2.2.2 Notið gildatöflu til að áætla markgildi falls eða ákvarða hvenær markgildið er ekki til.
2.2.3 Notið graf til að áætla markgildi falls eða ákvarða hvenær markgildið er ekki til.
2.2.4 Skilgreinið einhliða markgildi og gefið dæmi.
2.2.5 Útskýrið sambandið milli einhliða og tvíhliða markgilda.
2.2.6 Lýsið óendanlegu markgildi með réttri táknun.
2.2.7 Skilgreinið lóðfellu.
Hugmyndir um markgildi og ferli sem stefna að markgildi eru nauðsynlegar til að skilja stærðfræðigreiningu og hafa verið þekktar í þúsundir ára. Fyrstu stærðfræðingarnir beittu slíkum ferlum til að fá sífellt nákvæmari nálganir á flatarmáli hringa. Formleg skilgreining á markgildi—eins og við þekkjum hana og skiljum í dag—kom þó ekki fram fyrr en undir lok 19. aldar. Líkt og stærðfræðilegir forverar okkar hefjum við því umfjöllunina um markgildi á innsæislegan hátt. Í lok kaflans, þegar við höfum öðlast huglægan skilning á markgildum, skoðum við formlega skilgreiningu þeirra.
Við hefjum umfjöllun okkar um markgildi með því að skoða gröf fallanna
sem sýnd eru á mynd 2.12. Beinum nú athyglinni sérstaklega að hegðun hvers grafs við og í grennd við
Mynd 2.12. Þessi gröf sýna hegðun þriggja mismunandi falla í grennd við
Hvert fallanna þriggja er óskilgreint við en ef við segjum þetta og ekkert annað gefum við mjög ófullkomna mynd af hegðun hvers falls í grennd við Til að lýsa hegðun hvers grafs á fyllri hátt í grennd við 2 þurfum við að kynna hugtakið markgildi.
Innsæ skilgreining á markgildi
Við skulum fyrst skoða nánar hvernig fallið hegðar sér í grennd við á mynd 2.12. Þegar gildi x nálgast 2 frá hvorri hlið nálgast gildi 4. Með stærðfræðilegu orðalagi segjum við að markgildi þegar x nálgast 2 sé 4. Með táknum ritum við þetta markgildi sem
Út frá þessari örstuttu og óformlegu athugun á einu markgildi skulum við byrja að móta innsæisskilgreiningu á markgildi. Við getum litið svo á að markgildi falls í punktinum a sé sú rauntala L sem fallgildin nálgast þegar x-gildin nálgast a, að því gefnu að slík rauntala L sé til. Nánar tiltekið höfum við eftirfarandi skilgreiningu:
Við getum áætlað markgildi með því að útbúa töflur yfir fallgildi og skoða gröf fallanna. Þessari aðferð er lýst í eftirfarandi leiðbeiningum um lausn verkefna.
Við beitum þessari aðferð við lausn verkefna til að reikna markgildi í Dæmi 2.4.
Dæmi 2.4
Mat á markgildi með gildatöflu falls 1
Reiknið með því að nota gildatöflu.
Lausn
Við höfum reiknað gildi 𝑓(𝑥)=(sin𝑥)/𝑥 fyrir þau gildi x sem tilgreind eru í töflu 2.2.
x
s i n 𝑥 𝑥 sin x/x
x
s i n 𝑥 𝑥 sin x/x
−0.1
0.998334166468
0.1
0.998334166468
−0.01
0.999983333417
0.01
0.999983333417
−0.001
0.999999833333
0.001
0.999999833333
−0.0001
0.999999998333
0.0001
0.999999998333
Athugið: Gildin í þessari töflu voru reiknuð með reiknivél og allir aukastafir í niðurstöðum reiknivélarinnar voru notaðir.
Þegar við lesum niður hvern dálk sjáum við að gildin í hverjum dálki virðast nálgast einn. Því er nokkuð eðlilegt að álykta að Graf af sem fengið er með reiknivél eða tölvu væri svipað því sem sýnt er á mynd 2.13, og það staðfestir mat okkar.
Mynd 2.13. Grafið af f ( x ) = ( sin x ) / x staðfestir matið úr töflu 2.2.
Dæmi 2.5
Mat á markgildi með gildatöflu 2
Reiknið með því að nota gildatöflu.
Lausn
Eins og áður notum við töflu—í þessu tilviki töflu 2.3—til að skrá gildi fallsins fyrir gefin gildi x.
x
√ 𝑥 − 2 𝑥 − 4 x − 2/x − 4
x
√ 𝑥 − 2 𝑥 − 4 x − 2/x − 4
3.9
0.251582341869
4.1
0.248456731317
3.99
0.25015644562
4.01
0.24984394501
3.999
0.250015627
4.001
0.249984377
3.9999
0.250001563
4.0001
0.249998438
3.99999
0.25000016
4.00001
0.24999984
Þegar við skoðum töfluna sjáum við að fallgildin fyrir gildi minni en 4 virðast minnka í átt að 0.25, en fallgildin fyrir gildi stærri en 4 virðast vaxa í átt að 0.25. Við ályktum að lim𝑥→4√𝑥−2𝑥−4=0.25. Við staðfestum þetta mat með grafi fallsins 𝑓(𝑥)=√𝑥−2𝑥−4 sem sýnt er á mynd 2.14.
Mynd 2.14. Graf fallsins f ( x ) = x − 2/x − 4 staðfestir matið í töflu 2.3.
Nú sjáum við af dæmum 2.4 og 2.5 að það getur verið jafnauðvelt, ef ekki auðveldara, að áætla markgildi falls með því að skoða graf þess og að áætla markgildið með gildatöflu. Í dæmi 2.6 metum við markgildi eingöngu með því að skoða graf í stað þess að nota gildatöflu.
Mynd 2.15. Graf g ( x ) inniheldur eitt gildi sem liggur ekki á sléttum ferli.
Lausn
Þótt 𝑔(−1)=4, nálgast fallgildin 𝑔(𝑥) töluna 3 þegar x nálgast −1 frá hvorri hlið. Því er lim𝑥→−1𝑔(𝑥)=3. Athugið að unnt er að ákvarða þetta markgildi án þess að þekkja algebruframsetningu fallsins.
Af dæmi 2.6 má draga eftirfarandi ályktun: Markgildi falls getur verið til í punkti og fallið jafnframt verið skilgreint þar, en markgildið og fallgildið í punktinum geta verið ólík.
Skoðun á töflu yfir fallgildi eða grafi falls veitir okkur gagnlega innsýn í markgildi falls í tilteknum punkti. Þessar aðferðir byggjast þó um of á ágiskunum. Þegar fram líða stundir þurfum við að þróa aðrar aðferðir til að ákvarða markgildi. Þessar nýju aðferðir eru í eðli sínu algebrulegri og við könnum þær í næsta undirkafla. Hér kynnum við þó tvö sérstök markgildi sem eru grundvöllur þeirra aðferða sem síðar verða teknar fyrir.
Við getum sett fram eftirfarandi athuganir um þessi tvö markgildi.
Fyrir fyrra markgildið má sjá að þegar x nálgast a nálgast 𝑓(𝑥), einnig a, enda er 𝑓(𝑥)=𝑥. Þar af leiðandi er lim𝑥→𝑎𝑥=𝑎.
Fyrir síðara markgildið skulum við skoða töflu 2.4.
𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑐 f ( x ) = c
𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑐 f ( x ) = c
𝑎 − 0 . 1 a − 0.1
𝑎 + 0 . 1 a + 0.1
𝑎 − 0 . 0 1 a − 0.01
𝑎 + 0 . 0 1 a + 0.01
𝑎 − 0 . 0 0 1 a − 0.001
𝑎 + 0 . 0 0 1 a + 0.001
𝑎 − 0 . 0 0 0 1 a − 0.0001
𝑎 + 0 . 0 0 0 1 a + 0.0001
Athugið að fyrir öll gildi x (óháð því hvort þau nálgast a) eru gildin alltaf jöfn c. Við hljótum því að álykta að
Tilvist markgildis
Þegar við skoðum markgildið í næsta dæmi skulum við hafa í huga að til þess að markgildi falls sé til í punkti verða fallgildin að nálgast eitt og sama rauntölugildi í þeim punkti. Ef fallgildin nálgast ekki eitt og sama gildi er markgildið ekki til.
Dæmi 2.7
Athugun á markgildi sem ekki er til
Reiknið með gildatöflu.
Lausn
Tafla 2.5 sýnir gildi fallsins sin(1/𝑥) fyrir gefin gildi x.
x
s i n ( 1 𝑥 ) sin ( 1/x )
x
s i n ( 1 𝑥 ) sin ( 1/x )
−0.1
0.544021110889
0.1
−0.544021110889
−0.01
0.50636564111
0.01
−0.50636564111
−0.001
−0.8268795405312
0.001
0.826879540532
−0.0001
0.305614388888
0.0001
−0.305614388888
−0.00001
−0.035748797987
0.00001
0.035748797987
−0.000001
0.349993504187
0.000001
−0.349993504187
Þegar gildatafla fallsins er skoðuð sést að y-gildin virðast ekki nálgast eitt ákveðið gildi. Svo virðist sem markgildið sé ekki til. Áður en við drögum þá ályktun skulum við beita kerfisbundnari aðferð. Lítum á eftirfarandi runu x-gilda sem nálgast 0:
Samsvarandi y-gildin eru
Nú getum við vissulega ályktað að lim𝑥→0sin(1/𝑥) sé ekki til. (Stærðfræðingar skammstafa „er ekki til“ oft sem DNE. Því myndum við rita lim𝑥→0sin(1/𝑥) DNE.) Graf 𝑓(𝑥)=sin(1/𝑥) er sýnt á mynd 2.17 og þar sést betur hvernig sin(1/𝑥) hegðar sér þegar x nálgast 0. Sjá má að sin(1/𝑥) sveiflast sífellt ákafar milli −1 og 1 þegar x nálgast 0.
Mynd 2.17. Graf f ( x ) = sin ( 1 / x ) sveiflast hratt milli −1 og 1 þegar x nálgast 0.
Einhliða markgildi
Stundum nægir ekki að segja að markgildi falls sé ekki til í tilteknum punkti til að lýsa hegðun fallsins þar. Skoðum því aftur fallið sem kynnt var í upphafi undirkaflans (sjá mynd 2.12(b)). Þegar x tekur gildi nálægt 2 nálgast ekki eitt tiltekið gildi. Markgildið þegar x nálgast 2 er því ekki til; það er, DNE. Sú staðhæfing ein gefur þó ekki heildarmynd af hegðun fallsins í grennd við x=2. Til að lýsa hegðuninni nákvæmar kynnum við hugtakið einhliða markgildi. Fyrir öll x vinstra megin við 2 er Þegar x nálgast 2 frá vinstri nálgast því −1. Með stærðfræðilegu orðalagi segjum við að markgildið þegar x nálgast 2 frá vinstri sé −1. Með táknum setjum við þetta fram sem
Á sama hátt nálgast fallgildið töluna 1 þegar x nálgast 2 frá hægri. Með táknum setjum við þetta fram sem
Nú getum við sett fram óformlega skilgreiningu á einhliða markgildum.
Dæmi 2.8
Mat á einhliða markgildum
Reiknið hvert eftirfarandi markgildi fyrir fallið 𝑓(𝑥)={𝑥+1if𝑥<2𝑥2−4if𝑥≥2,.
lim𝑥→2−𝑓(𝑥)
lim𝑥→2+𝑓(𝑥)
Lausn
Við getum aftur notað töflu yfir fallgildi (töflu 2.6). Athugið að fyrir gildi x sem eru minni en 2 notum við 𝑓(𝑥)=𝑥+1 og fyrir gildi x sem eru stærri en 2 notum við 𝑓(𝑥)=𝑥2−4.
x
𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 1 f ( x ) = x + 1
x
𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 − 4 f ( x ) = x 2 −4
1.9
2.9
2.1
0.41
1.99
2.99
2.01
0.0401
1.999
2.999
2.001
0.004001
1.9999
2.9999
2.0001
0.00040001
1.99999
2.99999
2.00001
0.0000400001
Af þessari töflu getum við ályktað að a. og b. Því er (tvíhliða) markgildi ekki til þegar Mynd 2.18 sýnir graf og styður niðurstöðu okkar um þessi markgildi enn frekar.
Mynd 2.18. Graf fallsins f ( x ) = { x + 1 if x < 2 x2 − 4 if x ≥ 2 er rofið við x = 2 .
Skoðum nú sambandið milli markgildis falls í punkti og markgilda þess frá hægri og vinstri í þeim punkti. Ljóst virðist að ef markgildið frá hægri og markgildið frá vinstri hafa sama gildi, þá er það sameiginlega gildi markgildi fallsins í punktinum. Á sama hátt er markgildi fallsins ekki til ef markgildið frá vinstri og markgildið frá hægri hafa ólík gildi. Þessar niðurstöður eru teknar saman í Samband einhliða og tvíhliða markgilda.
Óendanleg markgildi
Með því að ákvarða markgildi falls í punkti eða markgildi þess frá hægri og vinstri í punktinum getum við lýst hegðun fallsins í grennd við tiltekið gildi. Eins og við munum sjá getum við einnig lýst hegðun falla sem hafa ekki endanleg markgildi.
Við beinum nú sjónum okkar að þriðja og síðasta fallinu sem kynnt var í upphafi þessa undirkafla (sjá mynd 2.12(c)). Af grafi þess sjáum við að þegar gildi x nálgast 2 verða gildi sífellt stærri og verða raunar óendanlega stór. Með stærðfræðilegu orðalagi segjum við að markgildi þegar x nálgast 2 sé jákvæður óendanleiki. Með táknum setjum við þetta fram þannig:
Almennt skilgreinum við óendanleg markgildi sem hér segir:
Mikilvægt er að skilja að þegar við skrifum fullyrðingar á borð við eða erum við að lýsa hegðun fallsins eins og við höfum nýlega skilgreint hana. Við erum ekki að fullyrða að markgildi sé til. Til þess að markgildi fallsins sé til í a verður það að nálgast rauntölu L þegar x nálgast a. Að því sögðu skrifum við til dæmis, ef alltaf en ekki DNE.
Dæmi 2.9
Greining óendanlegs markgildis
Reiknið hvert eftirfarandi markgilda, ef unnt er. Notið gildatöflu fallsins og graf til að staðfesta niðurstöðu ykkar.
lim𝑥→0−1𝑥
lim𝑥→0+1𝑥
lim𝑥→01𝑥
Lausn
Byrjið á að útbúa gildatöflu fyrir fallið.
x
1 𝑥 1/x
x
1 𝑥 1/x
−0.1
−10
0.1
10
−0.01
−100
0.01
100
−0.001
−1000
0.001
1000
−0.0001
−10,000
0.0001
10,000
−0.00001
−100,000
0.00001
100,000
−0.000001
−1,000,000
0.000001
1,000,000
Gildi minnka án neðri marka þegar x nálgast 0 frá vinstri. Við ályktum að
Gildi vaxa án takmarkana þegar x nálgast 0 frá hægri. Við ályktum að
Þar sem lim𝑥→0−1𝑥=−∞ og lim𝑥→0+1𝑥=+∞ eru ólík, ályktum við að
Mynd 2.19. Graf fallsins f ( x ) = 1 / x staðfestir að markgildið þegar x nálgast 0 er ekki til.
Föll á forminu þar sem n er jákvæð heiltala, hafa óendanleg markgildi þegar x nálgast a frá vinstri eða hægri (mynd 2.20). Setningin Óendanleg markgildi þegar veldisvísirinn er jákvæð heiltala tekur þessi markgildi saman.
Mynd 2.20. Fallið 𝑓(𝑥)=1/(𝑥−𝑎)𝑛 hefur óendanleg markgildi þegar x nálgast a.
Á gröfum liggja punktar með x-hnit mjög nálægt a jafnframt mjög nálægt lóðréttu línunni Þegar x nálgast a færast punktarnir á grafi með öðrum orðum nær línunni Línan kallast lóðfella grafsins. Lóðfella er formlega skilgreind á eftirfarandi hátt:
lim𝑥→−2−𝑓(𝑥)=3.;lim𝑥→−2+𝑓(𝑥)=3;lim𝑥→−2𝑓(𝑥)=3;𝑓(−2) er óskilgreint
lim𝑥→1−𝑓(𝑥)=6;lim𝑥→1+𝑓(𝑥)=3;lim𝑥→1𝑓(𝑥) er ekki til; 𝑓(1)=6
er óskilgreint
Dæmi 2.12
Kaflaupphaf: jafna Einsteins
Mynd 2.22. (mynd: NASA)
Í inngangi kaflans var stuttlega minnst á að Albert Einstein sýndi fram á efri mörk á hraða sérhvers hlutar. Hvert er gildi þessara marka samkvæmt jöfnu Einsteins fyrir massa hlutar á hreyfingu?
Lausn
Við leggjum upp með jöfnu Einsteins fyrir massa hlutar á hreyfingu,
þar sem er massi hlutarins í kyrrstöðu, v er hraði hans og c er ljóshraðinn. Til að sjá hvernig massinn breytist við mikinn hraða getum við teiknað graf massahlutfallsins sem falls af hraðahlutfallinu, (Mynd 2.23).
Mynd 2.23. Þetta graf sýnir massahlutfallið sem fall af hraðahlutfallinu í jöfnu Einsteins fyrir massa hlutar á hreyfingu.
Við sjáum að þegar hlutfall hraðanna nálgast 1 — það er að segja þegar hraði hlutarins nálgast ljóshraða — vex hlutfall massanna án takmarkana. Með öðrum orðum hefur fallið lóðfellu við 𝑣/𝑐=1. Við getum prófað nokkur gildi þessa hlutfalls til að kanna þessa hugmynd.
𝑣 𝑐 v/c
√ 1 − 𝑣 2 𝑐 2 1 − v 2/c2
𝑚 𝑚 0 m/m 0
0.99
0.1411
7.089
0.999
0.0447
22.37
0.9999
0.0141
70.71
Samkvæmt töflu 2.8 verður massi hlutar með massann 100 kg, sem ferðast á hraðanum 0.9999 c, 7071 kg. Þar sem enginn hlutur getur haft óendanlegan massa ályktum við að enginn hlutur geti ferðast á ljóshraða eða hraðar.
Æfingar í kafla 2.2
Í eftirfarandi verkefnum skal líta á fallið
30.
[T] Fyllið út eftirfarandi töflu fyrir fallið. Námundið lausnirnar að fjórum aukastöfum.
x
𝑓 ( 𝑥 ) f ( x )
x
𝑓 ( 𝑥 ) f ( x )
0.9
a.
1.1
e.
0.99
b.
1.01
f.
0.999
c.
1.001
g.
0.9999
d.
1.0001
h.
31.
Hvað gefa niðurstöður ykkar úr verkefninu hér á undan til kynna um tvíhliða markgildið lim𝑥→1𝑓(𝑥)? Rökstyðjið svarið.
Í eftirfarandi æfingum skal líta á fallið
32.
[T] Gerið töflu sem sýnir gildi f fyrir og fyrir Námundið lausnirnar að fimm aukastöfum.
x
𝑓 ( 𝑥 ) f ( x )
x
𝑓 ( 𝑥 ) f ( x )
−0.01
a.
0.01
e.
−0.001
b.
0.001
f.
−0.0001
c.
0.0001
g.
−0.00001
d.
0.00001
h.
33.
Hvað gefur gildataflan í verkefninu hér á undan til kynna um fallið
34.
Hvaða stærðfræðilega fasta virðist markgildið í verkefninu hér á undan nálgast?
Notið gefnu gildin í eftirfarandi verkefnum til að setja upp töflu og reikna markgildin. Námundið svörin að átta aukastöfum.
35.
[T]lim𝑥→0sin2𝑥𝑥;±0.1,±0.01,±0.001,±.0001
x
s i n 2 𝑥 𝑥 sin 2 x/x
x
s i n 2 𝑥 𝑥 sin 2 x/x
−0.1
a.
0.1
e.
−0.01
b.
0.01
f.
−0.001
c.
0.001
g.
−0.0001
d.
0.0001
h.
36.
[T]lim𝑥→0sin3𝑥𝑥 ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.0001
X
s i n 3 𝑥 𝑥 sin 3 x/x
x
s i n 3 𝑥 𝑥 sin 3 x/x
−0.1
a.
0.1
e.
−0.01
b.
0.01
f.
−0.001
c.
0.001
g.
−0.0001
d.
0.0001
h.
37.
Notið tvö undanfarandi verkefni til að setja fram tilgátu um gildi eftirfarandi markgildis: lim𝑥→0sin𝑎𝑥𝑥 þar sem a er jákvæð rauntala.
[T] Í eftirfarandi æfingum skal setja upp gildatöflu til að finna tilgreint markgildi. Námundið að átta tölustöfum.
38.
lim𝑥→2𝑥2−4𝑥2+𝑥−6
x
𝑥 2 − 4 𝑥 2 + 𝑥 − 6 x2 − 4/x2 + x − 6
x
𝑥 2 − 4 𝑥 2 + 𝑥 − 6 x2 − 4/x2 + x − 6
1.9
a.
2.1
e.
1.99
b.
2.01
f.
1.999
c.
2.001
g.
1.9999
d.
2.0001
h.
39.
lim𝑥→1(1−2𝑥)
x
1 − 2 𝑥 1 − 2 x
x
1 − 2 𝑥 1 − 2 x
0.9
a.
1.1
e.
0.99
b.
1.01
f.
0.999
c.
1.001
g.
0.9999
d.
1.0001
h.
40.
lim𝑥→051−𝑒1/𝑥
x
5 1 − 𝑒 1 / 𝑥 5/1 − e1 / x
x
5 1 − 𝑒 1 / 𝑥 5/1 − e1 / x
−0.1
a.
0.1
e.
−0.01
b.
0.01
f.
−0.001
c.
0.001
g.
−0.0001
d.
0.0001
h.
41.
lim𝑧→0𝑧−1𝑧2(𝑧+3)
z
𝑧 − 1 𝑧 2 ( 𝑧 + 3 ) z − 1/z 2 ( z + 3 )
z
𝑧 − 1 𝑧 2 ( 𝑧 + 3 ) z − 1/z 2 ( z + 3 )
−0.1
a.
0.1
e.
−0.01
b.
0.01
f.
−0.001
c.
0.001
g.
−0.0001
d.
0.0001
h.
42.
lim𝑡→0+cos𝑡𝑡
t
c o s 𝑡 𝑡 cos t/t
0.1
a.
0.01
b.
0.001
c.
0.0001
d.
43.
lim𝑥→21−2𝑥𝑥2−4
x
1 − 2 𝑥 𝑥 2 − 4 1 − 2/x/x2 − 4
x
1 − 2 𝑥 𝑥 2 − 4 1 − 2/x/x2 − 4
1.9
a.
2.1
e.
1.99
b.
2.01
f.
1.999
c.
2.001
g.
1.9999
d.
2.0001
h.
[T] Í eftirfarandi dæmum skuluð þið setja upp gildatöflu og námunda að átta markverðum stöfum. Á grundvelli gildatöflunnar skuluð þið áætla hvert markgildið sé. Notið síðan reiknivél til að teikna graf fallsins og ákvarða markgildið. Var tilgátan rétt? Ef ekki, hvers vegna bregst töfluaðferðin?
44.
lim𝜃→0sin(𝜋𝜃)
θ
s i n ( 𝜋 𝜃 ) sin ( π/θ )
θ
s i n ( 𝜋 𝜃 ) sin ( π/θ )
−0.1
a.
0.1
e.
−0.01
b.
0.01
f.
−0.001
c.
0.001
g.
−0.0001
d.
0.0001
h.
45.
lim𝛼→0+1𝛼cos(𝜋𝛼)
𝛼 α
1 𝛼 c o s ( 𝜋 𝛼 ) 1/α cos ( π/α )
0.1
a.
0.01
b.
0.001
c.
0.0001
d.
Í eftirfarandi verkefnum skal skoða graf fallsins sem sýnt er hér. Hverjar fullyrðinganna um eru sannar og hverjar ósannar? Útskýrið hvers vegna fullyrðing er ósönn.
46.
lim𝑥→10𝑓(𝑥)=0
47.
lim𝑥→−2+𝑓(𝑥)=3
48.
lim𝑥→−8𝑓(𝑥)=𝑓(−8)
49.
lim𝑥→6𝑓(𝑥)=5
Í eftirfarandi æfingum skal nota eftirfarandi graf fallsins til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið þau eftir þörfum.
50.
lim𝑥→1−𝑓(𝑥)
51.
lim𝑥→1+𝑓(𝑥)
52.
lim𝑥→1𝑓(𝑥)
53.
lim𝑥→2𝑓(𝑥)
54.
𝑓(1)
Í eftirfarandi verkefnum skal nota graf fallsins sem sýnt er hér til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið þau þegar þörf krefur.
55.
lim𝑥→0−𝑓(𝑥)
56.
lim𝑥→0+𝑓(𝑥)
57.
lim𝑥→0𝑓(𝑥)
58.
lim𝑥→2𝑓(𝑥)
Í eftirfarandi verkefnum skal nota graf fallsins sem sýnt er hér til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið eftir þörfum.
59.
lim𝑥→−2−𝑓(𝑥)
60.
lim𝑥→−2+𝑓(𝑥)
61.
lim𝑥→−2𝑓(𝑥)
62.
lim𝑥→2−𝑓(𝑥)
63.
lim𝑥→2+𝑓(𝑥)
64.
lim𝑥→2𝑓(𝑥)
Í eftirfarandi dæmum skal nota graf fallsins sem sýnt er hér til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið þau eftir þörfum.
65.
lim𝑥→0−𝑔(𝑥)
66.
lim𝑥→0+𝑔(𝑥)
67.
lim𝑥→0𝑔(𝑥)
Í eftirfarandi æfingum skal nota graf fallsins sem sýnt er hér til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið þau eftir þörfum.
68.
lim𝑥→0−ℎ(𝑥)
69.
lim𝑥→0+ℎ(𝑥)
70.
lim𝑥→0ℎ(𝑥)
Í eftirfarandi verkefnum skal nota graf fallsins sem sýnt er hér til að finna gildin, ef unnt er. Áætlið eftir þörfum.
71.
lim𝑥→0−𝑓(𝑥)
72.
lim𝑥→0+𝑓(𝑥)
73.
lim𝑥→0𝑓(𝑥)
74.
lim𝑥→1𝑓(𝑥)
75.
lim𝑥→2𝑓(𝑥)
Í eftirfarandi verkefnum skal teikna graf falls sem hefur tiltekna eiginleika.
Höggbylgjur koma fyrir í mörgum eðlisfræðilegum viðfangsefnum, allt frá sprengistjörnum til sprengibylgna. Graf sem sýnir eðlismassa höggbylgju sem fall af fjarlægð, x, er sýnt hér. Við höfum einkum áhuga á staðsetningu framhliðar höggbylgjunnar, sem auðkennd er með á myndinni.
Hlaupaþjálfari notar myndavél með stuttum lýsingartíma til að áætla staðsetningu hlaupara sem fall af tíma. Taflan sýnir staðsetningu hlauparans á mismunandi tímum; x táknar staðsetninguna í metrum og t tímann í sekúndum. Hvert er lim𝑡→2𝑥(𝑡)? Hver er eðlisfræðileg merking þess?
![Graf fallsins f(x) = sin(x)/x á bilinu [-6, 6]. Grafið sker y-ásinn þegar x=0 og x-ásinn þegar x=pi og x=-pi.](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/calculus-volume-1/is/image-v3/0dd8bf5c74a7620c386887a65184fffd32595760/rendered.jpg?v=553776afa246)
![Graf fallsins f(x) = (sqrt(x) – 2 ) / (x-4) á bilinu [0,8]. Opinn hringur er á grafinu þar sem x=4. Í fyrsta fjórðungi nálgast grafið x- og y-ásana aðfellulega.](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/calculus-volume-1/is/image-v3/fc851196975d1e3dd18fcab1d0d8ab5f74f16e2c/rendered.jpg?v=5efca7c1df50)
![Graf hlutskilgreinds falls með þremur línulegum hlutum. Fyrsti hlutinn er skilgreindur fyrir x < -2, hefur hallatöluna 1 og endar í opnum hring í (-2, 0). Annar hlutinn er skilgreindur á bilinu [-2, 2], hefur hallatöluna -1 og liggur um upphafspunktinn; endapunktar hans í (-2, 2) og (2,-2) eru fylltir. Þriðji hlutinn er skilgreindur fyrir x>2, hefur hallatöluna 1 og hefst í opnum hring í (2,2).](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/calculus-volume-1/is/image-v3/6ef261bfa978d730c92b44b863c291beb97214b6/rendered.jpg?v=cb4a42b35025)
