Yfirlitsverkefni

Fall verður að vera samfellt í $x=a$ ef $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$ er til.

Nota má deiliregluna til að reikna $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}x}{x}.$

Ef 𝑥=𝑎$x=a$ er lóðfella fallsins 𝑓⁡(𝑥),$f\left(x\right),$ er f ekki skilgreint í 𝑥=𝑎.$x=a.$

Ef lim𝑥→𝑎⁢𝑓⁡(𝑥)$\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$ er ekki til er f ekki skilgreint í 𝑥=𝑎.$x=a.$

Notið grafið til að finna markgildin eða útskýrið hvers vegna þau eru ekki til.

1. lim𝑥→−1⁢𝑓⁡(𝑥)$\underset{x\to \mathrm{-1}}{\text{lim}}f\left(x\right)$
2. lim𝑥→1⁢𝑓⁡(𝑥)$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$
3. lim𝑥→0+⁢𝑓⁡(𝑥)$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$
4. lim𝑥→2⁢𝑓⁡(𝑥)$\underset{x\to 2}{\text{lim}}f\left(x\right)$

lim𝑥→2⁢2⁢𝑥2−3⁢𝑥−2𝑥−2$\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}$

lim𝑥→0⁢3⁢𝑥2−2⁢𝑥+4$\underset{x\to 0}{\text{lim}}3x^2-2x+4$

lim𝑥→3⁢𝑥3−2⁢𝑥2−13⁢𝑥−2$\underset{x\to 3}{\text{lim}}\frac{x^3-2x^2-1}{3x-2}$

lim𝑥→𝜋/2⁢cot⁡𝑥cos⁡𝑥$\underset{x\to \pi \text{/}2}{\text{lim}}\frac{\text{cot}x}{\text{cos}x}$

lim𝑥→−5⁢𝑥2+25𝑥+5$\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lim}}\frac{x^2+25}{x+5}$

lim𝑥→2⁢3⁢𝑥2−2⁢𝑥−8𝑥2−4$\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{3x^2-2x-8}{x^2-4}$

lim𝑥→1⁢𝑥2−1𝑥3−1$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x^2-1}{x^3-1}$

lim𝑥→1⁢𝑥2−1√𝑥−1$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$

lim𝑥→4⁢4−𝑥√𝑥−2$\underset{x\to 4}{\text{lim}}\frac{4-x}{\sqrt{x}-2}$

lim𝑥→4⁢1√𝑥−2$\underset{x\to 4}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

lim𝑥→0⁢𝑥2⁢cos⁡(2⁢𝜋⁢𝑥)=0$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^2\text{cos}\left(2\pi x\right)=0$

lim𝑥→0⁢𝑥3⁢sin⁡(𝜋𝑥)=0$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^3\text{sin}\left(\frac{\pi }{x}\right)=0$

Ákvarðið skilgreiningarmengi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−2+𝑥⁢𝑒𝑥$f(x)=\sqrt{x-2}+x{e}^x$ og sýnið að fallið sé samfellt á öllu skilgreiningarmenginu.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥2+1,𝑥>𝑐2⁢𝑥,𝑥≤𝑐$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x>c\\ 2x,x\le c\end{array}$

𝑓⁡(𝑥)={√𝑥+1,𝑥>−1𝑥2+𝑐,𝑥≤−1$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\sqrt{x+1},x>\text{−}1\\ x^2+c,x\le -1\end{array}$

lim𝑥→1⁢(8⁢𝑥+16)=24$\underset{x\to 1}{\text{lim}}(8x+16)=24$

lim𝑥→0⁢𝑥3=0$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^3=0$

Bolta er kastað upp í loft. Hæð hans er gefin með 𝑥⁡(𝑡)=−4.9⁢𝑡2+25⁢𝑡+5.$x\left(t\right)=\mathrm{-4.9}{t}^2+25t+5.$ Notið milligildissetninguna til að sýna að boltinn hljóti að lenda á jörðinni 5–6 sekúndum eftir kastið.

Færsla agnar sem hreyfist eftir línu er 𝑥⁡(𝑡)=𝑡2−2⁢𝑡+4,$x\left(t\right)=t^2-2t+4,$ þar sem x er mælt í metrum og t í sekúndum. Reiknið meðalhraðann á tímabilinu 𝑡=[0,2].$t=\left[0,2\right].$

Notið niðurstöður fyrri verkefna til að áætla augnablikshraðann við 𝑡=2$t=2$ með því að skoða meðalhraðann fyrir 𝑡=0.01 sek.$t=0.01\text{sek}\text{.}$