2.1 Innsýn í stærðfræðigreiningu

Breytingarhraði er eitt mikilvægasta hugtak stærðfræðigreiningar. Við hefjum umfjöllunina um breytingarhraða á því að skoða gröf línanna þriggja $f\left(x\right)=\mathrm{-2}x-3,g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1,$ og $h\left(x\right)=2,$ sem sýndar eru á mynd 2.2.

Þegar við færum okkur frá vinstri til hægri eftir grafi $f\left(x\right)=\mathrm{-2}x-3,$ sjáum við að grafið lækkar með jöfnum hraða. Í hvert sinn sem við færum okkur 1 einingu til hægri eftir x-ásnum minnkar y-hnitið um 2 einingar. Þessi breytingarhraði ræðst af hallatölu línunnar (−2). Á sama hátt segir hallatalan 1/2 fyrir fallið $g\left(x\right)$ okkur að þegar x breytist um 1 einingu breytist y samsvarandi um 1/2 einingu. Fallið $h\left(x\right)=2$ hefur hallatöluna núll, sem sýnir að gildi fallsins haldast föst. Við sjáum að hallatala sérhvers línulegs falls sýnir breytingarhraða fallsins.

Berið gröf þessara þriggja falla saman við graf $k\left(x\right)=x^2$ (mynd 2.3). Graf fallsins $k\left(x\right)=x^2$ byrjar lengst til vinstri á að lækka hratt, tekur síðan að lækka hægar og fletjast út og fer loks að hækka—hægt í fyrstu en síðan með sívaxandi hraða eftir því sem það færist til hægri. Ólíkt línulegu falli er engin ein tala sem lýsir breytingarhraða þessa falls. Það er því eðlilegt að spyrja: Hvernig mælum við breytingarhraða ólínulegs falls?

Við getum nálgað breytingarhraða falls $f\left(x\right)$ í punkti $\left(a,f\left(a\right)\right)$ á grafi þess með því að velja annan punkt $\left(x,f\left(x\right)\right)$ á grafi $f\left(x\right),$ draga línu gegnum punktana tvo og reikna hallatölu línunnar sem fæst. Slík lína nefnist sniðill. Mynd 2.4 sýnir sniðil við fall $f\left(x\right)$ í punkti $\left(a,f\left(a\right)\right).$

Nákvæmni þess að nálga breytingarhraða fallsins með sniðli ræðst af því hversu nálægt x er a. Á mynd 2.5 sést hvernig x nálgast a og hallatala sniðilsins gefur þá betra mat á breytingarhraða $f\left(x\right)$ í a.

Sniðlarnir sjálfir nálgast línu sem nefnist snertill við fallið $f\left(x\right)$ í a (mynd 2.6). Hallatala snertilsins við grafið í a mælir breytingarhraða fallsins í a. Þetta gildi táknar einnig afleiðu fallsins $f\left(x\right)$ í a, eða breytingarhraða fallsins í a. Þessi afleiða er táknuð með $f^{\prime }\left(a\right).$ Deildareikningur er það svið stærðfræðigreiningar sem fjallar um afleiður og notkun þeirra.

Dæmi 2.1 sýnir hvernig finna má hallatölur sniðla. Þessar hallatölur gefa mat á hallatölu snertilsins eða, með öðrum orðum, á breytingarhraða fallsins í punktinum þar sem hallatölurnar eru reiknaðar.

Við höldum rannsókn okkar áfram með því að kanna tengda spurningu. Höfum í huga að líta má á hraða sem breytingarhraða staðsetningar og gerum ráð fyrir að við höfum fall, $s\left(t\right),$ sem gefur staðsetningu hlutar á hnitási á hverjum tíma t. Getum við notað sömu hugmyndir til að setja fram skynsamlega skilgreiningu á augnablikshraða við tiltekinn tíma $t=a?$ Við byrjum á því að nálga augnablikshraðann með meðalhraða. Rifjum fyrst upp að hraði hlutar sem hreyfist með jöfnum hraða er hlutfall vegalengdarinnar sem hann fer og tímans sem ferðin tekur. Við skilgreinum meðalhraða hlutar á tilteknu tímabili sem hlutfall breytingar á staðsetningu hans og lengdar tímabilsins.

Eftir því sem t nálgast a nálgast meðalhraðinn augnablikshraðann. Athugið að það að finna meðalhraða staðsetningarfalls yfir tímabil er í meginatriðum hið sama og að finna hallatölu sniðils við graf falls. Til að finna hallatölu snertils í punkti a látum við enn fremur x-gildin nálgast a þegar hallatala sniðilsins er reiknuð. Til að finna augnablikshraðann við tímann a látum við á sama hátt t-gildin nálgast a þegar meðalhraðinn er reiknaður. Þetta ferli, þar sem x eða t er látið nálgast a í stæðu, kallast að taka markgildi. Við getum því skilgreint augnablikshraða á eftirfarandi hátt.

Dæmi 2.2 skýrir tengsl markgildis og meðalhraða.

Nú beinum við sjónum okkar að sígildri spurningu í stærðfræðigreiningu. Margar eðlisfræðistærðir, svo sem vinna, má túlka sem flatarmál svæðisins undir grafi falls. Þetta leiðir til eftirfarandi spurningar: Hvernig getum við fundið flatarmálið milli grafs falls og x-ássins á tilteknu bili (mynd 2.8)?

Líkt og þegar við svöruðum fyrri spurningum okkar um hraða reynum við fyrst að nálga lausnina. Við nálgum flatarmálið með því að skipta bilinu $\left[a,b\right]$ í undirbil og reisa rétthyrninga yfir þeim. Nálgun flatarmálsins fæst með því að leggja saman flatarmál þessara rétthyrninga (mynd 2.9).

Eftir því sem breiddir rétthyrninganna minnka (nálgast núll) nálgast summa flatarmála þeirra flatarmálið milli grafs $f\left(x\right)$ og x-ássins á bilinu $\left[a,b\right].$ Enn á ný þurfum við að finna markgildi. Slík markgildi eru grundvöllur skilgreiningar ákveðins heildis. Heildareikningur fjallar um heildi og notkun þeirra.

Hingað til höfum við aðeins rannsakað föll af einni breytu. Slík föll má sýna myndrænt með gröfum í tveimur víddum; þó er engin gild ástæða til að takmarka rannsóknir okkar við tvær víddir. Gerum til dæmis ráð fyrir að í stað þess að ákvarða hraða hlutar sem hreyfist eftir hnitás viljum við ákvarða hraða steins sem skotið er úr kastvél á tilteknum tíma eða hraða flugvélar sem hreyfist í þremur víddum. Við gætum viljað teikna gröf raungildra falla af tveimur breytum eða ákvarða rúmmál rúmforma af þeirri gerð sem sýnd er á mynd 2.11. Þetta eru aðeins fáein dæmi um þær spurningar sem unnt er að setja fram og svara með stærðfræðigreiningu margra breyta. Í óformlegu máli má lýsa stærðfræðigreiningu margra breyta sem stærðfræðigreiningu falla af tveimur eða fleiri breytum. Áður en við könnum þessar og aðrar hugmyndir verðum við þó fyrst að leggja grunn að rannsóknum á stærðfræðigreiningu í einni breytu með því að kanna hugtakið markgildi.

Í eftirfarandi verkefnum eru punktarnir $P\left(1,2\right)$ og $Q\left(x,y\right)$ á grafi fallsins $f\left(x\right)=x^2+1.$