lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ er til. Því er $f (x)$ samfellt á bilinu $[−2, 2] .$

Setningin um samskeytt föll gerir okkur kleift að reikna markgildi í fleiri tilvikum. Sér í lagi leiðir þessi setning að lokum til þess að við getum sýnt fram á að hornaföll séu samfelld á skilgreiningarmengjum sínum.

Áður en við snúum okkur að dæmi 2.35 skulum við rifja upp að í undirkaflanum um reiknireglur fyrir markgildi sýndum við $lim_{x \to 0} cos x = 1 = cos (0) .$ Þar af leiðandi vitum við að $f (x) = cos x$ er samfellt í 0. Í dæmi 2.35 sjáum við hvernig nota má þessa niðurstöðu ásamt setningunni um samskeytt föll.

Dæmi 2.35

Markgildi samskeytts kósínusfalls

Reiknið $lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) .$

Lausn

Fallið sem gefið er er samskeyting fallanna cos⁡𝑥 $cos x$ og 𝑥−𝜋2. $x - \frac{π}{2} .$ Þar sem lim𝑥→𝜋/2⁢(𝑥−𝜋2)=0 $lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2}) = 0$ og cos⁡𝑥 $cos x$ er samfellt í 0 getum við beitt setningunni um samskeytt föll. Því fæst:

lim_{x \to π / 2} cos (x - \frac{π}{2}) = cos (lim_{x \to π / 2} (x - \frac{π}{2})) = cos (0) = 1 .

Í sönnun næstu setningar er setningin um samskeytt föll notuð, ásamt samfelldni $f (x) = sin x$ og $g (x) = cos x$ í punktinum 0, til að sýna að hornaföll séu samfelld á öllum skilgreiningarmengjum sínum.

Sönnun

Við byrjum á því að sýna fram á að $cos x$ er samfellt í sérhverri rauntölu. Til þess þurfum við að sýna að $lim_{x \to a} cos x = cos a$ fyrir öll gildi a.

$\begin{matrix} lim_{x \to a} cos x & = lim_{x \to a} cos ((x - a) + a) & umritið x = x - a + a \\ = lim_{x \to a} (cos (x - a) cos a - sin (x - a) sin a) & notið samlagningarreglu kósínusfallsins \\ = cos (lim_{x \to a} (x - a)) cos a - sin (lim_{x \to a} (x - a)) sin a & lim_{x \to a} (x - a) = 0, og sin x og cos x eru samfelld í 0 \\ = cos (0) cos a - sin (0) sin a & reiknið cos(0) og sin(0) og einfaldið \\ = 1 \cdot cos a - 0 \cdot sin a = cos a . \end{matrix}$

Sönnunin á því að $sin x$ sé samfellt í sérhverri rauntölu er hliðstæð. Þar sem setja má önnur hornaföll fram með $sin x$ og $cos x,$ leiðir samfelldni þeirra af reiknireglunni fyrir markgildi kvóta.

□

Eins og sjá má er setningin um samskeytt föll ómetanleg þegar sýna skal fram á samfelldni hornafalla. Eftir því sem námi okkar í stærðfræðigreiningu vindur fram snúum við margsinnis aftur að þessari setningu.

Milligildissetningin

Föll sem eru samfelld á bilum af gerðinni $[a, b],$ þar sem a og b eru rauntölur, hafa marga gagnlega eiginleika. Í námi okkar í stærðfræðigreiningu munum við kynnast mörgum mikilvægum setningum um slík föll. Fyrst þessara setninga er milligildissetningin.

Dæmi 2.36

Beiting milligildissetningarinnar

Sýnið fram á að $f (x) = x - cos x$ hafi að minnsta kosti eina núllstöð.

Lausn

Þar sem 𝑓⁡(𝑥)=𝑥−cos⁡𝑥 $f (x) = x - cos x$ er samfellt á (−∞,+∞), $(− \infty, + \infty),$ er það samfellt á sérhverju lokuðu bili af gerðinni [𝑎,𝑏]. $[a, b] .$ Ef unnt er að finna bil [𝑎,𝑏] $[a, b]$ þannig að 𝑓⁡(𝑎) $f (a)$ og 𝑓⁡(𝑏) $f (b)$ hafi gagnstæð formerki má nota milligildissetninguna til að álykta að til hljóti að vera rauntala c í (𝑎,𝑏) $(a, b)$ sem uppfyllir 𝑓⁡(𝑐)=0. $f (c) = 0 .$ Athugið að

f (0) = 0 - \cos (0) = - 1 lt 0 f (0) = 0 - \cos (0) = - 1 lt 0

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2} > 0 .

Af milligildissetningunni leiðir að til hlýtur að vera rauntala c í [0,𝜋/2] $[0, π / 2]$ sem uppfyllir 𝑓⁡(𝑐)=0. $f (c) = 0 .$ Því hefur 𝑓⁡(𝑥)=𝑥−cos⁡𝑥 $f (x) = x - cos x$ að minnsta kosti eina núllstöð.

Dæmi 2.37

Hvenær má beita milligildissetningunni?

Ef $f (x)$ er samfellt á $[0, 2], f (0) > 0$ og $f (2) > 0,$ getum við notað milligildissetninguna til að álykta að $f (x)$ hafi engar núllstöðvar á bilinu $[0, 2]?$ Útskýrið.

Lausn

Nei. Milligildissetningin segir aðeins að fallið taki öll gildi milli 𝑓⁡(0) $f (0)$ og 𝑓⁡(2); $f (2);$ hún útilokar ekki önnur gildi. Skoðum til dæmis fallið 𝑓⁡(𝑥)=(𝑥−1)₂. $f (x) = {(x - 1)}^{2} .$ Fyrir það er 𝑓⁡(0)=1>0,𝑓⁡(2)=1>0, $f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0,$ og 𝑓⁡(1)=0. $f (1) = 0 .$

Dæmi 2.38

Hvenær er hægt að beita milligildissetningunni?

Fyrir $f (x) = 1 / x, f (−1) = −1 < 0$ og $f (1) = 1 > 0 .$ Getum við ályktað að $f (x)$ hafi núllstöð á bilinu $[−1, 1] ?$

Lausn

Nei. Fallið er ekki samfellt á $[−1, 1] .$ Milligildissetningin á því ekki við hér.

Æfingar úr kafla 2.4

Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða þann punkt eða þá punkta, ef einhverjir eru, þar sem hvert fall er ósamfellt. Flokkið sérhverja ósamfelldni sem stökkósamfelldni, afmáanlega ósamfelldni, óendanlega ósamfelldni eða ósamfelldni af annarri gerð.

131.

𝑓⁡(𝑥)=1√𝑥 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

132.

𝑓⁡(𝑥)=2𝑥2+1 $f (x) = \frac{2}{x^{2} + 1}$

133.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥𝑥2−𝑥 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - x}$

134.

𝑔⁡(𝑡)=𝑡−1+1 $g (t) = t^{−1} + 1$

135.

𝑓⁡(𝑥)=5𝑒𝑥−2 $f (x) = \frac{5}{e^{x} - 2}$

136.

𝑓⁡(𝑥)=|𝑥−2|𝑥−2 $f (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}$

137.

𝐻⁡(𝑥)=tan⁡2⁢𝑥 $H (x) = tan 2 x$

138.

𝑓⁡(𝑡)=𝑡+3𝑡2+5⁢𝑡+6 $f (t) = \frac{t + 3}{t^{2} + 5 t + 6}$

Í eftirfarandi dæmum skal ákvarða hvort fallið sé samfellt í gefna punktinum. Ef það er ósamfellt, um hvers konar ósamfelldni er þá að ræða?

139.

𝑓⁡(𝑥) =2⁢𝑥2−5⁢𝑥+3𝑥−1 $f (x) = \frac{2 x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ í 𝑥=1 $x = 1$

140.

ℎ⁡(𝜃)=sin⁡𝜃−cos⁡𝜃tan⁡𝜃 $h (θ) = \frac{sin θ - cos θ}{tan θ}$ í 𝜃=𝜋 $θ = π$

141.

𝑔⁡(𝑢)={6⁢𝑢2+𝑢−22⁢𝑢−1if𝑢≠1272if𝑢=12, $g (u) = {\begin{cases} \frac{6 u^{2} + u - 2}{2 u - 1} & if u \neq \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2} & if u = \frac{1}{2} \end{cases},$ í 𝑢=12 $u = \frac{1}{2}$

142.

𝑓⁡(𝑦)=sin⁡(𝜋⁢𝑦)tan⁡(𝜋⁢𝑦), $f (y) = \frac{sin (π y)}{tan (π y)},$ í 𝑦=1 $y = 1$

143.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥2−𝑒𝑥if𝑥<0𝑥−1if𝑥≥0, $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - e^{x} & if x < 0 \\ x - 1 & if x \geq 0 \end{cases},$ í 𝑥=0 $x = 0$

144.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥⁢sin⁡(𝑥)if𝑥≤𝜋𝑥⁢tan⁡(𝑥)if𝑥>𝜋, $f (x) = {\begin{cases} x sin (x) if x \leq π \\ x tan (x) if x > π \end{cases},$ í 𝑥=𝜋 $x = π$

Finnið í eftirfarandi æfingum gildi k sem gera hvert fall samfellt á gefna bilinu.

145.

𝑓⁡(𝑥)={3⁢𝑥+2,𝑥<𝑘2⁢𝑥−3,𝑘≤𝑥≤8 $f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, & x < k \\ 2 x - 3, & k \leq x \leq 8 \end{matrix}$

146.

𝑓⁡(𝜃)={sin⁡𝜃,0≤𝜃<𝜋2cos⁡(𝜃+𝑘),𝜋2≤𝜃≤𝜋 $f (θ) = {\begin{cases} sin θ, & 0 \leq θ < \frac{π}{2} \\ cos (θ + k), & \frac{π}{2} \leq θ \leq π \end{cases}$

147.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥2+3⁢𝑥+2𝑥+2,𝑥≠−2𝑘,𝑥=−2 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 2}, & x \neq - 2 \\ k, & x = −2 \end{matrix}$

148.

𝑓⁡(𝑥)={𝑒𝑘⁢𝑥,0≤𝑥<4𝑥+3,4≤𝑥≤8 $f (x) = {\begin{matrix} e^{k x}, & 0 \leq x < 4 \\ x + 3, & 4 \leq x \leq 8 \end{matrix}$

149.

𝑓⁡(𝑥)={√𝑘⁢𝑥,0≤𝑥≤3𝑥+1,3<𝑥≤10 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{k x}, & 0 \leq x \leq 3 \\ x + 1, & 3 < x \leq 10 \end{matrix}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota milligildissetninguna.

150.

Látum ℎ⁡(𝑥)={3⁢𝑥2−4,𝑥≤25+4⁢𝑥,𝑥>2 $h (x) = {\begin{cases} 3 x^{2} - 4, & x \leq 2 \\ 5 + 4 x, & x > 2 \end{cases}$ Á bilinu [0,4], $[0, 4],$ er ekkert gildi á x þannig að ℎ⁡(𝑥)=10, $h (x) = 10,$ þótt ℎ⁡(0)<10 $h (0) < 10$ og ℎ⁡(4)>10. $h (4) > 10 .$ Útskýrið hvers vegna þetta stangast ekki á við milligildissetninguna.

151.

Ögn sem hreyfist eftir línu hefur á hverjum tíma t staðsetningarfallið 𝑠⁡(𝑡), $s (t),$ sem er samfellt. Gerum ráð fyrir að 𝑠⁡(2)=5 $s (2) = 5$ og 𝑠⁡(5)=2. $s (5) = 2 .$ Önnur ögn hreyfist þannig að staðsetning hennar er gefin með ℎ⁡(𝑡)=𝑠⁡(𝑡)−𝑡. $h (t) = s (t) - t .$ Útskýrið hvers vegna til hlýtur að vera gildi c þannig að 2<𝑐<5 $2 < c < 5$ og ℎ⁡(𝑐)=0. $h (c) = 0 .$

152.

[T] Notið fullyrðinguna „Kósínus t er jafnt og t í þriðja veldi.“

Skrifið stærðfræðilega jöfnu sem lýsir fullyrðingunni.
Sannið að jafnan í a-lið hafi að minnsta kosti eina rauntölulausn.
Notið reiknivél til að finna bil af lengd 0.01 sem inniheldur lausn.

153.

Beitið milligildissetningunni til að ákvarða hvort 2𝑥=𝑥3 $2^{x} = x^{3}$ hafi lausn á öðru hvoru bilanna [1.25,1.375] $[1.25, 1.375]$ eða [1.375,1.5]. $[1.375, 1.5] .$ Rökstyðjið svarið stuttlega fyrir hvort bil um sig.

154.

Skoðum graf fallsins 𝑦=𝑓⁡(𝑥) $y = f (x)$ á myndinni hér á eftir.

Skýringarmynd af milligildissetningunni. Samfellt, sveigt fall er sýnt á bilinu [a,b]. Punktarnir f(a) og f(b) eru merktir og punktalínur dregnar frá a, b, f(a) og f(b) að punktunum (a,f(a)) og (b,f(b)). Þriðji punkturinn c liggur milli a og b. Þar sem fallið er samfellt er til punktur (c,f(c)) á ferlinum. Línur eru dregnar frá c að (c,f(c)) og þaðan að f(c)=z á y-ásnum.

Finnið öll gildi þar sem fallið er ósamfellt.
Fyrir hvert gildi í a-lið skal greina frá því hvers vegna formleg skilgreining á samfelldni á ekki við.
Flokkið hverja ósamfelldni sem stökkósamfelldni, afmáanlega ósamfelldni eða óendanlega ósamfelldni.

155.

Látum 𝑓⁡(𝑥)={3⁢𝑥,𝑥>1𝑥3,𝑥<1. $f (x) = {\begin{matrix} 3 x, x > 1 \\ x^{3}, x < 1 \end{matrix} .$

Teiknið graf fallsins f.
Er unnt að finna gildi k þannig að 𝑓⁡(1)=𝑘, $f (1) = k,$ og 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ verði samfellt fyrir allar rauntölur? Útskýrið í stuttu máli.

156.

Látum $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}$ fyrir $x \neq - 1, 1 .$

Teiknið graf fallsins f.
Er unnt að finna gildi 𝑘1 $k_{1}$ og 𝑘2 $k_{2}$ þannig að 𝑓⁡(−1)=𝑘1 $f (−1) = k_{1}$ og 𝑓⁡(1)=𝑘2, $f (1) = k_{2},$ svo að 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ verði samfellt fyrir allar rauntölur? Útskýrið í stuttu máli.

157.

Teiknið graf falls 𝑦=𝑓⁡(𝑥) $y = f (x)$ sem hefur eiginleikana i. til vi.

Skilgreiningarmengi f er $(− \infty, + \infty) .$
f hefur óendanlega ósamfelldni í $x = −6 .$
𝑓⁡(−6)=3 $f (−6) = 3$
lim𝑥→−3−⁢𝑓⁡(𝑥)=lim𝑥→−3+⁢𝑓⁡(𝑥)=2 $lim_{x \to {−3}^{-}} f (x) = lim_{x \to {−3}^{+}} f (x) = 2$
𝑓⁡(−3)=3 $f (−3) = 3$
f er samfellt frá vinstri en ekki frá hægri í $x = 3 .$

158.

Teiknið graf fallsins 𝑦=𝑓⁡(𝑥) $y = f (x)$ sem hefur eiginleika i. til iv.

Skilgreiningarmengi f er $[0, 5] .$
$lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ og $lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ eru bæði til og jöfn.
𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er samfellt frá vinstri en ekki samfellt í 𝑥=2, $x = 2,$ og samfellt frá hægri en ekki samfellt í 𝑥=3. $x = 3 .$
𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ hefur afmáanlega ósamfelldni í 𝑥=1, $x = 1,$ stökkósamfelldni í 𝑥=2, $x = 2,$ og um markgildin gildir: lim𝑥→3−⁢𝑓⁡(𝑥)=−∞ $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = − \infty$ og lim𝑥→3+⁢𝑓⁡(𝑥)=2. $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 2 .$

Í eftirfarandi æfingum skal gera ráð fyrir að $y = f (x)$ sé skilgreint fyrir sérhvert x. Fyrir hverja lýsingu skal teikna graf sem hefur tilgreindan eiginleika.

159.

Ósamfellt í $x = 1$ með $lim_{x \to −1} f (x) = −1$ og $lim_{x \to 2} f (x) = 4$

160.

Ósamfellt í $x = 2$ en samfellt annars staðar með $lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{2}$

Ákvarðið hvort hver af eftirfarandi fullyrðingum sé sönn. Rökstyðjið svar ykkar með skýringu eða gagndæmi.

161.

$f (t) = \frac{2}{e^{t} - e^{- t}}$ er samfellt alls staðar.

162.

Ef vinstri og hægri markgildi 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ þegar 𝑥→𝑎 $x \to a$ eru bæði til og jöfn þá getur f ekki verið ósamfellt í 𝑥=𝑎. $x = a .$

163.

Ef fall er ekki samfellt í punkti er það ekki skilgreint í þeim punkti.

164.

Samkvæmt milligildissetningunni hefur $cos x - sin x - x = 2$ lausn á bilinu $[−1, 1] .$

165.

Ef 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er samfellt og 𝑓⁡(𝑎) $f (a)$ og 𝑓⁡(𝑏) $f (b)$ hafa gagnstæð formerki þá hefur 𝑓⁡(𝑥)=0 $f (x) = 0$ nákvæmlega eina lausn á [𝑎,𝑏]. $[a, b] .$

166.

Fallið $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 1}$ er samfellt á bilinu $[0, 3] .$

167.

Ef $f (x)$ er samfellt alls staðar og $f (a), f (b) > 0,$ þá er engin núllstöð fallsins $f (x)$ á bilinu $[a, b] .$

[T] Í eftirfarandi verkefnum er fjallað um skalarform lögmáls Coulombs, sem lýsir rafstöðukraftinum milli tveggja punktahleðslna, svo sem rafeinda. Lögmálið er gefið með jöfnunni $F (r) = k_{e} \frac{| q_{1} q_{2} |}{r^{2}},$ þar sem $k_{e}$ er Coulomb-fastinn, $q_{i}$ tákna stærðir hleðslna agnanna tveggja og r er fjarlægðin milli agnanna tveggja.

168.

Til að einfalda útreikninga í líkani með mörgum víxlverkandi ögnum látum við F vera núll þegar fjarlægðin fer yfir þröskuldsgildið 𝑟=𝑅, $r = R,$ .

Útskýrið eðlisfræðilega röksemdina fyrir þessari forsendu.
Hver er jafna kraftsins?
Reiknið kraftinn F bæði samkvæmt lögmáli Coulombs og með nálgun okkar. Gerið ráð fyrir að róteindirnar tvær hafi hleðslustærðina $1.6022 \times 10^{−19} kúlomb (C),$ að Coulomb-fastinn sé $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2}$ og að fjarlægðin milli róteindanna sé 1 m. Gerið einnig ráð fyrir að $R < 1 m .$ Hversu mikilli skekkju veldur nálgunin okkar? Er nálgunin raunhæf?
Er til eitthvert endanlegt gildi á R þannig að kerfið haldist samfellt í R?

169.

Í stað þess að láta kraftinn vera 0 í R látum við hann hafa gildið 10−20 fyrir 𝑟≥𝑅. $r \geq R .$ Gerum ráð fyrir tveimur róteindum með hleðslustærðina 1.6022 $\times ⁠$ 10−19C, $1.6022 \times 10^{−19} C,$ og að Coulomb-fastinn sé 𝑘𝑒=8.988 $\times ⁠$ 109⁢Nm2/C2. $k_{e} = 8.988 \times 10^{9} {Nm}^{2} / C^{2} .$ Er til gildi R sem gerir kerfið samfellt? Ef svo er, finnið það.

Rifjið upp umfjöllunina um geimför í upphafi kaflans. Verkefnin hér á eftir fjalla um eldflaug sem skotið er á loft frá yfirborði Jarðar. Þyngdarkrafturinn sem verkar á eldflaugina er gefinn með $F (d) = - m k / d^{2},$ þar sem m er massi eldflaugarinnar, d er fjarlægð eldflaugarinnar frá miðju Jarðar og k er fasti.

170.

[T] Ákvarðið gildi og einingar k að því gefnu að massi eldflaugarinnar sé 3 milljónir kg. (Vísbending: Fjarlægðin frá miðju Jarðar að yfirborði hennar er 6378 km.)

171.

[T] Þegar ákveðinni fjarlægð D er náð verða þyngdaráhrif jarðar hverfandi lítil og því má nálga kraftfallið með 𝐹⁡(𝑑)={−𝑚⁢𝑘𝑑2if𝑑<𝐷10,000if𝑑≥𝐷. $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m k}{d^{2}} & if d < D \\ 10,000 & if d \geq D \end{cases} .$ Notið gildið á k sem fannst í fyrra verkefni og finnið nauðsynlegt skilyrði á D svo að kraftfallið haldist samfellt.

172.

Þegar eldflaugin fjarlægist yfirborð jarðar er til fjarlægð D þar sem hún losar sig við hluta af massa sínum, þar sem hún þarf ekki lengur á umframeldsneytisgeymslunni að halda. Við getum ritað þetta fall sem 𝐹⁡(𝑑)={−𝑚1⁢𝑘𝑑2if𝑑<𝐷−𝑚2⁢𝑘𝑑2if𝑑≥𝐷. $F (d) = {\begin{cases} - \frac{m_{1} k}{d^{2}} if d < D \\ - \frac{m_{2} k}{d^{2}} if d \geq D \end{cases} .$ Er til eitthvert gildi á D þannig að fallið sé samfellt, að því gefnu að 𝑚1≠𝑚2? $m_{1} \neq m_{2} ?$

Sannið að eftirfarandi föll séu samfelld alls staðar

173.

𝑓⁡(𝜃)=sin⁡𝜃 $f (θ) = sin θ$

174.

𝑔⁡(𝑥)=|𝑥| $g (x) = | x |$

175.

Á hvaða punktum er fallið 𝑓⁡(𝑥)={0if𝑥is irrational1if𝑥is rational $f (x) = {\begin{cases} 0 if x is irrational \\ 1 if x is rational \end{cases}$ samfellt?