Meginatriði

Meginatriði

2.1 Innsýn í stærðfræðigreiningu

• Deildareikningur á rætur að rekja til þess verkefnis að ákvarða hallatölu snertils við feril í tilteknum punkti. Hallatala snertilsins lýsir breytingarhraða fallsins, þ.e. afleiðunni. Til að reikna afleiðu þarf að finna markgildi.
• Heildareikningur á rætur að rekja til þess verkefnis að finna flatarmál svæðis milli grafs falls og x-ássins. Með því að skipta svæðinu í mjóa rétthyrninga og leggja saman flatarmál þeirra má nálga flatarmálið. Slík summa gefur gildi falls sem nefnist heildi. Heildi fæst einnig sem markgildi og tengist raunar afleiðu falls.
• Stærðfræðigreining margra breyta gerir kleift að leysa verkefni í þrívíðu rúmi, svo sem að lýsa hreyfingu í rúmi og reikna rúmmál rúmhluta.

2.2 Markgildi falls

• Nota má gildatöflu eða graf til að áætla markgildi.
• Þótt markgildi falls í tilteknum punkti sé ekki til geta einhliða markgildi fallsins þar samt verið til.
• Ef markgildi falls frá vinstri og hægri eru bæði til og jöfn er markgildi fallsins sama gildið.
• Nota má markgildi til að lýsa því þegar gildi falls vaxa eða minnka án takmarka nálægt tilteknum punkti.

2.3 Reiknireglur fyrir markgildi

• Með reiknireglum fyrir markgildi má reikna markgildi falla án þess að endurtaka ítarlega útreikninga í hvert skipti.
• Fyrir margliðuföll og ræð föll gildir lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)=𝑓⁡(𝑎).$\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right).$
• Reikna má markgildi falls með því að þátta og stytta, margfalda með samoka eða einfalda brotabrot.
• Með klemmureglunni má finna markgildi falls ef gildi þess liggja ávallt milli gilda tveggja falla sem hafa þekkt markgildi.

2.4 Samfelldni

• Fall er samfellt í punkti ef það er skilgreint þar, markgildi þess er til og fallsgildið er jafnt markgildinu.
• Ósamfellur skiptast í afmáanlegar ósamfellur, stökkósamfellur og óendanlegar ósamfellur.
• Fall er samfellt á opnu bili ef það er samfellt í öllum punktum bilsins. Það er samfellt á lokuðu bili ef það er samfellt í öllum innri punktum þess og frá viðeigandi hlið í hvorum endapunkti.
• Setningin um samskeytt föll segir: Ef $f\left(x\right)$ er samfellt í L og $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L,$ þá er $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)\right)=f\left(L\right).$
• Milligildissetningin tryggir að samfellt fall á lokuðu bili taki öll gildi milli fallsgildanna í endapunktum bilsins.

2.5 Nákvæm skilgreining á markgildi

• Úr innsærri hugmynd um markgildi má móta stranga stærðfræðilega skilgreiningu, svonefnda epsílon-delta-skilgreiningu markgildis.
• Nota má epsílon-delta-skilgreininguna til að sanna fullyrðingar um markgildi.
• Hægt er að aðlaga epsílon-delta-skilgreiningu markgildis til að skilgreina einhliða markgildi.